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九年級數學

第二十六章

反比例函數

章末鞏固訓練

一、選擇題

1.（2019·上海）下列函數中，函數值y隨自變量x的值增大而增大的是()

A．y＝

B．y＝－

C．y＝

D．y＝－

2.如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A，C的坐標分別是(0，3)，(3，0)，∠ACB=90°，AC=2BC，函數y=(k>0，x>0)的圖象經過點B，則k的值為

()

A.B.9

C.D.3.已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函數y＝（k<0）的圖象上，且x1

A．y2＞y1＞y3

B．y3＞y2＞y1

C．y1＞y2＞y3

D．y3＞y1＞y2

4.（2020·湖北孝感）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)是反比例函數關系，它的圖像如圖所示，則這個反比例函數的解析式為（）

A.=

B.=

C.=

D.=

5.(2019·江蘇無錫)如圖，已知A為反比例函數y=(x<0)的圖象上一點，過點A作AB⊥y軸，垂足為B．若△OAB的面積為2，則k的值為

A．2

B．﹣2

C．4

D．﹣4

6.（2020·天水）若函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，則函數y＝ax＋b和y＝在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）

7.如圖，在同一直角坐標系中，函數y＝與y＝kx＋k2的大致圖象是()

8.在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，點H為垂足．設AB＝x，AD＝y，則y關于x的函數關系用圖象大致可以表示為()

二、填空題

9.已知反比例函數y＝的圖象在每一個象限內y隨x的增大而增大，請寫一個符合條件的反比例函數解析式____________．

10.如圖，點A，C分別是正比例函數y=x的圖象與反比例函數y=的圖象的交點，過A點作AD⊥x軸于點D，過C點作CB⊥x軸于點B，則四邊形ABCD的面積為.11.雙曲線y＝在每個象限內，函數值y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是________．

12.如圖，直線y＝－2x＋4與雙曲線y＝交于A、B兩點，與x軸交于點C，若AB＝2BC，則k＝________．

13.（2019?山西）如圖，在平面直角坐標中，點O為坐標原點，菱形ABCD的頂點B在x軸的正半軸上，點A坐標為（–4，0），點D的坐標為（–1，4），反比例函數y=（x＞0）的圖象恰好經過點C，則k的值為__________．

14.如圖所示，反比例函數y＝(k≠0，x>0)的圖象經過矩形OABC的對角線AC的中點D，若矩形OABC的面積為8，則k的值為________．

15.如圖，在平面直角坐標系中，過點M(－3，2)分別作x軸、y軸的垂線，與反比例函數y＝的圖象交于A、B兩點，則四邊形MAOB的面積為________．

16.（2019?福建）如圖，菱形ABCD頂點A在函數y=（x＞0）的圖象上，函數y=（k＞3，x＞0）的圖象關于直線AC對稱，且經過點B、D兩點，若AB=2，∠BAD=30°，則k=__________．

三、解答題

17.在平面直角坐標系中，一次函數y＝ax＋b(a≠0)的圖象與反比例函數y＝(k≠0)的圖象交于第二、第四象限內的A，B兩點，與y軸交于C點，過點A作AH⊥y軸，垂足為H，OH＝3，tan∠AOH＝，點B的坐標為(m，－2)．

(1)求△AHO的周長；

(2)求該反比例函數和一次函數的解析式．

18.如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y=的圖象交于A(m，4)，B(2，n)兩點，與坐標軸分別交于M，N兩點.(1)求一次函數的解析式;

(2)根據圖象直接寫出kx+b->0中x的取值范圍;

(3)求△AOB的面積.19.在面積都相等的所有矩形中，當其中一個矩形的一邊長為1時，它的另一邊長為3.(1)設矩形的相鄰兩邊長分別為x，y.①求y關于x的函數表達式；

②當y≥3時，求x的取值范圍；

(2)圓圓說其中有一個矩形的周長為6，方方說有一個矩形的周長為10.你認為圓圓和方方的說法對嗎？為什么？

20.如圖，一次函數y＝kx＋b的圖象分別與反比例函數y＝的圖象在第一象限交于點A(4，3)，與y軸的負半軸交于點B，且OA＝OB.(1)求函數y＝kx＋b和y＝的表達式；

(2)已知點C(0，5)，試在該一次函數圖象上確定一點M，使得MB＝MC.求此時點M的坐標．

21.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于第二、四象限內的A，B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，點B的坐標是(m，－4)，連接AO，AO＝5，sin∠AOC＝.(1)求反比例函數的解析式；

(2)連接OB，求△AOB的面積．

22.(2019·浙江舟山)如圖，在直角坐標系中，已知點B(4，0)，等邊三角形OAB的頂點A在反比例函數y的圖象上．

(1)求反比例函數的表達式．

(2)把△OAB向右平移a個單位長度，對應得到△O＇A＇B＇，當這個函數圖象經過△O＇A＇B＇一邊的中點時，求a的值．

23.(2019·浙江金華)如圖，在平面直角坐標系中，正六邊形ABCDEF的對稱中心P在反比例函數y(k>0，x>0)的圖象上，邊CD在x軸上，點B在y軸上，已知CD=2．

(1)點A是否在該反比例函數的圖象上？請說明理由；

(2)若該反比例函數圖象與DE交于點Q，求點Q的橫坐標；

(3)平移正六邊形ABCDEF，使其一邊的兩個端點恰好都落在該反比例函數的圖象上，試描述平移過程．

24.(2019·山東泰安)已知一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于點A，與x軸交于點B(5，0)，若OB=AB，且S△OAB=．

(1)求反比例函數與一次函數的表達式；

(2)若點P為x軸上一點，△ABP是等腰三角形，求點P的坐標．

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第二十六章

反比例函數

章末鞏固訓練-答案

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】

A、該函數圖象是直線，位于第一、三象限，y隨x的增大而增大，故本選項正確．

B、該函數圖象是直線，位于第二、四象限，y隨x的增大而減小，故本選項錯誤．

C、該函數圖象是雙曲線，位于第一、三象限，在每一象限內，y隨x的增大而減小，故本選項錯誤．

D、該函數圖象是雙曲線，位于第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大，故本選項錯誤．

2.【答案】D　[解析]過B作BD⊥x軸，垂足為D.∵A，C的坐標分別為(0，3)，(3，0)，∴OA=OC=3，∠ACO=45°，∴AC=3.∵AC=2BC，∴BC=.∵∠ACB=90°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=，∴點B的坐標為.∵函數y=(k>0，x>0)的圖象經過點B，∴k==，故選D.3.【答案】A

【解析】本題考查反比例函數的性質．由y＝（k<0），得圖象位于二、四象限，在各個象限內，隨的增大而增大，故選A．

4.【答案】C

【解析】設反比例函數解析式為=,把圖中點（8，6）代入得：k=8×6=48.故選C.5.【答案】D

【解析】∵AB⊥y軸，∴S△OAB=|k|，∴|k|=2，∵k<0，∴k=﹣4．故選D．

6.【答案】B

【解析】由二次函數的圖象確定a、b、c的符號，再確定一次函數和反比例函數圖象的位置．因為拋物線開口向上，說明a＞0；又拋物線與y軸交點位于x軸上方知c＞0；再根據對稱軸x＝－＞0，得到b＜0；從而確定直線y＝ax＋b經過第一、三、四象限，雙曲線y＝位于第一、三象限，因此本題選B．

7.【答案】C　【解析】當k>0時，反比例函數y＝圖象的兩個分支分別位于第一、三象限，直線y＝kx＋k2經過第一、二、三象限，沒有符合題意的選項；當k<0時，反比例函數y＝圖象的兩個分支分別位于第二、四象限，直線y＝kx＋k2經過第一、二、四象限，只有C符合題意.8.【答案】D　【解析】∵DH垂直平分AC，AC＝4，∴AH＝CH＝AC＝×4＝2，CD＝AD＝y.在Rt△ADH中，DH＝＝，在Rt△ABC中，BC＝＝，∵S四邊形ABCD＝S△ACD＋S△ABC，∴(y＋x)·＝×4×＋x·，即y·＝4×，兩邊平方得y2(42－x2)＝16(y2－22)，16y2－x2y2＝16y2－64，∴(xy)2＝64，∵x＞0，y＞0，∴xy＝8，∴y與x的函數關系式為：y＝(0＜x＜4)，故選D.二、填空題

9.【答案】y＝－(答案不唯一)

【解析】∵反比例函數的圖象在每一個象限內y隨x的增大而增大，∴k＜0，∴k可取－2(答案不唯一)．

10.【答案】8　[解析]由得或，∴A的坐標為(2，2)，C的坐標為(-2，-2).∵AD⊥x軸于點D，CB⊥x軸于點B，∴B(-2，0)，D(2，0)，∴BD=4，AD=2，∴四邊形ABCD的面積=AD·BD×2=8.11.【答案】m＜1　【解析】∵在每個象限內，函數值y隨x的增大而增大，∴雙曲線在二、四象限內，∴在函數y＝中，m－1＜0，即m＜1.12.【答案】

【解析】設A(x1，)，B(x2，)，∵直線y＝－2x＋4與y＝交于A，B兩點，∴－2x＋4＝，即－2x2＋4x－k＝0，∴x1＋

x2＝2，x1x2＝，如解圖，過點A作AQ⊥x軸于點Q，BP⊥AQ于點P，則PB∥QC，∴＝＝2，即＝2，∴x2＝3x1，∴x1＝，x2

＝，∴k＝

2x1x2＝.13.【答案】16

【解析】過點C、D作CE⊥x軸，DF⊥x軸，垂足為E、F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，易證△ADF≌△BCE，∵點A（–4，0），D（–1，4），∴DF=CE=4，OF=1，AF=OA–OF=3，在Rt△ADF中，AD=＝5，∴OE=EF–OF=5–1=4，∴C（4，4），∴k=4×4=16，故答案為：16．

14.【答案】2　【解析】由題意可知，D點在反比例函數圖象上，如解圖所示，過點D作DE⊥x軸于點E，作DF⊥y軸于點F，則k＝xD·yD＝DF·DE＝S矩形OEDF，又D為對角線AC中點，所以S矩形OEDF＝S矩形OABC＝2，∴k＝2.15.【答案】10　【解析】如解圖，設AM與x軸交于點C，MB與y軸交于點D，∵點A、B分別在反比例函數y＝上，根據反比例函數k的幾何意義，可得S△ACO＝S△OBD＝×4＝2，∵M(－3，2)，∴S矩形MCOD＝3×2＝6，∴S四邊形MAOB＝S△ACO＋S△OBD＋S矩形MCOD＝2＋2＋6＝10.16.【答案】6+2

【解析】連接OC，AC，過A作AE⊥x軸于點E，延長DA與x軸交于點F，過點D作DG⊥x軸于點G，∵函數y=（k＞3，x＞0）的圖象關于直線AC對稱，∴O、A、C三點在同直線上，且∠COE=45°，∴OE=AE，不妨設OE=AE=a，則A（a，a），∵點A在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，∴a2=3，∴a=，∴AE=OE=，∵∠BAD=30°，∴∠OAF=∠CAD=∠BAD=15°，∵∠OAE=∠AOE=45°，∴∠EAF=30°，∴AF==2，EF=AEtan30°=1，∵AB=AD=2，∴AF=AD=2，又∵AE∥DG，∴EF=EG=1，DG=2AE=2，∴OG=OE+EG=+1，∴D（+1，2），∴k=2×（+1）=6+2．

故答案為：6+2．

三、解答題

17.【答案】

(1)【思路分析】在Rt△AOH中用三角函數求出AH，再用勾股定理求出AO，進而得周長．

解：在Rt△AOH中，tan∠AOH＝，OH＝3，∴AH＝OH·tan∠AOH＝4，(2分)

∴AO＝＝5，∴C△AOH＝AO＋OH＋AH＝5＋3＋4＝12.(4分)

(2)【思路分析】由(1)得出A點坐標，再用待定系數法求出反比例函數解析式，由反比例函數解析式求出B點坐標，最后把A、B點坐標代入一次函數解析式中求出一次函數解析式．

解：由(1)得，A(－4，3)，把A(－4，3)代入反比例函數y＝中，得k＝－12，∴反比例函數解析式為y＝－，(6分)

把B(m，－2)代入反比例函數y＝－中，得m＝6，∴B(6，－2)，(8分)

把A(－4，3)，B(6，－2)代入一次函數y＝ax＋b中，得，∴，∴一次函數的解析式為y＝－x＋1.(10分)

18.【答案】

解:(1)∵點A在反比例函數y=圖象上，∴=4，解得m=1，∴點A的坐標為(1，4).又∵點B也在反比例函數y=圖象上，∴=n，解得n=2，∴點B的坐標為(2，2).∵點A，B在y=kx+b的圖象上，∴，解得

∴一次函數的解析式為y=-2x+6.(2)根據圖象得:kx+b->0時，x的取值范圍為x<0或1

【思維教練】(1)①由題干條件知矩形的面積相等，可得矩形的長×寬等于定值，所以y關于x的函數表達式是反比例函數；②將y的值帶入反比例函數解析式中，求出x的求值范圍即可；(2)設長為x，用含長的代數式表示出寬，得出關于面積的分式方程，化為一元二次方程，再根據根的判別式即可判斷圓圓和方方說法的正誤．

解：(1)①由題意得，1×3＝xy，∴y＝(x>0)；(2分)

②∵由已知y≥3，∴≥3，∴0

(2)圓圓的說法不對，方方的說法對．

理由：∵圓圓的說矩形的周長為6，∴x＋y＝3，∴x＋＝3，化簡得，x2－3x＋3＝0，∴Δ＝(－3)2－4×1×3＝－3<0，方程沒有實數根，所以圓圓的說法不對；(6分)

方方的說矩形的周長為10，∴x＋y＝5，∴x＋＝5，化簡得，x2－5x＋3＝0，(8分)

∴Δ＝(－5)2－4×1×3＝13>0，∴x＝，∵x>0，∴x＝，y＝，所以方方的說法對．(10分)

20.【答案】

(1)【思路分析】由點A的坐標和OA＝OB可得點B的坐標，用待定系數法即可求出一次函數的解析式；將點A的坐標代入反比例函數解析式中即可求出反比例函數的解析式．

解：∵點A(4，3)，∴OA＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴B(0，－5)，將點A(4,3)，點B(0,－5)代入函數y＝kx＋b得，解得，(2分)

∴一次函數的解析式為y＝2x－5，將點A(4,3)代入y＝得，3＝，∴a＝12，∴反比例函數的解析式為y＝，∴所求函數表達式分別為y＝2x－5和y＝.(4分)

(2)【思路分析】由題意可知，使MB＝MC的點在線段BC的垂直平分線上，故求出線段BC的垂直平分線和一次函數的交點即可．

解：如解圖，∵點B的坐標為(0,－5)，點C的坐標為(0,5)，解圖

∴x軸是線段BC的垂直平分線，∵MB＝MC，∴點M在x軸上，又∵點M在一次函數圖象上，∴點M為一次函數的圖象與x軸的交點，如解圖所示，令2x－5＝0，解得x＝，(6分)

∴此時點M的坐標為(，0)．(8分)

21.【答案】

(1)【思路分析】如解圖，過點A作AE⊥x軸于點E，由三角函數求出點A坐標，再用待定系數法求出反比例函數的解析式便可．

解：如解圖過點A作AE⊥x軸于點E，∵OA＝5，sin∠AOC＝，∴AE＝OA·sin∠AOC＝5×＝3，OE＝＝4，∴A(－4，3)，(3分)

設反比例函數的解析式為y＝(k≠0)，把A(－4，3)代入解析式，得k＝－12，∴反比例函數的解析式為y＝－.(5分)

(2)【思路分析】先把B點坐標代入所求出的反比例函數解析式，求出m的值，進而求出直線AB的解析式，再求出點D的坐標，便可求△AOD與△BOD的面積之和，即△AOB的面積．

解：把B(m，－4)代入y＝－中，得m＝3，∴B(3，－4)．

設直線AB的解析式為y＝kx＋b，把A(－4，3)和B(3，－4)代入得，解得，(7分)

∴直線AB的解析式為y＝－x－1，(8分)

則AB與y軸的交點D(0，－1)，∴S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝×1×4＋×1×3＝3.5.(10分)

22.【答案】

(1)反比例函數的解析式為y；(2)a的值為1或3．

【解析】(1)如圖1，過點A作AC⊥OB于點C，∵△OAB是等邊三角形，∴∠AOB=60°，OCOB，∵B(4，0)，∴OB=OA=4，∴OC=2，AC=2．

把點A(2，2)代入y，解得k=4．

∴反比例函數的解析式為y；

(2)分兩種情況討論：

①當點D是A′B′的中點，如圖2，過點D作DE⊥x軸于點E．

由題意得A′B′=4，∠A′B′E=60°，在Rt△DEB′中，B′D=2，DE=，B′E=1．

∴O′E=3，把y代入y，得x=4，∴OE=4，∴a=OO′=1；

②如圖3，點F是A′O′的中點，過點F作FH⊥x軸于點H．

由題意得A′O′=4，∠A′O′B′=60°，在Rt△FO′H中，FH，O′H=1．

把y代入y，得x=4，∴OH=4，∴a=OO′=3，綜上所述，a的值為1或3．

23.【答案】

(1)點A在該反比例函數的圖象上，理由見解析；(2)Q點橫坐標為；

【解析】(1)點A在該反比例函數的圖象上，理由如下：

如圖，過點P作x軸垂線PG，連接BP，∵P是正六邊形ABCDEF的對稱中心，CD=2，∴BP=2，G是CD的中點，∴PG，∴P(2，)，∵P在反比例函數y上，∴k=2，∴y，由正六邊形的性質，A(1，2)，∴點A在反比例函數圖象上；

(2)由題易得點D的坐標為(3，0)，點E的坐標為(4，)，設直線DE的解析式為y=ax+b，∴，∴，∴yx﹣3，聯立方程，解得x(負值已舍)，∴Q點橫坐標為；

(3)A(1，2)，B(0，)，C(1，0)，D(3，0)，E(4，)，F(3，2)，設正六邊形向左平移m個單位，向上平移n個單位，則平移后點的坐標分別為

∴A(1﹣m，2n)，B(﹣m，n)，C(1﹣m，n)，D(3﹣m，n)，E(4﹣m，n)，F(3﹣m，2n)，①將正六邊形向左平移兩個單位后，E(2，)，F(1，2)；

則點E與F都在反比例函數圖象上；

②將正六邊形向左平移–1個單位，再向上平移個單位后，C(2，)，B(1，2)，則點B與C都在反比例函數圖象上；

③將正六邊形向左平移2個單位，再向上平移–2個單位后，B(﹣2，)，C(﹣1，﹣2)；

則點B與C都在反比例函數圖象上．

24.【答案】

(1)如圖1，過點A作AD⊥x軸于D，∵B(5，0)，∴OB=5，∵S△OAB=，∴×5×AD=，∴AD=3，∵OB=AB，∴AB=5，在Rt△ADB中，BD==4，∴OD=OB+BD=9，∴A(9，3)，將點A坐標代入反比例函數y=中得，m=9×3=27，∴反比例函數的解析式為y=，將點A(9，3)，B(5，0)代入直線y=kx+b中，∴，∴直線AB的解析式為y=x﹣；

(2)由(1)知，AB=5，∵△ABP是等腰三角形，∴①當AB=PB時，∴PB=5，∴P(0，0)或(10，0)，②當AB=AP時，如圖2，由(1)知，BD=4，易知，點P與點B關于AD對稱，∴DP=BD=4，∴OP=5+4+4=13，∴P(13，0)，③當PB=AP時，設P(a，0)，∵A(9，3)，B(5，0)，∴AP2=(9﹣a)2+9，BP2=(5﹣a)2，∴(9﹣a)2+9=(5﹣a)2，∴a=，∴P(，0)，即：滿足條件的點P的坐標為(0，0)或(10，0)或(13，0)或(，0)．