第二章一元二次函數、方程和不等式

2.1　等式性質與不等式性質

【素養目標】

1．了解現實世界和日常生活中的等量關系與不等關系．(數學抽象)

2．了解不等式(組)的實際背景，會用不等式(組)表示不等關系．(數學建模)

3．掌握不等式的性質及應用．(邏輯推理)

4．會用作差法(或作商法)比較兩個實數或代數式值的大小．(數學運算)

5．能運用等式的性質或不等式的性質解決相關問題．(邏輯推理)

【學法解讀】

在相等關系與不等關系的學習中，學生通過類比學過的等式與不等式的性質，進一步探索等式與不等式的共性與差異．

第1課時不等關系與比較大小

必備知識·探新知

基礎知識

知識點1?不等式與不等關系

不等式的定義所含的兩個要點．

(1)不等符號，______，______或.(2)所表示的關系是____________.思考1：不等式“”的含義是什么？只有當“”與“”同時成立時，該不等式才成立，是嗎？

提示：不等式應讀作“小于或者等于”，其含義是指“或者”，等價于“不大于”，即若或之中有一個正確，則正確．

知識點2?比較兩實數，大小的依據

思考2：(1)在比較兩實數，大小的依據中，兩數是任意實數嗎？

(2)若“”，則，的大小關系是怎樣的？

提示：(1)是(2)

基礎自測

1．判斷正誤(對的打“√”，錯的打“×”)

(1)不等式的含義是指不小于.()

(2)若，則.()

(3)若，則.()

(4)兩個實數，之間，有且只有，三種關系中的一種．()

[解析](1)不等式表示或，即不小于.(2)若，則，所以成立．

(3)若，則或者，即.(4)任意兩數之間，有且只有，三種關系中的一種，沒有其他大小關系．

2．大橋橋頭立著的“限重噸”的警示牌，是提示司機要安全通過該橋，應使車和貨物的總質量滿足關系()

A．??B．

C．???D．

3．已知，則與的大小關系為_____________.關鍵能力·攻重難

題型探究

題型一　用不等式(組)表示不等關系

例1?某商人如果將進貨單價為元的商品按每件元銷售，每天可銷售件，現在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤．已知這種商品的售價每提高元，銷售量就相應減少件．若把提價后商品的售價設為元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于元？

[分析]　由“這種商品的售價每提高元，銷售量就相應減少件”確定售價變化時相應每天的利潤，由“每天的利潤不低于元”確定不等關系，即可列出不等式．

[解析]　若提價后商品的售價為元，則銷售量減少件，因此，每天的利潤為元，則“每天的利潤不低于元”可以用不等式表示為.[歸納提升]　將不等關系表示成不等式的思路

(1)讀懂題意，找準不等式所聯系的量．

(2)用適當的不等號連接．

例2?某礦山車隊有輛載重為的甲型卡車和輛載重為的乙型卡車，且有名駕駛員，此車隊每天至少要運礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返次，乙型卡車每輛每天可往返次，寫出滿足上述所有不等關系的不等式．

[分析]　首先用變量，分別表示甲型卡車和乙型卡車的車輛數，然后分析已知量和未知量間的不等關系：(1)卡車數量與駕駛員人數的關系；(2)車隊每天運礦石的數量；(3)甲型卡車的數量；(4)乙型卡車的數量．再將不等關系用含未知數的不等式表示出來，要注意變量的取值范圍．

[解析]　設每天派出甲型卡車輛，乙型卡車輛，則

即

[歸納提升]　用不等式組表示不等關系的方法

首先要先弄清題意，分清是常量與常量、變量與變量、函數與函數還是一組變量之間的不等關系；然后類比等式的建立過程找到不等詞，選準不等號，將量與量之間用不等號連接；最后注意不等式與不等關系的對應，不重不漏，尤其要檢驗實際問題中變量的取值范圍．

【對點練習】?用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長，要求菜園的面積不小于，靠墻的一邊長為，試用不等式表示其中的不等關系．

[解析]　由于矩形菜園靠墻的一邊長為，而墻長為，所以，這時菜園的另一條邊長為．

因此菜園面積，依題意有，即，故該題中的不等關系可用不等式組表示為

題型二　比較實數的大小

例3?已知，為正實數，試比較與的大小．

[解析]　方法一(作差法)：

.∵，為正實數，∴，，∴，∴.方法二(作商法)：

.∵，∴.方法三(平方后作差)：∵，∴.∵，∴.又，故.[歸納提升]　比較大小的方法

1．作差法的依據：；；.步驟：作差—變形—判斷差的符號—得出結論．

注意：只需要判斷差的符號，至于差的值究竟是多少無關緊要，通常將差化為完全平方式的形式或多個因式的積的形式．

2．作商法的依據：時，；；.步驟：作商——變形——判斷商與的大小——得出結論．

注意：作商法的適用范圍較小，且限制條件較多，用的較少．

3．介值比較法：(1)介值比較法的理論根據：若，則，其中是與的中介值．(2)介值比較法的關鍵是通過不等式的恰當放縮，找出一個比較合適的中介值．

【對點練習】?當時，比較與的大小．

[解析]

．

因為，所以，而.所以，所以.第2課時　不等式性質

必備知識·探新知

基礎知識

知識點不等式的性質

性質　?________；(對稱性)

性質，________；(傳遞性)

性質　?______________；(同加保序性)

推論：___________；(移項法則)

性質，__________，(乘正保序性)，；(乘負反序性)

性質，______________；(同向相加保序性)

性質，__________；(正數同向相乘保序性)

性質　?__________．(非負乘方保序性)

思考：(1)性質的推論實際就是解不等式中的什么法則？

(2)性質就是在不等式的兩邊同乘以一個不為零的數，不改變不等號的方向，對嗎？為什么？

(3)使用性質,時，要注意什么條件？

提示：(1)移項法則．

(2)不對．要看兩邊同乘以的數的符號，同乘以正數，不改變不等號的方向，但是同乘以負數時，要改變不等號的方向．

(3)各個數均為正數．

基礎自測

1．判斷正誤(對的打“√”，錯的打“×”)

(1)若，則.()

(2)同向不等式相加與相乘的條件是一致的．()

(3)設，且，則.()

(4)若，則，.()

[解析](1)由不等式的性質，；反之，時，.(2)相乘需要看是否，而相加與正、負和零均無關系．

(3)符合不等式的可乘方性．

(4)取，，滿足，但不滿足，故此說法錯誤．

2．設，則下列不等式中一定成立的是()

A．　　　　??B．

C．??D．

3．已知，那么下列不等式成立的是()

A．??B．

C．??D．

[解析]　由，可得，又，∴，故選D．

4．用不等號“>”或“<”填空：

(1)如果，那么______；

(2)如果，那么______；

(3)如果，那么______；

(4)如果，那么______.[解析](1)∵，∴，∵，∴.(2)∵，∴.∵，∴，∴.(3)∵，∴，∴，∴，∴，即.(4)∵，所以，.于是，即，即.∵，∴.關鍵能力·攻重難

題型探究

例1?若，則下列結論正確的是()

A．　　　??B．

C．??D．

[分析]　通過賦值可以排除A，D，根據不等式的性質可判斷B，C正誤．

[解析]　若，對于A選項，當，時，不成立；對于B選項，等價于，故不成立；對于C選項，故選項正確；對于D選項，當時，不正確．

[歸納提升]　判斷關于不等式的命題真假的兩種方法

(1)直接運用不等式的性質：把要判斷的命題和不等式的性質聯系起來考慮，找到與命題相近的性質，然后進行推理判斷．

(2)特殊值驗證法：給要判斷的幾個式子中涉及的變量取一些特殊值，然后進行比較、判斷．

【對點練習】?設，是非零實數，若，則下列不等式成立的是()

A．??B．

C．??D．

[解析]　當，時，不一定成立，故A錯．因為，符號不確定，故B錯.，所以，故C正確．D中與的大小不能確定．

題型二　利用不等式的性質證明不等式

例2設，求證：.[分析]　不等式證明，就是利用不等式性質或已知條件，推出不等式成立．

[證明]　因為，所以.所以，所以.所以.又，所以.所以.[歸納提升]　利用不等式的性質證明不等式注意事項

(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用．

(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則．

【對點練習】?若，，求證：.[證明]　因為，所以.又因為，所以.所以.所以.又因為，所以.題型三　利用不等式的性質求范圍

例3?已知,.(1)求的取值范圍．

(2)求的取值范圍．

[解析](1)因為,，所以，所以.(2)由,，得,，所以.[歸納提升]　利用不等式的性質求取值范圍的策略

(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系，最后利用一次不等式的性質進行運算，求得待求的范圍．

(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其取值范圍．

【對點練習】?已知，求與的取值范圍．

[解析]　因為，所以，所以，即.因為，所以，所以，又，所以，即.所以.誤區警示

錯用同向不等式性質

例4?已知,，的取值范圍是_____________.[錯解]　∵,，∴，∴.故填.[錯因分析]　把不等式的同向不等式(正項)相乘的性質用到了除法，從而導致錯誤．

[正解]　∵，∴，又，∴，∴，故填.[方法點撥]　若題目中指定代數式的取值范圍，必須依據不等式的性質進行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時必須利用性質，步步有據，避免改變代數式的取值范圍．

學科素養

不等關系的實際應用

不等關系是數學中最基本的部分關系之一，在實際問題中有廣泛應用，也是高考考查的重點內容．

例5?有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積(單位：)分別為，，且，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/)分別為，，且.在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是()

A．??B．

C．??D．

[分析]　本題考查實際問題中不等關系的建立及利用不等式的性質比較大小．

[解析]　方法一：因為，所以，故；

同理，故.又，故.綜上可得，最低的總費用為.方法二：采用特殊值法進行求解驗證即可，若，，，則，，.由此可知最低的總費用是.[歸納提升]　對于不等關系判斷問題的求解，一般需要通過作差進行推理論證，對運算能力要求較高，但對于具有明確不等關系的式子進行判斷時，特殊值法是一種非常值得推廣的簡便方法．

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