第一篇：一元二次不等式的應用教案

2.2 一元二次不等式的應用

一教學重點：

1.從實際問題中抽象出一元二次不等式的模型。

2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現數形結合的思想。

3.分式不等式與簡單的高次不等式如何根據實數運算的符號法則，把它們轉化與其等價的兩個或多個不等式（組）（由表示成的各因式的符號所有可能的組合決定），于是原不等式的解集就是各個不等式組的解集的并集。同時注意分式不等式的同解變形有如下幾種：（1）f(x)>0?f(x).g(x)>0且g(x)?0； g(x)f(x)<0?f(x).g(x)<0且g(x)?0。g(x)f(x)?0?f(x).g(x)?0且g(x)?0； g(x)f(x)?0?f(x).g(x)?0且g(x)?0。g(x)(2)(3)（4）解簡單的高次不等式一般有兩種思想，即轉化法和數軸標根法，其中轉化法就是應用實數乘法的運算性質，把高次不等式轉化為低次不等式組。數軸標根法的基本思路是：整理（分解）——標根——畫線——選解。

二 教學難點：1.深入理解二次函數，一元二次方程與一元二次不等式的關系。

2.分式不等式與簡單的高次不等式在轉化為一次或二次不等式組時，每一步變形，都應該是不等式的等價變形。在等價變形時，要注意什么時候取并集。帶等號的分式不等式，要注意分母不能為零。由于各個不等式組的解集是本組各個不等式解集的交集，計算較煩，且容易出錯，同學們一定要細心。另外，再取交集，并集時，可以借助數軸的直觀效果，這樣可以避免出錯。

教學過程

上一小節中，我們討論了一元二次不等式的解法，本小節我們將一起研究一元二次不等式的應用。

例1：m為何值時，方程x?(m?3)x?m?0有實數解？ 解：方程x?(m?3)x?m?0有實數解，等價于：

2??(m?3)2?4m?0；

即：m?10m?9?0。

這是關于m的一元二次不等式，按求解程序，可得這個不等式的解集為?m|m?1,或m?9?。2所以，當m?1,或m?9時，原方程有實數解。例2：解下列不等式。

x?15x?1?0（2）?3 x?3x?1x?1?0可轉化成不等式（x+1）解：（1）按商的符號法則，不等式（x-3）?0但x?3.x?3（1）解這個不等式，可得x??1,或x>3，即知原不等式的解集為?x|x??1,或x>3?

5x?15x?1?3可改寫成?3?0 x?1x?12(x?1)?0；

即：x?1（2）不等式可將這個不等式轉化成2(x?1)(x?1)?0； 解得：?1?x?1.所以，原不等式的解集為x|?1?x?1?。

在前面，我們借助一元二次不等式y?ax2?bx?c的圖像，研究了一元二次不等式的解法，下面我們再探究一些簡單的高次不等式的解法。例3：解不等式：(x?1)(x?2)(x?3)?0

解：這是一個一元二次不等式，我們還是利用對函數圖像的分析來解決這個問題：設

?f(x)=(x?1)(x?2)(x?3)。

（1）顯然，y?f(x)的圖像與x軸的交點有三個；它們的坐標依次是（1，0）；（2,0）;(3,0)。（2）函數y?f(x)的圖像把x軸分成了四個不相交的區間，它們依次為：（-?，1）；(1,0);(2,3);(3,+ ?)。

（3）當x>3時，f(x)>0，又函數y?f(x)的圖像是一條不間斷的曲線，并且f(x)的符號每順次經過x軸的一個交點就會發生一次變化，由此可知y?f(x)的函數值的符號如圖3-12所示：

變化規律很明顯，從右到左每個區間符號正負相間。

通過分析知道不等式(x?1)(x?2)(x?3)?0的解集為（1，2）?（3，+?）.如果把函數f(x)圖像與x軸交點（1，0）；（2,0）;(3,0)。形象地看成針眼，函數f(x)的圖像看成“線“，那么上述這種求解不等式(x?1)(x?2)(x?3)?0的方法，我們形象的把它稱為”穿針引線法’.課堂小結：

1.關于一元二次不等式的實際應用題，要注意其實際意義。2.求解一般的高次不等式的解法：

特殊的高次不等式即右邊化為0，左邊可分解一次或二次的因式的形式不等式，一般用區間法解，注意：（1）左邊各因式中x的系數化為“+”，若有因式為二次的（不能分解了）二次項系數也化為“+”，再按我們總結的規律做；（2）注意邊界點（數軸上表示是“?！边€是“.”）.3.分式不等式，切記去分母，一律移項通分化為

f(x)f(x)>0（或<0的形式，轉化為g(x)g(x)f(x).g(x)>0;且g(x)?0；（或f(x).g(x)<0;且g(x)?0，即轉化為一次。二次或特殊高次不等式。）

布置作業：

習題3——2A組。8，B組，2.

第二篇：一元二次不等式教案

§2.2.4一元二次不等式

【授課班級】10級微機化工班 【授 課 人】相福香

【授課時間】2011年1月11日

一、教學目標 1.知識目標：

（1）使學生了解一元二次不等式的概念；（2）使學生掌握用配方法解一元二次不等式。2.能力目標：

培養學生動手、觀察分析、抽象概括、歸納總結等系統的邏輯思維能力，以及良好的思維方法和思維品質。3.情感目標：

滲透抽象與具體、特殊與一般等辯證唯物主義的觀點和方法，培養學生的自信心理。

二、教學分析 1.知識結構

本節課主要內容是用配方法解一元二次不等式。首先介紹了一元二次不等式的概念，然后由對特殊形式的討論推廣到一般的情形，從而總結出用配方法解不等式的一般步驟。2.重點、難點分析

本節課的重點是掌握一元二次不等式的解法；難點是將一元二次不等

（1）(x?2)2?4

（2）(x?1)2?9 例9 解下列不等式：

（1）x2?2x?3?0（2）?2x2?5x?3?0 4.反饋演練，鞏固新知 練習1 解下列不等式：

（1）(x?1)2?64

（2）(x?2)2?100 練習2 解下列不等式：

（1）x2?3x?2?0

（2）?3x2?x?2?0 5.課堂小結

（1）使學生了解一元二次不等式的概念；（2）使學生掌握用配方法解一元二次不等式。6.作業布置

課后練習：課本習題 第8題和第9題 作業： 課本練習2-5 第3題和第5題

第三篇：優質課一元二次不等式教案

一元二次不等式及其解法

一、教學目標：

1、知識目標：理解“三個二次”的關系，從而 熟悉掌握看圖象找一元二次不等式的解集。

2、能力目標：通過圖像找解集，培養學生從“形到數”的轉化能力，“從具體到抽象”、“ 從特殊到一般”的歸納概括能力。

3、情感目標：創設問題情境，激發學生的學習熱情，強化學生參與意識及主體作用，培養學生的數學興趣。

二、教學重點：一元二次不等式的圖像解法。

三、教學難點：“三個二次”的關系，從圖像上找一元二次不等式的解集。

四、教學過程：

（一）創設情境，引入新課

問題：在植樹節，班上組織學生去城市綠化帶植樹，這個綠化帶是長比寬多6米的矩形。假設樹苗株距已經給定，提供的樹苗恰好能栽滿面積為40平方米的空地，那么矩形帶長為多少時，樹苗會不夠栽？

這個問題兩天前在微信群里就讓學生討論思考，學生們已經建立好了數學模型，大大的激發了學生的學習興趣。

解決：設綠化帶長為x m，則依題意有x(x?6)?40

整理為

定義：一般地，含有一個未知數且未知數的最高次數為2的不等式叫做一元二次不等

20?0）式。它的一般形式是ax2?bx?c?（或者ax?bx?c?0(?0），其中a?0。

（二）復習舊知，確立思想 例：請同學們解下面的方程和不等式。1.2x?6?0 2.2x?6?0 3.2x?6?0

為完成本題，首先將學生們每五人分為一組。讓學生以小組為單位進行討論，并派代表展示結果。結果如下圖（教師隨后展示的標準圖）：

師生一起歸納出“三個一次”的關系：

①2x-6=0的解恰是函數y=2x-6的圖象與x軸交點的橫坐標x=3 ②2x-6>0的解集正是函數y=2x-6的圖象在x軸的上方的點的橫坐標的集合?x|x?3? ③2x-6<0的解集正是函數y=2x-6的圖象在x軸的下方的點的橫坐標的集合?x|x?3?

“三個一次”的一般結論：

若ax+b=0(a>0)的解為x0，則函數y=ax+b的圖象與x軸交點為（x0，0）①ax+b>0(a>0)的解集正是函數y=ax+b的圖象在x軸的上方的點的橫坐標的集合?x|x?x0?

②ax+b<0(a>0)的解集正是函數y=ax+b的圖象在x軸的下方的點的橫坐標的集合?x|x?x0?

（三）依舊悟新，引出“三個二次”的關系

師：我們一起來求解一元二次不等式x2?x?6?0,x2?x?6?0吧！

先讓學生自己動手畫出二次函數y?x2?x?6的圖像然后再用多媒體展示出標準圖，如下：

學生以小組為單位繼續對圖像上縱坐標y=0、y>0、y<0所對應的橫坐標x的取值范圍進行討論并派小組代表說出討論結果：

①方程x2?x?6?0的解是x1??2或x2?3；一元二次方程的解就是二次函數圖像與x軸的交點。

②不等式x2?x?6?0的解集是?x/x??2或x?3?;一元二次不等式大于零的解集就是x軸上方二次函數圖像對應的自變量x的取值范圍。

③不等式x2?x?6?0的解集是?x/?2?x?3?.一元二次不等式小于零的解集就是x軸下方二次函數圖像對應的自變量x的取值范圍； 此時，學生已經揭示“三個二次”之間的緊密關系，找到了利用二次函數圖象來解一元二次不等式的方法，突破了本節課的重難點。

（四）歸納提煉，得出“三個二次”的關系

師：我們能不能進一步將特殊、具體的結論轉化成一般結論呢？也就是如果把y?x2?x?6變為, 這種情況下你還能根據圖象與x軸的相對位置關系分別將Δ>0、Δ=0、Δ<0三種情況下相應不等式的解集表示出來嗎？現在我們進行搶答把下面的表格填寫完整。一、二、三！開始！

通過三輪搶答以及老師的引導完成了表格，從而揭示了“三個二次”的一般關系，同時也再一次強化了學生的數形結合思想，提高了學生歸納概括的能力，讓學生體驗到數學的樂趣。

注：表中

.（五）例題講解，形成結論 例題：解下列不等式

21、-3x?6x?22、3、解：

1、因為二次項系數為-3<0,將不等式兩邊同時乘以-1，得

3x2?5x?2?0的解為方程

所以3x2?5x?2?0的解集為?，1?即原不等式解集為?，1?

?2??3??2??3?

22、由于??22-4?1?3?-8?0,故方程x?2x?3?0沒有實數根本，所以原不等式的解集為R.23、因為二次項系數4>0，????4??4?4?1?0.方程4x2?4x?1?0的解為x1?x2?1?1?，所以原不等式的解集為??。2?2?

（六）運用新知，強化練習

2x1、?6x?40?0（讓學生利用學到的知識自我解惑剛剛遺留的數學實際問題，長為多少時，樹苗不夠栽？）

22、?x?3x?10?0

22x?4x?2?0

3、（七）反思小結，提高認識 解一元二次不等式的“四部曲”

（1）把二次項的系數化為正數；

（2）計算判別式Δ；

（3）解對應的一元二次方程；

（4）根據一元二次方程的根，結合圖像，寫出不等式的解集。概括為：一化正 → 二算Δ → 三求根 → 四寫解集

（八）作業布置

閱讀：教材章節2.3 書寫：練習2.3A 組 1（1）（2）（4）2 思考：尋找不等式的生活運用

第四篇：一元二次不等式習題[

一元二次不等式基礎的練習題一、十字相乘法練習：

1、x2+5x+6=

2、x2-5x+6=

3、x2+7x+12=

4、x2-7x+6=

5、x2-x-12=

6、x2+x-12=

7、x2+7x+12=

8、x2-8x+12=

9、x2-4x-12=10、3x+5x-12=11、3x+16x-12=12、3x2-37x+12=13、2x2+15x+7=14、2x2-7x-15=15、2x2+11x+12=16、2x2+2x-12= 22

練習：

1、解下列不等式：

（1）3x2-7x>10；（2）-2x2?6x?5?0；

（3）x2?4x?5?0 ；（4）10x2?33x?20?0；

（5）-x2?4x?4?0；（6）x2?(2m?1)x+m2+m<0；

（7）(x?5)(3?x)?0；（8）(5-x)(3-x)<0；

x--4（9）(5+2x)(3-x)<0；（10?0；x+3

2?x(11)?0；4?x2、(1)解關于x的不等式x2?2ax?3a2?0

(2)解關于x的不等式x?(1?a)x?a?0.3、（1）若不等式ax2?bx?c?0的解集是{x-3

（2）已知一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|-2

A.a<0;B.-20?a<0;C.-20?a?0;........D.-20

（3）對任意實數x，不等式x2+x+k>0恒成立，則k的取值范圍是___________

第五篇：一元二次不等式基礎練習題

一元二次不等式強化一、十字相乘法練習：

1、x2+5x+6=

2、x2-5x+6=

3、x2+7x+12=

4、x2-7x+6=

5、x2-x-12=

6、x2+x-12=

7、x2+7x+12=

8、x2-8x+12=

9、x2-4x-12=10、3x+5x-12=11、3x+16x-12=12、3x2-37x+12=13、2x2+15x+7=14、2x2-7x-15=15、2x2+11x+12=16、2x2+2x-12=二、一元二次不等式 22

解一元二次不等式時

化為一般格式：ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)；

練習：

1、解下列不等式：

（1）3x2-7x>10；（2）-2x2?6x?5?0；

（3）x2?4x?5?0 ；（4）10x2?33x?20?0；

（5）-x2?4x?4?0；（6）x2?(2m?1)x+m2+m<0；

（7）(x?5)(3?x)?0；（8）(5-x)(3-x)<0；

x--4（9）(5+2x)(3-x)<0；（10?0；x+3

2?x(11)?0；4?x2、(1)解關于x的不等式x2?2ax?3a2?0

(2)解關于x的不等式x?(1?a)x?a?0.3、（1）若不等式ax2?bx?c?0的解集是{x-3

（2）已知一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|-2

A.a<0;B.-20?a<0;C.-20?a?0;........D.-20

（3）對任意實數x，不等式x2+x+k>0恒成立，則k的取值范圍是___________