第一篇：數列的遞推公式教案

數列的遞推公式教案

普蘭店市第六中學

陳娜

一、教學目標

1、知識與技能：了解數列遞推公式定義，能根據數列遞推公式求項，通過數列遞推公式求數列的通項公式。

2、過程與方法：通過實例“觀察、分析、類比、試驗、歸納”得出遞推公式概念，體會數列遞推公式與通項公式的不同，探索研究過程中培養學生的觀察歸納、猜想等能力。

3、情感態度與價值觀：培養學生積極參與，大膽探索精神，體驗探究樂趣，感受成功快樂，增強學習數學的興趣，培養學生一切從實際出發，認識并感受數學的應用價值。

二、教學重點、難點和關鍵點

重點：數列的遞推定義以及應用數列的遞推公式求出通項公式。難點：數列的遞推公式求通項公式。關鍵：同本節難點。

三、教學方法

通過創設問題的情境，在熟悉與未知的認知沖突中激發學生的探索欲望；引導學生通過自主探究和合作交流相結合的方式進行研究；引導學生積極思考，運用觀察、試驗、聯想、類比、歸納、猜想等方法不斷地提出問題、解決問題，再提出問題，解決問題…… 經歷知識的發生和發展過程，并注意總結規律和知識的鞏固與深化。

四、教學過程

環節1：新課引入

一老漢為感激梁山好漢除暴安良，帶了些千里馬要送給梁山好漢，見過宋江以后，宋江吧老漢帶來的馬匹的一半和另外一匹馬作為回禮送給了他，老漢又去見盧俊義，把 1

現有的馬匹全送給了他，盧俊義也把老漢送來的馬匹的一半和另外一匹馬作為回禮送給了老漢……… 一直送到108名好漢的最后一名段景住都是這樣的，老漢下山回家時還剩下兩匹馬，問老漢上山時一共帶了多少匹千里馬？

通過這個小故事讓學生感受到數學來源于生活同時又為生活所服務。同時也能引起學生的興趣和好奇心。環節2：引例探究

(1）1 2

16………

(2)1

cos?1?

cos?cos1?

cos[c?ocsos1?]

…….(3)0 1 7 10 13 …….通過設置問題的情境，讓學生分析找出這些數列從第二項（或后幾項）后一項與前一項的關系，從而引出數列的遞推公式的定義，便于學生對于數列遞推公式的理解、記憶和應用。遞推公式定義：

如果已知數列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任意一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式。遞推公式是數列一種的表示法，它包含兩個部分，一是遞推關系，一是初始條件，二者缺一不可． 環節3：應用舉例及練習

例1：已知數列｛an｝的第1項是1，以后的各項由公式

a n

(n≥2)給出，寫出這個給出，寫出這個數列的前5項.= 1+an-11解：據題意可知：a1=1, a3=1+

a2=1+1a1=1+1a311=2,23531a21=1+=1+12=35=32,.a4=1+=1+=,a5=1+85a42

?an?的前五項是3581，2，，235

練習：已知一個數列的首項a1=1, a3=2, an= an-1+ an-2(n≥3)求這個數列的前五項。這個例題和習題是為了讓學生進一步體會通過數列的的遞推公式來求數列中的項，同時也能讓學生感受到如果要是中間有一個環節做錯了就會關聯到其他的結果也是錯誤的，因此要培養學生認真的品質。

例2：已知數列{ an}滿足a1 =1，an+1 =an +（2n-1）

(1)(2)寫出其數列的前五項，歸納出數列的一個通項公式。利用數列的遞推公式求其通項公式。

a2?a1?(2*1?1)?1?1?2a3?a2?(2*2?1)?2?3?5解（1）a1?1，a4?a3?(2*3?1)?5?5?10，a5?a4?(2*4?1)?10?7?17 猜想：an=（n-1）2+1（2）a2?a1?2*1?1

a3?a2?2*2?1

a4?a3?2*3?1

…………………

an =an-1 +（2n-3）

an =a1 +2[1+2+3+…+(n-1)]—（n-1）an=1+2*（n?1)[1?(n?1)]2_(n-1), 即an=（n-1）2+1 當n=1時也滿足上式。

所設問題中的（1）是起著承上啟下的作用，同時也引出了（2）的結論引起學生的興趣，讓學生感受到如何能在數列的遞推公式得出數列的通項公式，體會到事物之間的互相轉化的思想。

跟蹤練習：已知數列{ an }中，a1 =1，an+1= an +

1n(n?1)，求數列的{ an }的通項公式。

在例2解題過程中從等差數列的通項公式的累和法進行引導，讓學生體會到同類問題的知識的遷移過程。同時也引導學生認識到an+1—an=f(n)這樣形式的都可以用累和法來求解。

環節4：歸納總結 ① 定義

② 累加法：an+1—an= f(n)環節5：作業：必做與選作

五、板書設計

第二篇：關于遞推數列通項公式的測試題

關于遞推數列通項公式的測試題

2Sn2例2．數列{an}中a1?1，an?（n≥2），求數列{an}的通項an。2Sn?1

例3．⑴ 數列{an}滿足a1?1且an?1?an?3n，求數列{an}的通項公式an；

⑵ 數列{an}滿足a1?1且an?1?an?(3n?1)，求數列{an}的通項公式an。

例4．數列{an}中a1?1，an?1?2an?3n，求數列{an}的通項公式an。

例5．數列{an}中a1?1，Sn?

例6．數列{an}中a1?1，a2?(n?1)an，求數列{an}的通項an。2552，an?2?an?1?an,求數列{an}的通項公式an。333

第三篇：高中數學數列遞推定理

定理（二階線性遞推數列）

已知數列{an}的項滿足an?2?pan?1?qan，a1=a，a2=b,n?N+，稱方程x2?px?q?0為數列?an?的特征方程。若x1,x2是特征方程的兩個根，則

n?1n?1

（1）當x1?x2時，數列?an?的通項為an?A?x1?B?x2，其中A，B由

初始值決定；

（2）當x1?x2時，數列?an?的通項為an?(A1?B1?n)x1n?1，其中A1，B1由初始值決定。

3122、已知數列a1?1,a2?,且an?an?1?an?2(n?3,4,5,?)，求通項公式an。

（略解：二階線性遞推數列，x1?x2型！x2?x?,x1?x2?，用公式得

1n?1

an?(n?1)?()n?n）

定理（一次分式遞推數列）

已知數列{an}的項滿足： a1?a且對于n?N?，都有an?1?

pan?q

p、ran?h

q、r、h?R，且ph?qr,r?0,a1??），稱方程x?

（i）若a1??,則數列{an}為常數數列（ii）若a1??，則數列{

h

r

（1）當特征方程有兩個相同的特征根?時，px?q

為數列?an?特征方程.rx?h

為等差數列。an??

an??1

為等比數列。an??2

（2）當特征方程有兩個相異的特征根?

1、?2時，數列

第四篇：幾類遞推數列的通項公式的求解策略

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幾類遞推數列的通項公式的求解策略

已知遞推數列求通項公式，是數列中一類非常重要的題型，也是高考的熱點之一．數列的遞推公式千變萬化，由遞推數列求通項公式的方法靈活多樣，下面談談它們的求解策略．

一、an?1?an?f(n)方法：利用疊加法

a2?a1?f(1)，a3?a2?f(2),?，an?an?1?f(n?1)，an?a1??f(k)．

k?1n?1例1．數列{an}滿足a1?1，an?an?1?解：由 an?1?an?1(n?2)，求數列{an}的通項公式． 2n?n1 得 2(n?1)?(n?1)n?1n?1111111?1?2?=== an?a1??1?(?)?2nnk?1k?1kk?1(k?1)?(k?1)例2．數列{an}滿足nan?1?(n?1)an?1，且a1?1，求數列{an}的通項公式．

分析：注意到左右兩邊系數與下標乘積均為n(n?1)，將原式兩邊同時除以n(n?1)，aaa11變形為n?1?n?．令bn?n，有bn?1?bn?，即化為類型1，以

nn(n?1)n?1nn(n?1)下略．

n

二、n?1

方法：利用疊代法 a?af(n)a2?a1f(1)，a3?a2f(2),?，an?an?1f(n?1)，an?a1?f(k)．

k?1n?1例3．數列{an}中a1?2，且an?(1? 解：因為an?1?[1?1)an?1，求數列{an}的通項． n21]an，所以 2(n?1)n?1n?1n?1kk?2n?11an?a1?f(k)=2?[1?2?[?]== ]2k?1k?1k?1k?1k?1n(k?1)

三、an?1?pan?q，其中p,q為常數，且p?1,q?0

當出現an?1?pan?q(n?N?)型時可利用疊代法求通項公式，即由an?1?pan?q得an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q???pn?1a1?(pn?2?pn?3???p2?p?1)q=q(pn?1?1)a1p?(p?1)或者利用待定系數法，構造一個公比為p的等比數列，令p?1qq)??,q即??}是一個公比為p的則(p?1，從而{an?an?1???p(an??)，p?1p?132??1，可將問題轉化為等比數列求解．待等比數列．如下題可用待定系數法得??1??12n?1http://jsbpzx.net.cn/

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定系數法有時比疊代法來地簡便．

例4．設數列{an}的首項a1?式．

3?an?11，an?，n?2,3,4,?，求數列{an}通項公223?an?1113??an?1?，n?2,3,4,?，∴?an?1?k?，又∵an?22221111k??1，∴an?1??(an?1?1)，又a1?，∴{an?1}是首項為?，公比為?的等22221n?11n比數列，即an?1?(a1?1)(?)，即an?(?)?1．

2四、an?1?pan?qan?1(n?2)，p,q為常數 解：令an?k??方法：可用下面的定理求解：令?,?為相應的二次方程x2?px?q?0的兩根(此方程又稱為特征方程)，則當???時，an?A?n?B?n；當???時，an?(A?Bn)?n?1，其中A,B分別由初始條件a1,a2所得的方程組?確定．

?A??B??a1,22?A??B??a2和??A?B?a1, 唯一

?(A?2B)??a2?an?1??an?2bn(1)例5．數列{an}，{bn}滿足：?，且a1?2，b1?4，求an，bn．

b?6a?6b(2)nn?n?111解：由(2)得an?bn?1?bn，an?1?bn?2?bn?1，代入到(1)式中，有

6628bn?2?5bn?1?6bn，由特征方程可得bn??12?2n??3n，代入到(2)式中，可得

314an?8?2n??3n．

3說明：像這樣由兩個數列{an}，{bn}構成的混合數列組求通項問題，一般是先消去an

(或bn)，得到bn?2?pbn?1?qbn?1(或an?2?pan?1?qan?1)，然后再由特征方程方法求解．

五、an?1?pan?f(n)型，這里p為常數，且p?1

例6．在數列{an}中，a1?2, an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中

??0，求數列{an}通項公式．

解：由a1?2, an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，??0，可得an?1?n?1故aan22n2n?()n?1?n?()?1{?()}為等差數列，其公差為1，首項為0．，所以nn?????an?n2?()n?n?1，所以數列{an}的通項公式為an?(n?1)?n?2n．

? 評析：對an?1?pan?f(n)的形式，可兩邊同時除以p令

n?1，得

an?1anf(n)，??n?1nn?1pppanf(n)b?b?有，從而可以轉化為累加法求解． ?b,n?1nnpn?1pn

六、an?1?man(m?0,k?Q,k?0,k?1)

k一般地，若正項數列{an}中，a1?a,an?1?man(m?0,k?Q,k?0,k?1)，則有 khttp://jsbpzx.net.cn/

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lgan?1?klgan?lgm，令lgan?1?A?k(lgan?A)(A為常數)，則有A?1lgm． k?1?數列{lgan?111lgm}為等比數列，于是lgan?lgm?(lga?lgm)kn?1，k?1k?1k?1n?1從而可得an?ak?mkn?1?1k?1．

例7．已知各項都是正數的數列{an}滿足a1?31，an?1?an(4?an)，求數列{an}22的通項公式．

分析：數列{an}是一個二次遞推數列，雖然不是基本冪型，但由它可以構造一個新的冪型數列{bn}，通過求{bn}的通項公式而達到求數列{an}通項公式的目的．

解：由已知得an?1???an?0,?0?an?1取對數得lgbn?1?2lgbn?lg2，即lgbn?1?lg2?2(lgbn?lg2)． ?{lgbn?lg2}是首項為?2lg2，公比為2的等比數列，1112(an?2)2?2,令2?an?bn，則有b1?,bn?1?bn． 222?2,又0?a1?2，?0?an?2，從而bn?0．

?lgbn?lg2??2lg2,?bn?2

n1?2n,?an?2?21?2n．

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第五篇：根據數列遞推公式求其通項公式方法總結

根據數列遞推公式求其通項公式方法總結

已知數列的遞推公式，求取其通項公式是數列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構造的技巧性也很強，但是此類題目也有很強的規律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數學中常見的幾類題型從解決通法上做一總結，方便于學生學習和老師的教學，不涉及具體某一題目的獨特解法與技巧。

一、an?1?an?f(n)型數列，（其中f(n)不是常值函數)此類數列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項變形為an?1?an?f(n)，從而就有

a2?a1?f(1),a3?a2?f(2),?,an?an?1?f(n?1).將上述n?1個式子累加，變成an?a1?f(1)?f(2)???f(n?1)，進而求解。例1.在數列{an}中,a1?2,an?1?an?2n?1,求an.解：依題意有

a2?a1?1,a3?a2?3,?,an?an?1?2n?3

逐項累加有an?a1?1?3???2n?3?而an?n2?2n?3。

注：在運用累加法時,要特別注意項數,計算時項數容易出錯.(1?2n?3)(n?1)?(n?1)2?n2?2n?1，從

2類似題型練習：已知

{an}滿足a1?1，an?1?an?1n(n?1)求{an}的通項公式。

二、an?1?an?f(n)型數列，（其中f(n)不是常值函數)此類數列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項變形為

an?1?f(n)，從而就有 anaaa2?f(1),3?f(2),??,n?f(n?1)a1a2an?1將上述n?1個式子累乘，變成an?f(1)?f(2)???f(n?1)，進而求解。a1例2.已知數列{an}中a1?12n?3,an??an?1(n?2)，求數列{an}的通項公式。32n?1 1

aa21a33a452n?3?,?,?,?,n?,將這n?1個式子累乘，a15a27a39an?12n?1a1?3111?3得到n?，從而an?，當n?1時，??2(2n?1)(2n?1)34n?1a1(2n?1)(2n?1)111??aa?，所以。1n224n?134n?1解：當n?2時，注：在運用累乘法時,還是要特別注意項數,計算時項數容易出錯.類似題型練習：在數列{an}中, an>0,a1?2,nan2?(n?1)an?12?an?1an,求an.提示：依題意分解因式可得[(n?1)an?1?nan](an?1?an)?0，而an>0,所以，即(n?1)an?1?nan?0an?1n。?ann?

1三、an?1?pan?q型數列

此類數列解決的辦法是將其構造成一個新的等比數列，再利用等比數列的性質進行求解，構造的辦法有兩種，一是待定系數法構造，設

an?1?m?p(an?m)，展開整理an?1?pan?pm?m，比較系數有pm?m?b，所以m?b，所以a?b是等比

np?1p?1數列，公比為p，首項為a1?b。二是用做差法直接構造，an?1?pan?q，p?1an?pan?1?q，兩式相減有an?1?an?p(an?an?1)，所以an?1?an是公比為p的等比數列。

例3.在數列{an}中，a1?1，當n?2時，有an?3an?1?2，求{an}的通項公式。解法1：設an?m?3即有an?3an?1?2m，對比an?3an?1?2，得m?1，(an?1?m)，于是得an?1?3(an?1?1)，數列{an?1}是以a1?1?2為首項，以3為公比的等比數列，所以有an?2?3n?1?1。

解法2：由已知遞推式，得an?1?3an?2,an?3an?1?2,(n?2)，上述兩式相減，得an?1?an?3(an?an?1)，因此，數列{an?1?an}是以a2?a1?4為首項，以3為公比的等比數列。所以an?1?an?4?3n?1，即3an?2?an?4?3n?1，所以an?2?3n?1?1。

類似題型練習：已知數列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).求數列?an?的通項公式.注：根據題設特征恰當地構造輔助數列,利用基本數列可簡捷地求出通項公式.四．an?1?pan?f?n?型數列（p為常數）此類數列可變形為

?an?an?1anf?n?，則???n?可用累加法求出，由此求得an.n?1nn?1ppp?p? 2

例4已知數列?an?滿足a1?1,an?1?3an?2n?1,求an.解:將已知遞推式兩邊同除以2n?1得

an?13anan???1b?,設,故有nn?1nn222235?3n?1n?1n?1bn?1?2??(bn?2，)bn??2,從而.a?5?3?2nn22注：通過變形,構造輔助數列,轉化為基本數列的問題,是我們求解陌生的遞推關系式的常用方法.若f(n)為n的一次函數,則an加上關于n的一次函數構成一個等比數列;若f(n)為n的二次函數, 則an加上關于n的二次函數構成一個等比數列.這時我們用待定系數法來求解.例5．已知數列?an?滿足a1?1,當n?2時,an?1an?1?2n?1,求an.2解:作bn?an?An?B,則an?bn?An?B,an?1?bn?1?A(n?1)?B代入已知遞推式中得:bn?1111bn?1?(A?2)n?(A?B?1).2222?1A?2?0??A??4?2令? ???B?6?1A?1B?1?0??221bn?1且bn?an?4n?6 233顯然,bn?n?1,所以an?n?1?4n?6.22這時bn?注：通過引入一些待定系數來轉化命題結構,經過變形和比較,把問題轉化成基本數列,從而使問題得以解決.類似題型練習：

（1）已知?an?滿足a1?2,an?1?2an?2n?1，求an。

（2）已知數列{an}，Sn表示其前n項和，若滿足Sn?an?n2?3n?1，求數列{an}的通項公式。

?S1n?1提示：（2）中利用an??，把已知條件轉化成遞推式。

S?S,n?2n?1?nan?

五、AanBan?C型數列（A,B,C為非零常數）

這種類型的解法是將式子兩邊同時取倒數,把數列的倒數看成是一個新數列,便可順利 3

地轉化為an?1?pan?q型數列。

例6．已知數列?an?滿足a1?2,an?1?2an,求an.an?2解:兩邊取倒數得:

2111n111??,所以??(n?1)??，故有an?。

nana122an?1an22n?1?an類似題型練習：數列{an}中，an?1?n?1,a1?2，求{an}的通項。

2?an六.an?2?pan?1?qan型數列（p,q為常數）

這種類型的做法是用待定糸數法設an?2??an?1???an?1??an?構造等比數列。例5．數列?an?中，a1?2,a2?3,且2an?an?1?an?1?n?N?,n?2?，求an.解法略。