第一篇：學習數學史的感受

學習數學史的意義——聽劉教授講《數學史》的感受

數學的各個分支是一個有機的整體，大部分數學概念的形成并不是偶然的，現在數學的分支越來越多，到現在已經沒有人能夠深入研究到數學的各各方面，通過數學史，可以對數學概念的來龍去脈有所了解，也可以對整個數學有個全局的了解。從基礎教育課程改革的狀況來看，很多數學老師還是在進行數學教學時，經常把有關的數學史知識省略不講，這就極大的忽視了數學史對中學數學的促進作用。如果我們能在數學課程中對學生進行數學史教育，并通過挖掘數學史的文化價值進行教學，讓數學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學中，數學就會更加平易近人，數學教學就會通過歷史文化讓學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學。那么什么是數學史呢？我們要理解數學為什么要先了解數學的歷史呢？學習數學史對我們學習數學有什么意義呢？下面我從以下幾個方面談談：

（一）數學史的科學意義

每一門科學都有其發展的歷史，作為歷史上的科學，既有其歷史性又有其現實性。其現實性首先表現在科學概念與方法的延續性方面，今日的科學研究在某種程度上是對歷史上科學傳統的深化與發展，或者是對歷史上科學難題的解決，因此我們無法割裂科學現實與科學史之間的聯系。數學科學具有悠久的歷史，與自然科學相比，數學更是積累性科學，其概念和方法更具有延續性，比如古代文明中形成的十進位值制記數法和四則運算法則，我們今天仍在使用，諸如費爾馬猜想、哥德巴赫猜想等歷史上的難題，長期以來一直是現代數論領域中的研究熱點，數學傳統與數學史材料可以在現實的數學研究中獲得發展。國內外許多著名的數學大師都具有深厚的數學史修養或者兼及數學史研究，并善于從歷史素材中汲取養分，做到古為今用，推陳出新。我國著名數學家 吳文俊先生早年在拓撲學研究領域取得杰出成就，七十年代開始研究中國數學史，在中國數學史研究的理論和方法方面開創了新的局面，特別是在中國傳統數學機械化思想的啟發下，建立了被譽為“吳方法”的關于幾何定理機器證明的數學機械化方法，他的工作不愧為古為今用，振興民族文化的典范。

科學史的現實性還表現在為我們今日的科學研究提供經驗教訓和歷史借鑒，以使我們明確科學研究的方向以少走彎路或錯路，為當今科技發展決策的制定提供依據，也是我們預見科學未來的依據。多了解一些數學史知識，也不會致使我們出現諸如解決三等分角作圖、證明四色定理等荒唐事，也避免我們在費爾馬大定理等問題上白廢時間和精力。同時，總結我國數學發展史上的經驗教訓，對我國當今數學發展不無益處。

（二）數學史的文化意義

美國數學史家 m.克萊因曾經說過 :“ 一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數學活動密切相關。這種關系在我們這個時代尤為明顯 ”。“ 數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數學更主要是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說 ”。數學已經廣泛地影響著人類的生活和思想，是形成現代文化的主要力量。因而數學史是從一個側面反映的人類文化史，又是人類文明史的最重要的組成部分。許多歷史學家通過數學這面鏡子，了解古代其他主要文化的特征與價值取向。古希臘（公元前 600 年-公元前 300 年）數學家強調嚴密的推理和由此得出的結論，因此他們不關心這些成果的實用性，而是教育人們去進行抽象的推理，和激發人們對理想與美的追求。通過希臘數學史的考察，就十分容易理解，為什么古希臘具有很難為后世超越的優美文學、極端理性化的哲學，以及理想化的建筑與雕塑。而羅馬數學史則告訴我們，羅馬文化是外來的，羅馬人缺乏獨創精神而注重實用。

（三）數學史的教育意義、數學史可以提高學生的學習興趣

學習興趣是指一個人對學習的一種積極的認知傾向與情緒狀態．學生對某一學科有興趣，就會持續地專心致志的專研它，從而提高學習效果。學習興趣又是激勵人、推動人去學習的一種力量。從心理學的觀點講，學習興趣可分為兩個部分： ① 人的好奇心、求知欲、愛好構成了有利于學習的內部原因； ② 社會責任感構成了學習的外部原因。目前，由于中學生的學習目標不明確，對數學的學習興趣也很不夠，這些都極大地影響了學習的效果。但這并不是因為數學本身枯燥、無趣，而是它被我們的教學所忽視了。如果在數學教育中適當結合數學史的有關知識，這樣有利于提高學生對學習數學的興趣，克服我們學習數學的消極影響。、數學史可以啟發學生的思維

數學教材是經過了反復推敲的，語言十分簡潔。為了保持知識的系統性，我們把教學內容按定義、定理、證明、推論、例題的順序編排，這樣就缺乏自然的思維方式，對數學知識的內涵，以及相應知識的創造過程介紹也偏少。雖然這樣有利于學生接受知識，但是很容易使學生產生數學知識就是先有定義，接著總結出性質、定理，然后得出解決問題的錯誤結論。在教學與學習的過程中，教育者為了讓學生能夠更快更好的掌握數學知識，將知識系統化。然而系統化的知識無法讓學生了解到知識是經過問題、猜想、論證、檢驗、完善，一步一步成熟起來的。因此，把數學史融入日常教學，進行思想教育，教師不僅要吃透教材的知識內容，還要努力挖掘教材的思想性，并采取多種形式，形象生動地進行教學，可以啟發學生的學習思維方式。、數學史可以提高學生的美學修養

數學是美的，無數數學家都為這種數學的美所折服。英國數學家和哲學家羅素說過：“數學不久擁有真理，而且還擁有至高無上的美——一種冷峻嚴肅的美，就像一尊雕塑，??..這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的裝飾，它可以純潔到崇高的程度，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的完美境界”。數學史的學習可以引導學生領悟數學的美，在很多著名的數學定理、原理都閃現著美學的光輝。、數學史可以弘揚祖國優秀文化，提高民族自豪感，增強學生的愛國情操

中華民族有幾千年的歷史，既創造了奪目的文化，又造就了自身不屈不擾、奮發向上的優良品德。以頑強的生命力、意志力及寬大的胸懷，汲取和消化外來的優秀文化，使幾千年的文化連綿不斷．這樣長的文化史是其他文明古國不能相比的。就數學而言，其他文明古國的發展史都沒有中國長。

中國古代數學的偉大貢獻就是當今進行愛國教育的絕好教材，古代數學家的那種實事求是，敢于堅持真理，勇于攀登高峰的高尚品德，可以激勵我們振興中華民族的動力源泉。然而，在我們現行的中學教材中提得我國數學成就的知識很少 , 其實我國古代數學是有著光輝的歷史，如劉徽的“割圓術”、祖沖之的圓周率、祖暅的祖暅公理、楊輝的楊輝三角、秦九韶的剩余定理、朱世杰的“招差術”、“垛積術”和“四元術”等都具有世界影響的數學成就，他們在數學方面的成就都是非常大的。許多成果都比西方國家要早幾百年，如圓周率和楊輝三角等。

學習數學史可以使學生了解中國古代數學的輝煌成就，了解中國近代數學落后的原因，中國現代數學研究的現狀以及與發達國家數學的差距，從而激發學生的愛國熱情，振興民族科學。、數學史可以培養學生的創新意識

通過對數學史的學習讓學生明白數學的發展是許多數學家心血和汗水的結晶，從而培養學生認真學習數學的習慣、正確的思維方式和頑強的拼搏精神，激發求知欲，培養創新精神。

總之，學習數學史為德育教育提供了舞臺.歷史上數學家的業績與品德也會在青少年的人格培養上發揮十分重要的榜樣激勵作。用牛頓 22 歲發現一般的二項式定理，23 歲創立微積分學。高斯 19 歲解決正多邊形作圖的判定問題，20 歲證明代數基本定理，24 歲出版影響整個 19 世紀數論發展、至今仍相當重要的《算術研究》。17 世紀初，魯道夫窮畢生精力將圓周率 π 的值計算到 35 位小數，并將其作為自己的墓志銘。大數學家歐拉 31 歲右眼失明，晚年視力極差最終雙目失明，但他仍以堅韌的毅力保持了數學方面的高度創造力，以致由于他的論文多而且長，科學院不得不對論文篇幅做出限制，在他去世之后的 10 年內，他的論文仍在科學院的院刊上持續發表。我國著名數學家陳景潤 , 就是在上中學時 , 聽了他的數學老師沈元向學生介紹了 , 哥德巴赫猜想這一難倒無數數學家的難題后 , 其心靈受到了震撼 , 點燃起了他攀登高峰、摘取桂冠的熱情 , 從而他一生醉心于數學 , 并取得了令世人矚目的成績.數學思想形成中的曲折與艱辛以及那些偉大的探索者的失敗與成功可以使學生在體會前輩的同時反思自己，激勵自己不斷的奮發向上，同時對學生進行愛國主義教育。

總之，數學史的學習對本就枯燥的數學課來說，可以激發學生興趣，啟發學生的思維，增強學生的愛國情操，活躍課堂氣氛，增進師生間的共同了解，也讓學生了解數學，了解數學的美.......所以我們把數學史的一些輝煌的成就和一些感人的事例，以一種精神的力量融入到我們的教學中，會使我們的數學課變得非常的豐富。

第二篇：學習數學史的感受

學習《數學史》的心得體會

你知道畢達哥拉斯何許人？

你能列舉《幾何原本》與《九章算術》的不同風格？ 你能列舉幾位著名中國籍的數學家？

這些問題讓我們學了十幾年數學的學生不知所答，但隨著上學期對《數學史》進行整合學習，對這些問題逐漸明朗與了解。發現數學的發展伴隨著人類的發展，上下五千年的人類文明蘊藏著十分豐富的數學史料。通過學習讓我們更加深入地了解數學的發展歷程，歷經數學萌芽期、初等數學時期、變量數學時期、近代數學時期、現代數學時期，這如同胎兒的發育過程，大體要經過從單細胞生物到人類的進化過程，要經過類似原生動物、腔腸動物、脊椎動物、靈長類等各階段，最后才長成人類的樣子。作為人類智慧的結晶，數學不僅是人類文化的重要組成部分，而且始終是推動人類文明進步的重要力量。

在數學那漫漫長河中，三次數學危機掀起的巨浪，真正體現了數學長河般雄壯的氣勢。

第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學于一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸于學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對于無理數的概念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是“荒謬”和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機。

最后，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。

第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。其實我翻了一下有關數學史的資料，微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析的基本要素，直到2100年后，牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地——微積分。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數？如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？

直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創立了 極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。

羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是由于R是集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那么從集合的角度就有R R。一個集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因為既要R有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則，否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。

從此，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統（即所謂ZF公理系統），這場數學危機到此緩和下來。

我們應該怎樣看待這三次數學危機呢？我認為數學危機給數學發展帶來了新的動力。在這場危機中集合論得到較快的發展，數學基礎的進步更快，數理邏輯也更加成熟。然而，矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現，而且今后仍然會這樣。就拿悖論的出現來說，從某種意義上并不是什么壞事，它預示著更新的創造和光明，推進了科學的進程，我們應用辨證的觀點去看待他。

通過數學的發展史和這三次數學危機，我越來越感到M 克萊因教授著的一本書，是關于確定性的喪失，其中書中說道: 數學需要絕對的確定性來證實自身嗎？特別是，我們有必要確保某一理論是相容的或確保其在使用之前是通過非經驗論時期絕對可靠的直覺得到的嗎？在其他科學中，我們并沒要求這樣做。在物理學中所有的定理都是假設的，一個定理，只要能夠作出有用的預告我們就采用它。而一旦它不再適用，我們就修改或丟棄它。過去，我們常這樣對待數學定理，那時矛盾的發現將導致數學原則的變更，盡管這些數學原則在矛盾發現前還是為人們所接受的。因此我們看問題的觀念應該改變一下，數學是不確定性的。

如果說“危機”是數學長河的主流，那數學史上一道道懸而未解的難題、猜想，就是一朵朵美麗的浪花。費馬猜想，歷經三百年，終于變成了費馬定理；四色猜想，也被計算機攻克。哥德巴赫猜想，已歷經兩個半世紀之多，眾多的數學家為之競相奮斗，盡管陳景潤跑在了最前面，但最終的證明還是遙遙無期。更有龐加萊猜想、黎曼猜想、孿生素數猜想等??，刺激著數學家的神經，等待著數學家的挑戰。

天才的思想往往是超前的，在我們這些凡夫俗子眼中，的確很難理解他們。但就是在這樣的環境下，他們依然默默的堅守著自己的信念，執著著自己的理想。數學家們那種鍥而不舍的精神是我們應該努力學習的，正是有了那種精神，他們才能堅守在自己的陣地上直到自己生命的最后一刻，這也許就是他們所認為的幸福。回想我們自身，什么才是我們所追求的呢？什么才是幸福呢？教師職業本身的內涵和學生的健康成長是我們應該追求的目標，享受職業內在的幸福要從做好自己的本職工作開始。

浪花是美麗的，數學更是美麗的，英國數學家羅素說過：“數學不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美——一種冷峻嚴肅的美，即就像是一尊雕塑??這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的裝飾，他可以純潔到崇高的程度，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的完美境界。”

體會一：懂得歷史：從歐幾里得到牛頓的思想變遷

歷史使人明智，數學史也不例外。古希臘的文明，數學是主要標志之一，其中歐幾里得的《幾何原本》閃耀著理性的光輝，人們在欣賞和贊嘆嚴密的邏輯體系的同時，漸漸地把數學等同于邏輯，以“理性的封閉演繹”作為數學的主要特征。跟我國古代數學巨著《九章算術》相對照，就可以發現從形式到內容都各有特色和所長，形成東西方數學的不同風格：《幾何原本》以形式邏輯方法把全部內容貫穿起來，極少提及應用問題，以幾何為主，略有一點算術內容，而《九章算術》則按問題的性質和解法把全部內容分類編排，以解應用問題為主，包含了算術、代數、幾何等我國當時數學的全部內容。但是在近代數學史上，以牛頓為代表的數學巨人沖破了“數學=邏輯演繹”的公式，創造地發明了微積分。從中我們可以認識到歐幾里得的幾何學具有嚴密的邏輯演繹思維模式，牛頓的微積分具有開放的實踐創造思維模式。在我們的學習中同樣需要兼顧嚴密的邏輯演繹思維與開放的實踐創造思維。

體會二：激發精神：數學大師的執著、愛國

學過數學的人應該都知道勾股定理吧！那你知道是誰最早發現的嗎？在西方的文獻中一直把勾股定理稱作畢達哥拉斯定理。他是希臘論證數學的另一位祖師，并精于哲學、數學、天文學、音樂理論；他創立的畢達哥拉斯學派把數學當作一種思想來追求，去追求永恒的真理。你知道被國際公認為“東方第一幾何學家”的人誰嗎？當我們學校組織高一段的同學去平陽春游，參觀了蘇步青的故居后，這個謎團才得以解決。而且對蘇步青有了進一步的了解，從他身上發現愛國情懷尤其突出，如在極端惡劣的條件下毅然回國，并以嚴謹的治學態度、寬厚仁慈的胸懷、苦心孤詣的鉆研精神激勵著學生，于是才有了潘承洞、王元、陳景潤等對哥德巴赫猜想的突出貢獻，才有了我國在國際奧林匹克數學競賽上的一枚枚金牌。

體會三：掌握學法：學習之道在于悟

例如，做菜，用同樣的材料和調味品，為什么大廚做出來的就比你做出來的好吃？材料都是一樣的啊！這說明除材料外，還有一個東西在起作用——就是在做菜的過程中，如何搭配材料，材料的使用順序，何時使用材料，如何把握火候等。這些東西在起作用。同理數學知識分為兩類：一類是陳述性知識（或者說明性知識），是關于事實本身的知識，例如定義、定理、公理、概念、性質、法則、運算律等等，是關于是什么的一類知識；另一類是程序性知識，指怎樣進行認識活動的知識。陳述性知識可通過說明、解釋、舉例等方式達到理解，是可傳授的，易掌握的，通過訓練是能夠牢固掌握的。程序性知識更多地體現在經驗，可傳授性差，要靠體驗、意會和悟性，而體驗是要在過程中生成的，需要逐步積累的。數學學習的特點給我們兩點啟示：１、程序性知識比陳述性知識更為重要。（為什么不會解題的原因）

2、程序性知識的學習要在應用過程中揣摩，陳述性知識要在訓練中加深理解和掌握。

體會四：更新理念：大膽猜想，小心求證

在數學史中，有這樣一個游戲：漢諾塔游戲。以上的游戲體現了數學中的探索、推理、歸納的思想，合情推理是創新思維的火花，操作探究是創新的基本技能。當面臨錯綜復雜的實際問題時，應能自覺運用數學的思維方式（退到簡單入手）去觀察和思考問題，并努力尋求用數學解決問題的辦法（尋找遞推關系）。這種思考方式在解題中非常重要，又如謝賓斯基三角形與雪花曲線：

以上是我在學習《數學史》后的總結，在學習過程中，我們體會到數學的發展并非一帆風順，它是眾多數學先賢前赴后繼、辛勤耕耘的奮斗過程，也是克服困難、戰勝危機的斗爭過程。了解數學史，對于我們把握數學知識之間的關系和聯系，領會數學知識所內含的數學思想方法大有好處。

你知道畢達哥拉斯何許人？

你能列舉《幾何原本》與《九章算術》的不同風格？

你能列舉幾位著名中國籍的數學家？

這些問題讓我們學了十幾年數學的學生不知所答，但隨著上學期對《數學史》進行整合學習，對這些問 題逐漸明朗與了解。發現數學的發展伴隨著人類的發 展，上下五千年的人類文明蘊藏著十分豐富的數學史 料。通過學習讓我們更加深入地了解數學的發展歷程，歷經數學萌芽期、初等數學時期、變量數學時期、近代數學時期、現代數學時期，這如同胎兒的發育過程，大體要經過從單細胞生物到人類的進化過程，要經過 類似原生動物、腔腸動物、脊椎動物、靈長類等各階 段，最后才長成人類的樣子。作為人類智慧的結晶，數學不僅是人類文化的重要組成部分，而且始終是推 動人類文明進步的重要力量。

在數學那漫漫長河中，三次數學危機掀起的巨浪，真正體現了數學長河般雄壯的氣勢。

第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希 臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個 學派集宗教、科學和哲學于一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸于學派領袖。當時人們 對有理數的認識還很有限，對于無理數的概念更是一 無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或 整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西 方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為1 的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比 所能表示。希伯索斯的發現被認為是“荒謬”和違反 常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信 條，也沖擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數 學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海 中淹死，這就是第一次數學危機。

最后，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量 概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存在一個第三、學習《數學史》的心得體會 線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不 存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通 約的。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量 不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。

第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積 分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數學界 出現混亂局面，即第二次數學危機。其實我翻了一下 有關數學史的資料，微積分的雛形早在古希臘時期就 形成了，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小 分析的基本要素，直到2100年后，牛頓和萊布尼茲開 辟了新的天地——微積分。微積分的主要創始人牛頓 在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分 母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又 把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到 所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式 是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾． 焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能 用它做除數？如果不是零，又怎么能把包含著無窮小 量的那些項去掉呢？

直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理 論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量 應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮 小的概念，另外Weistrass創立了 極限理論，加上實 數理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形而上學 的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。

羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合 論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集 合。事實雖是這樣但原因卻又是什么呢？這是由于R是 集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那么從集合 的角度就有R R。一個集合真包含它自己，這樣的集合 顯然是不存在的。因為既要R有異于R的元素，又要R 與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都 必須遵循R R的基本原則，否則就是不合法的集合。這 樣看來，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應該 是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就 是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類 事物。歸根結底，R也就是包含一切集合的“最大的集 合”了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個 以否定形式陳述的最大集合悖論。

從此，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條 公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國 的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的 集合論公理系統（即所謂ZF公理系統），這場數學危機 到此緩和下來。

我們應該怎樣看待這三次數學危機呢？我認為數學 危機給數學發展帶來了新的動力。在這場危機中集合論 得到較快的發展，數學基礎的進步更快，數理邏輯也更 加成熟。然而，矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現，而且今后仍然會這樣。就拿悖論的出現來說，從某種意 義上并不是什么壞事，它預示著更新的創造和光明，推 進了科學的進程，我們應用辨證的觀點去看待他。

通過數學的發展史和這三次數學危機，我越來越感 到M 克萊因教授著的一本書，是關于確定性的喪失，其 中書中說道: 數學需要絕對的確定性來證實自身嗎？特 別是，我們有必要確保某一理論是相容的或確保其在使 用之前是通過非經驗論時期絕對可靠的直覺得到的嗎？ 在其他科學中，我們并沒要求這樣做。在物理學中所有 的定理都是假設的，一個定理，只要能夠作出有用的預 告我們就采用它。而一旦它不再適用，我們就修改或丟 棄它。過去，我們常這樣對待數學定理，那時矛盾的發 現將導致數學原則的變更，盡管這些數學原則在矛盾發 現前還是為人們所接受的。因此我們看問題的觀念應該 改變一下，數學是不確定性的。

如果說“危機”是數學長河的主流，那數學史上一 道道懸而未解的難題、猜想，就是一朵朵美麗的浪花。費馬猜想，歷經三百年，終于變成了費馬定理；四色猜 想，也被計算機攻克。哥德巴赫猜想，已歷經兩個半世 紀之多，眾多的數學家為之競相奮斗，盡管陳景潤跑在 了最前面，但最終的證明還是遙遙無期。更有龐加萊猜 想、黎曼猜想、孿生素數猜想等??，刺激著數學家的 神經，等待著數學家的挑戰。

天才的思想往往是超前的，在我們這些凡夫俗子眼 中，的確很難理解他們。但就是在這樣的環境下，他們 依然默默的堅守著自己的信念，執著著自己的理想。數 學家們那種鍥而不舍的精神是我們應該努力學習的，正 是有了那種精神，他們才能堅守在自己的陣地上直到自 己生命的最后一刻，這也許就是他們所認為的幸福。回 想我們自身，什么才是我們所追求的呢？什么才是幸福 呢？教師職業本身的內涵和學生的健康成長是我們應該 追求的目標，享受職業內在的幸福要從做好自己的本職 工作開始。

浪花是美麗的，數學更是美麗的，英國數學家羅素 說過：“數學不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美— —一種冷峻嚴肅的美，即就像是一尊雕塑??這種美沒有 繪畫或音樂那樣華麗的裝飾，他可以純潔到崇高的程度，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的完美境界。”

體會一：懂得歷史：從歐幾里得到牛頓的思想變遷

歷史使人明智，數學史也不例外。古希臘的文明，數學 是主要標志之一，其中歐幾里得的《幾何原本》閃耀著理 性的光輝，人們在欣賞和贊嘆嚴密的邏輯體系的同時，漸 漸地把數學等同于邏輯，以“理性的封閉演繹”作為數學 的主要特征。跟我國古代數學巨著《九章算術》相對照，就可以發現從形式到內容都各有特色和所長，形成東西方 數學的不同風格：《幾何原本》以形式邏輯方法把全部內 容貫穿起來，極少提及應用問題，以幾何為主，略有一點 算術內容，而《九章算術》則按問題的性質和解法把全部 內容分類編排，以解應用問題為主，包含了算術、代數、幾何等我國當時數學的全部內容。但是在近代數學史上，以牛頓為代表的數學巨人沖破了“數學=邏輯演繹”的公 式，創造地發明了微積分。從中我們可以認識到歐幾里得 的幾何學具有嚴密的邏輯演繹思維模式，牛頓的微積分具 有開放的實踐創造思維模式。在我們的學習中同樣需要兼 顧嚴密的邏輯演繹思維與開放的實踐創造思維。

體會二：激發精神：數學大師的執著、愛國

學過數學的人應該都知道勾股定理吧！那你知道是誰最 早發現的嗎？在西方的文獻中一直把勾股定理稱作畢達哥 拉斯定理。他是希臘論證數學的另一位祖師，并精于哲學、數學、天文學、音樂理論；他創立的畢達哥拉斯學派把數 學當作一種思想來追求，去追求永恒的真理。你知道被國 際公認為“東方第一幾何學家”的人誰嗎？當我們學校組 織高一段的同學去平陽春游，參觀了蘇步青的故居后，這 個謎團才得以解決。而且對蘇步青有了進一步的了解，從 他身上發現愛國情懷尤其突出，如在極端惡劣的條件下毅 然回國，并以嚴謹的治學態度、寬厚仁慈的胸懷、苦心孤 詣的鉆研精神激勵著學生，于是才有了潘承洞、王元、陳 景潤等對哥德巴赫猜想的突出貢獻，才有了我國在國際奧 林匹克數學競賽上的一枚枚金牌。

體會三：掌握學法：學習之道在于悟

例如，做菜，用同樣的材料和調味品，為什么大廚做出來 的就比你做出來的好吃？材料都是一樣的啊！這說明除材料 外，還有一個東西在起作用——就是在做菜的過程中，如何 搭配材料，材料的使用順序，何時使用材料，如何把握火候 等。這些東西在起作用。同理數學知識分為兩類：一類是陳 述性知識（或者說明性知識），是關于事實本身的知識，例 如定義、定理、公理、概念、性質、法則、運算律等等，是 關于是什么的一類知識；另一類是程序性知識，指怎樣進行 認識活動的知識。陳述性知識可通過說明、解釋、舉例等方 式達到理解，是可傳授的，易掌握的，通過訓練是能夠牢固 掌握的。程序性知識更多地體現在經驗，可傳授性差，要靠 體驗、意會和悟性，而體驗是要在過程中生成的，需要逐步 積累的。數學學習的特點給我們兩點啟示：１、程序性知識 比陳述性知識更為重要。（為什么不會解題的原因）

2、程序 性知識的學習要在應用過程中揣摩，陳述性知識要在訓練中 加深理解和掌握。

體會四：更新理念：大膽猜想，小心求證

在數學史中，有這樣一個游戲：漢諾塔游戲。以上的游戲體 現了數學中的探索、推理、歸納的思想，合情推理是創新思維 的火花，操作探究是創新的基本技能。當面臨錯綜復雜的實際 問題時，應能自覺運用數學的思維方式（退到簡單入手）去觀 察和思考問題，并努力尋求用數學解決問題的辦法（尋找遞推 關系）。這種思考方式在解題中非常重要，又如謝賓斯基三角 形與雪花曲線：

以上是我在學習《數學史》后的總結，在學習過程中，我們體會 到數學的發展并非一帆風順，它是眾多數學先賢前赴后繼、辛勤 耕耘的奮斗過程，也是克服困難、戰勝危機的斗爭過程。了解數 學史，對于我們把握數學知識之間的關系和聯系，領會數學知識 所內含的數學思想方法大有好處。

第三篇：數學史學習總結報告

數學史學習總結報告

1知識的總結

數學史，在古代實際上是指各個地區的數學史，例如古巴比倫數學、古埃及數學、古希臘數學、古印度數學、阿拉伯數學等；在中世紀，是指歐洲數學史；在近代，才是世界數學史。

【埃及古代數學】以金字塔聞名于世的埃及，很早就在數學上取得了引人注目的成就。我們了解埃及古代數學的主要依據，是大約公元前１８５０-前１６５０年間的兩份紙草書：莫斯科紙草書與阿默斯紙草書。前者因收藏于莫斯科美術博物館而得名，后者則得名于原件的書寫者，人們還認為，阿默斯紙草書是一部更為古老的數學著作的抄寫本。

【中世紀數學】文藝復興時期，由于藝術家所創建的透視法，逐步形成了射影幾何學；在斐波納契《算盤書》之后，歐洲也出現了一些數學著作，從而促進了十進分數的理論及運算的發展；１６世紀初期，最出色的數學成就，是意大利數學家發現了三次、四次方程的代數解法，有的使用了虛數，還改進了當時的數學符號；在三角學發展方面，歐洲人也把三角學從天文學獨立出來，使之成為一門獨立的學科，并重新定義了各種三角函數的概念，還編制了非常精密的三角函數表。中世紀，歐洲數學是在吸收并消化希臘、阿拉伯的數學知識之后才逐漸得到了發展的。

【近代數學】指１７-１９世紀的數學發展概況。具體來說，就是自笛卡兒、費馬創立了解析幾何之后，把變量引入到數學中，使數學拓展了新的領域；而牛頓、萊布尼茨創立了微積分學；納白爾、比爾吉發明了對數；巴斯卡、費馬、惠更斯興起了概率論；使得１７世紀歐洲數學由定量數學發展成為變量數學，并達到了一定的高峰，稱為古典高等數學。到１８世紀，在數學里，逐漸形成幾何學、代數學、分析學的三大分支；尤其是歐拉把以曲線為主要研究對象的微積分學拓廣成以函數為主要對象，使微積分學提到極高的層次，又由于實際的需要，出現了微分方程，不久使得微分方程成為一支重要的學科。到１９世紀，由于非歐幾何的誕生，射影幾何的復興，分析學的嚴格化，數學的公理化，成為當時的主要研究對象；并為２０世紀的數學發展，作了必要而充分的準備。

總而言之，西方數學孕于埃及，起于希臘，避禍于阿拉伯，大成于當代歐美.。2知識的拓展

數學史是研究數學科學發生發展及其規律的科學，簡單地說就是研究數學的歷史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發展對人類文明所帶來的影響。因此，數學史研究對象不僅包括具體的數學內容，而且涉及歷史學、哲學、文化學、宗教等社會科學與人文科學內容，是一門交叉性學科。數學發展具有階段性，因此可以根據一定的原則把數學史分成若干時期。目前學術界通常將數學發展劃分為以下五個時期： 1．數學萌芽期（公元前600年以前）；

2．初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）； 3．變量數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）； 4．近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）； 5．現代數學時期（20世紀40年代以來）。

3自己的體會 〈1〉 By：王楨

經過短期《數學史選講》的學習，給我最大的感受是：精神充實.在接觸這門課之前，由于對數學不是很感興趣，所以對數學領域方面的發展和由來可以說是一概不知，而進入這門課的學習之后，我才意識到數學有許多有趣的地方，如：某個科學家小時侯的故事、探索真理過程中一些挫折以及一些有趣的發現等；讓我知道不但娛樂屆有巨星和各種稱號，在數學領域中也不缺乏巨星和各種稱號，如：數學英雄----歐拉、數學王子----高斯、力學之父----阿基米德等等，他們也被冠于榮譽的稱號.科學家發現真理的過程給我帶來了很大的震動和啟發，他們研究問題的方法給予我最好的借鑒，他們執著的鉆研精神和所說的名言格言足以激勵人心，在學習中，不但使我得到視野上的開闊，知識的充實，更使我在精神上得到很好的鼓舞.〈2〉

數學是人類智慧的結晶,它時刻推動著人類文化的發展,伴隨著人類從遠古走到了現代.但人類對數學的認識從未止步.人類對于數學的認識因時代的不斷進步而日新月異,不同的時代,數學發展不同,但是無論是在哪個時代,數學的發展都是由于生產力的需要,在前人的基礎上加深對數學的理解.人類在不斷進步的過程中,對知識的需求越來越大,對未知的好奇心使他們不斷追尋答案,在不斷的質疑,探索,實踐后,數學使人類成為了世界霸主.歷史是過往的沉淀,留下的多是精華,我們應踩在巨人的肩膀上,探詢更高,更大的天空.

第四篇：數學史研究性學習總結

課題題目： 中國數學發展史

年級：高一年級

指導教師：

課題成員：

主導課程：數學 相關課程 語文、歷史

背景說明： 數學是研究現實世界的圖形和數量關系的科學，包括代數、幾何、三角、微積分等。它來源于生產，服務于生活，并不是空中樓閣，而是人類智慧的結晶。

課題的目的與意義： 為了讓同學們對數學產生興趣，輕松地學好數學，特設計了該研究性學習課題，大家通過查找數學名人趣事、數學常識等資料，對數學的功用問題有一個正確的認識，從而使我們對數學產生興趣，提高數學成績。

活動計劃：

1.明確學習目的，確定學習任務，制定活動計劃。

2.全組同學都去查找相關資料。

3.集中各人查找到的資料，進行分析、整理，交流心得，資源共享。

4.結題。

預期成果：不僅提高了大家學習數學的興趣，還提高了大家分析問題、解決問題的能力，數學方面的知識也得到了充實。

過程記錄：

一、明確學習目的，定下學習課題。

二、查找資料。

三、介紹中國數學發展史。

四、中國數學的起源和早期發展。

五、介紹中國數學體系與奠基。

六、介紹中國數學教育制度的建立。

七、介紹中國數學發展的高峰.八.日用數學的發展.九.介紹論文的格式。調研報告：

生活的伙伴——數學

摘要：生活中處處有數學，中國數學的發展，數學對世界的促進作用。

關鍵詞：數學、算術、代數、幾何三角學、勾股定理、通約量

對于一個學理科的人來講，數學學得好不好關系到整個理科方面的發展。俗話說：“學語文要知道寫作背景，學英語要常實踐，學數學嗎，則要知道發展史，那么才能學好。”

“數”字在字曲中的意思有3個，其中一個是劃分或計算出來的量。“學”在字典中是學習。兩個字合在一起的意思是學習劃分或計算出來的量，簡稱為“數 學”。看起來簡單，可數學在眾多學科中屬于最古老的一門，資歷深，遠到古老的中國，近到現代，深到各個學科領域，淺到生活中的各個小節。可以說，數學在我 們生活中無處不在，天天和數學打交道。

中國數學發展的簡單歷史知識：中國是一個世界上數學先進和國家，用近代科目來分類的話，可 以看出無論在算術、代數、幾何和三角各方面都十分發達。大約在3000年以前，中國已經知道自然數的四則運算。和其他國家一樣，乘法表的產生在中國也很 早，乘法表中國古代叫九九，估計在2500年以前中國已有這個表。在那個時候，人們便以九九來代表數學。現在小學生用的乘法表口決估計便是那時候留下來 的。

十四世紀以前，屬于代數方面的許多問題的研究，中國是先進的國家之一。歷史文獻揭示出在計算中有名的盈不足求是由中國傳經歐洲的。可見，中國當時在世界上，對算術方面是舉足輕重的，任何國度都無法替代。

中國不僅在算術、代數方面的貢獻大，在幾何方面、三角學方面的貢獻也是不可言喻的。數學——一種世界語。因為有了數學，所以使各個民族、各個國家更加團結。用數學來解釋一切，不僅僅是因為萬物都包含數，而且說萬物都是數。畢達哥拉斯學派用這個原理發現了勾股定理，聞名于世，又由此導致不可通約量的發理。這些既是算術問題，又和幾何有關。

如果說數學促進人類思想的解放，那么可以說分成兩個階段：第一個階段以數學開始成為一門科學直到以牛頓為最高峰的第一次科技革命。這一階段，使人類從 蒙昧中覺醒，上帝的地位逐漸被貶低了，人的地位上升了。人和自然的關系從崇拜自然和依賴自然發展到破壞自然與自然的對抗增強等。第二個階段由18世紀末算 起。那時候，數學化的物理學、力學，天文學已經取得了驚人的進展，當時科學發展的最大的問題是要求用一個發展的觀點，把世界看作一個發展的、進化的各部分 相互聯系的整體。人類在自己的成長中發現，單純憑著直接的經驗去認識宇宙，是多么不夠，人既然在物質上創造出了自然界中本來沒有的東西——一切工具、儀器 等等，來認識和創造世界。

是否會會一個新的階段出現呢？我們暫時不必去回答，但十分明顯的是數學的發展確實給人類的生活開辟了新天地。它的世界是多姿多彩的，它蘊藏著人類祖先的智慧，是人類智慧的結晶。

第五篇：數學史

數學史讀后感

寒假讀了數學史，有很多感觸。原來最簡單的數字在誕生之前，也經歷了那么多曲折，現在看起來很自然的數字0、無理數、負數等，在當時看來是那么奇怪。歷史上經歷了蠻長的過程才被接受，他們是許多學者前仆后繼、辛勤耕耘的結果。

數學史上的三次危機，正是由于數學家們不怕困難，堅持真理，數學才得以繼續發展。正如數學的發展過程一樣，數學的學習過程也會遇到各種困難和挫折，但是我們要向祖沖之，陳景潤、歐拉他們那樣，孜孜不倦的學習，以頑強拼搏的精神和勇氣，經過思考和探索獲得只是。同時，我們也要學習數學家們敢于質疑和創新精神，善于思考。創新是發展的靈魂。在以后的學習中，不因困難而放棄，刻苦鉆研。我的數學不太好，但是我不會放棄。雖然不會成為數學家，但是我一定會把數學學好，多寫、多練。祖沖之的故事給了我很多感悟。

祖沖之（公元429——500年）是我國南北朝時代一位成績卓著的科學家。他不僅在天文、數學等方面有過聞名世界的貢獻，而且在機械制造等方面也有許多發明創造。他的發明為促進社會生產的發展，建立了不可磨滅 的功績，受到了中國人民和世界人民的尊敬。劉徽發明了用分割的方法，求得圓周率的近似值3.14。他說用無限分割方法可以求得更加精確的數值，但是后來是由祖沖之求得了更加精確的數值。他的毅力和堅持是多么讓人敬佩啊。相比之下，我們的那點困難又算的了什么呢。我們現在有如此優越的條件，更應該努力學習，不能因為一點小小的挫折，就倒下了，要堅持。要明確自己的目標，人正是因為有了清晰的目標和堅定的信仰，有了腳踏實地的行動，才能成功。以后要積極思考，發現問題，學習數學家創新的精神，如果沒有歐幾里得第五公設的懷疑就不會有非歐幾何的產生，如果沒有創新的勇氣哪兒會有康托爾集合論的創立。

數學的發展只一個漫長而又曲折的過程，我們學習的只是很少的一部分，沒有理由不好好學。這個過程正如人生一樣，布滿荊棘，但不能阻擋我們的前進。