等差數列計算題

知識點撥

等差數列的相關公式

(1)三個重要的公式

①

通項公式：遞增數列：末項首項(項數)公差，遞減數列：末項首項(項數)公差，回憶講解這個公式的時候可以結合具體數列或者原來學的植樹問題的思想，讓學生明白

末項其實就是首項加上(末項與首項的)間隔個公差個數，或者從找規律的情況入手．同時還可延伸出來這樣一個有用的公式：，②

項數公式：項數(末項首項)公差+1

由通項公式可以得到：

(若)；

(若)．

找項數還有一種配組的方法，其中運用的思想我們是常常用到的．

譬如：找找下面數列的項數：4、7、10、13、、40、43、46，分析：配組：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3，那么每組有3個數，我們數列中的數都在每組的第1位，所以46應在最后一組第1位，4到48有項，每組3個數，所以共組，原數列有15組．

當然還可以有其他的配組方法．

③

求和公式：和=(首項末項)項數÷2

對于這個公式的得到可以從兩個方面入手：

(思路1)

(思路2)這道題目，還可以這樣理解：

即，和

(2)

中項定理：對于任意一個項數為奇數的等差數列，中間一項的值等于所有項的平均數，也等于首項與末項和的一半；或者換句話說，各項和等于中間項乘以項數．

譬如：①，題中的等差數列有9項，中間一項即第5項的值是20，而和恰等于；

②，題中的等差數列有33項，中間一項即第17項的值是33，而和恰等于．

例題精講

【例

1】

用等差數列的求和公式會計算下面各題嗎？

⑴

⑵

⑶

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

⑴根據例1的結果知：算式中的等差數列一共有76項，所以：

⑵算式中的等差數列一共有50項，所以：

⑶算式中的等差數列一共有15項，所以：

【答案】⑴

⑵

⑶

【鞏固】

1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】希望杯，四年級，二試

【解析】

1+2+3+…+n+…+3+2+1=n×n，所以原式=10×10=100

【答案】

【鞏固】1966、1976、1986、1996、2006這五個數的總和是多少?

【考點】等差數列計算題

【難度】1星

【題型】計算

【關鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

1986是這五個數的平均數，所以和＝1986×5＝9930。

【答案】

【鞏固】

計算：110＋111＋112＋…＋126＝

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】走美杯，四年級，初賽

【解析】

原式

【答案】

【鞏固】

計算下面結果．

⑴

⑵

⑶

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

根據剛剛學過的求項數以及求和公式，項數(末項首項)公差

等差數列的和（首項＋末項）項數

⑴項數：；

和：

⑵項數：；和：

⑶項數：；和：

【答案】⑴

⑵

⑶

【鞏固】

用等差數列的求和公式會計算下面各題嗎？

⑴

⑵

⑶

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

（1）算式中的等差數列一共有76項，所以：

（2）算式中的等差數列一共有50項，所以：

（3）算式中的等差數列一共有15項，所以：

【答案】（1）

（2）

（3）

【鞏固】

計算下列一組數的和：105，110，115，120，…，195，200

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

根據等差數列求和公式，必須知道首項、末項和項數，這里首項是105，末項是200，但項數不知道．若利用，可有

據此可先求出項數，再求數列的和．

解：數列的項數

．

故數列的和是：

【答案】

【鞏固】

聰明的小朋友們，一下吧．

⑴

⑵

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

根據剛剛學過的求項數以及求和公式，項數(末項首項)公差

等差數列的和（首項＋末項）項數

⑴項數：；

和：；

⑵項數：；和：．

【答案】⑴

⑵

【鞏固】

巧算下題：

⑴

⑵

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

⑴原式

⑵這一串加數可以組成首項為1、末項為1999，公差為2的等差數列，項數，原式

【答案】⑴

⑵

【鞏固】

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】走美杯，四年級，初賽

【解析】

觀察原式可知，1、2、3…2007分別可與2007、2006、2005…1組成2008，于是括號中有2008個2008，故原式結果為2008。

【答案】

【鞏固】

__________

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

根據中項定理知:

2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008×7,所以原式=

2008×7÷2008=7

【答案】

【鞏固】

計算：1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50=

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

原式=

【答案】

【例

2】

計算：

⑴

⑵

⑶

【考點】等差數列計算題

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

⑴（方法一）第一個數列的項數1000，第二個數列的項數為999，利用求和公式得：

．

（方法二）第一個括號內共有1000個數，第二個括號內有999個數．把1除外，第一個括號內的各數依次比第二個括號里相應的數大1，因此可簡捷求和．

原式(共1000個1)

⑵通過觀察可知，題目中的減數可以組成等差數列，所以，可先求這些減數的和，再從被減數中減去這個和．

．當一個數連續減去幾個數，這些減數能組成等差數列時，可以先求這些減數的和，再從被減數中減去這個和．

⑶

【答案】⑴

⑵

⑶

【鞏固】

計算

【考點】等差數列計算題

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

根據求項數公式可知兩個括號內的算式都各有994項

原式

【答案】

【鞏固】

計算：

【考點】等差數列計算題

【難度】3星

【題型】計算

【關鍵詞】走美杯，3年級，決賽

【解析】

找規律并分組計算如下：

【答案】

【鞏固】

計算：⑴

⑵；

⑶

．

⑷

【考點】等差數列計算題

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

⑴

和式，中的項成等差數列，從而可能想到先求和，再

做減法．這樣做，很自然，也比較簡便，有其他更為簡便的解法嗎?再看題，你會冒出一個好想法：運用加減運算性質先做減法：，，，它們的差都等于1，然后，計算等于1的差數有多少個．由于題中1至100的全部偶數之和作為被減數，奇數之和為減數，所以，相鄰的奇偶數相減(以大減小)，共得50個差數1，從而，原式．

⑵

以把這個數列拆分為兩個數列和，對

它們分別求和：原式；

⑶

本題也可以按照上題的方法做，但還有更簡便的辦法，把式子中的減法都計算出來可以得到下式：．

這是和的組合，分別計算結果即可：

原式

⑷

原式

【答案】⑴

⑵

⑶

⑷

【鞏固】

計算：

【考點】等差數列計算題

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

方法一：讓學生用等差數列求和公式分別計算前后兩部分，然后講方法二，這樣可以讓學生體會

觀察數列規律，動腦思考的重要性．

原式

方法二：把括號去掉，兩兩結合，簡便計算．

原式

【答案】

【鞏固】

計算：．

【考點】等差數列計算題

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

方法一：等差數列求和．

原式．

方法二：把括號去掉，兩兩結合，簡便計算．

原式．

【答案】

【鞏固】

計算：

．

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【解析】

方法一：原式

方法二：原式

方法三：，觀察到這一點就好辦了，改變原來的運算順序不難發現每兩個數放在一起就是2，就等于說每一個數都看成1就行了，原式有2008項，所以最后答案就是2008．（讓學生體會觀察數列規律動腦思考的重要性．）

【答案】

【鞏固】

計算：．

【考點】等差數列計算題

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

原式

【答案】

【例

3】

計算：

．

【考點】等差數列計算題

【難度】2星

【題型】計算

【關鍵詞】第十三屆，迎春杯，試題

【解析】

原式

【答案】

【例

4】

計算______

【考點】等差數列計算題

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

原式

【答案】

【鞏固】

⑴計算

⑵以質數71做分母的最簡真分數有求這列數的和

⑶計算：

【考點】等差數列計算題

【難度】3星

【題型】計算

【解析】

⑴這是一個等差數列，根據等差數列求和公式計算得：

⑵方法一：將這列數的分子從左往右排起來是1，2，3，4…69，70．可以發現這是一個等差數列，首項是1，末項是70，項數是70．我們可以用等差數列求和公式“和(首項末項)項數”求出分子相加的和，再求出以質數71做分母的最簡真分數的和．

方法二：將這列數排列起來，可以發現：

第二項比第一項多，第三項比第二項多，第四項比第三項多，…………

因此，可以直接使用等差數列求和公式求和．

⑶帶分數加法，我們先計算整數部分，再計算分數部分，認真觀察我們發現整數部分和分數部分都可以利用等差數列求和公式進行計算.【答案】⑴

⑵

⑶