人教版

九年級數學

第二十八章

銳角三角函數

章末鞏固訓練

一、選擇題

1.如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P，A間的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上一點C，測得PC＝100米，∠PCA＝35°，則小河寬PA等于()

A．100sin35°米

B．100sin55°米

C．100tan35°米

D．100tan55°米

2.一個公共房門前的臺階高出地面1.2米，臺階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數據如圖所示，則下列關系或說法正確的是()

A.斜坡AB的坡度是10°

B.斜坡AB的坡度是tan10°

C.AC＝1.2tan10°

米

D.AB＝

米

3.(2019?湖南湘西州)如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分線EF交AC于點D，連接BD，若cos∠BDC=，則BC的長是

A．10

B．8

C．4

D．2

4.（2020·揚州）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A、B、C都在格點上，以AB為直徑的圓經過點C、D.則sin∠ADC的值為

（）

A.B.C.D.5.在課題學習后，同學們想為教室窗戶設計一個遮陽篷，小明同學繪制的設計圖如圖所示，其中AB表示窗戶，且AB＝2.82米，△BCD表示直角遮陽篷，已知當地一年中午時的太陽光與水平線CD的最小夾角α為18°，最大夾角β為66°，根據以上數據，計算出遮陽篷中CD的長約是(結果保留小數點后一位．參考數據：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)()

A．1.2米

B．1.5米

C．1.9米

D．2.5米

6.（2020·咸寧）如圖，在矩形中，，E是的中點，將沿直線翻折，點B落在點F處，連結，則的值為（）

A.B.C.D.7.如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公大樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i＝1∶，則大樓AB的高度約為(精確到0.1米，參考數據：≈1.41，≈1.73，≈2.45)()

A.30.6

B.32.1

C.37.9

D.39.4

8.(2019·浙江杭州)如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊(OC⊥OB，點A，B，C，D，O在同一平面內)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，則點A到OC的距離等于

A．asinx+bsinx

B．acosx+bcosx

C．asinx+bcosx

D．acosx+bsinx

二、填空題

9.如圖，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，則AC的長為________．

10.齊河路路通電動車廠新開發的一種電動車如圖，它的大燈A射出的邊緣光線AB，AC與地面MN所夾的銳角分別為8°和10°，大燈A與地面的距離為1

m，則該車大燈照亮的寬度BC是________m．(不考慮其他因素，參考數據：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)

11.某電動車廠新開發的一種電動車如圖7所示，它的大燈A射出的光線AB，AC與地面MN所夾的銳角分別為8°和10°，大燈A與地面的距離為1

m，則該車大燈照亮地面的寬度BC約是________m．(不考慮其他因素，結果保留小數點后一位．參考數據：sin8°≈0.14，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18)

12.如圖，一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔18海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處，此時漁船與燈塔P的距離約為________海里．(結果取整數．參考數據：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)

13.如圖，在一次數學課外實踐活動中，小聰在距離旗桿10

m的A處測得旗桿頂端B的仰角為60°，測角儀高AD為1

m，則旗桿高BC為__________m．(結果保留根號)

14.(2019?江蘇宿遷)如圖，∠MAN=60°，若△ABC的頂點B在射線AM上，且AB=2，點C在射線AN上運動，當△ABC是銳角三角形時，BC的取值范圍是__________．

15.（2020·杭州）如圖，已知AB是的直徑，BC與相切于點B，連接AC，OC．若，則________．

16.【題目】（2020·哈爾濱）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，AD＝，CD＝1,則BC的長為

.三、解答題

17.某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1，為了方便行人推車過天橋，有關部門決定降低坡度，使新坡面AC的坡度為1∶.(1)求新坡面的坡角α；

(2)天橋底部的正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否需要拆除？請說明理由．

18.閱讀理解我們知道，直角三角形的邊角關系可用三角函數來描述，那么在任意三角形中，邊角之間是否也存在某種關系呢？如圖K－19－12，在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所對的邊分別為a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)，過點C作CD⊥AB于點D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD＝c－bcosA.在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(注：上述三個公式對直角三角形和鈍角三角形也成立，推理過程同上)

利用上述結論解答下列問題：

(1)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2，c＝2，求a的長和∠C的度數；

(2)在△ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的長．

19.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線分別交邊AB，BC于點D，E，連接AE.(1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度數；

(2)如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．

20.如圖，AD是△ABC的中線，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：(1)BC的長；

(2)sin∠ADC的值.21.如圖，某無人機于空中A處探測到目標B，D，從無人機A上看目標B，D的俯角分別為30°，60°，此時無人機的飛行高度AC為

m，隨后無人機從A處繼續水平飛行30

m到達A′處．

(1)求A，B之間的距離；

(2)求從無人機A′上看目標D的俯角的正切值．

22.數學建模某工廠生產某種多功能兒童車，根據需要可變形為如圖12①所示的滑板車(示意圖)或圖②的自行車(示意圖)，已知前后車輪半徑相同，AD＝BD＝DE＝30

cm，CE＝40

cm，∠ABC＝53°，圖①中B，E，C三點共線，圖②中的座板DE與地面保持平行，則圖①變形到圖②后兩軸心BC的長度有沒有發生變化？若不變，請寫出BC的長度；若變化，請求出變化量．(參考數據：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)

23.(2019?銅仁)如圖，A、B兩個小島相距10km，一架直升飛機由B島飛往A島，其飛行高度一直保持在海平面以上的hkm，當直升機飛到P處時，由P處測得B島和A島的俯角分別是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一點M都在同一個平面上，且M位于P的正下方，求h(結果取整數，≈1.732)

24.閱讀材料：關于三角函數還有如下的公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ　　　tan(α±β)＝

利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值，例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋

根據以上閱讀材料，請選擇適當的公式計算下列問題：

(1)計算sin15°；

(2)某校在開展愛國主義教育活動中，來到烈士紀念碑前緬懷和紀念為國捐軀的紅軍戰士．李三同學想用所學知識來測量如圖紀念碑的高度，已知李三站在離紀念碑底7米的C處，在D點測得紀念碑碑頂的仰角為75°，DC為

米，請你幫助李三求出紀念碑的高度．

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九年級數學

第二十八章

銳角三角函數

章末鞏固訓練-答案

一、選擇題

1.【答案】C　[解析]

∵PA⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(米)．

故選C.2.【答案】

B　【解析】∵斜坡AB的坡角是10°，∴選項A是錯誤的；∵坡度＝坡比＝坡角的正切，∴選項B是正確的；∵AC＝

米，∴選項C是錯誤的；∵AB＝

米，∴選項D是錯誤的．

3.【答案】D

【解析】∵∠C=90°，cos∠BDC=，設CD=5x，BD=7x，∴BC=2x，∵AB的垂直平分線EF交AC于點D，∴AD=BD=7x，∴AC=12x，∵AC=12，∴x=1，∴BC=2；故選D．

4.【答案】

B

【解析】本題考查了銳角三角函數的定義和圓周角的知識，解答本題的關鍵是利用圓周角定理把求∠ADC的正弦值轉化成求∠ABC的正弦值.連接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所對的弧長都是，∴根據圓周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根據銳角三角函數的定義知，sin∠ABC，∵AC＝2，CB＝3，∴AB，∴sin∠ABC，∴∠ADC的正弦值等于，因此本題選B．

5.【答案】B　[解析]

設CD的長為x米．在Rt△BCD中，∠BDC＝α＝18°.∵tan∠BDC＝，∴BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x.在Rt△ACD中，∠ADC＝β＝66°.∵tan∠ADC＝，∴AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x.∵AB＝AC－BC，∴2.82≈2.25x－0.32x，解得x≈1.5.6.【答案】C

【解析】本題考查了余弦的定義、等腰三角形的性質上、矩形的性質和折疊的性質，由折疊可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵點E是BC中點，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，因此本題選C．

7.【答案】D　【解析】如解圖，設AB與DC的延長線交于點G，過點E作EF⊥AB于點F，過點B作BH⊥ED于點H，則可得四邊形GDEF為矩形．在Rt△BCG中，∵BC＝12，iBC＝＝，∴∠BCG＝30°，∴BG＝6，CG＝6，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6≈39.4(米)．

8.【答案】D

【解析】如圖，過點A作AE⊥OC于點E，作AF⊥OB于點F，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a?cosx+b?sinx，故選D．

二、填空題

9.【答案】2　[解析]

過點A作AD⊥BC，垂足為D，如圖所示．

設AC＝x，則AB＝x.在Rt△ACD中，AD＝AC·sinC＝x，CD＝AC·cosC＝x.在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝x.∴BC＝BD＋CD＝x＋x＝＋，∴x＝2.10.【答案】1.4　【解析】如解圖，作AD⊥MN于點D，由題意得，AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝7

m，CD＝＝＝＝5.6

m，∴BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4

m.11.【答案】1.6　[解析]

如圖，過點A作AD⊥MN于點D.由題意可得AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝90°，∴BD＝≈，CD＝≈，∴BC＝BD－CD≈1.6(m)．

12.【答案】11　【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝PA＝9海里．∵∠B＝55°，sinB＝，∴0.8＝，∴PB≈11海里．

13.【答案】10＋1　【解析】如解圖，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，則AE＝CD＝10

m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×＝10

m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10＋1)m.14.【答案】

【解析】如圖，過點B作BC1⊥AN，垂足為C1，BC2⊥AM，交AN于點C2，在Rt△ABC1中，AB=2，∠A=60°，∴∠ABC1=30°，∴AC1=AB=1，由勾股定理得：BC1=，在Rt△ABC2中，AB=2，∠A=60°，∴∠AC2B=30°，∴AC2=4，由勾股定理得：BC2=2，當△ABC是銳角三角形時，點C在C1C2上移動，此時

15.【答案】

【解析】本題考查了銳角三角函數的意義，切線的性質，因為BC與⊙O相切于點B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因為sin∠BAC＝，所以＝．設BC＝x，則AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直徑AB＝＝＝，所以半徑OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本題答案為．

16.【答案】5或7

【解析】本題考查了特殊三角函數，三角形的高，因為鈍銳三角形的高的不同，此題有兩種情況，①點D在BC延長線上，在△ABD中

tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD－

CD＝6－1＝5；②點D在BC上，在△ABD中

tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD＋

CD＝6＋1＝7，因此本題答案為5或7．

三、解答題

17.【答案】

解：(1)∵新坡面AC的坡度為1∶，∴tanα＝＝，∴α＝30°.(2分)

答：新坡面的坡角α的度數為30°.(3分)

(2)原天橋底部正前方8米處的文化墻PM不需要拆除．

理由如下：

如解圖所示，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，∵坡面BC的坡度為1∶1，∴BD＝CD＝6米，(4分)

∵新坡面AC的坡度為1∶，∴CD∶AD＝1∶，∴AD＝6米，(6分)

∴AB＝AD－BD＝(6－6)米＜8米，故正前方的文化墻PM不需拆除．

答：原天橋底部正前方8米處的文化墻PM不需要拆除．(7分)

18.【答案】

[解析]

(1)根據給出的公式，把已知條件代入計算，求出a的長，根據勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可得到答案；

(2)把數據代入相應的公式，得到關于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．

解：(1)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2)2＋22－2×2

×2×＝4，則a＝2(負值已舍)．

∵22＋22＝(2)2，即a2＋c2＝b2，∴△ABC為直角三角形．

又∵a＝c＝2，∴∠C＝45°.(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，a＝，b＝，cosB＝cos45°＝，∴c2－c＋1＝0，解得c＝.∵c＞a＞b，∴c＝.19.【答案】

解：(1)∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝25°.又∵∠C＝90°，∴∠CAE＝90°－25°－25°＝40°.(2)∵∠C＝90°，∴sin∠CAE＝＝.∵CE＝2，∴AE＝3，∴AC＝.∵EA＝EB＝3，∴BC＝5，∴tanB＝＝.20.【答案】

[解析]

(1)過點A作AE⊥BC于點E，根據cosC＝，求出∠C＝45°，根據AC＝，求出AE＝CE＝1，根據tanB＝，求出BE的長；

(2)根據AD是△ABC的中線，求出CD的長，得到DE的長，進而求得sin∠ADC的值．

解：(1)如圖，過點A作AE⊥BC于點E.∵cosC＝，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝×＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.(2)∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD＝2，∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝.21.【答案】

解：(1)如解圖，過點D作DE⊥AA′于點E，由題意得，AA′∥BC，∴∠B＝∠FAB＝30°，(2分)

又∵AC＝60

m，在Rt△ABC中，sinB＝，即＝，∴AB＝120

m.答：A，B之間的距離為120

m．(4分)

(2)如解圖，連接A′D，作A′E⊥BC交BC延長線于E，∵AA′∥BC，∠ACB＝90°，∴∠A′AC＝90°，(5分)

∴四邊形AA′EC為矩形，∴A′E＝AC＝60

m，又∵∠ADC＝∠FAD＝60°，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝，即＝，∴CD＝20

m，(8分)

∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝30＋20＝50

m，(10分)

∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝＝＝，答：從無人機A′上看目標D的俯角的正切值為.(12分)

22.【答案】

解：圖①變形到圖②后兩軸心BC的長度發生了變化．

如圖①，過點D作DF⊥BE于點F，則BE＝2BF.由題意知BD＝DE＝30

cm，∴BF＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，∴BE＝2BF≈36(cm)，則BC＝BE＋CE≈76(cm)．

如圖②，過點D作DM⊥BC于點M，過點E作EN⊥BC于點N，則四邊形DENM是矩形，∴MN＝DE＝30

cm，EN＝DM.在Rt△DBM中，BM＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，DM＝BD·sin∠ABC≈30×＝24(cm)，∴EN≈24

cm.在Rt△CEN中，∵CE＝40

cm，∴CN≈32

cm，則BC≈18＋30＋32＝80(cm)．

80-76＝4(cm)．

故圖①變形到圖②后兩軸心BC的長度發生了改變，增加了約4

cm.23.【答案】

由題意得，∠A=30°，∠B=45°，AB=10km，在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA==，tanB==1，∴AM==h，BM=h，∵AM+BM=AB=10，∴h+h=10，解得h=15–5≈6．

答：h約為6km．

24.【答案】

解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)(2分)

＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(3分)

＝×－×

＝.(4分)

(2)在Rt△BDE中，∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，tan∠BDE＝，即tan75°＝＝2＋，(5分)

∴

BE＝14＋7，(6分)

又∵AE＝DC＝，∴AB＝BE＋AE＝14＋7＋＝14＋8(米)，(7分)

答：紀念碑的高度是(14＋8)米．(8分)