第一篇：不等式的性質第一課時教案

不等式的性質

【教學內容】

課本P123－126不等式的三個基本性質，并學會應用。【教學目標】

1、掌握不等式的三個基本性質并且能正確應用。

2、經歷探究不等式基本性質的過程，體會不等式與等式的異同點，發展學生分析問題和解決問題的能力。

3、開展研究性學習，使學生初步體會學習不等式基本性質的價值。【重點難點】

重點：理解不等式的三個基本性質。難點：對不等式的基本性質3的認識。【教學方法】

本節課采用“類比－實驗－交流”的教學方法。【教學過程】

一、課前熱身

1、等式有哪些性質？用數學式子怎樣表示？ 解一元一次方程的基本步驟（集體回顧）

二、自學探究，合作交流 活動1，用“﹥”或“﹤”填空，并總結其中的規律：

（1）5>3, 5+2 3+2 , 5－2 3－2;（2）1<3 ,-1+2 3+2 ,-1－3 3－3;

三、鞏固訓練

利用不等式的性質解下列不等式．

(1)x-７＞26(2)3x<2x+1(3)-4x﹥3

組織學生先獨立思考，再分組討論，并由小組代表發言在全班交流，最后由教師統一規范寫法。

在用數軸表示不等式解集時，要引導學生注意規律：大于向右畫，小于向左畫；有等號的畫實心圓點，無等號的畫空心圓圈。通過用數軸表示不等式解集一方面可以加深對不等式解集以及解不等式的理解，另一方面也為學習不等式組時用數軸確定不等式組的解集做準備。

四、自我總結

本節課你的收獲是什么？

五、當堂檢測

用不等式的性質解下列不等式,并在數軸上表示解集：(1)X+5>-1;(2)4X<3X-5;(3)-8X>10

六、作業

課本P128第5、6題

第二篇：“基本不等式”(第一課時)教案

基本不等式教學設計（第一課時）

阮

曉

鋒

一、教學目標

1.知識與技能目標： 學會推證基本不等式，了解基本不等式的應用。

2.過程與方法目標：通過代數、幾何背景探究抽象出基本不等式；

3．情感與價值目標：通過學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣。

二、教學重點和難點

重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索其證明過程； 難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教學過程：

1．設置情景，引入新課

如圖是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會會標，會標是根據我國古代數學家趙爽的“弦圖”設計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明。

探究一：在這張“弦圖”中借助面積能找出一些相等關系和不等關系嗎？

問題1：它們有相等的情況嗎？何時相等？

結論：一般地，對于正實數a、b，我們有a?b?2ab 當且僅當a=b時等號成立.2．代數證明，推出結論

問題2：你能給出它的代數證明嗎？（請同學們用代數方法這個不等式的證明．）

證明（作差法）：

∵，當（在該過程中，可發現a,b取值可以是全體實數）問題3：當 a,b為任意實數時，上式還成立嗎？

2222給出

時取等號．

重要不等式：對任意實數a、b，我們有a?b?2ab（當且僅當a=b時等號成立）特別地，若a>0且b>0可得a?b?ab，即基本不等式:若a>0且b>0，則

a?b?ab（當且僅當a=b時等號成立）2a?b?ab（當且僅當a=b時等號成立）2深化認識：

(1)兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.(2)若稱a?b為a、b的算術平均數,稱ab為它們的幾何平均數，則基本不等式又可2敘述為：兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數 3．動手操作、幾何證明，相見益彰 探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對角線折成兩個等腰直角三角形，再用這兩個三角形拼接構造出一個矩形（兩邊分別等于兩個直角三角形的直角邊，多余部分折疊）．假設兩個正方形的面積分別為a和b（a?b），考察兩個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發現一個不等式嗎？（通過學生動手操作，探索發現）

探究三：如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b．過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD．根據射影定理可得：CD?大于直角邊CD，于是有

AC?BC?ab由于RtCOD中斜邊OD

a?b?ab當且僅當點C與圓心O重合時，即a=b時等號成立.2（進一步加強數形結合的意識，提升思維的靈活性）4．應用舉例，鞏固新知 例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講析，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現積與和的轉化）方法：一般地，對于x,y?R我們有：

142?（1）若xy=p（p為定值），則當且僅當a=b時，x+y有最小值2xy；（2）若x+y=s（s為定值），則當且僅當a=b時，xy有最大值s． 上述應用基本不等式求最值的方法可簡記為：

在“一證、二定、三相等”的前提下有“積定和最小，和定積最大”。

例2.設x?0,y?0，且2x?y?2，求xy的最大值．

1的最小值.x?21思考題：若x?2,你能求出x?的最小值嗎？能求出其最大值嗎？若能請求出來.x?2變式題.若x?2，求x?5．歸納小結，反思提高

22重要不等式：若a、b?R，則a?b?2ab（當且僅當a?b時等號成立）

基本不等式：若a、b?R，則

?a?b?ab（當且僅a?b等號成立）2運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法．

在“一證、二定、三相等”的前提下有“積定和最小，和定積最大”。

6．布置作業，課后延拓

（1）基本作業：課本P100-101習題組2、4題（2）提高作業：求y?x?1的值域． x（3）探究作業：

現有一臺天平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量．這種說法對嗎？并說明你的結論．

第三篇：第一課時 不等式練習

七年級數學練習題

班別學號姓名成績

一、列不等式表示：

（1）x的2倍是負數；

（2）x與3的和是非負數；

（3）x與6的差小于－3

（4）n的6倍不小于5

1（5）m的與8的和大于55

（6）a與8的差的一半不大于5

二、在數軸上表示不等式的解集。

（1）x>-4（2）x≤

3（3）x＜－3（4）x≥－2.5三、求下列不等式的解

（1）不等式x>-4的所有負整數解；

（2）不等式x≤3的所有自然數解；

（3）不等式x＜3.5的所有正整數解

（4）不等式x≥－2.5的所有負整數解

（5）不等式x＜3.9的最大正整數解

（6）不等式x≥－3.1的最小負整數解

第四篇：不等式的性質教案

不等式性質教案

西南大學2010級4班 孫丹 【課標要求】

1．不等關系

通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系；

2不等式的性質

了解不等式的性質，并會用其證明不等式；

【教學重難點】

1、教學重點：掌握不等式性質的三條公理，并運用公理進行比較大小。

2、教學難點：正確運用不等式的三條公理進行不等式變形。

【教學目標】

1、探索并掌握不等式的基本性質；

2、會用不等式的基本性質進行簡單化簡。

【教學方法】

通過觀察、分析、討論，引導學生歸納總結出不等式的三條公理，從具體上升到理論，再由理論指導具體的練習，從而加強學生對知識的理解和掌握。【命題走向】

不等式歷來是高考的重點內容。對于本將來講，考察有關不等式性質的基礎知識、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內容在復習時，要在思想方法上下功夫.預測高考命題趨勢：

1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質與函數、三角結合起來綜合考察不等式的性質、函數單調性等，多以選擇題的形式出現，解答題以含參數的不等式的證明、求解為主；2．利用基本不等式解決像函數f(x)?x?

考察的重點和熱點，應加強訓練。a,(a?0)的單調性或解決有關最值問題是x

【教學過程】

一、創設情境 復習引入

（設計說明：設置以下習題是為了溫故而知新，為學習本節內容提供必要的知識準備．）問題：

1、什么是等式?等式的基本性質是什么?

2、什么是不等式?

1．不等式的性質比較兩實數大小的方法——求差比較法

公理： a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0；

a?b?a?b?0。

性質1：若a?b，則b?a；若b?a，則a?b．即a?b?b?a。

說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。性質2：若a?b，且b?c，則a?c。

說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數，定理2稱不等式的傳遞性。

性質3：若a?b，則a?c?b?c。

說明：（1）不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向；

（2）定理3的證明相當于比較a?c與b?c的大小，采用的是求差比較法；

（3）定理3的逆命題也成立；

（4）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。

推論1：不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊。（移項法則）

推論2：若a?b,且c?d,則a?c?b?d。

說明：（1）推論2的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.定理4．如果a?b且c?0，那么ac?bc；如果a?b且c?0，那么ac?bc。推論1：如果a?b?0且c?d?0，那么ac?bd。

證明：∵a?b?0,c?0,?ac?bc，又∵c?d?0,b?0,?bc?bd，∴由傳遞性，有ac?bd，得證。

說明：（1）不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變；（2）兩邊都是正數的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論1可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。

nn推論2：如果a?b?0，那么a?b(n?N且n?1)。

推論3：如果a?b?0，那么a?b(n?N且n?1)。【典例解析】

例1：應用不等式的性質，證明下列不等式：

（1）已知a>b，ab>0，求證：1/a>1/b；

（2）已知a>b，cb－d；

（3）已知a>b>0，0 b/d

證明：

（1）因為ab>0，所以 1/ab>0又因為a>b，所以 a.1/ab>b.1/ab即1/b>1/a因此 1/a>1/b

（2）因為a>b，cb，－c>－d，根據性質3的推論2，得a+(－c)>b+(－d)，即a－c>b－d.（3）因為01/d>0 又因為a>b>0，所以a.1/c>b.1/d即a/c>b/d

例2.已知a>b，不等式:（1）a2>b2；（2）1/a>1/b ；（3）1/(a-b)>1/a

成立的個數是（）

（A）0（B）1（C）2（D）

3答案：A

例3．設A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，則A，B的大小關系是。

答案：A≥B

例4．（1）如果30

（2）若－3

答案：（1）18

（2）因為－4

例5．若-π/2 ≤a＜b≤π/2，求(a +b)/2 ,(a-b)/2的取值范圍。

-π/2＜(a +b)/2＜π/2,-π/2 ≤(a-b)/2＜0

練習1已知函數f(x)= a x2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍。

解：因為f(x)= a x2-c，所以f(1)= a-c,f(2)=4 a-c解得a=1/3[f(2)=-f(1)],c=1/3f(2)-4/3f（1）

所以f(3)=9a－c=8/3f(2)-5/3f(1)

因為-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,所以8/3≤8/3f(2)≤40/3,5/3≤-5/3f(1)≤20/3

練習2已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范圍。

解：設9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，m=-5/3,n=8/3

所以9a－b=-5/3(a－b)+8/3(4a－b)

由－4≤a－b≤－1，得 5/3≤-5/3(a-b)≤20/3

由－1≤4a－b≤5，得由－1≤4a－b≤5，得-8/3≤8/3(4a-b)≤40/3

以上兩式相加得－1≤9a－b≤20.五．【思維總結】

1．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。

（1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證；

（2）綜合法是由因導果，而分析法是執果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野。

2．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數單調性法、判別式法、數形結合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點.

第五篇：不等式的性質教案

【教學重點與難點】

教學重點：掌握不等式的三條基本性質，尤其是不等式的基本性質3．

教學難點：正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形．

【教學目標】

1、探索并掌握不等式的基本性質

2、會用不等式的基本性質進行化簡

【教學方法】

通過觀察、分析、討論，引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質，從具體上升到理論，再由理論指導具體的練習，從而強化學生對知識的理解與掌握．

【教學過程】

一、創設情境 復習引入

（設計說明：設置以下習題是為了溫故而知新，為學習本節內容提供必要的知識準備．）

問題：

1、什么是等式?等式的基本性質是什么?

2、什么是不等式?

3、用“＞”或“＜”填空．

（1）3<7（2）2<3（3）2<3

3＋1 7＋1 2×5 3×5 2×(-1)3×(-1)

3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3＋a 7＋a 2÷(-2)3÷(-2)（教學說明： 復習等式的基本性質后學生自然會聯想到，不等式是否有與等式相類似的性質，從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體，通過觀察，尋找規律，得出不等式的性質.）

二、師生互動，探索新知

1、不等式的基本性質

問題1：觀察思考問題3，猜想出不等式的性質

先讓學生獨立思考，后合作交流，通過充分討論，類比等式性質得出不等式的性質.觀察時，引導學生注意不等號的方向，通過（1）題學生容易得出不等式性質1：

不等式基本性質1 不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變．

比較（2）、（3）題，注意觀察不等號方向，并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結，教師補充完善得出：

不等式基本性質2 不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變．

不等式基本性質3 不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．

問題2：將不等式－2＜6兩邊都加上7，－9，兩邊都乘3，－3試一試，進一步驗證上面得出的三條結論．

教師 強調指出：不等式的三條基本性質實質上是對不等式兩邊進行“＋”、“－”、“×”、“÷”四則運算，當進行“＋”、“－”法時，不等號方向不變；當乘（或除以）同一個正數時，不等號方向不變；只有當乘（或除以）同一個負數時，不等號的方向才改變．

問題3：嘗試用數學式子表示不等式的三條基本性質．

學生思考出答案，教師訂正，最后得出：(1)如果a>b，那么a±c>b±c

(2)如果a>b，c>0那么ac>bc(或 >)

(3)如果a>b，c<0那么ac<)

問題4：不等式的基本性質與等式的基本性質有哪些區別、聯系?

學生獨立思考、小組交流討論，師生歸納得出：

區別：等式兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不為0）時，結果仍相等；不等式兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不為0）時，會出現兩種情況，若是正數，不等號方向不改變，若是負數不等號方向要改變，而且不等式兩邊同乘以0，結果相等.聯系：不等式性質和等式性質都討論的是兩邊都加上或減去同一個數的情況和兩邊都乘以或除以同一個數（除數不為0）的情況，即研究“形式”一致.（教學說明：通過觀察具體數字運算的大小比較，聯系已學過的等式的性質，讓學生歸納出不等式的三條基本性質，并分別用式子的形式表示它們.用式子表示是個抽象概括的過程，只有理解了相關內容才會概括表示它們.研究不等式的基本性質與等式的基本性質的區別與聯系可以幫助學生用類比的方法來記憶與學習.）

2、不等式性質的應用

例1：利用不等式的性質，把下列不等式化成“x>a” 或“x

(1)x-7>26;(2)3x<2x＋1;

(3)x>50;(4)-4x>3.解：（l）根據不等式基本性質1，不等式的兩邊都加上7，不等號的方向不變． 得

x-7＋7>26 ＋7.x>33

（2）根據不等式基本性質1，兩邊都減去2x，不等號的方向不變，得

3x-2x<2x＋1-2x

x<1

（3）根據不等式基本性質2，兩邊都乘以，不等號的方向不變，得

x>75

（4）根據不等式基本性質3，兩邊都除以－4，不等號的方向改變，得

x<-

(教學說明：這些不等式比較簡單，可以利用不等式的性質直接求解，從而加深對這些性質的認識.教師板書（1）題解題過程．（2）（3）（4）題由學生在練習本上完成，指定三個學生板演，然后師生共同判斷板演是否正確．解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比，有助于加強知識之間的前后聯系，突出新知識的特點，并將原題與“x>a” 或“x

例2：三角形中任意兩邊之差與第三邊有什么大小關系? a b

師生共析:三角形的兩邊之和與第三邊有什么關系? c

三角形的任意兩邊之和大于第三邊，如圖，我們設三角形三邊長分別為a,b,c,那么用式子如何表示前面的結果? a ＋b>c, a＋c>b, b＋c>a

我們現在求的是兩邊之差與第三邊的關系，所以由不等式的性質1將上式變形為：

由a ＋b>c得a>c-b, b>c-a.同理，由a＋c>b, b＋c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說，三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明：此問題應用不等式的性質由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結論等價的新結論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應的是三個形式一樣的不等式，而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識，可以通過測量的方法驗證這個結論.)

三、鞏固訓練，熟練技能：

1、如果a>b，那么(1)a-3 b-3，(2)2a 2b

(3)-3a-3b，(4)a-b 0

(5)（6）(6)-b_____-a.2、在下列各題橫線上填入不等號，并說明是根據不等式的哪一條基本性質．

（1）若a–3＜9，則a_____12；（2）若-a＜10，則a_____–10；

（3）若 a＞–1，則a_____–4；（4）若-a＞0，則a_____0．

3、利用不等式的性質解下列不等式，并在數軸上表示解集

（解未知數為x的不等式，就是要使不等式逐步化為“x＞a”或“x＜a”的形式）

(1)x-1＜0；(2)x＞-x＋6；

(3)3x＞7；(4)-x＜-3.(教學說明：這些練習進一步加深了學生對不等式性質的理解，做此練習題時，應讓學生注意觀察它們是應用不等式的哪條性質，是怎樣由已知變形得到的．注意應用不等式性質3時，不等號要改變方向．做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比，讓學生認識到應用不等式的性質1變形，相當于移項.)

四、總結反思，情意發展

1、不等式的基本性質是什么?如何用數學式子表示?

2、在本節課的學習中，你還有什么疑惑?

（教學說明：在師生共同回顧本節課所學內容的基礎上，教師指出：在利用不等式的基本性質進行變形時，當不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個字母，字母代表什么數是問題的關鍵，這決定了是用不等式基本性質2還是基本性質3，也就是不等號是否要改變方向的問題.）

五、課堂小結

1．本節主要學習了不等式的三條基本性質及應用性質解簡單的不等式.2．主要用到的思想方法是類比思想.3．注意的問題:

當不等式兩邊同乘（或除以）同一個數時，一定要看清是正數還是負數，若是負數，要變兩個號，一個性質符號，另一個是不等號，對于未給定范圍的字母，應分情況討論．

六、布置課后作業：

1、課本127頁練習

2、課本128習題9.1的5、6、7題

（教學說明：進一步鞏固本節課所學知識.）

七、拓展練習

1、指出下列各題中不等式變形的依據:

(1)由3a＞2,得(2)由-5a＞2,得(3)由4a＞3a＋ 1,得a＞1

(4)由a＞b，得(5)由a＞b，得2-a＜2-b

2、利用不等式的性質解下列不等式，并在數軸上表示解集：(1)x＋2＞-1(2)5x≤7x-8(3)(4)6x≥-12

3、某長方體形狀的容器長5cm，寬3cm，高10cm。容器內原有水的高度為3cm，現準備向它繼續注水。用V（單位：cm3）表示新注入水的體積，寫出V的取值范圍。

【評價與反思】及交流體會

通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質，引導學生用數學式子表示三條基本性質，同時注意將不等式的三條基本性質與等式的基本性質進行比較，以加深學生的理解.在教學過程中，注重培養學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結概括的能力．同時培養了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神．