探索“拋物線”的幾何性質（于涵定理）

一、以小見大，培育探究精神

1.如圖，拋物線與軸交于點(，)，(，)，與軸

交于點(，)，則該拋物線的解析式為

.2.解題后探究：

(1)猜想：上題中，，存在某種關系，該關系可以表示為：，.(2)論證：若拋物線與軸交于點(，)，(，)，與軸交于點(，)，求證：.3.簡單應用：

(1)拋物線與軸交于點(，)，(，)，與軸交

于點(，)，則該拋物線的解析式為；

(2)拋物線與軸交于點(，)，(，)，與軸

交于點，且，則該拋物線的解析式為

.二、進一步探究(特殊→一般)：

1.如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，點在，之間的拋物線上運動.(1)的橫坐標為時，比較大小：；

(2)的橫坐標為時，比較大小：；

(3)當時，.(呢？)

2.如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，∥軸交

拋物線于另一點，軸于點，為上方的拋物線上任意一點，于點.(1)比較大小：；

(2)比較大小：；

(3)當時，.3.如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，為上方的拋物線上一點，∥軸，于點，分別交軸，于點，.請通過特殊點進行探究，并選出一個正確的式子（）

A.B.C.D.4.如圖，(，)，(，)，(，)均在拋物線上，在，且∥軸，過點，分別作，.請完成以下探究過程：

(1)請選取字母，，表示下列各邊長：

①；

②；

③；

④；

(2)由∽可得，化簡得：；

(3)；

5.歸納總結：

三、小試牛刀：

1.(2006·河南壓軸題改編)如圖，是二次函數的圖象，過點(，)的直線交

拋物線于點，過點，分別作軸的垂線，垂足分別為，.則當點在拋

物線上運動時(點不與原點重合)，請探究的值.(1)當點橫坐標為時，則的值為；

(2)隨著點位置的變化，是否定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由.2.如圖，點在二次函數圖象的第三象限部分運動，直線∥軸，且交

拋物線于點，將直線繞點逆時針旋轉交拋物線于點，交于

點，于點.(1)當點橫坐標為時，則；

(2)隨著點橫坐標由大變小，的長度（）

A.由大變小

B.由小變大

C.不變

D.先變大后變小

(3)若將題中條件“旋轉”改為“旋轉”，但保證

與拋物線有交點，則

(用“”表示).3.如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，為上方的拋物線上一點，∥軸交于點，設點橫坐標為.探究：當為何值時，長度取得最大值？

四、探究拋物線的“內接直角三角形”：

1.如圖，將直角三角板的直角頂點置于原點，兩直角邊與拋物線交于，兩點.(1)如圖1，當時，也有，則；

(2)對于同一拋物線，將三角板繞點旋轉（如圖2），分別作軸，軸，與軸交于點，且測得.①；

②點的坐標為；

(3)探究：在上題中，改變三角板位置（設），點的坐標是否發生變化？

(4)猜想點的坐標與的關系.2.如圖，(，)，(，)，(，)均在拋物線上，且是

以為直角頂點的直角三角形.(1)通過圖1的探究，我們猜想：斜邊

定點（填“經過”或“不經過”）；

(2)如圖2，通過構造“一線三等角”進行探究：

①由∽可得，選取字母，，表示該比例式：，化簡得；

②由于涵定理可得（選取字母，，表示）：；

；

(3)綜合(1)、(2)的探究結果，發現與中，的長度是定值，因此斜邊

（填“經過”或“不經過”）定點

（填“”或“”），且該定

點的坐標可用，表示為

.3.反思：上述探究的意義何在？

五、秒殺難題

1.(2014·武漢壓軸題改編)如圖，已知直線：與拋物線交于，兩點.(1)直線總經過一個定點，點的坐標為；

(2)若拋物線上存在定點，使，求點到直線的最大距離.2.如圖，拋物線交軸于點，，且射線與拋物線

交于點，點在拋物線上運動.(1)若點在第三象限運動，求面積的最大值；

(2)當時.①過點作軸的平行線，交拋物線于點，則的面積為；

②求點的坐標.3.(2016·武漢壓軸題改編)如圖拋物線交軸于點，頂點為，點為拋物線上一動點，且位于軸下方.(1)若點(，)，(，)時，求該拋物線解析式；

(2)若直線，分別交軸于點，試探究是否定值？

若是，請用表示；若不是，請說明理由.4.如圖，拋物線交軸于點，頂點為，軸于點，為對稱

軸右側，第一象限內的拋物線上一動點，連接交拋物線于點.(1)求點的坐標；

(2)求證：為定值；

(3)直線，分別交軸于點，試探究是否定值？

若是，請用表示；若不是，請說明理由.5.如圖，已知拋物線過點(，).(1)求拋物線的解析式；

(2)為點左側拋物線上一動點，直線交直線于點，過點作軸

平行線交拋物線于點，連接，求證：恒過定點；

(3)在(2)的條件下，當運動時.①求到直線的距離的最大值；

②求面積的最小值.六、反思：

1.留有遺憾：雖然已經解決了為直角三角形時，直角頂點的坐標問題；但是為等腰三角形

時的問題，仍然未能解決！希望和各位老師共同探

討……

2.李書福曾經說過，造汽車無非就是“四個輪子上面安裝兩張沙發”.其實于涵定理的應

用，套用一下李書福的話，就是“一條拋物線上三個點”，只要滿足這個特征，就有于

涵定理生存的土壤！雖然有些問題運用于涵定理，可能會走一點彎路，但有這種意識終

歸是一件好事.