學科

數學

年級/冊

七年級（下）

教材版本

九年義務教育人教版

課題名稱

8．3

實際問題與二元一次方程組

難點名稱

列二元一次方程組解決幾何圖形問題

難點分析

從知識角度分析為什么難

列二元一次方程組解決幾何圖形問題，就是建立方程的模型，學生難點在于找不到等量關系。

從學生角度分析為什么難

1.從文字信息中找到數學信息能力弱。關鍵是閱讀理解能力有待提高。

2.不愿意動手嘗試，欠缺實踐意識。

難點教學方法

1.細致讀題，培養閱讀理解能力，學會把文字語言轉化為數學語言。

2.啟發學生，鼓勵學生動手去標注條件，參與到探究中去，體會數形結合數學思想。

教學環節

教學過程

導入

回憶上節課內容，利用“二元一次方程組”解決實際問題的一般步驟：

1審：認真仔細讀題目，根據關鍵的字眼，尋找等量關系式。

2設：考慮設直接未知數還是間接未知數。

3列：根據等量關系式列出方程組。

4解：用適當的方法解方程組。

5答：寫出問題的答案，記得滿足實際問題。

知識講解

（難點突破）

1、如圖，用12塊相同的小長方形瓷磚拼成一個大的長方形，設小長方形的長和寬分別為xcm和ycm，可列出方程組為：__________.分析：

本題不光有文字敘述，配有幾何圖形，就是我們今天要研究的“幾何圖形問題”。

問：大長方形在哪里？（紅色凸顯出來）

題中主角是小長方形，拼成一個長方形，根據長方形的長相等，一條長是3個小長方形的長，一條是小長方形的2長和3寬，大長方形的寬是小長方形的長和寬之和。

問:本題的未知量是什么？可以怎樣設元？你能找到哪些和未知量有關的等量關系？

所以，不難得出兩個方程：x+y=40,x=3y組成方程組。

得出答案。

2、如圖，一個周長為34cm的大長方形，由7個大小相等的小長方形拼成，求小長方形的長和寬。

分析：觀察圖形，用字母標注圖形。（采取與第一道例題不一樣的方式，目的讓學生掌握多種方法。）

重點分析根據“大長方形的性質—--兩條對邊長相等，周長等于34厘米”找出等量關系。先設“小長方形”的邊長，用x、y表示圖中的“長”得到方程1，再表示“寬”，發現方程不成立，接著根據“周長”等量關系式得到方程2，組合成方程組。（設計“不成立的方程”意圖：為后期例題中分析做準備，可以少走彎路，節約時間。）

解:設小長方形的長為xcm,寬為ycm,由題意得:

答：小長方形的長是5cm、寬是2cm。

3、小華在拼圖時，發現8個一樣大的小長方形，恰好可以拼成一個大長方形如圖甲。陳宇看見了說“我來試一試”，結果他七拼八湊，拼成一個如圖乙的正方形，中間留下一個洞，恰好是邊長2mm的小正方形，你能算出小長方形的長和寬嗎？

甲

乙

分析：這是一道特別經典例題。圖形甲、乙都是由小長方形拼出的，所以等量關系依然在圖形的邊上。

甲圖的重點類比之前

“大長方形的長”，快速得出：3x=5y。乙圖在“邊長2mm的小正方形”多觀察。

其中

類似的設小長方形的長和寬，標識在圖形上，演示給學生看，讓學生會標注，會畫圖示。找到x+2=2y,聯立方程組，問題得以解決。

解：設小長方形的長為xmm，寬為ymm，依題意，得

答：小長方形的長為10mm，寬為6mm。

課堂練習

（難點鞏固）

4、用8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少?（單位cm）

60cmcm

解:設小長方形地磚的長為x

cm,寬為y

cm,由題意,得

解此方程組得：

答:小長方形地磚的長為45cm,寬為15cm.設計意圖：學生當堂獨立完成，檢測知識點的掌握情況。再出示答案，讓學生自己了解學習效果。

小結

這節課我們主要探究了用二元一次方程組解決幾何圖形問題，并且體會到圖形的簡潔美。

借助直觀圖形，標注字母、線段的長度，分析與未知量有關的數量之間的關系，用未知量x、y表示出來，從而構建二元一次方程組模型解決問題。

在探究過程中運用了數形結合思想、方程思想、建模思想。