第一篇:等差數列教學設計
新蔡二高教學設計 年級:15級 學科:數學 主備課人:徐德功 日期 2017年12月5日 課題:高三數學一輪復習 等差數列 1.了解等差數列的通項公式an與前n項和公式Sn的關系. 三 維
1、知識目標 2.能通過前n項和公式Sn求出等差數列的通項公式an. 教 學 提高對等差數列的認識,優化解題思路、解題方法,提升數學表達的能
2、能力目標 目 力。標
3、德育目標 培養學生認識數學的美。重點:熟練掌握等差數列的性質運用。難點::解題思路和解題方法的優化。教學過程:【知識精講】
一、基本概念、性質
1、等差數列的定義:一般地,如果一個數列從 起,每一項與它的前一項的差等于同一個,那么這個數列就叫等差數列,這個常數d叫做等差數列的,2、等差中項:若三個數a,A,b組成等差數列,那么A叫做a與b的,即2A? 或A?。
3、等差數列的單調性:等差數列的公差 時,數列為遞增數列; 時,數列為遞減數列; 時,數列為常數列;
4、等差數列?an?的通項公式性質:(1)對于任意的整數p,q,r,s,如果p?q?r?s,那么ap?aq?ar?as(2)對于任意的正整數p,q,r,如果p?r?2q,則ap?ar?2aq(3)對于任意的非零實數b,數列{ban}是等差數列,則{an}是等差數列(4)已知{bn}是等差數列,則{an?bn}也是等差數列(5){a2n},{a2n?1},{a3n},{a3n?1},{a3n?2}等都是等差數列 5.等差數列?an?的前n項和公式Sn? = 注:(1)、在通項公式與前n項和公式中,涉及五個量的關系,已知其中的三個量,可求其余兩個量。(體現方程的思想)(2)、等差數列前n項和公式的特點是n為關于n的二次式,且無常數項。即:s
第二篇:《等差數列》教學設計
等差數列第一課時教學設計片斷
重慶市教育科學研究院 張曉斌
教學過程
1.創設情境,直奔課題
①德國數學家高斯八歲時計算1+2+3+?+100=?時,所用到的數列:1,2,3,4,?,100。②姚明剛進NBA一周里每天訓練發球的個數依次是:6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000。.③匡威運動女鞋的尺碼(鞋底長,單位是cm):22,23,23,24,24,25,25,26。
引導學生觀察:上面的數列①、②、③有什么共同特點?
學生容易發現這些數列有一個共同特點:從第二項起,每一項與前一項的差都等于同一個常數,我們把具有這一特點的數列叫做等差數列(此時寫出課題)。
2.闡述定義,理解內涵
在前面的基礎上得出等差數列的定義:
如果一個數列從第二項起,每一項與前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫等差數列。這個常數叫做等差數列的公差,通常用字母d來表示。
你覺得在理解等差數列的定義時應注意什么?啟發學生回答: ①“從第二項起”(這是為了保證“每一項”都有“前一項”);
②每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(因為“同一個常數”體現了等差數列的基本特征); 然后在理解概念的基礎上,引導學生將等差數列的文字語言轉化為數學語言,歸納出一串數學表達式,即a2?a1?d,a3?a2?d,???,an?an?1?d,an?1?an?d,???,這其中最能刻劃等差數列的本質特征的是哪一個等式?
。an?1?an?d(d是常數,n?N*)或an?an?1?d(d是常數,n?N且n?2)通過下面三個問題從正反兩方面加深對概念的理解:
① 9,8,7,6,5,4,??是等差數列嗎?(遞減等差數列)②常數列3,3,?,3,?是等差數列嗎?(常數列)
③數列1,4,7,11,15,19是等差數列嗎?(非等差數列)
由此三個問題和前面的問題讓學生發現:公差d可以是正數、負數,也可以是0;當d?0時,等差數列是遞增數列;當d?0時,等差數列是遞減數列;當d?0時,等差數列是常數列.④若數列{an}滿足:an?1?an?d(d是常數,n?N且n?2),則數列{an}是等差數列嗎? 3.探究交流,發現公式
如果等差數列{an}首項是a1,公差是d,那么這個等差數列a2,a3,a4如何表示?an呢? 根據等差數列的定義,不難由學生完成:
因為a2?a1?d,a3?a2?d,a4?a3?d,??。所以a2?a1?d,12121212a3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2d,a4?a3?d?(a1?2d)?d?a1?3d,??????????????????????? 由此完成an?a1?(學生回答)
當n?1時,對(*)式兩邊均為a1,即等式也成立,說明(*)式對n?N都成立,因此等差數列的通項公式就是:an?a1?(n?1)d,n?N。
上面求通項公式的過程是迭代的過程,所用的方法叫不完全歸納法,這種導出公式的方法不夠嚴密,因此我們有必要尋求更為嚴密的推導方法。
根據等差數列的定義,引導學生探究發現:
**)d填空,得an?a1?(n?1)d??(*),這是等差數列的通項公式嗎?(讓a1?a1 a2?a1?d a3?a2?d
?????
an?an?1?d
將以上n個式子相加得an?a1?(n?1)d。這種求通項公式的方法叫疊加法,這是一種嚴密的科學證明方法。
然后再引導學生對此公式進行理解:通項公式含有a1,d,n,an這4個量,已知三個量,就可以求出第4個量,即“知三可求一”,這樣通項公式就是方程,從中讓學生體會方程思想的運用。
4.運用新知,解決問題
例1已知等差數列18,15,12,9,??。
(1)請寫出a20,an;
(2)-279是否是這個數列中的項,如果是,是第幾項?
說明:要判斷-279是不是數列的項,關鍵是求出通項公式,并判斷是否存在正整數n,使得an??279成立,實質上是要求方程an??279的正整數解。
例2已知等差數列{an}中,a5?10,a15?25,求a25的值。解略。(a25?40)
解方程組比較麻煩,可否避免?讓學生發現:a15?a5?10d?(15?5)d。這是一種巧合,還是對任意的兩項差都滿足?提出
探究活動一:請同學們思考:在公差為d的等差數列{an}中,an與am有何關系? 由an?a1?(n?1)d和am?a1?(m?1)d易得am?an?(m?n)d(證實并非巧合),從而也有d? am?an。
m?n2
讓學生比較an?a1?(n?1)d與am?an?(m?n)d發現,前式是后式的特例,后式是前式的推?an?(m?n)d叫做等差數列的變通式。讓學生用變通式再解例2。廣。為此我們不妨把am探究活動二:通過例2發現:5,15,25成等差,a5,a15,a25 也成等差;在等差數列{an}中,k1,k2,k3?成等差數列,那么 ak1,ak2,ak3?成等差數列嗎?(讓學生課后思考)
探究活動三:
由等差數列通項公式得an?a1?(n?1)d?dn?(a1?d)(d,b是常數),當d?0的時候,通項公式是關于n的一次式,一次項的系數是公差。等差數列通項可以寫成an?pn?q形式;反之,如果數列{an}的通項公式為an?pn?q(其中p、q是常數),那么這個數列是等差數列嗎?
判定數列{an}是不是等差數列,也就是要看an?1?an的差是不是與n無關的常數。這由等差數列的定義可以完成證明。
由此得出:數列{an}為等差數列的充要條件是其通項an?pn?q(p,q是常數)。探究活動四:
(1)在直角坐標系中,畫出an??3n?21(n?N*)的圖象。這個圖象有什么特點?(無窮多個孤立點。)
(2)在同一坐標系下,畫出函數y??3x?21的圖象。你發現了什么?(an??3n?21的圖象是直線y??3x?21上均勻排開的無窮多個孤立點。)(3)等差數列an?pn?q與函數y?px?q圖象間有什么關系?(an?pn?q的圖象是直線y?px?q 上均勻排開的無窮多個孤立點。)5.歸納小結,提煉精華 一個定義: an?1?an?d(d是常數)。
兩個公式:an?a1?(n?1)d,an?am?(n?m)d。
三種思想:特殊與一般思想、方程與函數的思想、數形結合的思想。要追問在哪里體現了這些思想方法?
三種方法:不完全歸納法、迭代法、疊加法。6.課后作業,運用鞏固
必做題:課本P114習題3.2第1,2,6 題。
備選題:1.在等差數列{an}中,已知a1??2,a10是第一個大于1的項,求公差d的取值范圍。2.我國古代算書《孫子算經》卷中第25題記有:“今有五等諸侯,共分橘子六十顆。人分加三顆。問:五人各得幾何?”
3.選做題:在等差數列{an}中,已知 a7?16,求下列各式的值:(1)a6?a8;(2)a3?a11。
第三篇:等差數列教學設計
等差數列教學設計
教學目標
1. 理解等差數列的概念,掌握等差數列的通項公式,并能運用通項公式解決簡單的問題
2. 通過等差數列概念的歸納概括,培養學生的觀察、分析資料的能力,積極思維,追求新知的創新意識;
3.通過對等差數列的研究,使學生明確等差數列與一般數列的內在聯系,從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.教學重點
是等差數列的定義和對通項公式的認識與應用 教學難點
等差數列的通項公式與遞推公式的結合與應用 教學過程 回顧練習:
觀察該數列的性質?!緩牡诙楅_始,每一項減去前一項的差都是3】
觀察與思考 下面的幾個數列性質并給出結論:(1)38,40,42,44,46,48,50,52,54(2)7500,8000,8500,9000,9500,10000 定義:一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,那麼這個數列就叫做等差數列。這個常數叫等差數列的公差,通常用字母d表示。
2,5,7,9,11,13,15,17 2,2,2,2,2,2,2,2,2 探究:
數列滿足 判斷此數列是否為等差數列。等差數列通項公式
推倒方法:
一、不完全歸納法。
二、迭代法。
三、疊加法 例:
1.求等差數列8,5,2,…的第20項。
2.-401是不是等差數列-5,-9,-13,…的項?如果是,是第幾項?
3.請在12,24中間插入一個數字a,使得12,a, 24成等差數列,則a的值為多少。
練習:數列的通項公式為
研究:三個數成等差數列,它們的和等于18,它們的平方和為116,求這三個數。
實際應用 某露天劇場有30排座位,第一排有28個座位,后面每排比前排多2個座位,最后一排有座位__________個。
總結:
1.等差數列的概念,會判斷一個數列是否為等差數列。2.等差數列的通項公式與遞推公式及其應用。3.理解等差數列的通項公式及其引申式。作業:必做習題3.2:1——
5、7 選作10、11
第四篇:等差數列教學設計
“等差數列”教學設計
思考:同學們觀察一下上面的這三個數列:5,10,15,20,… ①48,53,58,63 ②18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③看這些數列有什么共同特點呢?(由學生討論、分析)2.分析問題,形成概念
對于上面的幾個問題,引導學生觀察相鄰兩項間的關系,得到:
對于數列①,從第2項起,每一項與前一項的差都等于 5 ;對于數列②,從第2項起,每一項與前一項的差都等于 5 ;對于數列③,從第2項起,每一項與前一項的差都等于-2.5 ; 等差數列:一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差,公差通常用字母d表示。那么對于以上三組等差數列,它們的公差依次是5,5,-2.5。3.合作探究,深化概念
提問:如果在與中間插入一個數A,使,A,成等差數列數列,那么A應滿足什么條件?
由學生回答:因為a,A,b組成了一個等差數列,那么由定義可以知道:A-a=b-A 所以就有
由三個數a,A,b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列,這時,A叫做a與b的等差中項。
不難發現,在一個等差數列中,從第2項起,每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項。
如數列:1,3,5,7,9,11,13?中5是3和7的等差中項,1和9的等差中項。9是7和11的等差中項,5和13的等差中項??磥恚瑒t
從而可得在一等差數列中,若m+n=p+q下面學習等差數列的通項公式: 對于以上的等差數列,我們能不能用通項公式將它們表示出來呢?這是我們接下來要學習的內容。
⑴、我們是通過研究數列的第n項與序號n之間的關系去寫出數列的通項公式的。下面由同學們根據通項公式的定義,寫出這三組等差數列的通項公式。讓學生分組討論,教師個別指導經過分析寫出通項公式: ①這個數列的第一項是5,第2項是10(=5+5),第3項是15(=5+5+5),第4項是20(=5+5+5+5),??由此可以猜想得到這個數列的通項公式是
② 這個數列的第一項是48,第2項是53(=48+5),第3項是58(=48+5×2),第4項是63(=48+5×3),由此可以猜想得到這個數列的通項公式是
③這個數列的第一項是18,第2項是15.5(=18-2.5),第3項是13(=18-2.5×2),第4項是10.5(=18-2.5×3),第5項是8(=18-2.5×4),第6項是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到這個數列的通項公式是⑵、那么,如果任意給了一個等差數列的首項 引導學生根據等差數列的定義進行歸納:
和公差d,它的通項公式是什么呢?
(n-1)個等式
所以 何表
達
呢
??
思考:那么通項公式到底如?
??
通過學生分組討論合作探究,以及教師引導下得出通項公式:由此我們可以猜想得出:以為首項,d為公差的等差數列的通項公式為:
(教師板書)
就 也就是說,只要我們知道了等差數列的首項和公差d,那么這個等差數列的通項可以表示出來了。
(探究性問題)引導學生動手畫圖研究完成以下探究:⑴在直角坐標系中,畫出通項公式為的數列的圖象。這個圖象有什么特點?
⑵在同一個直角坐標系中,畫出函數y=3x-5的圖象,你發現了什么?據此說一說等差數列與一次函數y=px+q的圖象之間有什么關系。
可以利用通項公式求出。經
分析:⑴n為正整數,當n取1,2,3,??時,對應的過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立點;
⑵畫出函數y=3x-5的圖象一條直線后發現數列的圖象(點)在直線上,數列的圖象是該一次函數當x在正整數范圍內取值時相應的點的集合。于是可以得出結論:等差數列的圖象是一次函數y=px+q的圖象的一個子集,是y=px+q定義在正整數集上對應的點的集合。
第五篇:等差數列教學設計
《等差數列》教學設計
河北省盧龍職業技術教育中心
呂敬平
《等差數列》教學設計
一、教學內容分析
本節課是《中等職業教育改革國家規劃新教材?數學》基礎 模塊第六章數列第二節等差數列第一課時。
數列是高中數學重要內容之一,它不僅有著廣泛的實際應用,而且起著承前啟后的作用。一方面, 數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分;另一方面,學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上,對數列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列提供了“聯想”、“類比”的思想方法。
二、學生學習情況分析
我所教學的學生是我校高考班的學生,雖然經過一年的學習,但大部分學生知識經驗還不豐富,跟他們基礎和素質有很大關系,基礎較弱,素質不高,學習數學的興趣也不很濃,所以我在授課時注重從具體的生活實例出發,注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理發展特點,從而促進思維能力的進一步發展。
三、設計思想 1.教法
⑴誘導思維法:這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點,突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性,發揮其創造性。
⑵分組討論法:有利于學生進行交流,及時發現問題,解決問題,調動學生的積極性。
⑶講練結合法:可以及時鞏固所學內容,抓住重點,突破難點。2.學法
引導學生首先從簡單淺顯問題(數數問題)、概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點,推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。
用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。在引導分析時,留出“空白”,讓學生去聯想、探索,同時鼓勵學生大膽質疑,圍繞中心各抒己見,把思路方法和需要解決的問題弄清。
四、教學目標
知識目標:通過本節課的學習使學生能理解并掌握等差數列的概念,能用定義判斷一個數列是否為等差數列,引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想,會求等差數列的公差及通項公式,能在解題中靈活應用,初步引入“數學建模”的思想方法并能運用。
能力目標:培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力;通過階梯性練習,提高學生分析問題和解決問題的能力。
情感目標:在解決問題的過程中培養學生主動探索、勇于發現的求知精神;使學生認識事物的變化形態,養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。并通過一定的實例激發同學們的民族自豪感和愛國熱情。
五、教學重點與難點
重點:
1、等差數列的概念。
2、通項公式的運用。
難點:
1、理解等差數列“等差”的特點及通項公式推導過程。
2、“數學建?!钡乃枷敕椒?。
六、突出重點 突破難點
1、等差數列的概念
由學生的總結自然的給出等差數列的概念:
如果一個數列,從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數,這個數列就叫等差數列, 這個常數叫做等差數列的公差,通常用字母d來表示。
思考并交流對概念的理解,并總結: ①“從第二項起”滿足條件; ②公差d一定是由后項減前項所得;
③每一項與它的前一項的差必須是同一個常數(強調“同一個常數”);
在理解概念的基礎上,由學生將等差數列的文字語言轉化為數學語言,歸納出數學表達式:(n≥1)同時為了配合概念的理解,我找了5組數列,由學生判斷是否為等差數列,是等差數列的找出公差。
1).9,8,7,6,5,4,??;√ d=-1
2).0.70,0.71,0.72,0.73,0.74??;√ d=0.01 3).0,0,0,0,0,0,??.;√ d=0 4).1,2,3,2,3,4,??;× 5).1,0,1,0,1,??×
其中第一個數列公差d<0, 第二個數列公差d>0,第三個數列公差d=0 由此強調:公差可以是正數、負數,也可以是0
2、第二個重點部分為等差數列的通項公式
(1)若一等差數列{an}的首項是a1,公差是d,則據其定義可得: a2-a1=d 即:a2=a1+d a3-a2=d 即:a3=a2+d
??
猜想: a49= a1+48d 進而歸納出等差數列的通項公式: an=a1+(n-1)d
設計思路:在歸納等差數列通項公式中,我采用討論式的教學方法。給出等差數列的首項,公差d,由學生研究分組討論的通項公式。通過總結的通項公式由學生猜想的通項公式,進而歸納出通項公式。整個過程由學生完成,通過互相討論的方式既培養了學生的協作意識,又化解了教學難點。
七、鞏固新知應用例解
例1 已知等差數列的首項為12,公差為?5,試寫出這個數列的第2項到第5項.
例2 求等差數列
?1,5,11,17,... 的第50項.例3 在等差數列?an?中,a100?48,公差d?,求首項a1.這一環節是使學生通過例題和練習,增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用,提高解決實際問題的能力。
3八、反饋練習鞏固新知
1、已知?an?為等差數列,a5??8,公差d?2,試寫出這個數列的第8項a8.
2、寫出等差數列11,8,5,2,?的通項公式和第10項.3、求等差數列2,1, 8 ,?的通項公式與第15項.
55目的:使學生熟悉通項公式,對學生進行基本技能訓練和加強建模思想訓練。
九、歸納小結、深化目標
1、等差數列的概念及數學表達式an-an-1=d(n≥1)。
強調關鍵字:從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數。
2、等差數列的通項公式會知三求一。
3、用“數學建模”思想方法解決實際問題。
十、布置作業
課本習題6.2