第一篇：三年級奧數等差數列求和教學設計

《等差數列求和》教學設計

【教學目標】：

1、通過學習，初步建立配對求和的邏輯推理，簡便計算的能力。

2、培養學生的觀察和思考的能力。

3、學習本課知識有助于養成全面地，由淺入深、由簡到繁觀察思考問題的良好習慣。【教學重點】

用配對求和的簡便方法解決問題，推導等差數列的求和公式。【教學難點】

等差數列求和公式的推導。【教學過程】

一、激趣引入

老師：同學們，如果，我說的是如果。你們第一次來上課老師獎勵你們沒人一塊錢，第二次獎勵兩塊，第三次獎勵三塊，??請問，到第10次課后，你們每人得到了多少錢？（學生在草稿紙上計算，老師板書；1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）老師：你們有什么簡便的方法計算出這個式子的結果嗎？ 學生：湊十法！老師：怎么湊？

學生：1+9，2+8，3+7，4+6。

老師：很好，湊十法也能夠很快算出結果。不過，湊十法也有缺陷，你們看，用湊十法最后還剩下走不到伴的數。大家想想，還有什么辦法計算？（學生思考，討論。）老師：請同學來回答。

學生：第一個數和最后一個數相加，第二個數和倒數第二個數相加??

老師：這位同學觀察很仔細。1加上10等于11，2加上9等于11??這里面十個數剛好分為了5組，每組的和都是11.。所以我們也可以這樣來計算這個式子的和。（板書：

（小結：在這里，我們使用了一種簡便的計算方法：配對求和。即先配對再求和。）

二、講授新課

老師：如果，還是如果。老師愛心泛濫，繼續獎勵你們money。請問，第一百天后，你們每人得到多少錢呢？

（板書：例題一＋ 2 ＋ 3 ＋ 4＋ ? ＋ 98 ＋ 99 ＋ 100）

老師：這個式子又該怎樣計算呢？就用剛才老師教的配對求和的方法。誰和誰配對呢？ 學生：1和100，2和99，3和98??（副板書：

老師：總共有多少對呢？ 學生：50對。

老師：沒錯，一百個數，兩個數一對，可以分為100除以2等于50對。所以在這道題中，我們也可以這樣計算。（板書：

老師：1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＋100。這是一個自然數列，它們有著這樣的規律。從第二項起每一項與它前面一項的差都相等，這樣的數列叫做等差數列。后項與前項的差叫該數列的公差。我們把數列的第一項叫首項，最后一項叫末項。

等差數列的求和，我們可以根據剛才的計算的兩個式子總結出一道公式。大家說是什么？ 學生：總和=（首項＋ 末項）×項數÷2 板書：總和=（首項＋ 末項）×項數÷2）

老師：使用這個公式要注意，首先要判斷這個數列是不是等差數列。（怎么判段？）首項、末項和項數（項數怎么求？）下面我們看例題二。（板書：例題2 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20）老師：這個式子能不能用公式進行求和？ 學生：可以。

老師：好，請一個同學說一下他是怎么做的。學生A：2加20的和乘以7除以2.結果等于77.老師：非常好，現學現用。其他同學有什么問題嗎。用些同學可能會有疑問，這里面只有七個數，不夠分對啊，還剩下一個光棍呢？這個公式還能不能呢？大家說能不能？ 學生：能！

老師：我們一起來驗算一下。（副板書：

老師：兩次計算的結果一樣吧！說明這個公式是正確的。

老師：這個公式看似很簡單，只要一套數字就行了。但是在實際應用中并沒那么簡單，請看例題三。

（學生讀題：小紅讀一本長篇小說，第一天讀了30頁，從第二天起，每天讀的頁數都比前一天多4頁，最后一天讀了70頁，剛好讀完。問：這本小說共有多少頁？）

老師：這道題求這本小說共有多少頁。因為每天讀“每天讀的頁數都比前一天多4頁”，第一天30頁，第二天34頁，第三天38頁??最后一天看了70頁。我們要求這本小說共有多少頁，只要把每天看的頁數加起來就行了。可是，我們要一個個加起來嗎？ 學生：不用。

老師：不用。小紅每天看的頁數構成了一個等差數列。我們可以用公式計算。大家看一下這個公式里還有什么不知道？ 學生：項數。

老師：其實天數就是項數。看了多少天，就有多少項。那要怎么求項數呢？（副板書：

（學生觀察并思考。）

學生：項數就等于70減去30的差除以4。老師：就這樣了嗎。學生：還要加上1.老師：很好。（板書：

（小結：在這里，我們來小結一下求項數的公式：項數=(末項－首項)÷公差＋1）

老師：在這里，我改一下題目，把“最后一天讀了70頁”改為“第十一天剛好讀完。問這本書共有多少頁？怎么算呢。（學生思考討論。）學生：還是用等差數列求和公式。老師：這個公式里面還有哪個量不知道？ 學生：末項。老師：怎么求？（副板書：

（小結：在這里，我們來小結一下求末項的公式： 末項=首項＋(項數-1)×公差）

三、完成課堂練習。

學生完成講義上的課堂練習。

四、布置作業。

五、課后總結。等差數列相關公式： 總和=(首項＋末項)×項數÷2 項數=(末項－首項)÷公差＋1 末項=首項＋(項數-1)×公差

六、板書設計（附后）

七、課后反思。

第二篇：三年級奧數等差數列求和習題及答案

計算

（三）等差數列求和

知識精講

一、定義：一個數列的前n項的和為這個數列的和。

二、表達方式：常用Sn來表示。

三：求和公式：和?(首項?末項)?項數?2，sn?(a1?an)?n?2。

對于這個公式的得到可以從兩個方面入手：

(思路1)1?2?3???98?99?100

?101?50?5050

?（1?100）?（2?99）?（3?98）???（50?51）???????????????????共50個101(思路2)這道題目，還可以這樣理解：

和=1?2?3?4???98?99?100+和?100?99?98?97???3?2?1 2倍和?101?101?101?101???101?101?101?101?50?5050。即，和?(100?1)?100?

2四、中項定理：對于任意一個項數為奇數的等差數列，中間一項的值等于所有項的平均數，也等于首項與末項和的一半；或者換句話說，各項和等于中間項乘以項數。

（4?36）?9?2?20?9?1800，譬如：① 4?8?12???32?36?題中的等差數列有9項，中間一項即第5項的值是20，而和恰等于20?9；

（1?65）?33?2?33?33?1089，② 65?63?61???5?3?1?題中的等差數列有33項，中間一項即第17項的值是33，而和恰等于33?33。

例題精講： 例1：求和：

（1）1+2+3+4+5+6 =（2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋?＋85= 分析：弄清楚一個數列的首項，末項和公差，從而先根據項數公式求項數，再根據求和公式求和。

例如（3）式項數=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21（2）36（3）1247

例2：求下列各等差數列的和。

（1）1+2+3+4+?+199（2）2+4+6+?+78（3）3+7+11+15+?+207 分析：弄清楚一個數列的首項，末項和公差，從而先根據項數公式求項數，再根據求和公式求和。

例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900 答案：（1）19900（2）1160（3）5355

例3：一個等差數列2，4，6，8，10，12，14，這個數列的和是多少？

分析：根據中項定理，這個數列一共有7項，各項的和等于中間項乘以項數，即為：8?7?56

答案：56

例4：求1+5+9+13+17??+401該數列的和是多少。

分析：這個數列的首項是1，末項是401，項數是（401-1）÷4+1=101，所以根據求和公式，可有：

和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301

例5：有一串自然數2、5、8、11、??，問這一串自然數中前61個數的和是多少？

分析：即求首項是2，公差是3，項數是61的等差數列的和，根據末項公式：末項=2+（61-1）×3=182 根據求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612 答案：5612

例6：把自然數依次排成“三角形陣”，如圖。第一排1個數；第二排3個數；第三排5個數；?

求：

（1）第十二排第一個數是幾？最后一個數是幾？

（2）207排在第幾排第幾個數？

（3）第13排各數的和是多少？

分析：整體看就是自然數列，每排的個數的規律是1,3,5，7...即為奇數數列 若排數為n（n≥2de 自然數)，則這排之前的數共有（n-1）（n-1)個。

（1）第十二排共有23個數。前面共有（1+21）×11÷2=121個數，所以第十二排的第一個數為122，最后一個數為122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196個數，前十五排共有225個數，所以207在第十五排，第十五排的第一個數是197，所以207是第（207-197=10）個數

（3）前十二排共有144個數，所以第十三排的第一個數是145，而第十三排共有25個數，所以最后一個數是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925 答案：（1）122；144（2）第十五排第10個數（3）3925

例7：15個連續奇數的和是1995，其中最大的奇數是多少？

分析：由中項定理，中間的數即第8個數為：1995?15?133，（15?8）?147。所以這個數列最大的奇數即第15個數是：133?2?答案：147。

例8：把210拆成7個自然數的和，使這7個數從小到大排成一行后，相鄰兩個數的差都是5，那么，第1個數與第6個數分別是多少？ 分析：由題可知：由210拆成的7個數必構成等差數列，則中間一個數為210÷7=30，所以，這7個數分別是15、20、25、30、35、40、45。

即第1個數是15，第6個數是40。答案：第1個數：15；第6個數：40。

例9：已知等差數列15，19，23，……443，求這個數列的奇數項之和與偶數項之和的差是多少？

分析：公差=19-15=4 項數=（443-15）÷4+1=108 倒數第二項=443-4=439 奇數項組成的數列為：15，23，31??439，公差為8，和為（15+439）×54÷2=12258 偶數項組成的數列為：19，27，35??443，公差為8，和為（19+443）×54÷2=12474 差為12474-12258=216 答案：216

例10：在1~100這一百個自然數中，所有能被9整除的數的和是多少？

分析：每9個連續數中必有一個數是9的倍數，在1~100中，我們很容易知道能被9整除的最小的數是9?9?1，最大的數是99?9?11，這些數構成公差為9的等差數列，這個數列一

（9?99）?11?2?594． 共有：11?1?1?11項，所以，所求數的和是：9?18?27???99?也可以從找規律角度分析． 答案：594

例11：一串數按下面的規律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6??問：從左面第一個數起，前105個數的和是多少？

分析：這些數字直接看沒有什么規律，但是如果3個一組，會發現這樣一個數列：6,9,12,15......即求首項是6，公差是3，項數是105÷3=35的和

末項=6+3×（35-1）=108

和=（6+108）×35÷2=1995 答案：1995

16例12：在下面12個方框中各填入一個數，使這12個數從左到右構成等差數列，其中

10、已經填好，這12個數的和為。

??? ?　??? ?　??? ?　??? ?　??? ?16　??? ?　??? ?10　??? ?　??? ?　??? ?

分析：由題意知：這個數列是一個等差數列，又由題目給出的兩個數10和16知：公差為2，那么第一個方格填26，最后一個方格是4，由等差數列求和公式知和為：(4?26)?12?2?180。答案：180。

本講小結：1.一個數列的前n項的和為這個數列的和，我們稱為。

2.求和公式：和?(首項?末項)?項數?2，sn?(a1?an)?n?2。3.對于任意一個奇數項的等差數列，各項和等于中間項乘以項數。

練習：

1.求和：（1）1+3+5+7+9=（2）1+2+3+4＋?＋21=（3）1+3+5+7+9＋?＋39= 分析：弄清楚一個數列的首項，末項和公差，從而先根據項數公式求項數，再根據求和公式求和。答案：（1）25（2）231（3）400

2.求下列各等差數列的和。（1）1+2+3+?+100（2）3+6+9+?+39 分析：弄清楚一個數列的首項，末項和公差，從而先根據項數公式求項數，再根據求和公式求和。答案：（1）5050（2）273

3.一個等差數列4,8,12,16,20,24,28,32，36這個數列的和是多少? 分析：根據中項定理，這個數列一共有9項，各項的和等于中間項乘以項數，即為：20×9=180 答案：180

4.所有兩位單數的和是多少？

分析：即求首項是11，末項是99的奇數數列的和為多少。

和=（11+99）×45÷2=2475 答案：2475

5.數列1、5、9、13、??，這串數列中，前91個數和是多少？ 分析：首項是1，公差是4，項數是91，根據重要公式，可得：

末項=1+（91-1）×4=361 和=（1+361）×91÷2=16471 答案：16471

6.如圖，把邊長為1的小正方形疊成“金字塔形”圖，其中黑白相間染色。如果最底層有15個正方形，問：“金字塔”中有多少個染白色的正方形，有多少個染黑色的正方形？ 分析：由題意可知，從上到下每層的正方形個數組成等差數列，?2，an?15，所以n?（15?1）?2?1?8，其中a1?1，d（1?8）?8?2?36 所以，白色方格數是：1?2?3???8?（1?7）?7?2?28。

黑色方格數是：1?2?3???7?答案：28（2005?2006?2007?2008?2009?2010?2011）?2008?。7.分析：根據中項定理知：2005?2006?2007?2008?2009?2010?2011?2008?7,所以原式 ?2008?7?2008?7。

答案：7。

8.把248分成8個連續偶數的和，其中最大的那個數是多少？

分析：公差為2的遞增等差數列。

平均數：248÷8=31，第4個數：31-1=30；首項：30-6=24；末項：24+（8-1）×2=38。

即：最大的數為38。答案：38

9.求從1到2000的自然數中，所有偶數之和與所有奇數之和的差。

分析：解法1：可以看出，2，4，6，?，2000是一個公差為2的等差數列，1，3，5，?，1999也是一個公差為2的等差數列，且項數均為1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000 解法2：注意到這兩個等差數列的項數相等，公差相等，且對應項差1，所以1000項就差了1000個1，即原式=1000×1=1000 答案：1000

10.在1~100這一百個自然數中，所有不能被9整除的數的和是多少？

分析：先計算1~100的自然數和，再減去能被9整除的自然數和，就是所有不能被9整除的1??2?（?1）0?0?1，?自然數和了．9?18?27???99?（9?99）?11?2?594，所有不能被9整除的自然數和：5050?594?4456．如果直接計算不能被9整除的自然數和，是很麻煩的，所以先計算所有1~100的自然數和，再排除掉能被9整除的自然數和，這樣計算過程變得簡便多了。答案：594

11.一個建筑工地旁，堆著一些鋼管（如圖），聰明的小朋友，你能算出這堆鋼管一共有多少根嗎？

分析：觀察發現，這堆鋼管的排列就是一個等差數列：首項是3，公差是1，末項是10，項數是8 根據求和公式，和=（3+10）×8÷2=52（根）

所以這堆鋼管共有52根。

?

答案：52根。

12.求100以內除以3余2的所有數的和。

解析：100以內除以3余2的數為2、5、8、11、??98公差為3的等差數列，首先求出一?3?1?33，再利用公式求和(2?98)? 33?2?1650。共有多少項，(98?2)答案：1650。

第三篇：等差數列認識 (教師版)三年級 奧數

2013春季

第一講

等差數列認識

| 三年級·提高班·教師版 | 第1講

2013春季

教學目標

1、認識簡單的數列；

2、掌握什么是等差數列；

3、會求解簡單的等差數列和；

知識點撥

1、如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個數，這個數列就叫做等差數列，這個數叫做等差數列的公差。

2、等差數列求和：（首項+末項）×項數÷2

3、求項數：（末項-首項）÷公差+1

4、求末項：首項+（項數-1）×公差

(一)課堂引入

1.學生學情分析：

（1）三年級暑假對數列有過認識，并且三年級孩子比較喜歡找規律，并且對找規律比較擅長，所以可以從此入手，讓孩子認識等差數列。此為切入點！

（2）數列計算和中，學生已經經歷了湊整求和，所以在學習等差數列求和時，并不陌生，可以以此切入！此為難點！

2.引入-高斯‘神速求和’的故事

講故事：高斯出生于一個貧困家庭，幼時家境貧困，但是異常聰明。就在像大家這么大的時候，一次老師出了一道非常難得數學題：把1到100的自然數加起來，和是多少？正在同學們苦思冥想的時候，高斯略加思索就說出了答案。同學們你們知道答案是多少嗎？你們知道高斯用了什么方法巧妙地計算出來的嗎？

情景1：學生對高斯的故事可能會比較熟悉，或許會清楚1到100的自然數之和，對于這種情況，可以根據學生回答的情況，提問——你們誰知道高斯用了什么方法巧妙地計算出來的呢？

情景2：這個問題，學生回答會比較困難，在此情況下，問:同學們想不想像高斯這樣厲害，掌握這種巧妙的方法呢？

那么，我的小高斯們，下面我就先來認識下等差數列。

| 三年級·提高班·教師版 | 第1講

2013春季

(二)探索新知

(一)等差數列的認識

例題精講

例1：1、3、5、7、9、（）

【教學建議】 等差數列的認識。

先讓孩子去找規律填數，并讓孩子去總結其中的規律所在，并能用合適的語言表達。從中提煉出兩點：（1）相鄰兩數之間的差相同

（2）數依次增大

鞏固練習： 20、17、14、11、8、5、（）

對于練習題：提煉出兩點：（1）相鄰兩數之間的差相同

（2）數依次減少

總結：通過例與練，讓孩子們認識了等差數列的兩種類型。等差數列：（1）相鄰兩數之間的差相同（2）數依次增加或者減少

提出知識點：公差，項（首項、末項），項數

回到例題與練習：讓學生分別指出其中的公差，項（首項、末項），項數 目標：達到初步的認識

(二)通項求解

例2：（1）2、5、8、11、14?。按這樣的規律排列的一串數，其中第21項是多少？

（2）把比100大的奇數從小到大排成一列，其中第21個是多少？

【教學建議】 在認識等差數列的基礎上，讓學生們有意識結合這種特殊的規律解題。并總結出通項公式！

讓學生獨立探索完成，然后收集學生的解題方法，學生可以會出現的情況： A、采用最笨的辦法，直接按照規律，直接寫到第21項 B、通過心算，直接寫出第21項數，但無法列出算式 C、能過根據已知的數，列出算式（數出增加的公差）——（屬于概括能力強的孩子，或者孩子學過）

D、通過列出正確的算式，也明白算理（一般很少，一個班最多1-2個）總結：

A、找出完成得比較好的學生，說出他們的算法，如果有完成C與D的學生，可以讓他們當老師來講講計算的方法。

B、根據學生回答情況，引導出第21項的變化情況（從第一項，共增加了多少個公差），并讓學生列出算式

| 三年級·提高班·教師版 | 第1講

2013春季

C、擴展為其它項時，公差的增加情況，并讓學生列出算式 D、總結通項公式（讓學生先總結）

項=首項+公差*項數差

鞏固練習： 有一堆按規律擺放的磚。從上往下數，第1層有1塊磚，第2層有5塊磚，第3層有9塊磚······按照這樣的規律，第19層有多少塊磚？

【教學建議】 在學習例2的基礎上，鼓勵學生用例2總結出的結論計算本題。并讓學生說出計算方法，以及算理，鞏固等差數列的通項公式！

例3：已知一個等差數列第9項等于131，第10項等于137，這個數列的第1項是多少？第19項是多少？ 【教學建議】

加深對等差數列，及公差的理解，并讓學生活用通項公式求項。

項=首項+公差*項數差

引導學生靈活使用等差數列，靈活使用公式“項=首項+公差*項數差”，靈活確定首項，并能正確求解項數差！

鞏固練習：冬冬先在黑板上寫了一個等差數列，剛寫完阿奇就沖上講臺，擦去了其中的大部分數，只留下第四個數31和第十個數73。你能算出這個等差數列的公差和首項嗎？

【教學建議】 層次在例3的基礎上，更進一層。

讓學生熟練，如何尋找公差，進一步理解等差數列中項的變化！難點：求公差！

鞏固點：求項（靈活確定首項與項數差）

注：通過前面的學習，同學們可以達到的目標，（1）熟練確認等差數列，并輕松找出公差；（2）熟練運用通項公式求項；(三)項數求解

15頁，以后每天都比前一天多讀3頁，最后一天讀了36頁，剛好把書讀完。請問：小悅一共讀了多少天？這本課外書共有多少頁？

【教學建議】 問題1(1)在知道首項、末項與公差的基礎上，如何求項數。

| 三年級·提高班·教師版 | 第1講 例4：小悅讀一本課外書，第一天讀了

(2)題目比較形象，同學們可以自己探索完成問題1(3)同學們完成問題1的可能性有：A-通過列出每天看的頁數，找出天數（天數較少，同學們極容易用這種方法解題）B-通過尋找增加的公差數與項數的關系找出天數（達到此水準的孩子，比例較低）(4)跟據學生對問題1的完成情況，適當提示并翻譯本題：A-每天看的頁數組成等差數列；B-天數為項數；C-引導向增加的了多少個公差，說明這是第幾項，即第幾天？(5)讓學生跟據所引導，列出算式。

總結—根據同學們列出的算式總結出公式：（末項-首項）÷公差+1 問題2（1）涉及等差數列求和公式，因為本題中的重點是求項數，如果涉及過多知識點，學生容易厭煩，學習率不高，所以對于問題2，可以讓學生用基礎的方法算出，鼓勵用好方法計算。但不做細講，提示這就是等差數列求和，將在下面重點講解。15+18+21+24+27+30+33+36 鞏固練習：體育課上老師指揮大家排成一排，小叮當站排頭，小叮咚站排尾，從排頭到

2013春季

排尾依次報數。如果小叮當報3，小叮咚報25，每位同學報的數都比前一位多2，那么隊伍里一共有多少人？

【教學建議】 對于項數求解的鞏固。

注：經過前面的講解，學生對于公差數與項數的關系有比較清晰的認識，完成此題，難度不大，可以出現在列式上。老師可以加以提示，與糾正。

(四)簡單的等差數列求和

1.高斯求和故事引出-等差數列求和 2.著重點明高斯求和，并引出倒加法。思路：

揭曉高斯故事答案：5050 揭曉高斯巧妙方法：1+2+3+4+……+100（用彩虹橋講解—即同學們熟知的首位相加）

注：這種方法，大部分同學都知道，講解起來不算新鮮。

疑問：高斯所計算的這個等差數列，項的個數是偶數，剛好可以成對相加；如果這個等差數列是奇數相時，能夠剛好成對相加嗎？那這種方法似乎并不適用于所有的等差數列，那么有沒有一種適合所有等差數列的方法呢？ 提示：講解“倒加法“ 總結：學生自主總結。

等差數列求和：（首項+末項）×項數÷2

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2013春季

同學們得到了高斯的智慧，于是乎，你們都成了小高斯。所以，小高斯們，趕快去試試吧。

例5：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

[教學建議] 例5和練習，項數不多，可以試著在原算是下面，反寫一遍數列。得到直觀地計算，讓學生練習等差數列求和公式。

學生先試著獨立完成，老師提示引導，并訂正。鞏固練習：11+12+13+14+15+16+17+18+19 總結：回憶等差數列公式（學生回憶），并提示公式中，必須要知道的量。

例6：計算：

（1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30（2）41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1

[教學建議] 經過例5和練習的鍛煉，對等差數列求和與倒加法有了一定的熟悉。所以例6，著重讓學生們在不重新寫出反數列的情況下，利用等差數列計算。

鞏固練習：計算：（1）5+11+17+···+77+83（2）193+187+181+···+103

[教學建議]（1）項數未知，需要學生經過比較復雜的計算，題目比較綜合。

（2）第一題，在學生試著去完成后，老師帶著學生完成此題。讓學生提升等差數列公式的運用能力，能夠根據等差數列，去尋找未知項。（本題，少項數）（3）第二題，讓學生獨立嘗試完成。訂正。總結：回憶等差數列（學生回憶），強調運用等差數列求和時，需要知道的量，如果有某個量未知，需要設法求出，再利用等差數列求和。

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例7：已知一個等差數列第8項等于50，第15項等于71。請問：（1）這個等差數列的第1項是多少？

（2）這個等差數列前10項的和是多少？

[教學建議] 經歷了通項公式、項數公式、等差求和的學習，學生已經對這些知識點的記憶比較模糊了，所以先回憶通項公式、項數公式。

（1）通項公式：項=首項+公差*項數差（強調：需要知道公差）（2）項數公式：（末項-首項）÷公差+1 [思路導航] 問題1：

先讓學生獨立完成其中第一個問題。并通過老師講解，進一步復習通項的求法。問題2：

求前10項和，根據等差數列公式，還需要知道“首項、末項”，也就是需要知道第一項與第10項。

（1）先讓學生獨立思考，根據學生完成情況，提問學生等差數列公式？還需要知道的量？

（2）讓學生根據老師的提示，列出算式，求出和。

注：本題綜合性比較強，一方面需要學生綜合分析能力，一方面需要學生熟練運用通項公式、項數公式、等差數列。

經歷了例7的學習，已經對等差數列的綜合運用有了初步的學習。

鞏固練習：體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報數。如果冬冬報17，阿奇報150，每位同學報的數都比前一位多7，那么隊伍里一共有多少人？所有人報的總和是多少？ [教學建議] 問題1：

學生獨立完成，此為項數公式的運用。問題2：

求等差數列的總和，題目相對比較簡單些，首項、末項、項數都清楚，所以大部分學生能夠獨立完成。

(五)奇數項等差數列求和公式

剛才說了，雙數項等差數列可以通過配對求和，但是奇數項等差數列是否有獨特的求和公式呢?(1)列出奇數項的等差數列，探尋配對和除以2后的值與最中間的數，即最后單獨的數之間的關系；

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可以發現，最中間的數就是這列數的平均數。總結出奇數項等差數列的求和公式： 中間數*項數=總和。

(2)反過來，強調知道奇數項數列的總和，可以求出中間數。下面，高斯們，我們來試試。

例8：有一串連續單數的數列，前7個數的和是105，問第10項是多少？

[教學建議] 本題主要是聯系奇數項等差數列的求和特點，解決此題，題目比較綜合。采用學生獨立完成，老師引導，并訂正的方案。目的：提高學生的綜合分析能力。

鞏固練習：有一串連續雙數的數列，前11個數的和是374，問第25項是多少？

[教學建議] 類同例8，在例8的基礎上，學生自主練習，增強學生的綜合分析能力。

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課后練習1、41、44、47、50、（）、（）2、3、6、9、12、15···這個按照一定規律的一串數，其中第20項是多少？150項呢？

3、（1）一個等差數列共有13項，每一項都比它的前一項大2，并且首項為23，求末項是多少？

（2）一個等差數列共有13項，每一項都比它的前一項小7，并且末項為125，求首項是多少？

4、有一堆粗細均勻的圓木，已知最上面一層有6根，共堆了25層。請問：這堆圓木共有多少根？

5、小王和小高同時開始工作，小王第一個月得到1000元工資，以后每個月都會比前一個月多得60元；小高第一個月得到500元工資，以后每個月都會比前一個月多得40元。兩人工作一年后，所得的工資總數相差多少元？

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第四篇：奧數等差數列練習題

等差數列

1.一個劇場設置了22排座位，第一排有36個座位，往后每排都比前一排多2個座位，這個劇場共有多少個座位？

2.自1開始，每隔兩個數寫一個數來，得到數列：1,4,7,10,13，….，求出這個數列前100項只和？

3.影劇院有座位若干排，第一排有25個座位，以后每排比前一排多3個座位。最后一排有94個座位。問這個影劇院共有多少個座位？

4.小張看一本故事書，第一天看了25頁，以后每天比前一天多看的頁數相同，第25天看了97頁剛好看完。問：這本書共有多少頁？

5.已知數列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，….，這個數列的第30項是哪個數字？到第25項止，這些數的和是多少？

植樹問題

1.在一段公路的一旁栽95棵樹，兩頭都栽，每兩棵樹之間相距5米，這段公路長多少米？

2.有三根木料，打算把每根鋸成3段，每鋸開一處，需要3分鐘，全部鋸完需多少時間？

3.一座樓房每上一層要走16個臺階，到小英家要走64個臺階。她家住在幾樓？

第五篇：等差數列的求和公式教學設計

等差數列前n項和

教學案例：

一、教學設計思想

本堂課的設計是以個性化教學思想為指導進行設計的。

本堂課的教學設計對教材部分內容進行了有意識的選擇和改組，為了體現個性化教學的教學理念，在教法上，采用了以學生為主體，以問題為中心，以老師為引導，以小組的合作為主要學習方式。課堂結構個性化，讓學生在探究中展現個性，在合作中促進學生的個性發展。

在教學中通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學的心理體驗，產生熱愛數學的情感,體驗在學習中獲得成功。

二、學生情況與教材分析

1、學生通過上一節的學習，已經了解了等差數列的定義，基本上掌握了通項公式，會運用等差數列的通項公式進行解題，因此只要簡單地回顧上一節課的知識就可引入新課；

2、幾何能直觀地啟迪思路，幫助理解，特別是對于職中類學生，他們對知識的理解還是處于模糊階段，因此，借助幾何直觀學習和理解數學，是數學學習中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學中，要鼓勵學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質和關系，從而滲透了數形結合的數學思想。

3、學習應該是學生積極主動的建構知識的過程，應該與學生熟悉的背景相聯系。本課要求學生通過自主地觀察、討論、歸納、反思來參與學習，認識和理解數學知識，學會發現問題并嘗試解決問題，在學習活動中進一步提升自己的能力。

三、教學目標

1、知識目標

（1）掌握等差數列前n項和公式,理解公式的推導方法；（2）能較熟練應用等差數列前n項和公式求和。

2、能力目標

經歷公式的推導過程，體會數形結合的數學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。

3、情感目標

通過生動具體的現實問題，激發學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數學心理體驗，產生熱愛數學的情感,體驗在學習中獲得成功。

四、教學重點、難點

1、等差數列前n項和公式是重點。

2、獲得等差數列前n項和公式推導的思路是難點。

教學過程：

1、引入新課（1）復習

師：上一節課中，我們學習了等差數列的定義及通項公式，知道了“公差d=，通項公式an=”（見黑板）

生：（回答黑板上的問題）

（2）故事引入

師：那等差數列的前n項和怎樣求？今天，我們主要探討等差數列的前n項和公式。古算書《張邱建算經》中卷有一道題：

今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉多一錢，共有百人，問共與幾錢？ 師生共同讀題

師：題目當中我們可以得到哪些信息？要解決的問題是什么？

生1：第一人給1錢，第二人給2錢，第三人給3錢，以后每個人都比前一個人多給一錢，共有100人，問共給了多少錢？

師：很好，問題已經呈現出來了，你能用數學符號語言表示嗎？

生2：用an表示第n個人所得的錢數，則由題意得： a1?1,a2?2,a3?3,?，a100?100

只要求出1+2+3+?+100=？ 師：你能求出這個式子的值嗎？

生2：（猶豫片刻）1+100=101，2+99=101，3+98=101?50+51=101，所求的和為101×

1002=5050.師：對于這個算法，著名的數學家高斯10歲時曾很快就想出來了.高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101，第2項與倒數第2項的和：2+99=101，第3項與倒數第3項的和：3+98=101，??

第50項與倒數第50項的和：50+51=101，于是所求的和是101×

1002=5050 上面的問題可以看成是求等差數列1，2，3，?，n, ?的前100項的和.在上面解決問題的過程中,我們發現所求的和可用首項、末項及項數n來表示，且任意的第k項與倒數第k項的和都等于首項與末項的和，從中你有何啟發？我們如何去求一般等差數列的前n項和？

設計意圖：通過情景引入活動、任務，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用得過程，其作用就在于提升學生的經驗，使之連續地向形式的、抽象的數學知識的轉變.構筑在學生已有生活經驗與生命體驗基礎之上的數學課程大大激發了學生“做數學”的熱情，數學課變得更生動、更活潑，更能引發學生的興趣.新教材中增添了一些數學史的知識，從課改的一些舉措上我感到在數學教學過程中，應適時掀起數學史的教學蓋頭。向同學們介紹了《張邱建算經》和高斯及他的算法，講課的過程中適當插入數學史，為數學教學輸入了新鮮血液.培養學生的數學文化，營造濃郁的“人文”氛圍.師：設等差數列?an?的前n項和為Sn，則Sn?a1?a2???an?? 生3：（直接給出公式）由剛才問題的結果可知Sn?n(a1?an)2

師：非常好，由具體的推廣到一般，這也是研究數學的一種思想方法由特殊到一般，但是這種方法是猜想、推測，是不完全歸納.數學公式的得出需要嚴謹的推理過程和相關的理論依據.你能否推導這個公式？

生4：Sn?(a1?an)?(a2?an?1)??+？（遇到困惑，最后一組怎樣表示？是剩一項還是兩項？）

師：我們再回顧一下剛才解決的問題，共有100項，兩兩分組正好分為50組，如果1+2+3+?+101=？n項時又應如何分組？最后一組應怎樣表示？ 生4（繼續回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=102?50+52=102，51=

共有50組多出第51項

n分奇偶性討論，n為偶數時正好分成n21022?(1?101)2

組，n為奇數時分成n?12組還多一項

∴當n為偶數時，Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?an)

22?=

n(a1?an)2

當n為奇數時，Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?1?an?1)?an?1

22?22?1

?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?1?an?1)?22?2(a1?an)2

=

n(a1?an)2

師：好通過分類討論我們得出了等差數列?an?的前n項和Sn公式，從所得的結果看無論n是奇數還是偶數Sn的公式一樣.那么我們是否可以避開討論n的奇偶性去推導呢？怎樣出現首末兩項的和？

師：下面我們從一個稍稍簡單一點的等差數列來推導探討（學生觀察幻燈片上以等差數列逐層排列的一堆鋼管。）

師：如何求？

（課件演示：引導學生設想，如果將鋼管倒置，能得到什么啟示）

生：每一層都和上一層是一樣多的。一共有8層，所以為8×（4+11），但一共有兩堆，所以為

師：那如果如下圖所示共有n層，第一層為a1，第n層為an，請大家來猜想一下這個呈等差數列排列的鋼管的總和sn等于多少？

生：

師：所以我們還可以如何求等差數列通項公式？ 生5：Sn?a1?a2???an

Sn?an?an?1???a1

將上面兩式左右兩邊分別相加得2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?a1)

=n(a1?an)∴Sn?n(a1?an)2

師：此種方法簡潔明了，且避開討論n的奇偶性，我們將這種方法稱為“逆序相加法”，在以后解決數列問題是也經常運用“逆序相加法”，主要運用了等差數列下標等距性質.（有學生舉手）

生6：我用另外一種方法得出的結果不一樣

Sn?a1?a2???an?a1?d?a1?2d??a1?(n?1)d

=na1??1?2?3??(n?1)?d

=na1?n(n?1)2d

師：這個結果對否？為何會有兩個公式？它們之間有聯系嗎？ 大家一起發現Sn?n(a1?an)2?n?a1?a1?(n?1)d2n(a1?an)2??na1?n(n?1)2d

∴等差數列?an?前n項和公式：Sn??na1?n(n?1)2d

師(總結)：我們得到了兩個計算等差數列前n項和的公式.由公式可知，只要知道a1,n,an,d

這四個量中的三個就可以求出等差數列前n項和Sn.設計意圖：新課標指出“學生的學習過程就是在教師指導下的再創造的過程”在教學的過程中，教師要指導學法，把教與學的過程很好地統一起來，想方法鼓勵學生積極參與，大膽設疑、質疑、釋疑、辨錯、修正，突出過程教學.教師同通過問題情境或學習情境以誘發他們進行探索與問題的解決活動.應用舉例

例1等差數列―10,―6,―2, 2?前多少項的和是54?

0,d?6?(10?)4?解：設題中的等差數列為?an?，前n項和為Sn，則a1??1?Sn?54，由題意得?10?n(n?1)2?4?54

∴n2?6n?27?0

解得n1?9,n2??3（舍）

∴前9項的和為54.師(總結)：已知量a1,d,Sn，求n，合理選用公式.思想方法：方程思想.設計意圖：學以致用,直接運用公式加深對公式的認識和理解.主要通過方程的思想進行基本量的運算.注意解題格式和規范.例2求集合M??mm?7n,n?N,m?100?中元素的個數，并求這些元素的和.?解：由7n?100,得n?1007,即n?1427，由于滿足不等式的正整數n共有14個，所以集合M中的元素共有14個，將他們從小到大列出，得7，7×2，7×3，?，7×14，這個數列是等差數列，記為?an?，其中a1?7,a14?98 ∴S14?14?(7?98)2735

答：集合M中的元素共有14個元素，它們的和等于735.變式1：M??mm?7n,n?N?,n?100?

分析：∵n<100,∴M中有99個元素，分別為7，7×2，7×3，?，7×99，變式2：在1到100中被7除余1的正整數共有多少個？它們的和是多少？ 分析：設m是滿足條件的數，則m=7n+1,且m<100,n?N

或m=7n-6,且m<100,n?N?

設計意圖：高中數學課程倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方法，這要求我們轉變教學觀念，豐富教學形式，改進學生的學習方式，加大課堂教學的研究性、開放性和自主性，在開展探究活動中培養學生的基本技能，將變式訓練與引導學生感悟反思放到同樣的高度，進而培養學生的數學能力.練習課本P118 ex 1（板演），2,3,4 小結：（1）了解等差數列?an?的前n項和公式的推導思想（逆序相加法、分組配對法）.（2）掌握等差數列前n項和的兩個公式并能靈活運用解決相關問題.（3）研究問題的方法：由特殊到一般.（4）方程思想：基本量的運算.課后作業： P118

1（2）（4），2，4，5