2021年北師大版七年級數學下冊《第5章生活中的軸對稱》優生自主提升訓練（附答案）

1．如圖，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面積是20，AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于E、F點，若點D為BC邊的中點，點M為線段上一動點，則△CDM周長的最小值為（）

A．6

B．8

C．10

D．12

2．元旦聯歡會上，同學們玩搶凳子游戲，在與A、B、C三名同學距離相等的位置放一個凳子，誰先搶到凳子誰獲勝．如果將A、B、C三名同學所在位置看作△ABC的三個頂點，那么凳子應該放在△ABC的（）

A．三邊中線的交點

B．三條角平分線的交點

C．三邊上高的交點

D．三邊垂直平分線的交點

3．如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AIB＝α，則∠AOB的大小為（）

A．α

B．4α﹣360°

C．α+90°

D．180°﹣α

4．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，則點D到AC的距離為（）

A．4

B．6

C．8

D．10

5．等腰三角形一邊的長為4cm，周長是18cm，則底邊的長是（）

A．4cm

B．10cm

C．7或10cm

D．4或10cm

6．如果等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，那么這個等腰三角形的底角為（）

A．22.5°

B．67.5°

C．67°

50＇

D．22.5°或67.5°

7．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，DE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F，DE＝2，則BF的長為（）

A．3

B．4

C．5

D．6

8．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的的面積等于（）

A．4

B．5

C．7

D．10

9．如圖，在等腰△ABC中，∠ABC＝118°，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，BC的垂直平分線PQ交BC于點P，交AC于點Q，連接BE，BQ，則∠EBQ＝（）

A．65°

B．60°

C．56°

D．50°

10．如圖，在△ABC中，AC＝AB，△ABC的角平分線AD交BE于點F，若∠AFE＝32°，則∠FBD＝

°．

11．如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，若∠1＝39°，則∠AOC＝

．

12．如圖，已知△ABC的周長是15，點F，G分別是AC，BC上的點，將△CFG沿著直線FG折疊，點C落在點C′處，且點C′在三角形的外部，則陰影部分圖形的周長是

．

13．如圖所示，∠AOB＝60°，點P是∠AOB內一定點，并且OP＝2，點M、N分別是射線OA，OB上異于點O的動點，當△PMN的周長取最小值時，點O到線段MN的距離為

．

14．如圖，BD平分∠ABC交AC于點D，DE⊥BC于點E，若AB＝5，BC＝7，S△ABC＝12，則DE的長為

．

15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D和點A在直線BC的同側，BD＝BC，∠BAC＝82°，∠DBC＝38°，連接AD、CD，則∠ADB的度數為

．

16．頂角為銳角的等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則該三角形的底角為

．

17．如圖，已知△ABC中，∠BAC＝135°，現將△ABC進行折疊，使頂點B、C均與頂點A重合，則∠DAE的度數為

．

18．如圖，CE、CB分別是△ABC和△ADC的中線，且AC＝AB，則下列結論中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE．正確結論的序號為

．

19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，則∠ADE＝

．

20．如圖，△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點D，則△ABD的周長為

．

21．如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD邊上分別找到點M、N，當△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM的度數為

．

22．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點D為射線CB上一點，過點D作DE⊥AC于點E．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，請直接寫出∠BAC與∠EDC的數量關系：

．

（2）如圖2，當點D在CB的延長線上時，畫出圖形，探究∠BAC與∠EDC的數量關系，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，點F為線段BC上一點，過點F作FG⊥AC于點G，連接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延長ED、AB交于點K，求∠EKA的度數．

23．如圖，在等邊三角形ABC中，D是AB上的一點，E是CB延長線上一點，連接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．

（1）求證：△DEC是等腰三角形．

（2）當∠BDC＝5∠EDB，EC＝8時，求△EDC的面積．

24．如圖，直角三角形紙片ABC中，∠C＝90°，將紙片沿EF折疊，使得A點落在BC上點D處，連接DE，DF．△CDE中有兩個內角相等．

（1）若∠A＝50°，求∠BDF的度數；

（2）若△BDF中也有兩個內角相等，求∠B的度數．

25．如圖，點P是∠AOB外的一點，點Q與P關于OA對稱，點R與P關于OB對稱，直線QR分別交OA、OB于點M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．

（1）求線段QM、QN的長；

（2）求線段QR的長．

26．如圖，△ABC的角平分線AE，BF交于O點．

（1）若∠ACB＝70°，則∠BOA＝；

（2）求證：點O在∠ACB的角平分線上．

（3）若OE＝OF，求∠ACB的度數．

27．如圖，在正方形網格中，點A、B、C、M、N都在格點上．

（1）作△ABC關于直線MN對稱的圖形△A＇B＇C＇．

（2）若網格中最小正方形的邊長為1，求△ABC的面積．

（3）點P在直線MN上，當△PAC周長最小時，P點在什么位置，在圖中標出P點．

28．已知△ABC，∠ABC＝80°，點E在BC邊上，點D是射線AB上的一個動點，將△BDE沿DE折疊，使點B落在點B＇處．

（1）如圖1，若∠ADB＇＝125°，求∠CEB＇的度數；

（2）如圖2．試探究∠ADB＇與∠CEB＇的數量關系，并說明理由；

（3）連接CB＇，當CB＇∥AB時，直接寫出∠CB＇E與∠ADB＇的數量關系為

．

參考答案

1．解：連接AD，AM．

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12．

故選：D．

2．解：∵三角形的三條垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，∴凳子應放在△ABC的三條垂直平分線的交點最合適．

故選：D．

3．解：連接CO并延長至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵點O是AC、BC的垂直平分線的交點，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝2∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故選：B．

4．解：∵BC＝10，CD＝6，∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4，△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，∴點D到AC的距離＝BD＝4．

故選：A．

5．解：分情況考慮：

①當4cm是腰時，則底邊長是18﹣8＝10（cm），此時4，4，10不能組成三角形，應舍去；

②當4cm是底邊時，腰長是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能夠組成三角形．此時底邊的長是4cm．

故選：A．

6．解：有兩種情況；

（1）如圖1，當△ABC是銳角三角形時，BD⊥AC于D，則∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°，（2）如圖2，當△EFG是鈍角三角形時，FH⊥EG于H，則∠FHE＝90°，∵∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G，＝×（180°﹣135°），＝22.5°．故選：D．

7．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中線，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB?DE＝AB?DE＝2AB，∵S△ABC＝AC?BF，∴AC?BF＝2AB，∵AC＝AB，∴BF＝2，∴BF＝4，故選：B．

8．解：過E作EF⊥BC于點F，∵CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC?EF＝×5×2＝5，故選：B．

9．解：等腰△ABC中，∠ABC＝118°，∴∠A＝∠C＝31°，∵AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，BC的垂直平分線PQ交BC于點P，交AC于點Q，∴EA＝EB，QB＝QC，∴∠ABE＝∠QBC＝∠A＝∠C＝31°，∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠QBC＝118°﹣31°﹣31°＝56°，故選：C．

10．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∵∠AFE＝32°，∴∠BFD＝32°，∴∠FBD＝90°﹣32°＝58°，故答案為：58．

11．解：解法一：連接BO，并延長BO到P，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；

解法二：

連接OB，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；

故答案為：78°．

12．解：∵將△CFG沿著直線FG折疊，點C落在點C′處，∴CF＝C＇F，CG＝C＇G，則陰影部分圖形的周長＝AB+AF+BG+C′F+C′G

＝AB+AF+BG+CF+CG

＝AB+BC+AC

＝△ABC的周長

＝15；

故答案為：15．

13．解：作點P關于OB的對稱點P＇，點P關于OA的對稱點P＇＇，連接P＇P＇＇與OA，OB分別交于點M與N

則P＇P＇＇的長即為△PMN周長的最小值，連接OP＇，OP＇＇，過點O作OC⊥P＇P＇＇于點C

由對稱性可知OP＝OP＇＝OP＇＇，∵OP＝2，∠AOB＝60°，∴∠P＇＝∠P＇＇＝30°，OP′＝OP＇＇＝2，∴OC＝＝1；

故答案為1．

14．解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF，∴×AB×DF+×BC×DE＝S△ABC，即×5×DE+×7×DE＝12，解得，DE＝2，故答案為：2．

15．解：如圖，作∠AB

D′＝∠ABD，B

D′＝BD，連接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝82°，∴∠ABC＝49°，∵∠DBC＝38°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝11°，∵在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′（SAS），∴∠ABD＝∠ABD′＝11°，∠ADB＝∠AD′B，AD＝AD′，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝11+49°＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等邊三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C（SSS），∴∠AD′B＝∠AD′C＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°，故答案為：30°．

16．解：如圖1，∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠C＝∠ABC＝＝70°．

故答案為：70°．

17．解：如圖，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝180°﹣135°＝45°；

由折疊的性質得：∠B＝∠DAB（設為α），∠C＝∠EAC（設為β），則α+β＝45°，∠ADE＝2α，∠AED＝2β，∴∠DAE＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣90°＝90°，故答案為：90°．

18．解：取DC的中點F，連接BF，則CD＝2CF，∵B為AD的中點，∴BF為△ACD的中位線，∴BF∥AC，AC＝2BF，∴∠CBF＝∠ACB，∵AB＝AC，E為AB的中點，∴AE＝BE＝BF，∠ABC＝∠ACB＝∠CBF，∵CB＝CB，∴△CEB≌△CFB（SAS），∴CE＝CF，∠ECB＝∠BCD，故②正確；

∴CD＝2CE，故④正確；

∵∠ABC＝∠ACB，∠ACB＝∠BDC+∠BCD，∠ABC＝∠ACE+∠ECB，∴∠ACE+∠ECB＝∠BDC+∠BCD，∵∠ECB＝∠BCD，∴∠ACE＝∠BDC，故③正確；

根據已知條件無法證明BC＝BD，故①錯誤．

故答案為②③④．

19．解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，設∠B＝∠C＝x，則∠DAE＝∠DEA＝∠C+∠EDC＝x+10°，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴20°+10°+x+2x＝180°，∴x＝50°，∴∠DAE＝∠DEA＝60°，∴∠ADE＝60°，故答案為60°．

20．解：∵BC的垂直平分線l與AC相交于點D，∴BD＝CD，∵AB＝6cm，AC＝8cm，∴△ABD的周長為AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝6+8＝14（cm），故答案為：14cm．

21．解：如圖，作點A關于BC的對稱點A′，關于CD的對稱點A″，連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N，∵∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝130°

∴∠A′+∠A″＝180°﹣130°＝50°，由軸對稱的性質得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．

故答案為100°．

22．（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAH＝∠CAH，∵DE⊥AC，∴∠AHC＝∠CED＝90°，∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，∴∠CAH＝∠EDC，∴∠BAC＝2∠EDC．

故答案為∠BAC＝2∠EDC．

（2）如圖2中，結論：∠BAC＝2∠EDC．

理由：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAH＝∠CAH，∵DE⊥AC，∴∠AHC＝∠CED＝90°，∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，∴∠CAH＝∠EDC，∴∠BAC＝2∠EDC．

（3）如圖2中，設∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，則∠BAF＝∠BFA＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°，∵KE⊥EC，∴∠E＝90°，∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．

23．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；

（2）解：設∠EDB＝α，則∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如圖，過D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面積＝EC?DH＝8×4＝16．

24．解：（1）∵∠C＝90°，且△CDE中有兩個內角相等，∴∠CED＝∠CDE＝45°，∵△EDF是由△EAF翻折得到，∠A＝50°，∴∠EDF＝∠A＝50°，∴∠BDF＝180°﹣∠CDE﹣∠EDF＝180°﹣45°﹣50°＝85°；

（2）設∠EDF＝∠EAF＝x°，∴∠BDF＝180°﹣45°﹣x°＝（135﹣x）°，∠B＝（90﹣x）°，∴∠BFD＝180°﹣（135﹣x）°﹣（90﹣x）°＝（2x﹣45）°，∵△BDF中有兩個內角相等，可分三種情況討論：

①當∠BDF＝∠B時，令135﹣x＝90﹣x，則方程無解，∴此情況不成立，舍去；

②當∠BFD＝∠B時，令2x﹣45＝90﹣x，解得x＝45，∴∠B＝90°﹣45°＝45°；

③當∠BFD＝∠BDF時，令2x﹣45＝135﹣x，解得x＝60，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，綜上所述，若△BDF中也有兩個內角相等，則∠B的度數可能為45°或30°．

25．解：（1）∵P，Q關于OA對稱，∴OA垂直平分線段PQ，∴MQ＝MP＝4，∵MN＝5，∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1．

（2）∵P，R關于OB對稱，∴OB垂直平分線段PR，∴NR＝NP＝4，∴QR＝QN+NR＝1+4＝5．

26．解：（1）∵∠ACB＝70°，∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣70°＝110°，∵△ABC的角平分線AE，BF交于O點，∴，∴∠ABO+∠BAO＝（∠ABC+∠ACB）＝55°，∴∠AOB＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝125°，故答案為：125°；

（2）過O作OD⊥BC于D，OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，∴OG＝OH，OG＝OD，∴OD＝OH，∴點O在∠ACB的角平分線上．

（3）連接OC，在Rt△OED與Rt△OFH中，∴Rt△OED≌Rt△OFH，（HL），∴∠EOD＝∠FOH，∴∠DOH＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，∵AE、BF是角平分線，∴∠AOB＝90°+∠ACB，即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°；

27．解：（1）如圖，△A＇B＇C＇即為所求；

（2）△ABC的面積為：3×2＝3；

（3）因為點A關于MN的對稱點為A′，連接A′C交直線MN于點P，此時△PAC周長最小．

所以點P即為所求．

28．解：（1）如圖1中，連接BB′．

由翻折的性質可知，∠DBE＝∠DB′E＝80°，∵∠ADB′＝∠DBB′+∠DB′B＝125°，∴∠EBB′+∠EB′B＝160°﹣125°＝35°，∴∠CEB′＝∠EBB′+∠EB′B＝35°．

（2）結論：∠CEB′＝∠ADB′+20°．

理由：如圖2中，∵∠ADB′+∠BEB′＝360°﹣2×（180°﹣80°），∴∠ADB′+180°﹣∠CEB′＝160°，∴∠CEB′＝∠ADB′+20°．

（3）如圖1﹣1中，當點D在線段AB上時，結論：∠CB′E+80°＝∠ADB′

理由：連接CB′．

∵CB′∥AB，∴∠ADB′＝∠CB′D，由翻折可知，∠B＝∠DB′E＝80°，∴∠CB′E+80°＝∠CB′D＝∠ADB′．

如圖2中，當點D在AB的延長線上時，結論：∠CB′E+∠ADB′＝80°．

理由：連接CB′．

∵CB′∥AD，∴∠ADB′+∠DB′C＝180°，∵∠ABC＝80°，∴∠DBE＝∠DB′E＝100°，∴∠CB′E+100°+∠ADB′＝180°，∴∠CB′E+∠ADB′＝80°．

綜上所述，∠CB＇E與∠ADB＇的數量關系為∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°．

故答案為：∠CB′E+80°＝∠ADB′或∠CB′E+∠ADB′＝80°