第一篇：微積分與數(shù)學(xué)建模知識總結(jié)

微積分與數(shù)學(xué)模型（上冊）

任課教師：陳騎兵小組成員

張程

王子堯

李昊奇

梅良玉

方旭建

李柏睿

1440610403 1440610426 1440610406 1440610428

1440610405

1440610402

第1章 函數(shù)，極限與連續(xù)

1.1 函數(shù)的基本概念

準(zhǔn)備知識（掌握集合與區(qū)間的相關(guān)知識）

函數(shù)定義：設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集。如果對于任意x?D，按照某一法則f，變量y都有確定的值和它對應(yīng)，則稱f為定義在D上的函數(shù)，數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，x稱為自變量，y稱為因變量。與x對應(yīng)的y的值記做f(x)，稱為函數(shù)f 在x處的函數(shù)值。D上所有的數(shù)值對應(yīng)的全體函數(shù)值的集合稱為值域

函數(shù)特性：

1：函數(shù)的有界性

設(shè)f(x)在集合X上有定義，若存在M>=0,使得對任意x屬于X都有f(x的絕

對值<=M, 則稱函數(shù)f(x在)X上有界；否則，稱函數(shù)f(x)在X上無界。2：函數(shù)的單調(diào)性 3：函數(shù)的奇偶性 4：函數(shù)的周期性 5：分段函數(shù) 6：復(fù)合函數(shù)

1.2初等函數(shù)

常值函數(shù) 如：y=C,C為常數(shù)； 冪函數(shù) 如：y=x?,??R為常數(shù)； 指數(shù)函數(shù) 如：y=ax,a>0且a?1；

x對數(shù)函數(shù) 如：y=log,a>0且a?1；

a三角函數(shù) 如：y=sinx,y=cosx,y=tanx；

反三角函數(shù) 如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx；

以及雙曲函數(shù)

1.3 極限的概念

（1).極限的直觀定義：當(dāng)x接近于某個(gè)常數(shù)x0但不等于x0時(shí)，若f(x)趨向于常數(shù)A，則

稱A為f(x)當(dāng)x趨向于x0時(shí)的極限。

(2).極限的精確定義：給定函數(shù)f(x)和常數(shù)A，若對于?ε>0（無論ε多么小），總彐δ>0,使得當(dāng)0<|x-x0|<ε,則稱A為f(x)當(dāng)x趨于x0時(shí)的極限，記做limx?x0f(x)=A.(3)單側(cè)極限和極限的關(guān)系：（定理）lim

x?x0f(x)=A.成立的充要條件是左極限limx?x0?f(x)和右極限lim

x?x0?f(x)均存在且都等于A(4)（定理）limx?x0f(x)=A的充要條件是lim

x?x0?f(x)=lim

x?x0?f(x)=A 1.4 極限的性質(zhì)與運(yùn)算

性質(zhì)：唯一性：若lim

x?x0f(x)存在，則必唯一

（1）局部有界性：若lim

x?x0f(x)=A，則存在M>0以及?>0，使得當(dāng)0<|x-x0|

（2）局部保號性：若im

x?x0f(x)=A，且A>0(或A<0)，則存在?>0，使得當(dāng)0<|x-x0|0(或f(x)<0)

運(yùn)算 若lim f(x)=A,lim g(x)=B,則

①.lim[f(x)±g(x)]存在，且lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A±B;

②.lim f(x)·g(x)存在，且lim f(x)g(x)=lim f(x)·lim g(x)=AB;

③.若B≠0，則lim [f(x)/g(x)]存在，且 lim [f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)=A/B 夾逼準(zhǔn)則：

若函數(shù)f(x),g(x),h(x)滿足:（1）當(dāng)x∈U(x0,δ)時(shí)，有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)；

（2)limx→x0g(x)=A,limx→x0h(x)=A, 則極限limx→x0f(x)存在,且等于A。兩個(gè)重要極限：

I

limx?0sinxsin?(x)=1

通用形式：lim=1 x?(x)?(x)?0

II

limx??(1+

1x1)=e

通用形式：lim(1+)=e x?(x)x??1.5無窮小量

無窮小量的定義：若對于?ε>0，彐δ>0，使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，有|f(x)|<ε,則稱f(x)為x→x0時(shí)的無窮小量。

注：（1）無窮小量是一個(gè)以零為極限的變量；

（2）無窮小量不是一個(gè)數(shù)，不要將其與非常小的數(shù)混淆；

（3）0是唯一可作為無窮小量的常數(shù)。

無窮大量的定義：若對于?M>0，彐δ>0，使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，有|f(x)|>M,則稱f(x)為x→x0時(shí)的無窮大量 定理：

(1)若f(x)為無窮大量，則1/f(x)為無窮小量；

(2)若f(x)為無窮小量，且f(x)≠0，則1/f(x)為無窮大量。

無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)：

a 兩個(gè)無窮小量的和或差仍為無窮小量；

b 有界函數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小量； C 常數(shù)與無窮小量的乘積仍為無窮小量； d 有限個(gè)無窮小量的乘積仍為無窮小量。無窮小量的比較：

a若lim(β/α)=0,則稱β是α的高階無窮小，F(xiàn) b若lim(β/α)=∞,則稱β是α的低階無窮小，c若lim(β/α)=C≠0,則稱β是α的同階無窮小，d若lim(β/α)=1,則稱β與α是等階無窮小，記做β~α。

1.6函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)函數(shù)的定義：

i 若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)領(lǐng)域U(x0,δ)內(nèi)有定義，且limx→x0 f(x)=f(x0)，則稱f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)

ii 若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)領(lǐng)域U(x0,δ)內(nèi)有定義，且limΔx→0 Δy=0,其中Δy表示對應(yīng)于自)在包含x0的某個(gè)右(左)領(lǐng)域內(nèi)有定義，且左右極限相等，則稱f(x)在點(diǎn)x0右（左）連續(xù)。間斷點(diǎn)及其分類

滿足條件：?f(x)x=x0

?lim

x?x0f(x)存在 f(x)=f(x0)

x?x0 ?lim三者有一個(gè)不成立，則稱f(x)在點(diǎn)x0間斷,稱x0為間斷點(diǎn)

第一類間斷點(diǎn)：?可去間斷點(diǎn) ?跳躍間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn)：?跳躍間斷點(diǎn) ?振蕩型間斷點(diǎn) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則：若f(x),g(x)均在x0連續(xù)，則f(x)±g(x),f(x)·g(x)及f(x)/g(x)(g(x0)≠0)都在x0連續(xù)；

反函數(shù)的連續(xù)性 若y=f(x)在區(qū)間Ix上單值，單增(減)，且連續(xù)，則其反函數(shù)x=φ(y)也在對應(yīng)的區(qū)間Ix={y|y=f(x),x∈Ix}上單值，單增(減),且連續(xù)；

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且φ(x0)=u0，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f(φ(x))在點(diǎn)x0處連續(xù)。

結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。1.7閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最值定理：

i

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間一定有界

ii

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值

介值定理：

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)?f(b)，則對于f(a)f與f(b)之間的任意常數(shù)C，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x,使得f(x)=C(a

推論：

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則對于?C?（m,M)，必存在x?(a,b)，使得f(x)=C

零點(diǎn)存在定理：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)?f(b)<0,則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)，至少存在一點(diǎn)?，使得f(?)=0，即f(x)在（a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。

重點(diǎn)：i 理解并掌握初等函數(shù)的特性以及分段函數(shù)和復(fù)合函數(shù)。

ii.理解并掌握極限的定義；性質(zhì)和四則運(yùn)算

iii 掌握夾逼準(zhǔn)則的定理及應(yīng)用

iv 掌握無窮小量的實(shí)質(zhì)和性質(zhì)

v 理解連續(xù)函數(shù)的定義

難點(diǎn)：I 掌握極限與連續(xù)函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系

II 掌握兩個(gè)重要極限的形式并且能熟練運(yùn)用

III 能熟練運(yùn)用等價(jià)無窮小之間的轉(zhuǎn)換求極限

IV 能牢記并準(zhǔn)確判斷出函數(shù)間斷點(diǎn)的類型

V 能運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題

2.1導(dǎo)數(shù)的定義

第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)及其某領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量?y?f(x0+?x)?f(x0)，如果limx?0f(x0??x)?f(x0)?y=lim存在，?x?x?o?x則稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f?(x0)。

常見的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式還有：f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)和

x?x0f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)。

h

2.1.3單側(cè)倒數(shù)

如果極限lim?x?0?f(x0??x)?f(x0)存在，則稱此極限值為函數(shù)y?f(x)在?x?x?x0的左導(dǎo)數(shù)，記做f_?(x0)，如果極限lim0?f(x0??x)?f(x0)存在，則稱此

?x極限值為函數(shù)y?f(x)的右導(dǎo)數(shù)，記做f??(x0)。

2.2函數(shù)的運(yùn)算法則

（1）(???)???????；（2）（2）(??)?????????；（3）()??（4）

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

（1）(C)??0；

（2）(xa)???x??1；（3）(ax)??axlna；（4）(ex)??ex；（5）(loga)??x?????????； ?21xlna；（6）(lnx)??；

1x（7）(sinx)??cosx ；(8)(cos)???sinx；（9）(tanx)??sec2x；

（10）(cotx)???csc2x；（11）(secx)??secxtanx；（12）(cscx)???csc2x；（13）(arcsinx)??（15）(arctanx)??

2.3 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

若因變量y表示為自變量x的明確表達(dá)式y(tǒng)?f(x)，則稱y?f(x)為顯函數(shù)而有時(shí)變量x和y的關(guān)系不用顯式給出，甚至某些情況下不能用顯式給出，就產(chǎn)生了隱函數(shù)。

一般地，稱由方程F(x，y)?0所確定的函數(shù)為隱函數(shù)。

隱函數(shù)的求導(dǎo)發(fā)

設(shè)由方程F(x,y)?0，確定了隱函數(shù)y?y(x)，于是對方程兩端關(guān)于x求導(dǎo)，遇到x直接求導(dǎo)，遇到y(tǒng)就將y看成x的函數(shù)，再乘以y對x的導(dǎo)數(shù)y?，得到一個(gè)含有y?的方程，然后從中解除y?即可。

2.4 高階導(dǎo)數(shù)

一般地，函數(shù)y?f(x)的導(dǎo)數(shù)f?(x)任然是x的函數(shù)，它稱為f(x)的一階導(dǎo)數(shù)，如果f?(x)的導(dǎo)數(shù)存在，就稱其為函數(shù)y?f(x)的二階

11?x2；（14）(arccosx)??（16）(arccotx)???11?x2；

1； 1?x2?1； 1?x2d2y導(dǎo)數(shù)，記做y??，f??(x)或2，dx根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f??(x)?lim?x?0f?(x??x)?f?(x)，類似的，函數(shù)

?xy?f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，...，(n?1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)就稱為n階導(dǎo)數(shù)，分別記做

y???,...，y(n)或f???(x)，...，f(n)d3y(x)或3.dx2.5 微 分

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0及其領(lǐng)域有定義，若f(x)在點(diǎn)x0處的增量?y?f(x??x)?f(x)與自變量增量?x滿足如下關(guān)系

?y?A?x??(?x)，其中A是與?x無關(guān)的常數(shù)，?(?x)是?x→0時(shí)的高階無窮小，則稱函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處可微，A??x稱為函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0處的微分，并記為dy丨x?x?A?x，A?x(A?0)稱為?y的線性主部。

02.5.2微分的運(yùn)算法則

（1）d(C)?0（C為常數(shù)）；（2）dx???x??1dx；（3)dax?axlnadx ；(4dex?exdx

x)?(5)d(loga11dx(a?0,a?1)；(6)d(lnx)?dx

xxlna(7)d(sinx)?cosxdx ；

(8)d(cosx)??sinxdx；(9)d(tanx)?sec2xdx；

(10）d(cotx)??csc2xdx；（11）d(secx)?secxtanxdx；（12）d(cscx)??cscxcotxdx；（13）d(arcsinx)?11?x2dx；（14）d(arccosx)??11?x2dx；（15）d(arctanx)?1?1dxd(arccotx)?dx； ；（16）1?x21?x22.微分的四則運(yùn)算法則

由函數(shù)的和，差，積，商的求導(dǎo)法則，可得到微分的四則運(yùn)算法則，設(shè)函數(shù)???(x)，???(x)在點(diǎn)x處可微，則有

（1）d(???)?d??d?；（2）d(C?)?Cd?；（3）d(??)??d???dv；（4）d()?

第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié) 微分中值定理

一、費(fèi)馬引理：

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導(dǎo)，如果對任意的x?U(x0)，有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)），那么f?(x0)?0。

證：不妨設(shè)x?U(x0)時(shí)，f(x)????d???d?； ?2f(0x，)對于x0??x?U(x0)，有f(x0??x)?f(x0)，故當(dāng)?x?0時(shí)，當(dāng)?x?0時(shí)，由保號性

f(x0??x)?f(x0)?0；

?xf(x0??x)?f(x0)?0，?xf(x0??x)?f(x0)?0?x?0?xf(x0??x)?f(x0)f?(x0)?f???x0??lim?0，故f?(x0)?0。

x?0??x羅爾定理（Rolle）f?(x0)?f??(x0)?lim?，如果函數(shù)f(x)滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（3）f(a)?f(b)，則至少存在一點(diǎn)?(a???b)，使得f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：f?(?)=0

二、拉格朗日中值定理

1）Lagrange中值定理（或有限增量定理，微分中值定理）：

如果函數(shù)f(x)滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。則至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

注1：拉格朗日中值公式反映了可導(dǎo)函數(shù)在?a,b?上整體平均變化率與在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)?處函數(shù)的局部變化率的關(guān)系.因此,拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶.f(b)?f(a)(x?a)，故?(x)?(f)x?y直線AB?yM?yN既

b?a為有向線段NM值的函數(shù)。2：直線AB:y?f(a)?3：當(dāng)f(a)?f(b)時(shí)，此定理即為羅爾定理，故羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。

AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切幾何意義：若連續(xù)曲線y?f(x)的弧?線，那么這弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線在C點(diǎn)處切線平行于弦AB。

Lagrange公式變形：設(shè)x?[a,b]，x??x?[a,b]，則有在[x,x??x](?x?0)或[x??x,x](?x?0)上就有

f(x??x)?f(x)?f?(x???x)??x（0???1）

或記f(x)?y，則有?y?f?(x???x)?x，[故也叫有限增量定理]

定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，則f(x)?C（x?I，C為常數(shù)）

推論：連續(xù)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上有f?(x)?g?(x)，則f(x)?g(x)?C

二、柯西中值定理

柯西中值定理：

如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F?(x)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)?，使f(b)?f(a)??f()?成立。

F(b)?F(a)?F?()

第二節(jié) 洛必達(dá)法則

一、未定式：當(dāng)x?a(或x??)時(shí)，函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無窮大，那么，極限limf(x)可能存在，也可能不存在，稱此極限為未定式，分別記為：x?aF(x)(x??)0?型或型。0?0定理1：洛必達(dá)法則：（型）（x?a）

0設(shè)①limf(x)?0，limF(x)?0

x?ax?a②在點(diǎn)a的某去心鄰域，f?(x)及F?(x)存在，且F?(x)?0 ③limx?af?(x)存在（或?yàn)闊o窮大）?F(x)f(x)f?(x)?lim F(x)x?aF?(x)則limx?a?型 ?①limf(x)??,limF(x)??

x?ax?a②f(x)與F(x)在U(a)內(nèi)可導(dǎo),且F?(x)?0 ③limx?a?f?(x)存在（或?yàn)?）F?(x)f(x)f?(x)?lim F(x)x?aF?(x)那么limx?a對于0??型，???（同時(shí)為??或同時(shí)為??型），00，1?，?0型的未定式，可0?以轉(zhuǎn)化為或型未定式來計(jì)算。

0?解決方法：取倒數(shù)，通分，取對數(shù)

二、其它類型：0??型，???型，00,1?,?0型

(1)對于0??型，可將乘積化為除的形式，即化為或算.(2)對于???型，可利用通分化為型的未定式來計(jì)算.(3)對于00,1?,?0型，可先化以e為底的指數(shù)函數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限，指數(shù)的極限為0??的形式，再化為或型的未定式來計(jì)算.00??0000?型的未定式來計(jì)?第三節(jié) 泰勒公式

三、泰勒（Taylor）中值定理：

如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n?1)階的導(dǎo)數(shù)，則對?x?(a,b)時(shí)，[f(x)可以表示為(x?x0)的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)之和。]

f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)（*）

2!n!f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1稱為Lagrange型余項(xiàng)，其中?是x0與x之間的某個(gè)值。(n?1)!且公式（*）稱為f(x)按(x?x0)的冪展開的n階泰勒公式。注： 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?/p>

f(x)?f(x)??f?(?)(x?x0)(?在x0與x之間)

第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

一、函數(shù)的單調(diào)性的判定法：

設(shè)函數(shù)y?f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。①若?x?(a,b)時(shí)，f?(x)?0，則y?f(x)在[a,b]上單調(diào)增加 ②若?x?(a,b)時(shí)，f?(x)?0，則y?f(x)在[a,b]上單調(diào)減少

二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

定義：設(shè)f(x)在區(qū)間Ⅰ上連續(xù)，如果對?x1,x2?I，恒有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))? 22那么稱f(x)在I上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）反之若恒有 f(x1?x2f(x)?)1fx()? 222那么稱f(x)在I上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）。定理：[利用二階導(dǎo)數(shù)符號判別曲線凹凸性] 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在[a,b] 內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（1）若在(a,b)內(nèi)，f??(x)?0，則f(x)在[a,b] 上的圖形是凹的（2）若在(a,b)內(nèi)，f??(x)?0，則f(x)在[a,b] 上的圖形是凸的

第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值

一、函數(shù)的極值及其求法

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，如果對于去心鄰域U(x0)中的任一x，有f(就稱f(x0)是f(x)的一個(gè)極大值（或x)?f(x)0（或f(x)?f(x0)）極小值）x在x0附近一局部范圍內(nèi)時(shí)，f(x0)為最大值，但整個(gè)定義域內(nèi)未必是最大值。

定理1：函數(shù)取得極值的必要條件：

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值，那么f?(x0)?0 駐點(diǎn)：使f?(x0)?0的點(diǎn)x0為函數(shù)f?x?的駐點(diǎn)。

1、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。

2、一個(gè)函數(shù)只能在它的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)處取得極值。定理2：（函數(shù)取得極值的第一充分條件）：

設(shè)在f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且在x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f?(x0)?0：若在點(diǎn)x0附近時(shí)，?（1）當(dāng)x?x0時(shí)，f?(x)?0，當(dāng)x?x0時(shí)，f?(x)?0，則f(x)在x0處取得極大值。（2）若當(dāng)x?x0時(shí)，f?(x)?0，x?x0時(shí)，f?(x)?0，則f(x)在x0處取得極小值。

（3）若當(dāng)x?x0及x?x0時(shí)，都有f?(x)?0或f?(x)?0，則f(x)在x0處無極值。定理3：（函數(shù)取得極值的第二充分條件）：

設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f?(x0)?0，f??(x0)?0，（不是不存在），那么：（1）當(dāng)f??(x0)?0時(shí)，f(x)在x0處取極大值；

（2）當(dāng)f??(x0)?0時(shí)，f(x)在x0取極小值。求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的步驟：

（1）確定函數(shù)f(x)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù)f?(x);（2）解方程f?(x)?0求出f(x)的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn);（3）討論f?(x)在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左、右兩側(cè)鄰近符號變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn);（4）求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得到函數(shù)f(x)的全部極值.二、最大值 最小值問題

求函數(shù)在[a,b]上的最大（小）值的步驟如下：

計(jì)算函數(shù)f(x)在一切可能極值點(diǎn)x1,x2,?,xm的函數(shù)值，并將它們與f(a),f(b)相比較，這些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；即M?max? f(x1),f(x2), ?,f(xm), f(a),f(b)? m?min? f(x1),f(x2), ?,f(xm), f(a),f(b)?

第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪

內(nèi)容要點(diǎn)：

1、漸近線的概念 水平漸近線

鉛直漸近線

斜漸近線；

2、函數(shù)圖形的描繪：

一、曲線漸近線：

如果動點(diǎn)沿某一曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，動點(diǎn)到一條定直線的距離趨于0，稱此直線為該曲線的一條漸近線。

水平漸近線：limf(x)?b（常數(shù)），稱直線y=b 是水平漸近線

x???

鉛直漸近線：limf(x)??，稱直線x?x0鉛直漸近線

（即在間斷點(diǎn)處）

x?x0

斜漸近線：limx???(x???)f(x)?a（常數(shù)）lim[f(x)?ax]?b（常數(shù)）

x???x(x???)

則直線y?ax?b是斜漸近線

二、描繪函數(shù)圖形的一般步驟

1、確定y?f(x)的定義域（函數(shù)的奇偶性、周期性）求f?(x),f??(x)

2、求出f?(x)?0及f??(x)?0的全部實(shí)根（在定義域?yàn)椋癴?(x)不存在的點(diǎn)，將定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間

3、列表

4、確定每個(gè)區(qū)間內(nèi)f?(x)及f??(x)的符號，判定圖形升降和凹凸性，極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。

5、確定水平，鉛直及斜漸近線，6、描一些特殊點(diǎn)：

極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等，聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)利用性質(zhì)畫圖

第四章 不定積分

一、不定積分的概念

1、原函數(shù)

設(shè)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且F'(x)?f(x)(或dF(x)?f(x)dx)就稱F(x)為f(x)在I的一個(gè)原函數(shù)。

2、不定積分

若函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)的原函數(shù)的一般表達(dá)式F(x)?C稱為f(x)的不定積分，記作

?f(x)dx?F(x)?C 其中?稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，dx稱為積分微元。

3、不定積分的幾何意義

在平面直角坐標(biāo)系中，f(x)的任一個(gè)原 函數(shù)F(x)的圖形，稱為f(x)的一條積分曲線，其方程為y?F(x)，而?f(x)dx?F(x)?C稱為f(x)的積分曲線族

二、本章教學(xué)的重難點(diǎn)

重點(diǎn)：熟悉不定積分的概念及性質(zhì)，牢記不定積分的基本公式，理解并運(yùn)用不定積分的的湊微分法與換元法。

難點(diǎn)：換元法、分部積分法等基本積分方法以及抽象函數(shù)的積分

三、不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1：d?f(x)dx?f(x)dx 或(?f(x)dx)'?f(x)性質(zhì)2：?df(x)?f(x)?C 或

?f'(x)dx?f(x)?C

性質(zhì)3：kf(x)dx?k?f(x)dx 其中k為非零常數(shù) 性質(zhì)4：?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx?g(x)dx

四、不定積分的基本積分公式 1.?kdx?kx?C（k為常數(shù)）3.?dx?ln|x|?C

5.?dx1?x

22.?xudx?4.?1u?1x?C u?11x

dx?arctanx?C 1?x2?arcsinx?C

6.?cosxdx?sinx?C 8.?sec2xdx?tanx?C 7.?sinxdx??cosx?C 9.?csc2xdx??cotx?C

10.?secxtanxdx?secx?C 12.?exdx?ex?C 14.?shxdx?chx?C 16.?tanxdx??|cosx|?C 11.?cscxcotxdx??cscx?C 13.?axdx?1xa?C

lna 15.?chxdx?shx?C

17.?cotxdx?ln|sinx|?C

18.?secxdx?ln|secx?tanx|?C 19.?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C 20.?22.?23.?24.?dx1x?arctan?C 22a?xaa

21.?dx1x?a?ln||?C 22x?a2ax?ax?arcsin?C

aa2?x2dxdxx2?x2dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C

?ln(x?x2?a2)?C

五、不定積分的計(jì)算方法

1、第一類換元法（湊微分法）

?f[?(x)]?'(x)dx??f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C(u??(x))

（其中?(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(u)為?f(x)的一個(gè)原函數(shù)）

2、第二類換元法

?f(x)dx??f[?(t)]?(t)dt?F(t)?C?F[??1(x)]?C

(x??(t))

F(t)為f[?(t)]?'(t)的一個(gè)原函數(shù)）（其中x??(t)單調(diào)可導(dǎo)，且?(t)?0，常用的代換有三種，即三角代換、根式代換和倒代換。

3、分布積分法 ?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)

（其中u(x)v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)）

六、有理函數(shù)與三角函數(shù)有理式的積分

兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)，有理函數(shù)總可以化為多項(xiàng)式與真分式的代數(shù)和，而真分式總可以分解為部分分式的代數(shù)和，所以有理函數(shù)的積分可化為整式和下列四中部分分式的積分。

1dx

（1）?x?a

1dx

（2）?n(x?a)bx?cdx

（3）?2x?px?q

bx?cdx

（4）?2n(x?px?q)而求這四種積分也可以湊微積分法或第二類換元法。

三角函數(shù)有理式的積分，總可用萬能代換u?tan將原不定積分化為u為積分變量的有理函數(shù)的積分，但對有些三角有理式的積分，有時(shí)用三角公式轉(zhuǎn)化，再用前所述的基本積分公式或積分方法求解，可能更簡便些。

x2第五章 定積分及其應(yīng)用

5.1定積分的概念與性質(zhì)

眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。一元函數(shù)情況下，求微分實(shí)際上是求一個(gè)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原函數(shù)。所以，微分與積分互為逆運(yùn)算。

定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間[a,b]中圖線下包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。這個(gè)圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3], …,(xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各區(qū)間的長度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △xn=xn-xn-1。在每個(gè)子區(qū)間(xi-1,xi]中任取一點(diǎn)ξi（1,2,...,n），作和式

。設(shè)λ=max{△x1, △x2, …, △xn（即}λ是最大的區(qū)間長度），則當(dāng)λ→0時(shí)，該和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的定積分，記為

其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間[a, b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，∫ 叫做積分號。

之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)。

根據(jù)上述定義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積分，則有n等分的特殊分法：

特別注意，根據(jù)上述表達(dá)式有，當(dāng)[a,b]區(qū)間恰好為[0,1]區(qū)間時(shí)，則[0,1]區(qū)間積分表達(dá)式為：

5.2微積分基本公式

牛頓-萊布尼茲公式

設(shè)在上連續(xù)，是

在上的任一原函數(shù)

則 證明：與

均是

在上的原函數(shù)

則

（為常數(shù)，令，而

故

從而

即

若令，得：)

為了方便，今后記

或。

積分限函數(shù)定義及性質(zhì)

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設(shè)為上的一點(diǎn)，考察定積分，如果上限在區(qū)間上任意變動，則對于每一個(gè)取定的值，定積分有一個(gè)對應(yīng)值，所以它在上定義了一個(gè)函數(shù)，記積分上限函數(shù)

積分上限函數(shù)（或變上限定積分）的自變量是上限變量，在求導(dǎo)時(shí)，是關(guān)于 x 求導(dǎo)，但在求積分時(shí)，則把 x 看作常數(shù)，積分變量 t 在積分區(qū)間 上變動。積分上限函數(shù)對 x 求導(dǎo)后的結(jié)果為 f(x).5.3定積分的換元法與分部積分法

●定積分換元法應(yīng)該注意：

（1）三換：一換積分變量，二換被積分函數(shù)，三換積分上下限。（2）引入新變量時(shí)要注意使換元函數(shù)在積分區(qū)間上單調(diào)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

（3）作什么樣的變量替換一般要從被積函數(shù)的形式入手，與不定積分的換元法非常類似，但又有不同，其不同之處在于定積分中積分變量的取值范圍是確定的，即上下限，因此在作換元后被積函數(shù)的形式往往更具體。

（4）變限積分函數(shù)一般是用其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，如果被積函數(shù)中含積分上下限變量x，一般先把x提到積分號外才能求導(dǎo)數(shù)；若不能直接提出積分號，可考慮用換元法把x變換到積分的上下限中去再求導(dǎo)。●利用被積函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行積分：

（1）被積函數(shù)是奇偶函數(shù)且在對稱區(qū)間上積分直接利用性質(zhì)：等于零（當(dāng)被積函數(shù)為奇函數(shù)）：或等于2倍的一半?yún)^(qū)間上的積分（當(dāng)被積函數(shù)為偶函數(shù)）。

（2）被積函數(shù)不是奇偶函數(shù)但在對稱區(qū)間上作積分，可以考慮利用變換x=-u。

（3）被積函數(shù)若是周期函數(shù)或三角函數(shù)，首先要考慮利用周期函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算積分，這樣可簡化計(jì)算。

（4）被積函數(shù)是分段函數(shù)，計(jì)算時(shí)先利用積分的區(qū)間可加性將積分拆成在各段上分別積，在合起來；被積函數(shù)帶有絕對值符號，首先脫掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)再積分。●用分部積分法計(jì)算定積分

這是定積分計(jì)算中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其應(yīng)用關(guān)鍵同不定積分一樣，是恰當(dāng)?shù)剡x取u和v，特別適用于當(dāng)被積函數(shù)可看成兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，其尋找u和v的思路同不定積分一樣，可自己對照不定積分的分部積分法來研究定積分的分部積分法，同不定積分法類似，在定積分計(jì)算時(shí)，換元法與分部積分法也常常是一起來使用的。

5.4廣義積分

定積分概念的推廣至積分區(qū)間無窮和被積函數(shù)在有限區(qū)間上為無界的情形成為廣義積分，又名反常積分。其中前者稱為無窮限廣義積分，或稱無窮積分；后者稱為無界函數(shù)的廣義積分，或稱瑕積分。無窮積分：設(shè)函數(shù)f(x)定義在[a,+∞)上。若f(x)在任意[a,A](A>a)上可積，我們稱積分形式∫(A → +∞)f(x)dx為f(x)在[a,+∞)上的無窮積分。

類似可定義-∞時(shí)的無窮積分。

瑕積分：設(shè)函數(shù)f(x)定義在[a,b)上，而f(x)在x=b的任一左鄰域內(nèi)f(x)無界（此時(shí)稱x=b為f(x)的瑕點(diǎn)）。若f(x)在任意[a,b-ε](0<ε

又設(shè)c∈(a,b),函數(shù)f(x)以點(diǎn)c為暇點(diǎn)，那么當(dāng)兩個(gè)反常積分∫(a → c)f(x)dx和∫(c → b)f(x)dx均收斂時(shí)，反常積分∫(a → b)f(x)dx收斂。其值定義為：

∫(a → b)f(x)dx=∫(a → c)f(x)dx+∫(c → b)f(x)dx

=lim(ε →0+)∫[a→c-ε] f(x)dx+lim(ε →0+)∫[c+ε →b] f(x)dx, 否則該反常積分發(fā)散

5.5定積分的幾何應(yīng)用

（1）計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，一般先畫出大體圖形，然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇是用直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，通常圖形與圓有關(guān)時(shí)選擇極坐標(biāo)系，這樣運(yùn)算起來更簡單一些。在直角坐標(biāo)系下還要根據(jù)圖形的形狀選擇恰當(dāng)?shù)胤e分變量，如果不是公式所給的類型，還需要對圖形進(jìn)行分割，分割后的每一塊都是四種標(biāo)準(zhǔn)中的一種，然后再積分；極坐標(biāo)系類似，恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量和積分區(qū)域可給計(jì)算帶來方便，另外，可利用圖形的對稱性簡化計(jì)算。

（2）計(jì)算曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，利用切片發(fā)，即把旋轉(zhuǎn)體看成由一系列垂直于旋轉(zhuǎn)軸的圓形薄片組成，而此薄片體積就是體積元。

（3）計(jì)算曲線弧長時(shí)，主要根據(jù)曲線的方程，選擇相應(yīng)的公式寫出弧微分ds，繼而求出弧長。

（4）計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，需注意是哪個(gè)繞的旋轉(zhuǎn)軸，若是繞x軸旋轉(zhuǎn)，只要帶入上面所給的公式；若是繞y軸旋轉(zhuǎn)，則要根據(jù)上面公式稍作改變即可。

第五章 定積分及其應(yīng)用

5.1定積分的概念與性質(zhì)

眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。一元函數(shù)情況下，求微分實(shí)際上是求一個(gè)已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求原函數(shù)。所以，微分與積分互為逆運(yùn)算。定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間[a,b]中圖線下包圍的面積。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積。這個(gè)圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3], …,(xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各區(qū)間的長度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △xn=xn-xn-1。在每個(gè)子區(qū)間(xi-1,xi]中任取一點(diǎn)ξi（1,2,...,n），作和式

。設(shè)λ=max{△x1, △x2, …, △xn（即}λ是最大的區(qū)間長度），則當(dāng)λ→0時(shí)，該和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的定積分，記為

其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間[a, b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，∫ 叫做積分號。

之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)。

根據(jù)上述定義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積分，則有n等分的特殊分法：

特別注意，根據(jù)上述表達(dá)式有，當(dāng)[a,b]區(qū)間恰好為[0,1]區(qū)間時(shí)，則[0,1]區(qū)間積分表達(dá)式為：

5.2微積分基本公式

牛頓-萊布尼茲公式

設(shè)在上連續(xù)，是

在上的任一原函數(shù)

則 證明：與

均是

在上的原函數(shù)

則

（為常數(shù)，令，而

故

從而

即

若令，得：

為了方便，今后記

或

。)

積分限函數(shù)定義及性質(zhì)

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設(shè)為上的一點(diǎn)，考察定積分，如果上限在區(qū)間上任意變動，則對于每一個(gè)取定的值，定積分有一個(gè)對應(yīng)值，所以它在上定義了一個(gè)函數(shù)，記積分上限函數(shù)

積分上限函數(shù)（或變上限定積分）的自變量是上限變量，在求導(dǎo)時(shí)，是關(guān)于 x 求導(dǎo)，但在求積分時(shí)，則把 x 看作常數(shù)，積分變量 t 在積分區(qū)間 上變動。積分上限函數(shù)對 x 求導(dǎo)后的結(jié)果為 f(x).5.3定積分的換元法與分部積分法

●定積分換元法應(yīng)該注意：

（5）三換：一換積分變量，二換被積分函數(shù)，三換積分上下限。（6）引入新變量時(shí)要注意使換元函數(shù)在積分區(qū)間上單調(diào)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

（7）作什么樣的變量替換一般要從被積函數(shù)的形式入手，與不定積分的換元法非常類似，但又有不同，其不同之處在于定積分中積分變量的取值范圍是確定的，即上下限，因此在作換元后被積函數(shù)的形式往往更具體。

（8）變限積分函數(shù)一般是用其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，如果被積函數(shù)中含積分上下限變量x，一般先把x提到積分號外才能求導(dǎo)數(shù)；若不能直接提出積分號，可考慮用換元法把x變換到積分的上下限中去再求導(dǎo)。●利用被積函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行積分：

（5）被積函數(shù)是奇偶函數(shù)且在對稱區(qū)間上積分直接利用性質(zhì)：等于零（當(dāng)被積函數(shù)為奇函數(shù)）：或等于2倍的一半?yún)^(qū)間上的積分（當(dāng)被積函數(shù)為偶函數(shù)）。（6）被積函數(shù)不是奇偶函數(shù)但在對稱區(qū)間上作積分，可以考慮利用變換x=-u。

（7）被積函數(shù)若是周期函數(shù)或三角函數(shù)，首先要考慮利用周期函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算積分，這樣可簡化計(jì)算。

（8）被積函數(shù)是分段函數(shù)，計(jì)算時(shí)先利用積分的區(qū)間可加性將積分拆成在各段上分別積，在合起來；被積函數(shù)帶有絕對值符號，首先脫掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)再積分。●用分部積分法計(jì)算定積分

這是定積分計(jì)算中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其應(yīng)用關(guān)鍵同不定積分一樣，是恰當(dāng)?shù)剡x取u和v，特別適用于當(dāng)被積函數(shù)可看成兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，其尋找u和v的思路同不定積分一樣，可自己對照不定積分的分部積分法來研究定積分的分部積分法，同不定積分法類似，在定積分計(jì)算時(shí)，換元法與分部積分法也常常是一起來使用的。

5.4廣義積分

定積分概念的推廣至積分區(qū)間無窮和被積函數(shù)在有限區(qū)間上為無界的情形成為廣義積分，又名反常積分。其中前者稱為無窮限廣義積分，或稱無窮積分；后者稱為無界函數(shù)的廣義積分，或稱瑕積分。無窮積分：設(shè)函數(shù)f(x)定義在[a,+∞)上。若f(x)在任意[a,A](A>a)上可積，我們稱積分形式∫(A → +∞)f(x)dx為f(x)在[a,+∞)上的無窮積分。

類似可定義-∞時(shí)的無窮積分。瑕積分：設(shè)函數(shù)f(x)定義在[a,b)上，而f(x)在x=b的任一左鄰域內(nèi)f(x)無界（此時(shí)稱x=b為f(x)的瑕點(diǎn)）。若f(x)在任意[a,b-ε](0<ε

又設(shè)c∈(a,b),函數(shù)f(x)以點(diǎn)c為暇點(diǎn)，那么當(dāng)兩個(gè)反常積分∫(a → c)f(x)dx和∫(c → b)f(x)dx均收斂時(shí)，反常積分∫(a → b)f(x)dx收斂。其值定義為：

∫(a → b)f(x)dx=∫(a → c)f(x)dx+∫(c → b)f(x)dx

=lim(ε →0+)∫[a→c-ε] f(x)dx+lim(ε →0+)∫[c+ε →b] f(x)dx, 否則該反常積分發(fā)散

5.5定積分的幾何應(yīng)用

（4）計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，一般先畫出大體圖形，然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)選擇是用直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，通常圖形與圓有關(guān)時(shí)選擇極坐標(biāo)系，這樣運(yùn)算起來更簡單一些。在直角坐標(biāo)系下還要根據(jù)圖形的形狀選擇恰當(dāng)?shù)胤e分變量，如果不是公式所給的類型，還需要對圖形進(jìn)行分割，分割后的每一塊都是四種標(biāo)準(zhǔn)中的一種，然后再積分；極坐標(biāo)系類似，恰當(dāng)?shù)剡x擇積分變量和積分區(qū)域可給計(jì)算帶來方便，另外，可利用圖形的對稱性簡化計(jì)算。（5）計(jì)算曲邊梯形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體體積時(shí)，利用切片發(fā)，即把旋轉(zhuǎn)體看成由一系列垂直于旋轉(zhuǎn)軸的圓形薄片組成，而此薄片體積就是體積元。

（6）計(jì)算曲線弧長時(shí)，主要根據(jù)曲線的方程，選擇相應(yīng)的公式寫出弧微分ds，繼而求出弧長。

（4）計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，需注意是哪個(gè)繞的旋轉(zhuǎn)軸，若是繞x軸旋轉(zhuǎn)，只要帶入上面所給的公式；若是繞y軸旋轉(zhuǎn)，則要根據(jù)上面公式稍作改變即可。

團(tuán)隊(duì)隊(duì)員互評

張程

8分

能認(rèn)真完成小組分工，上課認(rèn)真聽講 梅良玉

8分

同上 李柏睿

8分

同上 李昊奇

8分

同上 方旭劍

8分

同上 王子堯

8分

同上

第二篇：數(shù)學(xué)建模總結(jié)

數(shù)學(xué)建模總結(jié)

（河南科技大學(xué) 許光輝 李貴濤 蔡亞娟）

數(shù)學(xué)建模比賽雖然已經(jīng)結(jié)束半年之久，但是整個(gè)參賽過程我們依舊歷歷在目。從參加學(xué)校的建模比賽，到暑期培訓(xùn)、全國大賽，到最終的答辯環(huán)節(jié)，其中的酸甜苦辣如今回味起來都已變成美好的回憶。

經(jīng)過指導(dǎo)組老師的專業(yè)培訓(xùn)，尤其是郭春娜老師的悉心指導(dǎo)，我們組最終獲得了全國二等。我們收獲的不僅僅是一份榮譽(yù)，更多的是知識的積累和能力的提高。現(xiàn)在我們將整個(gè)參賽過程的體會作如下的總結(jié)：

一、團(tuán)隊(duì)精神。數(shù)學(xué)建模比賽靠的不是一己之力，拼的是集體的智慧。能堅(jiān)持到最后參加國家賽，相對而言都是很優(yōu)秀的隊(duì)員，但是“眾人拾柴”才能“火焰高”，只有三個(gè)人緊密配合才能做出最優(yōu)的方案，最終提交的才不是三段互不銜接、支離破碎的論文。數(shù)學(xué)建模比賽有點(diǎn)累，尤其是到培訓(xùn)的最后階段，又面臨著被淘汰的壓力，可謂是身心疲憊。此時(shí)，大家一定要互相鼓勵(lì)和支持。遇到意見不一致的情況，大家要平心靜氣地商討，或者找指導(dǎo)老師請教，萬不能傷和氣；一旦遇到尷尬的僵局，要及時(shí)調(diào)節(jié)。和諧的團(tuán)隊(duì)氛圍能容易出成績。

二、術(shù)業(yè)有專攻。數(shù)學(xué)建模考察的是大家的綜合素質(zhì)，譬如：建模能力、嫻熟應(yīng)用軟件的能力和語言表達(dá)能力等等，3個(gè)人最好在平時(shí)的模擬時(shí)有所側(cè)重。但是每個(gè)人都要對這幾個(gè)方面有所了解，這樣才能在遇到瓶頸時(shí)互相探討，或者在一個(gè)人出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，其他人能及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并糾正。

三、重視基礎(chǔ)。每年的題目都在創(chuàng)新、改變，但萬變不離其宗，考察的不外乎基礎(chǔ)建模知識。所以只有很好地掌握了課堂上老師教授的方法，夯實(shí)了基礎(chǔ)，才能在后期厚積薄發(fā)，有所圖突破。尤其是如今我們學(xué)習(xí)專業(yè)課時(shí)，才發(fā)現(xiàn)這些建模方法使用頻率非常高。假期的培訓(xùn)確實(shí)讓我們受益匪淺。

四、廣泛涉獵。正因?yàn)槊磕甑念}目都在創(chuàng)新，所以我們要不斷涉獵新的知識，武裝自己。在平時(shí)模擬的時(shí)候，多到萬方數(shù)據(jù)庫下載相關(guān)的文獻(xiàn)看看，了解些學(xué)術(shù)前。有些這些文章看起來可能會晦澀難懂，我們“不求甚解”即可。看這些文獻(xiàn)我們可能并沒學(xué)到什么東西，但是能增強(qiáng)我們的信心。我們在正式比賽時(shí)，如果再去看文獻(xiàn)就不會顯得那么盲目和痛苦。

五、慎重選題。本科組有兩個(gè)題目，選題是正式比賽的第一步。總所周知，決定成功的不是站的位置，而是所朝的方向。如果選題時(shí)出現(xiàn)方向錯(cuò)誤，結(jié)果可想而知了。拿我們組舉例吧，我們3人對經(jīng)濟(jì)的把握略多余物理，并且選擇第2個(gè)題目的人比較少，相對競爭壓力小，所以在第一天上午果斷選擇了《上海世博會影響力的定量評估》。

六、注意細(xì)節(jié)。細(xì)節(jié)不僅包括論文的格式，更重要的是內(nèi)容上不能有硬傷。在遇到大家建模思路相同或類似的情況下，老師就會比較誰的細(xì)節(jié)處理的好，因此，不要忽視任何可能影響建模結(jié)果的細(xì)節(jié)。我們就是在答辯環(huán)節(jié)，老師直接挑出了一個(gè)致命的錯(cuò)誤。

七、絕對自信。比賽結(jié)束之后，我們會發(fā)現(xiàn)：其實(shí)大家的建模能力相差無幾。從校級比賽到全國大賽，這么長的戰(zhàn)線，中途掉隊(duì)的不再少數(shù)。掉隊(duì)的原因很大一部分就來自不自信，總感覺自己“計(jì)不如人”。請?jiān)谕藚s的念頭萌生時(shí)，告誡自己：每一個(gè)堅(jiān)持到最后的人都是成功者，每一個(gè)堅(jiān)持到最后的團(tuán)隊(duì)都是勝利的組織。一定要絕對的自信，不能讓自己如在EQ上。

現(xiàn)在我們回憶起暑期培訓(xùn)的場景，仍然有種意猶未盡的感覺。指導(dǎo)組的老師每一個(gè)都認(rèn)真負(fù)責(zé)，冒著酷暑、犧牲休息時(shí)間給我們上課；同學(xué)們個(gè)個(gè)激情四射，勤奮練習(xí)。培訓(xùn)期間的每一天都是充實(shí)和幸福的。不過，我們在此想給老師說兩點(diǎn)改進(jìn)辦法：

一、希望老師在每次模擬答辯之后，能抽出部分時(shí)間分析一下題目。我們每個(gè)隊(duì)的建模方法可能不同，請老師把比較好的建模方法及建模時(shí)的注意事項(xiàng)告訴我們。我們剛做過這個(gè)題目，此時(shí)的記憶比較深刻，效果會好一些吧。

二、希望老師把模擬題換成新題目，而不是歷年的真題。大家都有惰性，如果用歷年真題，我們很可能會上網(wǎng)直接搜答案，缺少自己的獨(dú)立思考環(huán)節(jié)，除了鍛煉了寫作模式，對建模本身提高不大。

希望我們的這些總結(jié)能對下一屆的“數(shù)模人”有所幫助。最后，請?jiān)试S我們在此對建模指導(dǎo)組的所有老師們說一聲：老師，您辛苦了，謝謝您！

第三篇：數(shù)學(xué)建模總結(jié)

數(shù)學(xué)建模實(shí)踐總結(jié)

本學(xué)期的第八周是大學(xué)以來的第一個(gè)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐周，我們雖然只有一個(gè)星期的學(xué)習(xí)實(shí)時(shí)間，一個(gè)星期時(shí)間并不能讓我們對數(shù)學(xué)建模有著很深的了解，但我們可以通過這次實(shí)踐，更系統(tǒng)化，更具體化地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，并進(jìn)一步理解其所體現(xiàn)的一些思想和精神。數(shù)學(xué)建模是接觸實(shí)際科學(xué)問題的第一步，利用所學(xué)的知識，利用各種數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)工具，為某一具體問題建立抽象模型，并解決問題、最后撰寫論文，給出客觀的評價(jià)。

在短短一個(gè)星期的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的過程中，我學(xué)到了很多知識，如LINGO軟件、MATLAB軟件和一些算法，可以說，這是迄今為止任何一門課程都無法比擬的，各種從未接觸過的高級數(shù)學(xué)軟件，令人眼花繚亂的編程和神秘的多維圖像。

其實(shí)，數(shù)學(xué)建模的一些思想和為人處世之道是相通的。在生活中，無論做什么事情，我們要端正自己的態(tài)度，時(shí)常給自己一點(diǎn)鼓勵(lì)，要相信自己的潛力，把自己融入激情之中，不要越做越懈怠。江南春曾說過“最終你相信什么，就能成為什么”。

第四篇：數(shù)學(xué)建模協(xié)會趣味知識競賽活動總結(jié)

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

數(shù)學(xué)建模趣味知識競賽活動總結(jié)

在各方力量的支持和共同努力下，本次活動取得圓滿成功，為了日后更好的開展類似活動，更好的服務(wù)于同學(xué)，現(xiàn)將本次活動的各項(xiàng)工作總結(jié)如下。

? 活動簡介

【主題】趣味數(shù)模，快樂你我

【對象】數(shù)學(xué)建模協(xié)會全體會員及廣大數(shù)模愛好者

【時(shí)間】3月23日星期三晚上

【地點(diǎn)】教3-202

【內(nèi)容】以一段開場舞拉開序幕，接著便是數(shù)道趣味知識題目，中間插有一個(gè)游戲，全過程氣氛熱烈。

【意義】培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和團(tuán)隊(duì)意識，享受數(shù)學(xué)建模給我們帶來的樂趣。

? 活動亮點(diǎn)

? 現(xiàn)場氣氛熱烈

在搶答有關(guān)題目時(shí)反應(yīng)激烈，現(xiàn)場氣氛很好。? 禮品豐厚

這也是舉辦較成功的一個(gè)原因，很有吸引力。

? 不足及改進(jìn)

? 細(xì)節(jié)不夠重視

在活動進(jìn)行中還有很多細(xì)節(jié)需注意。

? 多開展類似活動，注意總結(jié)，充分考慮活動細(xì)節(jié)。

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

? 參與人數(shù)較少

部分來的同學(xué)也是由于考評的壓力才來，要加大宣傳。? 在下次開展類似活動時(shí)注意相關(guān)事項(xiàng)，并引以為戒，延伸到其他活動。

? 沒有時(shí)間觀念

在通知上寫的什么時(shí)候就應(yīng)該在什么時(shí)候開始，引起部分同學(xué)不滿。

? 提前充分準(zhǔn)備。

? 活動心得

一個(gè)活動的成功舉行得益于良好的策劃和各方力量的支持，應(yīng)充分發(fā)揮團(tuán)隊(duì)精神。

開展一個(gè)活動要充分達(dá)到活動要求和目的，顯現(xiàn)它的意義。

以后開展活動應(yīng)主要在于培養(yǎng)大家對數(shù)學(xué)建模的興趣，提高數(shù)學(xué)建模的影響力，真正讓更多的人參與到其中來，一起享受數(shù)學(xué)建模給我們帶來的樂趣;

數(shù)學(xué)建模協(xié)會組織部

2011年3月26日

第五篇：數(shù)學(xué)建模知識競賽策劃書

數(shù)學(xué)建模協(xié)會活動策劃書

活動名稱：與你同行——“數(shù)我”風(fēng)采

活動主辦方：院學(xué)生社團(tuán)管理中心數(shù)學(xué)建模協(xié)會 活動時(shí)間：第七周星期六晚上七點(diǎn)

活動地點(diǎn)：三教階梯教室2樓

活動目的：通過數(shù)學(xué)知識競賽，提高全院學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)同學(xué)們參加校園活動的積極性，加強(qiáng)同學(xué)們的團(tuán)隊(duì)合作精神，吸引更多的人加入數(shù)學(xué)建模行列。

活動對象：全體數(shù)學(xué)建模會員以及對數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生。

活動流程：1自由答題環(huán)節(jié) 在百份題中答題 選出優(yōu)秀的十名同學(xué)

2默契考驗(yàn)環(huán)節(jié) 答題正確的按積分順

序，兩人組成一隊(duì)，分5隊(duì)爭取3個(gè)名

額

3PK爭冠環(huán)節(jié) 分?jǐn)?shù)累計(jì)前三對的組隊(duì)

進(jìn)行PK爭冠

4幸運(yùn)兒才藝表演 在觀眾中抽取3名幸

運(yùn)兒 必須表演才藝得到掌聲方可獲得

獎(jiǎng)品

獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置：一等獎(jiǎng)：1名

二等獎(jiǎng)：1名

三等獎(jiǎng)：1名

幸運(yùn)獎(jiǎng)：3名

活動經(jīng)費(fèi)：彩帶，絲帶，氣球，墻紙等現(xiàn)場裝飾品：

30元

邀請裁判買水二十瓶：20元

榮譽(yù)證書及相關(guān)獎(jiǎng)品：100元

合計(jì)：150元

院學(xué)生社團(tuán)管理中心數(shù)學(xué)建模協(xié)會