分?jǐn)?shù)乘除法速算巧算
教學(xué)目標(biāo)
分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段的關(guān)鍵知識點，在小學(xué)的學(xué)習(xí)有分水嶺一樣的階段性標(biāo)志，許多難題也是從分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)開始遇到的。
分?jǐn)?shù)基本運算的常考題型有
（1）
分?jǐn)?shù)的四則混合運算
（2）
分?jǐn)?shù)與小數(shù)混合運算，分化小與小化分的選擇
（3）
復(fù)雜分?jǐn)?shù)的化簡
（4）
繁分?jǐn)?shù)的計算
知識點撥
分?jǐn)?shù)與小數(shù)混合運算的技巧
在分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則混合運算中，到底是把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，還是把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，這不僅影響到運算過程的繁瑣與簡便，也影響到運算結(jié)果的精確度，因此，要具體情況具體分析，而不能只機(jī)械地記住一種化法：小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。
技巧1：一般情況下，在加、減法中，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)比較方便。
技巧2：在加、減法中，有時遇到分?jǐn)?shù)只能化成循環(huán)小數(shù)時，就不能把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。此時要將包括循環(huán)小數(shù)在內(nèi)的所有小數(shù)都化為分?jǐn)?shù)。
技巧3：在乘、除法中，一般情況下，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)計算，則比較簡便。
技巧4：在運算中，使用假分?jǐn)?shù)還是帶分?jǐn)?shù)，需視情況而定。
技巧5：在計算中經(jīng)常用到除法、比、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)相互之間的變，把這些常用的數(shù)互化數(shù)表化對學(xué)習(xí)非常重要。
例題精講
【例
1】的分母擴(kuò)大到32，要使分?jǐn)?shù)大小不變，分子應(yīng)該為__________。
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽
【解析】
根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分母擴(kuò)大倍數(shù)，要使分?jǐn)?shù)大小不變，分子應(yīng)該為擴(kuò)大相同的倍數(shù)。分母擴(kuò)大：（倍），分子為：。
【答案】
【鞏固】
小虎是個粗心大意的孩子，在做一道除法算式時，把除數(shù)看成了來計算，算出的結(jié)果是120，這道算式的正確答案是__________。
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級
【解析】
根據(jù)題意可知，被除數(shù)為，所以正確的答案為。
【答案】
【例
2】
將下列算式的計算結(jié)果寫成帶分?jǐn)?shù)：
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式===×59=59-=58
【答案】
【例
3】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】希望杯，1試
【解析】
【答案】
【鞏固】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】希望杯，2試
【解析】
【答案】
【例
4】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【例
5】
計算
÷÷
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】3星
【題型】填空
【解析】
÷÷
【答案】
【例
6】
計算：
=_____
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試
【解析】
原式
【答案】
【例
7】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【解析】
原式=
【答案】
【鞏固】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【關(guān)鍵詞】2007年，希望杯，1試
【解析】
【答案】
【例
8】
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【解析】
本題考察學(xué)生對帶分?jǐn)?shù)的靈活轉(zhuǎn)化及四則運算定律的準(zhǔn)確理解
本題非常容易出現(xiàn)的一種錯誤解法是：
也就是學(xué)生會慣性的理解為除法具有除法分配率！正確的解法如下：
【答案】
【鞏固】
．
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【解析】
原式．
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【關(guān)鍵詞】2008年，清華附中考題
【解析】
原式．
【答案】
【例
9】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】3星
【題型】填空
【解析】
本題用是重復(fù)數(shù)字的拆分和分?jǐn)?shù)計算的綜合，例如：，原式
【答案】
【例
10】
一根鐵絲，第一次剪去了全長的，第二次剪去所剩鐵絲的，第三次剪去所剩鐵絲的，第次剪去所剩鐵絲的，這時量得所剩鐵絲為米，那么原來的鐵絲長
米。
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【關(guān)鍵詞】中環(huán)杯，六年級，初賽
【解析】
第次剪去后剩下的鐵絲為(米)，第次剪去后剩下的鐵絲長為，依次可以得出，原來的鐵絲長為（米）。
【答案】
【鞏固】
2008減去它的，再減去所得差的，……，依此類推，直到減去上次所得差的．最后的數(shù)是___________．
【考點】分?jǐn)?shù)乘除法
【難度】2星
【題型】填空
【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽
【解析】
2008減去后變?yōu)榱嗽瓉淼模贉p去所得差的則變成了原來的，依次類推，最后所得的數(shù)為。
【答案】
分?jǐn)?shù)的四則混合運算綜合教學(xué)目標(biāo)
分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段的關(guān)鍵知識點，在小學(xué)的學(xué)習(xí)有分水嶺一樣的階段性標(biāo)志，許多難題也是從分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)開始遇到的。
分?jǐn)?shù)基本運算的常考題型有
（5）
分?jǐn)?shù)的四則混合運算
（6）
分?jǐn)?shù)與小數(shù)混合運算，分化小與小化分的選擇
（7）
復(fù)雜分?jǐn)?shù)的化簡
（8）
繁分?jǐn)?shù)的計算
知識點撥
分?jǐn)?shù)與小數(shù)混合運算的技巧
在分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則混合運算中，到底是把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，還是把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，這不僅影響到運算過程的繁瑣與簡便，也影響到運算結(jié)果的精確度，因此，要具體情況具體分析，而不能只機(jī)械地記住一種化法：小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，或分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。
技巧1：一般情況下，在加、減法中，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)比較方便。
技巧2：在加、減法中，有時遇到分?jǐn)?shù)只能化成循環(huán)小數(shù)時，就不能把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。此時要將包括循環(huán)小數(shù)在內(nèi)的所有小數(shù)都化為分?jǐn)?shù)。
技巧3：在乘、除法中，一般情況下，小數(shù)化成分?jǐn)?shù)計算，則比較簡便。
技巧4：在運算中，使用假分?jǐn)?shù)還是帶分?jǐn)?shù)，需視情況而定。
技巧5：在計算中經(jīng)常用到除法、比、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)相互之間的變，把這些常用的數(shù)互化數(shù)表化對學(xué)習(xí)非常重要。
例題精講
分?jǐn)?shù)混合運算
【例
11】
0.30.8＋0.2＝
。（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)形式）
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】1星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試
【解析】
×+=+=。
【答案】
【例
12】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
13】
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式
=16
【答案】
【例
14】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】1星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】小數(shù)報，初賽
【解析】
原式
【答案】
【例
15】
．
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】清華附中
【解析】
觀察發(fā)現(xiàn)如果將分成50與的和，那么50是除數(shù)的分子的整數(shù)倍，則恰好與除數(shù)相等．原式中其它兩個被除數(shù)也可以進(jìn)行同樣的分拆．
原式
【答案】
【鞏固】
．
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
觀察發(fā)現(xiàn)如果將分成30與的和，那么30是除數(shù)的分子的整數(shù)倍，則恰好與除數(shù)相等．原式中其它兩個被除數(shù)也可以進(jìn)行同樣的分拆．
原式
【答案】
【鞏固】
．
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：。
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試
【解析】
原式=2
【答案】
【鞏固】
2006×2008×（）＝
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】2006年，希望杯，第四屆，五年級，六年級，一試
【解析】
2006×2008×
+2006×2008×=+=2。
【答案】
【例
16】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：（）
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽
【解析】
0.1
【答案】
【例
17】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式==
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營
【解析】
【答案】
【鞏固】
_______．
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
_______．
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，2試
【解析】
原式
【答案】
【例
18】
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
19】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式()()
【答案】
【例
20】，其中（）應(yīng)填
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽
【解析】
右邊，左式所以，（）。
【答案】
【例
21】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
【答案】
分?jǐn)?shù)小數(shù)混合計算
【例
22】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式()()
()
()
【答案】
【鞏固】
計算：．
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】迎春杯，初賽
【解析】
原式．
【答案】
【例
23】
計算：
①
18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13
=
();②=
()。
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，總決賽，一試
【解析】
10.695；1
【答案】10.695；1
【例
24】
請計算：
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽
【解析】
原式＝
【答案】
【鞏固】
請將下面算式結(jié)果寫成帶分?jǐn)?shù)：
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽
【解析】
原式
【答案】
【例
25】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式=
【答案】
【鞏固】
計算：.【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式.⑵原式
.【答案】
【例
26】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式=
【答案】
【鞏固】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【例
27】
計算：的值為多少?
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】迎春杯
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算（1）
（2）
（3）
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
如果按照算式中的運算順序進(jìn)行運算，勢必太麻煩.當(dāng)我們觀察出：，時，本題運用乘法的結(jié)合律、分配律可以很
快地算出結(jié)果.（1）原式
（2）原式()
（3）原式
【答案】（1）158000
（2）
（3）
【例
28】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：()
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
()
【答案】
【鞏固】
計算：
．
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽
【解析】
原式
．
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
⑴
【答案】
【例
29】
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
本題觀察發(fā)現(xiàn)除以相當(dāng)于乘以3.6則公因數(shù)就出來了
【答案】
【鞏固】
計算
【考點】分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運算
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】希望杯，1試
【解析】
【答案】
繁分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【例
30】
計算：________．
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式＝÷
【答案】
【例
31】
算式等于（）
A.3 B.2 C.1 D.0
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】2星
【題型】選擇
【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽
【解析】
原式＝＝＝2
【答案】
【例
32】
計算：
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽
【解析】
原式=
【答案】
【例
33】
計算：=
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級，決賽
【解析】
原式=
【答案】
【例
34】
設(shè)，其中a、b、c、d都是非零自然數(shù)，則a＋b＋c＋d＝___.【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，總決賽，二試
【解析】
∴a＋b＋c＋d＝2＋3＋5＋9＝19
【答案】
【例
35】
計算
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
36】
計算：
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
37】
計算
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式=
【答案】
【鞏固】
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
38】
．
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，復(fù)賽
【解析】
原式
【答案】
【例
39】
計算：
．
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
觀察發(fā)現(xiàn)分子和分母的項數(shù)相同，各有98項，且分子分母中對應(yīng)項的分?jǐn)?shù)的分母相同，進(jìn)一步觀察分子分母中相對應(yīng)的數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)分母中的數(shù)恰好都是分子中的數(shù)的2倍．于是，原式
【答案】
【例
40】
計算：
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級，初賽
【解析】
原式
【答案】
【例
41】
計算：________
【考點】反分?jǐn)?shù)計算與復(fù)雜分?jǐn)?shù)化簡
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
分?jǐn)?shù)加減法速算與巧算
教學(xué)目標(biāo)
本講知識點屬于計算板塊的部分，難度并不大。要求學(xué)生熟記加減法運算規(guī)則和運算律，并在計算中運用湊整的技巧。
知識點撥
一、基本運算律及公式
一、加法
加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，他們的和不變。即：a＋b＝b＋a
其中a，b各表示任意一數(shù)．例如，7＋8＝8＋7＝15.總結(jié)：多個數(shù)相加，任意交換相加的次序，其和不變．
加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，他們的和不變。
即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
其中a，b，c各表示任意一數(shù)．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).總結(jié)：多個數(shù)相加，也可以把其中的任意兩個數(shù)或者多個數(shù)相加，其和不變。
二、減法
在連減或者加減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時要帶數(shù)字前面的運算符號“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一個數(shù)．
在加減法混合運算中，去括號時：如果括號前面是“＋”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號不變；如果括號前面是“－”號，那么去掉括號后，括號內(nèi)的數(shù)的運算符號“＋”變?yōu)椤埃保埃弊優(yōu)椤埃保?/p>
如：a＋（b－c）＝a＋b－c
a－（b＋c）＝a－b－c
a－（b－c）＝a－b＋c
在加、減法混合運算中，添括號時：如果添加的括號前面是“＋”，那么括號內(nèi)的數(shù)的原運算符號不變；如果添加的括號前面是“－”，那么括號內(nèi)的數(shù)的原運算符號“＋”變?yōu)椤埃?，“－”變?yōu)椤埃薄?/p>
如：a＋b－c＝a＋（b－c）
a－b＋c＝a－（b－c）
a－b－c＝a－（b＋c）
二、加減法中的速算與巧算
速算巧算的核心思想和本質(zhì)：湊整
常用的思想方法：
1、分組湊整法．把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去，或先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)．“補數(shù)”就是兩個數(shù)相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補數(shù)”．
2、加補湊整法．有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整．
3、數(shù)值原理法．先把加在一起為整十、整百、整千……的數(shù)相加，然后再與其它的數(shù)相加．
4、“基準(zhǔn)數(shù)”法，基準(zhǔn)當(dāng)幾個數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”（要注意把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上）
例題精講
【例
1】
_____
【考點】分?jǐn)?shù)約分
【難度】1星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試
【解析】
原式=
【答案】
【例
2】
如果，則________（4級）
【考點】分?jǐn)?shù)約分
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，一試
【解析】，所以A=2008.【答案】
模塊一：分組湊整思想
【例
3】
【考點】分組湊整
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
觀察可知分母是1的和為1；分母是2的和為2；分母是3的和為3；……依次類推；分母是1995的和為1995.這樣，此題簡化成求的和.【答案】
【例
4】
【考點】分組湊整
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
觀察可知分母是2分子和為1分母是3分子和為；分母是4分子和為；……依次類推；分母是20子和為.原式
【例
1】
分母為1996的所有最簡分?jǐn)?shù)之和是_________
【考點】分組湊整
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
因為1996=2×2×499。所以分母為1996的最簡分?jǐn)?shù)，分子不能是偶數(shù)，也不能是499的倍數(shù)，499與3×499。因此，分母為1996的所有最簡真分?jǐn)?shù)之和是
【答案】
【鞏固】
所有分母小于30并且分母是質(zhì)數(shù)的真分?jǐn)?shù)相加，和是__________。
【考點】分組湊整
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
小于30的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十個，分母為17的真分?jǐn)?shù)相加，和等于。
類似地，可以求出其它分母為質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)的和。因此，所求的和是
【答案】
模塊二、位值原理
【例
5】
【考點】位值原理
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
6】
．
【考點】位值原理
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】位值原理
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
本題需要先拆分在分組，然后在做簡單的等差數(shù)列求和
【答案】
【鞏固】
_______
【考點】位值原理
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽
【解析】
原式
【答案】
分?jǐn)?shù)裂項計算
教學(xué)目標(biāo)
本講知識點屬于計算大板塊內(nèi)容，其實分?jǐn)?shù)裂項很大程度上是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，可以分為觀察、改造、運用公式等過程。很多時候裂項的方式不易找到，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，或者先進(jìn)行一部分運算，使其變得更加簡單明了。
本講是整個奧數(shù)知識體系中的一個精華部分，列項與通項歸納是密不可分的，所以先找通項是裂項的前提，是能力的體現(xiàn)，對學(xué)生要求較高。
知識點撥
分?jǐn)?shù)裂項
一、“裂差”型運算
將算式中的項進(jìn)行拆分，使拆分后的項可前后抵消，這種拆項計算稱為裂項法.裂項分為分?jǐn)?shù)裂項和整數(shù)裂項，常見的裂項方法是將數(shù)字分拆成兩個或多個數(shù)字單位的和或差。遇到裂項的計算題時，要仔細(xì)的觀察每項的分子和分母，找出每項分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項的題目無需復(fù)雜的計算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項的相似部分，讓它們消去才是最根本的。
(1)對于分母可以寫作兩個因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么有
(2)對于分母上為3個或4個連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：，形式的，我們有：
裂差型裂項的三大關(guān)鍵特征：
（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運算。
（2）分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相接”
（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。
二、“裂和”型運算：
常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：
（1）
（2）
裂和型運算與裂差型運算的對比：
裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。
例題精講
【例
7】。
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】美國長島，小學(xué)數(shù)學(xué)競賽
【解析】
原式
提醒學(xué)生注意要乘以(分母差)分之一，如改為：，計算過程就要變?yōu)椋?/p>
．
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
8】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項”問題。此類問題需要從最簡單的項開始入手，通過公式的運算尋找規(guī)律。從第一項開始，對分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運算公式的代入有，……，原式
【答案】
【例
9】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】迎春杯，初賽，六年級
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】臺灣，小學(xué)數(shù)學(xué)競賽，初賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
10】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】101中學(xué)
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
_______
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級
【解析】
根據(jù)裂項性質(zhì)進(jìn)行拆分為：
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】6星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：＝
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】。
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
11】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，總決賽，二試
【解析】
原式
【答案】
【例
12】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校
【解析】
原式
【答案】
【例
13】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】小數(shù)報，初賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：=。
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，1試
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
____。
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
分析這個算式各項的分母，可以發(fā)現(xiàn)它們可以表示為：，……，所以原式
【答案】
【鞏固】
計算：
．
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】四中
【解析】
原式
【答案】
【例
14】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
首先分析出
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式＝＋＋…+++…+
＝(－)＋(－)
＝＋＝＋
＝
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
＝＝－＝－
＝＝－＝－
＝＝－＝－……
＝＝－＝－
原式
【答案】
【例
15】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
16】
計算：
．
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
如果式子中每一項的分子都相同，那么就是一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項的題目．但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2．相比較于2，4，6，……這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第個數(shù)恰好為的2倍)，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項都比其大3，所以可以先把原式中每一項的分子都分成3與另一個的和再進(jìn)行計算．
原式
也可以直接進(jìn)行通項歸納．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項公式為，所以，再將每一項的與分別加在一起進(jìn)行裂項．后面的過程與前面的方法相同．
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】迎春杯，初賽，五年級
【解析】
本題的重點在于計算括號內(nèi)的算式：．這個算式不同于我們常見的分?jǐn)?shù)裂項的地方在于每一項的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情況．所以應(yīng)當(dāng)對分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式．
觀察可知，……即每一項的分子都等于分母中前兩個乘數(shù)的和，所以
所以原式．
（法二）
上面的方法是最直觀的轉(zhuǎn)化方法，但不是唯一的轉(zhuǎn)化方法．由于分子成等差數(shù)列，而等差數(shù)列的通項公式為，其中為公差．如果能把分子變成這樣的形式，再將與分開，每一項都變成兩個分?jǐn)?shù)，接下來就可以裂項了．，所以原式．
（法三）
本題不對分子進(jìn)行轉(zhuǎn)化也是可以進(jìn)行計算的：
所以原式．
（法四）對于這類變化較多的式子，最基本的方法就是通項歸納．先找每一項的通項公式：
（，3，……，9）
如果將分子分成和1，就是上面的法二；如果將分子分成和，就是上面的法一．
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
觀察可知原式每一項的分母中如果補上分子中的數(shù)，就會是5個連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項的分子、分母都乘以分子中的數(shù)．即：
原式
現(xiàn)在進(jìn)行裂項的話無法全部相消，需要對分子進(jìn)行分拆，考慮到每一項中分子、分母的對稱性，可以用平方差公式：，……
原式
【答案】
【例
17】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
18】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
.【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
原式為階乘的形式，較難進(jìn)行分析，但是如果將其寫成連乘積的形式，題目就豁然開朗了．
原式
【答案】
【例
19】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式＝＋＋＋＋…＋
＝（）＋（）＋（）＋（）＝
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】，……，所以
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
20】
.【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校
【解析】
這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項：，原式
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】，……所以，原式
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
．
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
．
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】，，……由于，，可見原式
【答案】
【鞏固】
計算：
．
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
式子中每一項的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)椋?，……，可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后進(jìn)行計算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了．
原式
【答案】
【例
21】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【關(guān)鍵詞】第三屆，祖沖之杯，人大附中
【解析】
原式==
【答案】
【鞏固】計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
22】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
原式=
=
=
=
=
=
【答案】
【例
23】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】5星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
24】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【例
25】
計算：
【考點】分?jǐn)?shù)裂項
【難度】5星
【題型】計算
【解析】
所以原式
【答案】
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