第一篇：《數學思維與小學數學》讀書心得（范文）

《數學思維與小學數學》讀書心得

最近讀《數學思維與小學數學》（鄭毓信著），感觸頗深。書中講到：小學數學，特別是低年級數學教學的一個特殊之處：我們應以數學為素材，也即通過具體數學知識的教學幫助學生學會抽象、類比等一般的思維方法，同時又應當幫助學生超越一般思維走向數學思維，也即初步的領悟到數學思維的特殊性，從而就能在“學會數學的思維”這一方向上邁出堅實的第一步。只有通過深入的揭示隱藏在數學知識內容背后的思維方法，我們才能真正的做到將數學課“講活”、“講懂”、“ 講深”。這就是指，教師應通過自己的教學活動向學生展現“活生生的”數學研究工作，而不是死的數學知識；教師并應幫助學生真正理解有關的教學內容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；教師在教學中又不僅使學生掌握具體的數學知識，而且也應幫助學生深入領會并逐漸掌握內在的思維方法。

小學生學習數學，是在基本知識的掌握過程中，不斷形成數學能力、數學素養，獲取多角度思考和看待問題的方法，從而“數學的”思考和解決問題。基本知識的掌握是途徑，多角度的思維方式的獲取才是最終目的。法國教育家第斯多惠說：“一個不好的教師奉送真理，一個好的教師則教人發現真理。”學生學習數學是一種活動，一種經歷，一個過程，活動和過程是不能告訴的，只能參與和體驗。因此，教師要改變以書本知識、教學為中心，以教師傳遞、學生接受的學習方式，把學習的主動權教給學生使學生在操作體驗中獲得對知識的真實感受，這是學生形成正確認識，并轉化為能力的原動力。正如華盛頓兒童博物館墻上醒目的格言：“做過的，浹髓淪肌。”

平日的教學中，面對教師的提問，若是簡單的問題，回應的學生比較多，一旦遇上思考性強、有深度的問題就只有個別同學試探性地舉起自己的手，多數同學選擇沉默，更有甚者，有時教室里鴉雀無聲,真的,學生連大氣都不敢出.........這是我教六年級上課提問時的情景，每到這時，我的心就開始顫動，課間時還滿臉興奮的孩子怎么到課堂提問時就這幅摸樣，我開始尋找答案，原因是他們缺乏思考，日復一日，年復一年，他們的思考能力幾乎喪失了。學生的思考來源于何處?答案是老師的啟迪和培養。我們做教師的往往都把主要力量用到讓學生掌握現成的東西，死記硬背，久而久之，學生從不用思考，慢慢發展到不會思考，最后遇到問題也就不愿意思考了，這就會發生以上的情景。

我們教師在課堂上應做兩件事：一, 要教給學生一定范圍的知識，二要使學生變得越來越聰明。而我們不少教師往往忽視了第二點，認為學生掌握了知識自然就聰明，其實不然，一個好奇的愛專研的和勤奮的學生才是真正意義上的聰明學生。那么這種聰明在于教師的啟迪和培養。現在的課堂重視小組合作學習，重視學生動手操作能力，其實這些做法都是在培養學生的思考能力。

今年我帶六年級數學，除了每周一節的數學思維訓練課外，平時的教學中鼓勵和適時引導學生積極、主動的參與知識形成的全過程，并為他們的探究活動創設廣闊的思維背景，力求做到：“學生能夠獨立思考的，教師絕不提示；學生能夠獨立操作的，教師絕不示范；學生能夠獨立解決的，教師絕不替代。”這樣做我覺得對啟發他們的思考有一點作用，有時候我也會泄氣，因為學生的答案往往和題目一點關系都沒有，我在努力的堅持著.......在我們忙著應付各種考試的時候，請留一點時間讓孩子思考。

數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動共同發展的過程。教師是學生數學活動的組織者、引導者與參與者，是學生數學智慧的啟迪者。智慧的教師眼中，不能只關注學生是否掌握了某個知識，而更應該關注整個教學過程對學生成長的意義以及對學生人生的影響。做一名智慧型教師，著眼于未來，啟迪學生思維，培養學生數學智慧，讓學生學會學習，促進終身發展。

第二篇：數學思維與小學數學

《數學思維與小學數學》讀書心得一（2）班：江雪妃

看了《數學思維與小學數學》這本書后，對其中教師的教學案例感慨很深：都是為建立高效的課堂教學、為建立學生的創新思維而奮斗。創新的課堂教學是教師的夢想，有了創新的教學，給予學生思維發展得空間。創新地數學學習活動應是在有效地數學學習活動基礎上的更高層次追求，下面是我讀后的一些感言。

一、首要抓住學生的興趣學教學。

興趣是最好的老師，興趣也是提高效率的法寶。數學教學要提高效率和質量，首先必須激發學生學習數學的興趣，點燃他們求知的火花，才能引發他們求知的欲望，調動起學習的積極性，使他們喜歡數學。在教學過程中，時時調動學生的積極思維，處處開啟學生的心智，課課給學生以知識、方法及新穎感，營造一種濃厚的學習氛圍，使學生在輕松、愉悅、和諧的氣氛中自覺的獲取知識和養成能力，變“要我學”“為我要學”。

二、創新需細讀教材，再因人而教。

教師理清教學層次，找準教學難點，確定教學重點是關鍵所在。

1.親近文本，找準難點。葉圣陶先生有詩云：“作者有思路，遵路識斯真。作者胸有景，入境始與親。”教師只有準確的把握課文的內在層次，辨清作者思路的軌跡，真切深入的理解課文，才有可能設計好講析層次。在教學實施過程中，教師應精心設計問題，引領學生去關注能夠震撼心靈的文本內容，激發學生深層次的解讀欲望，讓學

生在深層次閱讀中感悟到文本的意義，真正領悟文本的魅力。

2.確定課堂教學的重點。確定課堂教學的重點應該依據具體課文而定，這是毫無疑義的。但如果墨守成規，一味死扣課本，甚至唯教參是從，那便有緣木求魚之嫌了。課堂教學重點的確定必須考慮教學的主題，考慮學生的認知程度，做到因人而異，適時而化。

所以，我們備課，教學設計也應做到因文、因人而異，因時因地而異，多角度，全方位的考慮。

三、形成良好的學習習慣，培養責任心。

俗話說：“習慣成自然”。小學階段正處于培養其學習習慣的關鍵時期，我們要讓學生形成良好的學習、生活習慣。習慣養成包括兩方面：

1、行為習慣養成：包括聽、說、讀、寫等各種習慣養成，學生要會聽講、會學習，也就是掌握一定的學習方法，“授人以魚不如授人以漁”。

2、培養學生良好的思維、創新習慣。數學課堂教學關鍵是要讓學生會創新思考，習慣的培養顯得重要的是要讓學生在課堂上“動”起來。教學中教師要根據兒童的年齡特點，掌握兒童的認識規律和認知規律，通過數一數、擺一擺、想一想、說一說、寫一寫等活動，讓學生進行常新思維訓練。

責任心的培養必須從培養良好的學習習慣入手。在教學中，教師應引導學生以極其認真的態度全身心的投入，如：認真聽講，積極思考，踴躍回答問題，按時完成作業，計算后，要認真檢查“一步一回頭”，認真書寫等，逐漸讓學生養成了自覺、主動、認真的學習習慣。這些都是創新課堂的基礎保障。

四、提高學習效率，增強學生自信心

在日常教學中，我經常對孩子講的是數學家陳省身為小學生數學報的題詞：“數學好玩。”教育孩子在快樂中學習，要求孩子學習和作業時有效率，不能拖拉，在規定的時間里去完成任務，并確保正確率。如何提高學習效率呢？要講究學習方法！所謂學習方法，就是人們在學習過程中所采用的手段和途徑。愛因斯坦總結自己獲得偉大成就的公式是：成功=刻苦努力+正確方法+不說空話。古今中外無數事實也證明了：科學的學習方法將使學習者的才能得到充分的發揮、越學越聰明，而且能帶來高效率和樂趣，從而節省大量的時間；而不科學的學習方法，則會阻礙才能的發揮，越學越死，并且會給學習者帶來學習的低效率和煩惱。由此可見，方法在獲得成功中占有十分重要的地位。

五、課堂問題設計要科學、有效。

數學是以課堂思維為主的，要讓學生帶著問題去思考、去探索，進行的是有意義的思維訓練。課堂提問是教師教學時必用的方法，也是教師在組織教學時必備的基本功。教師的課堂提問指向性極強，往往直接引領學生的思維向預期的方向推進。在設計問題時一般不要出現下列情況：教師設計好每一個細節問題，學生順著教師解題思路解答；有的還是一問一答，還有的是教師說上句，學生說下句??這些設計都不利于培養學生的思維習慣，更不利于學生的創新。那么在講解新的數學知識時，教師盡可能地從孩子的實際生活經驗中引出問題，使學生了解這些數學知識來源于生活，同時又能應用于生活實際，從而認識到數學知識在現實生活中的作用；同時，教師也應給學生提供更多的機會，讓他們自己從日常生活中的具體事例中進行分類，用所學的數學知識去解決現實生活中的許多實際問題。打通數學與生活的聯系。

美國小學數學教師“教什么最重要”，他們認為重要的是教會學生懂得感謝，培養學生的公民意識，讓學生產生學習的愿望，讓學生學會問為什么，讓學生懂數學。他們認為教育的三大目標是堅持學術追求、維護社會公正、尊重多元文化。什么是他們所說的多元文化呢?他們舉了例子：對同一個問題，老人和孩子、黑人和白人、正常人和殘疾人的理解可能是完全不同的，任何人都不能以自己的思想為標準去評價別人。

我國小學數學教師教什么最重要，多數人的回答是教數學知識最重要，教數學思想方法最重要。從這點上看，我國的學校教育被迫讓位于為著分數的純學科教學，這是目前教育改革中的最大阻力。盡管國家一直堅持強調德、智、體全面發展，但在考試分數決定一個人的命運與前途時，德與體便退居其次了，很多教師便將自己的學科教學與學生的道德教育割裂開來，將學生的道德教育完全推給“品德”課程。道德是無法脫離行為而獨立存在的，更不可能單獨．存在于某門課程當中。對照美國的一些值得借鑒的做法，我國小學數學教師目前最缺乏的是教育意識，是教學為教育服務的意識。我們要思考：學校教育的目的是什么?小學數學教育的目的是什么?是培養缺乏社會責任感的高分學生嗎?存在脫離社會活動的素質教育嗎?

第三篇：《小學數學》讀書心得

《我教小學數學》讀書心得

在新華書店看到北京第二實驗小學校長李烈所著《我教小學數學》一書，翻開書本，看到書本的內容簡介：“本書是作者二十多年來教育教學實驗研究的結晶，全面論述了小學數學教學改革的具體做法和理性思考，提出了具有時代氣息的、符合現代教育思想的、值得深思的問題。針對這些問題，作者列舉了生動的教學實例，進行了比較深入的理論分析。全書主要分“以愛育愛”、“以會教會”和“課堂實錄及教案”三大部分。作者充分表達了自己的兒童觀、教學觀，以及對教育事業的愛、對孩子們的愛，并認為，正是在“愛”和“會”的良性循環中，老師和學生得到了同步提高。本書對推進當前新課程改革具有重要的借鑒和參考價值。”我被其中的一些教學理念，特別是體現我國當前基礎教育課程改革的核心理念——“一切為了孩子的發展”深深吸引，于是決定買下來，細細品讀。讀完后，結合在自己的日常教學、課題研究，領悟、吸取書中的精髓，嘗試加以運用，它對于我教學環節設計，執教思路，執教風格都產生了很大的影響。

下面我就結合全書“以愛育愛”、“以會教會”和“課堂實錄及教案”三大部分來談談自己的讀書體會。

第一部分以愛育愛共有十五個小節，者描述了以愛育愛的具體內涵。教師是人類靈魂的工程師，是辛勤的園丁，是塑造學生靈魂的人。教師要培養學生有愛的情感，就首先必須自己具有愛心，具備愛學生、愛生活、愛事業、的情感。教師以自己愛感染學生愛心的途徑，即稱之為以愛育愛。書中列舉的“人人說我行”、“ 出錯是權力”、“親師才能信道”??都是以愛育愛的具體做法。在教師的眼中，每個學生都是絢麗多彩的人，把自己的教學活動看成是師生情感傳遞的一部分。這種搏愛，包容著所有學生，滋潤著每一個人的心田。在這十五個小節中，作者從不同角度，用一個個鮮活的教學實例，深入淺出的敘述了自己做法和經驗。其中給我影響最深的是第四節 “出錯是權力——錯誤其實是一種教育契機”。在第四節中，它結合案例數學概念的教學，舉例談到了學生在運用概念時容易混淆不清，如：長方形的面積和周長公式，很多學生在計算時張冠李戴。只是死記公式，而不知道其所表達的實質。周長是物體、圖形一周的長度；面積是物體、圖形表面的大小。還有學生的注意力都存在差異，知識的掌握運用能力也不相同，所以出現錯誤是正常的，要求學生一做就對是不現實的，出錯誤是孩子的權力。面對出錯的學生，教師要以一顆平靜的心看待。應當尊重他們，少一些責怪，多一些鼓勵，培養其自信心，重拾學習的自信。同時，教師需要站在學生的角度上想一想，如果你是學生，為什么會出現這樣的錯誤，學生錯誤的思維是怎樣的。然后再反思的教學，看看相關的知識點是否講解透徹，指導到位，運用的教學方法是否符合孩子的認知規律。

以會教會是本書闡述的第二部分中心。新課程標準下，對所有的教師提出了更高的要求，教師要出色完成自己的使命，必須努力提高自身的教育教學能力、政治業務水平和教德修養。這樣才能利用教師自身的會，來使學生的會，這就是“以會教會”的內涵。在這本書中，作者從數學課堂教學的細節入手，揭示作為一名小學數學教師，如何在教學中自我學習、實踐、研究、反思、總結，以自身的會引導學生會，提出了許多符合小學生認知規律、心理活動特點、以及符合數學學科特點的教學方法，體現了她深厚的課堂教學功底和扎實細致的實踐作風。新時代背景下，對學生的知識技能的要求更高了，對學生的知識廣度和深度，都是前所未有的要求。這就要求教師“會”的內涵更豐富。新課標要求教師不但要有一顆愛心，而且要有一定的文化知識，要有專研、發掘教材的能力，要能科學地引導學生主動學習，激發學生的創新意識和創造精神。例如書中提到，每節新授課的前三分鐘教學設計安排。在這三分鐘里，教師應創設情境，做好舊知的復習，為新授做好準備工作。根據新舊知識的連接點，把握新知識的生長點。對于較難理解的新知，應選好“突破口”，聯系生活，化解難點。在學習新知的過程中主張低起點，高終點的原則，深挖數學思想，構建“淺出”的教學過程。重視數學建模的思想教學，解題策略的研究，解題方法多樣性的探究。采取把知識趣味化的形式，利用色彩鮮艷的教具；新穎的謎語、故事；有趣的教學游戲；關鍵處的設疑、恰當的懸念；變靜為動的電化教學等等，把抽象的概念具體化。采取好的評價方式，根據學生不同的起點、不同的情況分類評價。讓課堂教學充滿活力，使學生成為學習的主體，將課堂真正還給學生，期間教師只是一個參與者、組織者、引導者。把數學教育的重心轉移到學生的發展上來，是我們每一位教師終生追求的教育目標。只有在充滿生命活力課堂上，師生才是全身心投入，因為這不只在教和學，而是感受課堂生命的涌動和成長。書中所舉的案例，“讓孩子們先說話——基于學生的教學”、“每節課的前三分鐘——創設內環境，激發生長點”、“選好‘突破口’——聯系舊知，聯系生活，化解難點”等，用發生在師生之間的貼切的實例，無不引人入勝，發人思考。

第三部分是課堂教學實錄及經典教學教案。這部分詳細地呈現了“認識分數”“數的整除”、“倍數和因數”、“循環小數”、“分數的基本性質”、“圓的面積認識”等教學實錄及教學反思。再次用貼切教師教學實際、生動具體形象地展現了作者對事業的執著、對學生的愛、對事業的奉獻精神。書中的這些教育觀、教學觀都是通過這樣一個個生動實在的事例來體現的，有血有肉，親切自然。我想：這就是具體，這就是細節，細微處才 能看出 老師對教育、對學生的情有多深。因為有了這樣一份深厚的愛的情感意，所以作者對事業情有獨鐘，課堂教學精益求精。教師課堂上精彩的設計，親切生動的語言，撩人心懸的“陷阱”，恰到好處的點撥??讓人心動，讓人向往。課堂上，教師的成功是通過教學生學會來體現的，而學生是通過學會來回報教師的。面對新世紀，面對教育提出的新要求，面對新課程改革，作為一名小學數學教師，要不斷用現代教育思想充實自己，用科學的方法完善自己的教育教學行為，用自己全部的愛熏陶、感染、教育學生，使其愛學習、愛生活，并付諸行動時，會有一種滿足感，使自己看到自己的人生價值，進而升華為對事業、對人生更執著的愛和追求。其實，每個學生都有他的長處，都其有閃光點。在現實中，班級里往往會看到語文、數學、英語不相上下的孩子居多，而有偏科懸殊的孩子居少。所以孩子的廣泛愛好，有助于其智力的發展，有助于學科學習，自然也有助于數學成績的提高。因此，教師首先要相信每個孩子在不同層次上都會有發展，在不同方面都會有各自的才能，在孩子成長中教師也應該幫助他充滿信心，俗話說，三百六十行，行行出狀元，相信天生我才必有用。

囫圇吞棗，一口氣將其讀完，自知愚鈍，對其中的更加深層次內海還未能完全吃透，完全領略，還沒有來進一步及細細品味。俗話說：溫故而知新，我會不時的拿出這本書，再次細讀，再次鉆研，感悟當中的教學思想，揣摩當中的教學理念，鉆研當中的教學策略，分析當中的教學案例，將其細細消化，吸收，在自己的今后的教學中，因地制宜，靈活運動，幫助自己的教學，提高自己的專業水平和師德修養。

第四篇：《小學數學》讀書心得

《小學數學》讀書心得

清水學校張芳瓊

一打開《小學數學》這本書，我就被它的內容深深地吸引了。它把小學數學的教學內容分成幾個專題，在每一個專題中，通過“案例呈現” 使困惑、迷惘、問題、難點逐一浮出水面，引導讀者深入地思考，然后專家又亮出自己的觀點，深入淺出娓娓道來，讓讀者心中的謎團漸漸釋然。

“核心詞”、“教育價值”、“內涵”等詞在每個專題開始都會映入眼簾，迫使讀者進行一陣強烈地頭腦風暴。漸漸地，我也認識到無論教學什么內容我們都要考慮它的價值，考慮我們究竟要教給學生什么？是能力？是方法？是習慣？亦或是意識？而這一點我在平時的教學中考慮的還很不夠。

比如：關于平均數教學。他的核心詞是什么呢？在閱讀這本書之前我從沒認真思考過這個問題，只是簡單的認為重點就是教給學生求平均數的方法，而把意識的培養放到了次要位置。在學習了書中的觀點分享，尤其是看了吳正憲老師的教學實錄以后，我的感受尤為深刻：作為平均數教學應該把理解平均數的概念，了解平均數的特點和作用放在重要位置，在此基礎上掌握求簡單平均數的方法。首先，選擇合適的情景，讓學生產生對平均數的需求。任何事物的產生都有它的必然性。數學也是這樣，需要用到平均數才會產生平均數。我們需要讓學生在具體的情境中經歷平均數的產生，加深對平均數的理解。如果只是簡單地出示一組踢毽子的數據，讓學生來評判哪個小組的同學踢的好？學生想到的只是方法。如何感受平均數產生的需求？吳正憲老師讓學生進行拍球比賽，在一次次矛盾中對平均數產生了需求，從而自己提出了平均數。其次，聯系實際，進一步來感受、理解平均數。記得以前在教學平均數時，當學完方法之后，多數是機械練習，雖然有時也讓學生分析數據，談感受，但是都只是粗略地帶過。而吳老師竟然選了五個不同的例子進行分析，有先估算再談想法的；有結合實際比賽（去掉最高分和最低分）求平均數的；有通過對比進行思想品德教育的；有結合辯論，靈活解決實際問題的；還有在游戲中學會分析問題要全面的，可以說囊括了平均數的方方面面，使我清晰地認識到——理解和感受平均數的意義、特點和作用才是我們教學的重點。

又比如關于統計，原來我的教學中總是把統計的方法作為教學的重點，看了《小學數學》以后，我也認識到了自己的淺薄。如今我認識到了對于統計和概率的教學，最重

要的是與生活相聯系,使學生明白為什么要進行統計,在生活中統計有什么用處,使學生意識到統計有用,自覺進行統計,從而培養統計意識。讓學生感受統計的作用必須提出好的問題。例如：全球水資源的匱乏、塑料袋帶來的白色污染、中國的人口增長與人口控制、以及對學生身邊他們感興趣的事情展開調查等。統計課還應該讓學生經歷統計的全過程，如果只是教學生填寫統計表，計算數據，而不去感受統計的作用，學生怎么會對統計感興趣呢？又怎么會產生統計觀念呢？同時還應該引領學生多了解統計的作用，通過具體實例使學生體會到統計可以對相關事件做出決策、對隨機事件做出預測、對出現的現象做出分析。

《小學數學》讓我從更寬的視角來看教材看課程改革，使我對新課程的理念、新教材的編排意圖有了更正確地理解。看完了《小學數學》，覺得還意猶未盡，于是打開新思考網，仔細閱讀老師們的帖子和論文，我被她們的文采深深吸引，更被他們的敬業精神所感動。認識到自己的不足，才體會到充電的重要性。原來束之高閣的新課標放在了床頭柜上，成了我每晚必看的書；原來只會囫圇吞棗地瀏覽一些雜志，現在它們成了我細細品嘗的一道道香茗；原來只在教育教學論壇上作旁觀者的我，現在也能參與其中，讓自己的思想在與他人的碰撞中升華。我發現，學習正在漸漸地成為我的一種習慣。

感謝《小學數學》，因為它讓我感受到自己的不斷轉變和進步，這種向上的感覺真好。

第五篇：數學思維與小學數學教學

數學思維與小學數學教學

鄭毓信

（南京大學哲學系，江蘇南京210093）

摘要：“幫助學生學會基本的數學思想方法”是新一輪數學課程改革所設定的一個基本目標。以國際上的相關研究為背景，對小學數學教學中如何突出數學思維進行具體分析表明，即使是十分初等的數學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特

征性質。

關鍵詞：數學思維；小學數學教學 中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：C 收稿日期：2003-09-01；修回日期：2003-11-28

作者簡介：鄭毓信，南京大學哲學系教授，博士生導師，國際數學教育大會（ICME10）國際程序委員會委員。

對于數學思維的突出強調是國際范圍內新一輪數學課程改革的一個重要特征，如由美國的《學校數學課程與評估的標準》和我國的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《課程標準》）關于數學教育目標的論述中就可清楚地看出。然而，就小學數學教育的現實而言，上述的理念還不能說已經得到了很好的貫徹，而造成這一現象的一個重要原因就是以下的認識：小學數學的教學內容過于簡單，因而不可能很好地體現數學思維的特點。以下將依據國際上的相關研究對這一觀點作出具體分析，希望能促進這一方向上的深入研究，從而能夠對于實際教學活動發揮積極的導向作用。

一、數學化：數學思維的基本形式

眾所周知，強調與現實生活的聯系正是新一輪數學課程改革的一個重要特征。“數學課程的內容一定要充分考慮數學發展進程中人類的活動軌跡，貼近學生熟悉的現實生活，不斷溝通生活中的數學與教科書上數學的聯系，使生活和數學融為一體。”就努力改變傳統數學教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應當如何去處理“日常數學”與“學校數學”之間的關系。

事實上，即使就最為初等的數學內容而言，我們也可清楚地看到數學的抽象特點，而這就已包括了由“日常數學”向“學校數

學”的重要過渡。

例如，在幾何題材的教學中，無論是教師或學生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實上就已包括了由現實原型向相應的“數學模式”的過渡。再例如，正整數加減法顯然具有多種不同的現實原型，如加法所對應的既可能是兩個量的聚合，也可能是同一個量的增加性變化，同樣地，減法所對應的既可能是兩個量的比較，也可能是同一個量的減少性變化；然而，在相應的數學表達式中所說的現實意義、包括不同現實原型之間的區別（例如，這究竟表現了“二元的靜態關系”還是“一元的動態變化”）則完全被忽視了：它們所對應的都是同一類型的表達式，如4+5=9、7-3=4等，而這事實上就包括了由特殊到一般的重要過渡。

應當強調的是，以上所說的可說是一種“數學化”的過程，后者集中地體現了數學的本質特點：數學可被定義為“模式的科學”，也就是說，在數學中我們并非是就各個特殊的現實情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現象的模型過渡到了更為普遍的“模

式”。

也正由于數學的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現實情景，這就為相應的“純數學研究”提供了現實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數與它們的和，或被減數、減數與它們的差），因此，從純數學的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數的差是3，其中較小的數是4，問另一個數是幾？”或者“兩個數的差是3，其中較大的數是4，問另一個數是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見，即使就正整數的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現了數學思維的一些重要特點，特別是體現了在現實意義與純數學研究這兩者之間所存在的辯證關系。當然，從理論的角度看，我們在此又應考慮這樣的問題，即應當如何去認識所說的純數學研究的意義。特別是，我們是否應當明確肯定由“日常數學”過渡到“學校數學”的必要性，或是應當唯一地堅持立足

[1]

于現實生活。

由于后一問題的全面分析已經超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點：與現實意義在一定程度上的分離對于學生很好地把握相應的數量關系是十分重要的。這正是國際上的相關研究、特別是近年來所興起的“民俗數學”研究的一個重要結論：盡管“日常數學”具有密切聯系實際的優點，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠“自發的數學能力”，人們往往就不善于從反面去思考問題，與此相對照，通過學校中的學習，上述的情況就會有很大改變，這就是說，純數學的研究“在幫助學生學會使用逆運算來解決問題方面有著明顯的效果”；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現實情景，所學到的數學知識在“可遷移性”方面也會表現出

很大的局限性。

一般地說，學校中的數學學習就是對學生經由日常生活所形成的數學知識進行鞏固、適當重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數學事實過渡到了系統的知識結構，以及對于人類文化的必要繼承。這正如著名數學教育家斯根普所指出的：“兒童來到學校雖然還未接受正式教導，但所具備的數學知識卻比預料的多??他們所需要的幫助是從（學校教學）活動中組織和鞏固他們的非正規知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結合。”

當然，我們還應明確肯定數學知識向現實生活“復歸”的重要性。這正如著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾所指出的：“數學的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數去對各種不同的集合進行計數，也可以用同樣的數去對各種不同的量進行度量。??盡管運算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算──這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們容易忘記其所涉及的數以及他所面對的文字題中的算術問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現實。”

總的來說，這就應當被看成“數學化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現實原型抽象出相應的數學概念或問題，而且也包括了對于數量關系的純數學研究，以及由數學知識向現實生活的“復歸”。另外，相對于具體知識內容的學習而言，我們應當更加注意如何幫助學生很好地去掌握“數學化”的思想，我們應當從這樣的角度去理解“情境設置”與“純數學研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數學化??是一條保證實現數學整體結構的廣闊途徑??情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應該服從于總的方法。”

二、凝聚：算術思維的基本形式

由以下關于算術思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對于具體知識內容的教學而言并非某種外加的成分，而是有著重

要的指導意義。

具體地說，這正是現代關于數學思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉化構成了算術以及代數思維的基本形式，這也就是說，在數學特別是算術和代數中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質，也可以此為直接對象去施行進一步的運算。例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數（被減數與減數）我們就可求得相應的和（差）；然而，隨著學習的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認為是一個特定的數學對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質，如交換律、結合律等，從而，就其心理表征而言，就已經歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數學對象。再如，有很多教師認為，分數應當定義為“兩個整數相除的值”而不是“兩個整數的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向對象的轉變，這就是說，就分數的掌握而言我們不應停留于整數的除法這樣一種運算，而應將其直接看成一種數，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

對于所說的“凝聚”可進一步分析如下：

第一，“凝聚”事實上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說集中地體現了數學的高度抽象性，即“是把已發現結構中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構”。這正如著名哲學家、心理學家皮亞杰所指出的：“全部數學都可以按照結構的建構來考慮，而這種建構始終是完全開放的??當數學實體從一個水平轉移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變；對這類‘實體’進行的運演，反過來，又成為理論研究的對象，這個過程在一直重復下去，直到我們達到了一種結構為止，這種結構或者正在形成‘更強’的結構，或者在由‘更強的’結構來予以結構化。”例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構”。

第二，以色列著名數學教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個階段：（1）內化；（2）壓縮；（3）客體化。其中，“內化”和“壓縮”可視為必要的準備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關的運作，還可從更高的抽象

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水平對整個過程的性質作出分析；另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現在變成了一個靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進教學也具有重要的指導意義。例如，所說的“內化”就清楚地表明了這樣一點：我們既應積極提倡學生的動手實踐，但又不應停留于“實際操作”，而應十分重視“活動的內化”，因為，不然的話，就不可能形成任何真正的數學思維。另外，在不少學者看來，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳

統做法的合理性。

第三，由“過程”向“對象”的過渡不應被看成一種單向的運動；恰恰相反，這兩者應被看成同一概念心理表征的不同側面，我們應善于依據不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉換，包括由“過程”轉向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。

例如，在求解代數方程時，我們顯然應將相應的表達式，如（x+3）2=1,看成單一的對象，而非具體的計算過程，不然的話，就會出現（x+3）2=1=x2+6x+9=1=?這樣的錯誤；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗，我們又必須將其代入原來的表達式進行檢驗，而這時所采取的則就是一種“過程”的觀點。

正因為在“過程”和“對象”之間存在所說的相互依賴、互相轉化的辯證關系，因此，一些學者提出，我們應把相應的數學概念看成一種“過程—對象對偶體”procept,這是由“過程”（process）和（作為對象的）“概念”（concept）這兩個詞組合而成的。，即應當認為其同時具有“過程”與“對象”這樣兩個方面的性質。再者，我們又應很好地去把握相應的思維過程（可稱為“過程—對象性思維”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“對偶性”，是指在“過程”與相應的“對象”之間所存在的相互依存、互相轉化的辯證關系；（2）“含糊性”，這集中地體現于相應的符號表達式：它既可以代表所說的運作過程，也可以代表經由凝聚所生成的特定數學對象；（3）靈活性，是指我們應根據情境的需要自由地將符號看成過程或概念。特殊地，數學中常常會用幾種不同的符號去表征同一個對象，從而，在這樣的意義上，上述的“靈活性”就獲得了更為廣泛的意義：這不僅是指“過程”與“對象”之間的轉化，而且也是指不同的“過程—對象對偶體”之間的轉化。例如，5不僅是3與2的和，也是1與4的和、7與2的差、1與5的積，等等。

綜上可見，在算術的教學中我們應自覺地應用和體現“凝聚”這樣一種思維方式。

三、互補與整合：數學思維的一個重要特征

以上關于“過程—對象性思維”的論述顯然已從一個側面表明了互補與整合這一思維形式對于數學的特殊重要性。以下再以有

理數的學習為例對此作出進一步的說明。

首先，我們應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。

具體地說，與加減法一樣，有理數的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關系，商，算子或函數，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認識到了的，就有理數的理解而言，關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關、彼此獨立的；而應對有理數的各種解釋（或者說，相應的心理建構）很好地加以整合，也即應當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側面，并能根據情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉換。

例如，在教學中人們往往唯一地強調應從“部分與整體的關系”這一角度去理解有理數，特別是，分數常常被想象成“圓的一個部分”。然而，實踐表明，局限于這一心理圖像必然會造成一定的學習困難、甚至是嚴重的概念錯誤。例如，如果局限于上述的解

釋，就很難對以下算法的合理性作出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=?

其次，我們應注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用。

這也正是新一輪數學課程改革的一個重要特征，即突出強調學生的動手實踐、主動探索與合作交流：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式??教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。”[7]（2）由于實踐活動（包括感性經驗）構成了數學認識活動的重要基礎，合作交流顯然應被看成學習活動社會性質的直接體現和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調的是，除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外，我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯系與必要互補。這正如美國學者萊許（R.Lesh）等所指出的：“實物操作只是數學概念發展的一個方面，其他的表述方式──如圖像，書面語言、符號語言、現實情

景等──同樣也發揮了十分重要的作用。”

再次，我們應清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數學課程改革的一個重要特征：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應當尊重學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”

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當然，在大力提倡解題策略多樣化的同時，我們還應明確肯定思維優化的必要性，這就是說，我們不應停留于對于不同方法在數量上的片面追求，而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數學思維的一個重要特點。

最后，我們應清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補關系。特別是，就由“日常數學”向“學校數學”的過渡而言，不應被看成對于學生原先所已發展起來的素樸直覺的徹底否定；毋寧說，在此所需要的就是如何通過學校的數學學習使之“精致化”，以及隨著認識的深化不斷發展起新的數學直覺。在筆者看來，我們應當從這樣的角度去理解《課程標準》中有關“數感”的論述，這就是，課程內容的學習應當努力“發展學生的數感”，而后者又并非僅僅是指各種相關的能力，如計算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現象數量方面的某種敏感性，包括能對數的相對大小作出迅速、直接的判斷，以及能夠根據需要作出迅速的估算。當然，作為問題的另一方面，我們又應明確地肯定幫助學生牢固地掌握相應的數學基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客觀事物和現象的數量方面作出準確的刻畫和計算，并能對運算的合理性作出適當的說明──顯然，后者事實上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺”以外，著名數學教育家費施拜因曾突出地強調了“算法”的掌握對于數學的特殊重要性。事實上，即使就初等數學而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠、走不遠，更不能騰飛??可是你要一引進代數方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不著天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠而且可以騰飛。”

[8]這正是數學歷史發展的一個基本事實，即一種重要算法的形成往往就標志著數學的重要進步。也正因為此，費施拜因將形式、直覺與算法統稱為“數學的三個基本成分”，并專門撰文對這三者之間的交互作用進行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數學思維的一個重要特點。

綜上可見，即使是小學數學的教學內容也同樣體現了一些十分重要的數學思維形式及其特征性質，因此，在教學中我們應作出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數學思想方法”這一重要目標。