第一篇：《行走中的數學問題》課堂教學評析

《行走中的數學問題》課堂教學評析

小學數學培訓班

陳麗

2013年12月14日上午，有幸聽了全國著名小學數學特級教師吳正憲老師的一堂教學觀摩課——《行走中的數學問題》。整堂課上得妙趣橫生、精彩絕倫，太有大家風范了！我認為吳老師的課有如下優點：

一、知情交融，師生互動

整堂課一直是師生互動、生生互動的過程，給人的感覺不是在上課，而是在玩。吳老師的兒童觀是：兒童是活生生的人，應該讓每個兒童有尊嚴的活在人群中；兒童是發展中的人，要給兒童重新躍起的機會。吳老師的這堂課很好的體現了這兩點。

二、聯系生活，提出數學問題

吳老師讓一位同學到前面走一段路，其它同學提出數學問題。根據所學過的知識，列出速度、時間、路程的關系。在出示例題前，同伴演繹“同時、相對、相距、相遇”四個關鍵詞，以此加深對題意的理解。通過學生提問和演繹這一階段，樹立了“數學無處不在”的意識，讓數學走進生活。有利于培養學生發現問題、提出問題的能力。

三、合作探究，互動交流

在理清題意的基礎上，選擇自己喜歡的方法解題。兩人為一組，到黑板上寫出解題過程（一個畫圖，一個列式）。然后充當小老師，解答其它同學提出的疑問。這個環節里，吳老師特別注重學生的語言表達的完整性，引導學生用：“你有什么問題想問？你們讀懂了嗎？ 還有其它問題嗎？”等等這樣的語言交流討論。在這一過程中，吳老師只是做為一個組織和引導者參與其中，把話語權交給了學生，培養學生合作探究、表達交流的能力。

四、善用錯誤資源，變廢為寶

吳老師從行走中的數學問題過度到生活中的行走問題，讓生活問題數學化，讓生活走進課堂。最后一個例題是這樣的:四

（一）班準備聯歡會，分三小組折紙花、紙鶴。第一小組每小時折50朵紙花，第二小組每小時折60朵紙花，第三小組每小時折40只紙鶴。他們共折了3小時，一共折了多少朵紙花？先小組交流討論，再請三位同學用自己喜歡的方法列出式子即可。其中有位同學的列式是這樣的：（50+60+40）×3。很多同學看出了這個算式是錯誤的，但那位同學并不知道自己列錯了，吳老師請下面一位同學上來問了那位同學幾個問題：這道題求的是什么？（答：一共折了多少朵紙花？）第三小組折的是什么？（答：紙鶴）當問到這時，那位同學就知道自己寫錯了。吳老師并沒有讓其它同學直接說出你錯了，錯在哪里之類的話，而且通過問題的形式讓寫錯的同學自己去發現，這樣比直接指出更有意義。吳老師接著利用這錯誤的式子讓學生更改題目，使得錯誤的式子變成正確的。學生們踴躍發言，課堂氣氛又再一次活躍起來。

網絡上有人這樣評價吳正憲老師的課：吳老師的課充滿了童趣、樂趣。課伊始，趣已生；課繼續，情更深；課已完，意未盡。確實如此，吳老師的課，讓我們看到了滿滿的關愛，看到了一位優秀的教育工作者對教育事業無私的奉獻！

吳老師說:“課件可以復制，教案可以復制，但上課的智慧無法復制。一個優秀的教師絕不是一個照本宣科的教師。”愿每個數學老師都能好好反思自己的課堂教學，多充實自己，做個智慧型的老師；多跟學生交流，關心、尊重每個學生，創造兒童喜愛的數學課堂，做個能教出數學味道、教出數學品味的教師！

第二篇：數學建模 雨中行走問題

數 學 模 型 論 文

學校：班級：姓名：學號：

雨中行走問題

摘要

當我們在雨中冒雨行走時總會下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就會越小。但事實上會是這種情況嗎？在這里，我們將給予綜合性的考慮，來解釋不同情況下的淋雨量。

在不考慮風向的情況下，若人的全身都受到雨淋，理所當然人跑的越快所淋的雨就會越少。那么模型也可算出淋雨量。

當雨線從正面和人的跑步方向在同一平面時，并且考慮風向的影響，雨線方向和豎直方向成?角。因為迎著雨的方向跑，所以全身都會淋到雨，由于有夾角，可以將雨分成豎直方向和水平方向兩部分。便可根據題的要求解出模型。

當雨線從后面和人的跑步方向在同一平面時，并且考慮風向的影響，雨線方向和豎直方向成?角。因為背著雨的方向跑，所以全身不一定都會淋到雨。可分幾種情況分別來說。

關鍵詞

人速；雨速；風向；夾角

1.問題的重述

當人們在雨中行走時，是不是走的越快就會淋越少的雨呢？對于這個問題，建立合理的數學模型。討論一下，在不考慮風向時，人的淋雨量為多少；進而進一步討論一下，在考慮雨線方向與人的跑步方向在同一平面內成不同角度時的淋雨量。

2.問題的分析

當人在雨中行走時，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案當然不是。人在雨中所淋到的雨量和風向有關，因為風向的不同會導致雨線和人成不同的角度。從而使人所淋到的雨量有所不同。

3.模型的假設與符號說明

3.1模型的假設

（1）把人體視為長方體，身高h米，身寬w米，身厚d米，淋雨總量C升。（2）把降雨強度視為常量，記為：I（cmh）。（3）風速保持不變。

（4）以定速度v(ms)跑完全程D。

3.2符號說明

h

人體的身高

（m）

w

人體的寬度

(m)d

人體的厚度

(m)D

人跑步的全程

(m)v

人跑步的速度

(m/s)i

降雨強度

(cm/h)c

人在跑步中的淋雨總量

(L)s

人在雨中會被雨淋的面積

(㎡)t

人在雨中跑步的時間

(s)v

雨滴下落速度

(m/s)?

雨滴反方向與人速度方向的夾角

?

雨滴密度

4.模型的建立與求解

（1）不考慮雨的方向，此種情況，人的前后左右都會淋雨。淋雨面積：S?2wh?2dh?wd（m）

行走世間：t?Dv(s)

I3.6*10(L)

5降雨強度：I(cmh)?0.01I(mh)?ISt3.6*10DIS360v(ms)

淋雨量：C?()?5m3結論：在此種情況下，跑步全程長度、降雨強度、淋雨面積都是定參數，只有跑步速度是變量。可知，淋雨量與速度成反比。驗證了快跑能減少淋雨量。

但我們也可以發現，當我們取參數D?1000m，I?2cmh，w?0.5m，h?1.8m，d?0.2m，v?6ms時，可求得：S?2.62m，C?2.6L。也就是說

2在不到三分鐘時間內淋雨量就很大了，不太符合實際情況。

結論：用這種模型來描述淋雨量問題不符合實際，原因是模型太簡單，沒有考慮降雨方向，使得模型太粗超。

（2）考慮降雨方向，可知，I?r?

此種情況，淋雨的部位只有頭頂和前面。

頭頂的淋雨量：C1?前面淋雨量：C2?Dwd?rsin?vDwh(?(rcos??v)v

v?6淋雨總量：C?C1?C2??wD(drsin??h(rcos??v)

取參數r?4ms,I?3600*2cms,??1.39*10

計算上式得：C?6.95*10(0.8sin??6cos??1.5v)v?4

可以看出：淋雨量與降雨的方向和跑步的速度有關。這樣我們就可以把問 題轉化成給定角度求淋雨量最小的問題。

???2時

? C?6.9510*43?3(?1.5(v)結論：淋雨量是速度的減函數，當速度盡可能大時淋雨量最小。若速度為6ms。則計算可得：

C?1.13L

???3時

?4

C?6.9510*43?3(?1.5v)結論：淋雨量是速度的減函數，當速度盡可能大時淋雨量最小。若速度為6ms。則計算可得：

C?1.47L ?2????時

雨滴將從身后落下。

C?6.95*10[(?40.8sin??6cos?v)?1.5]

令?????2，則0????2。計算得：

?4

C?6.95*10(0.8cos??6sin?v?1.5)

此種情況中，淋雨量有可能為負值，這是不可能的，產生的原因是我們認為雨是從前面落到身上的。這種情況另行討論。

當跑的速度小于雨滴的水平運動速度，即v?rsin?時，雨滴將會從后面淋在身上。可計算得：

C?Dw?(drcos??h(rsin??v)vDwd?rcos?rsin??4

當v?sin?時，C取最小值。

C?

代入數據得

C?6.95*10cos?5sin?

結論：當行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕。

若雨滴是以2?3的角度落下，即雨滴以

?6的角從背后落下，應該以 4 v?4sin?6?2ms 的速度行走，此時，淋雨量為 ：

這意味著你剛好跟著雨滴前進，前后都沒淋雨。

當行走速度快與雨滴的水平運動速度，即v?rsin?你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕 你的前胸。被淋得雨量是：

C?Dw?r(dcos??rsin?v?hr)C?0.24L

當dcos??rsin??0,v盡可能大，C 才會最小。當dcos??rsin??0,v盡可能小，C才會最小。當v?rsin?,v接近rsin?，C才可能最小。現取v?6ms，??

5.模型的評價

經過解題可知： 對于問題一的模型，由于不考慮風向所帶來的影響，求得的結果是非常大的。不符合現實中的實際情況。

對于問題二的模型，在考慮風向所帶來的影響時，求得的結果迅速減小。并且想淋到最少的雨，就應該盡量跑得快些，因為淋雨量和人跑的速度為減函數關系。

對于問題三的模型，當雨從后面下來時，人淋雨量的多少和雨的水平分量有關。隨著人跑步速度的改變淋雨量將發生不同的變化。

模型的優點：（1）模型可以準確的根據已知數據求解出淋浴量的多少。

（2）模型簡單明了，易于理解。模型的缺點：（1）由于假設雨速和人跑步的速度一直不變，可能造成一些誤差。?6時，C?0.77L

參考文獻

【1】 姜啟源、謝金星、葉俊

數學模型（第三版）

高等教育出版社

【2】 姜啟源、謝金星、葉俊

數學模型習題參考答案

高等教育出版社

第三篇：數學課堂教學中如何合理創設問題情境

數學課教學中如何合理創設問題情境

寧縣二中 羅凱華

【摘要】

“以學生為中心”是新課程倡導的核心理念。《新課標》中明確指出高中數學在數學應用和聯系實際方面,需大力加強.教師應創設適當的“問題情境”，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程。

【關鍵詞】

高中數學

問題情境

新課程 【正文】

一、背景

我校從2010年全面鋪開新一輪的課改，五年來，我積極投身教學一線，在新課改的潮起潮落中，我深刻的認識到在數學教學中創設問題情境，不僅可以培養學生的學習興趣、探索精神，提升學生的數學素質，還可以很好地提高教學質量。按照傳統的教學模式——給出數學基本概念，得出定理和性質，再加例題，這樣使得數學課枯燥乏味，學生只知道學習數學就是學習解題，使不少學生缺乏學習數學的興趣與愛好.《普通高中數學課程標準》中明確指出：“數學教學要緊密聯系學生的生活環境，從學生的經驗和已有知識出發，創設有助于學生自主學習、合作交流的情境．”．還明確指出高中數學在數學應用和聯系實際方面需大力加強.高中數學課程應該提供基本內容的實際背景.那么新教材基本上也貫徹了這一思想,人教A版很多章節是以提出實例開頭.在新課程標準的實施過程中，情境教學法應被教師所采納,這是因為創設良好的教學情境能把所學的數學知識具體化,使學生對所學內容產生興趣，激發學生的求知欲和主動參與學習的動機，把所學知識掌握得更好，使學生主動學習習慣得到養成和發展。

那么，如何去創設有效的問題情境？下面我結合自己的教學實際，談談自己的一些看法。

二、問題情境的的含義

問題情境是近幾年來隨課改而突然變熱門的話題。具體的說包含以下兩個含義： 首先它是數學概念賴以產生的現實背景。在實際的教學中,不應把概念放在最前面,即在呈現概念之前,要把問題背景放在前面,呈現與之有關的足夠材料,使數學概念從中自然而然地產生,而不是教師和課本強加給學生的。新教材在這一點更注重問題情境的創設,比如在數學必修1中，學習函數之前給出炮彈發射、臭氧層空洞和恩格爾系數問題；學習指數函數給出GDP增長和C14衰減問題等等,這樣做更符合人的認知規律,使學生自然、牢固地掌握數學概念。

其次，它是一種“氣氛”——能促使學生積極地、主動地、自覺地去想象、思考、探索，去解決問題或發現規律，并伴隨著一種積極的情感體驗.這種情感包括對知識的渴求,對于客觀世界的探索欲望和激情,發現規律的興奮及對教師的熱愛,等等。不難想象,一成不變的授課模式,干巴巴的講解而又毫無趣味性的習題是不可能產生什么問題情境的.創設問題情境是為了更好的調動學生的情感。從而使二中課堂教學的目標應由傳統的“知識——能力——情感”模式轉化為“情感——知識——能力”模式，即把“情感”作為首要的目標。

三、問題情境創設的原則

創設情境的方法很多，但必須做到科學、適度.創設數學情境是“情境、問題、反思.、應用”的教學的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

具體地說，有以下幾個原則：

① 針對性：數學情境具有針對性，針對具體內容才能滿足學生的聽課需要； 堅決杜絕重形式不求實質的數學情境化設計．情境化設計的目的是為了更好的掌握所學的數學知識.所以情境應該能體現數學的本質,意在引發學生思考,而不能創設又脫離學生實際或脫離數學本質的情境.② 啟發性：數學情境具有啟發性，可以發展學生的思維能力； ③ 新穎性：數學情境具有新穎性，能夠吸引學生的注意指向； ④ 趣味性：數學情境具有趣味性，可以激發學生的學習興趣；

⑤ 互動性：數學情境具有互動性，才有學生的一直參與，而不是等待問題的出現； 要考慮到大多數學生的認知水平，應面向全體學生．不能因為太注重情境而脫離學生.否則，學生將無法建構新知識。

⑥簡潔性：數學情境具有簡潔性，能夠節約學生的聽課時間。表達簡明扼要和清晰，不要含糊不清，使學生盲目應付，思維混亂．如果一個情境設計,很牽強甚至繁瑣,不僅達不到教學目的,反而給學生更大的壓力.目前高中數學教學任務繁重，如果要將問題解決教學完全應用于日常教學，那么大綱、教材的教學任務根本完不成，也因此很多教師對“問題解決教學”采取敬而遠之的態度。要少而精，做到教者提問少而精，學生質疑多且深．

四、如何進行高中數學課堂教學中問題情境的創設

1、利用趣味故事和數學史話創設問題情境

有趣的古今中外故事和數學史話可以很有效地激發學生的興趣，使他們主動去思考．例如在數學必修5講解“數列的概念”，“等比數列的前項和”時，可以創設如下情境： 古時印度國王為了獎賞國際象棋的發明者，問他有什么要求吧，發明者說：“請在棋盤的第1格子里放上1顆麥粒，第2格子里放上2顆麥粒,第3格子里放上4顆麥粒,第4格子里放上8顆麥粒,每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里的2倍，直到第64個格子。請給我足夠的糧食來實現上述要求。”國王覺得這并不難辦，就答應了。

你認為國王有能力滿足發明者上述要求嗎?讓我們來分析一下。各個格子里的麥粒數依次是1，2，2，2，…，2

2363于是發明者要求的麥粒數就是1?2?2?2???2

2363在數學選修2-2 1.6微分中值定理教學中，教師不失時機的穿插牛頓與萊布尼茲創立微積分時的矛盾與爭論，并指出：當巨人的哲學的沉思變成科學的結論時，對科學的發展的影響是深遠的。通過這樣創設情境，極大地提高了學生學習數學的興趣，促使學生積極思考問題，使他們的思維處于活躍狀態，創造潛能得以發展．

2、借助實際生活創設問題情境

數學知識中有許多是源于實際生活的，因此數學問題的引入可以聯系生產、生活實際．如果將數學問題改編為實際的應用性問題，讓學生去積極思考，便可以引導學生主動地探究新知識，促使學生形成和發展數學應用意識，提高實踐能力． 例如在數學必修5“不等式”的教學中有這樣一道例題：

已知a、b、m都是正數，且a < b，求證：

a?mb?ma＞b 如果直接去證，學生會感到索然無味，而且這個結論容易記錯．不妨將其改編為下述簡單而有趣的實際問題：a克糖放到水中得到b克糖水，濃度（質量分數）是多少？在糖水中又增加了m克糖，此時濃度又是多少？糖水變甜還是變淡了？學生們會很容易地做出判斷，從而得到要證明的結論．

3、從將要學的知識與原有知識的聯系中創設問題情境

教師對某些內容，欲擒故縱，故意制造疑團，提出一些必須學習了新知識才能解答的問題，可以點燃學生的好奇之火，激發學生的求知欲，形成一種學習的動力．例如在高中數學必修5教學中，在講解“余弦定理”時可作如下設置：我們都熟悉直角三角形的三邊滿足勾股定理：c2 = a2 + b2，那么非直角三角形的三邊關系怎樣呢？銳角三角形的三邊是否有c2 = a2 + b2-x？鈍角三角形中鈍角的對邊是否滿足關系c2 = a2 + b2 + x？假若有以上關系，那么x = ？教師可以從這個具有吸引力和啟發性的“設疑”引入對余弦定理的推證．學生帶著這個疑問來學習新課，不僅能提高注意力，而且對所學的新知識也會經久不忘．

4、從相關學科中創設問題情境

數學是學習物理、化學等學科的基礎，它的許多知識都與這些學科有著緊密的聯系．如概率原理在生物遺傳學中的應用，三角函數與向量在物理學中的應用等．定積分在物理學中的應用。因此在講解這些知識點時，可適當地創設與相關學科聯系的情境，強化數學的工具性、基礎性，激發學生學習數學的積極性．

五、體會與認識

1.要充分重視“問題情境”在課堂教學中的作用

 問題情境的設置，在教學的引入階段要引起注意，而且應當隨著教學過程的展開要成為一個連續的過程.通過少而精的問題情境，激發學習動機，使學生在課堂上保持良好的學習狀態.給學生提供學習的目標和思維的空間，學生自主學習才能真正成為可能．

2.在引導學生自主學習中加強學法指導

為了在課堂教學中推進素質教育，從發展性的要求來看，不僅要讓學生“學會”數學，而更重要的是“會學”數學，學會學習，具備在未來的工作中，科學地提出問題、探索問題、創造性地解決問題的能力．要結合教學實際，因勢利導，適時地進行學法指導，使學生在自主學習中，逐漸領會和掌握科學的學習方法．當然，學生自主學習也離不開教師的主導作用，這種作用主要體現在問題情境設置和學法指導兩個方面．學法指導有利于提高學生自主學習的效益，使他們在學習中將摸索體會到的觀念、方法盡快地上升到理論的高度．從而形成具備自身特征的一整套的學習方法。

3．注重情感因素是啟動學生自主學習的關鍵

 要引導學生自主學習，動機、興趣、情感、意志、性格等非智力因素起著關鍵的作用．只有把智力因素與非智力因素有機地結合起來，充分調動學生認知的、心理的、生理的、情感的、行為的、價值的等方面的因素，讓學生進入一種全新的境界，學生自主學習才能達到比較好的效果．這就需要在課堂教學中，做到師生融洽，感情交流，充分尊重學生人格，關心學生的發展，營造一個民主、平等、和諧的氛圍，在認知和情感兩個領域的有機結合上，促進學生的全面發展．

在我們5年來的教學的實踐中，在情境創設中也發現了一些誤區，⑴往往只關注趣味，少了目標；感到迷茫。⑵有時候虛構的美麗，誤導了學生；⑶脫離生活圈，生搬硬套；讓學生感到乏味。⑷多了生活味，少了科學性；使課堂教學黯然失色。這就要求我們創設情境時必須做到科學、適度

總之，“教學有法，教無定法，貴在得法。”教學情境的利用沒有固定的方法，教師要根據教學任務，教學對象，教學設施及教師本人素質，選擇適當的創設情境的途徑。隨著課程改革的不斷深入，數學課堂有了新的變化，我們都應全力去創設情境開展教學，以期達到提高課堂教學效率的目的．從而真正實現學數學，用數學的目標。【參考文獻】

1.中華人民共和國教育部.《普通高中數學課程標準》.人民教育出版社 2.數學課程標準研制組.《數學課程標準解讀》.江蘇教育出版社

3.課程教材研究所.《數學A版必修1》《數學A版必修2》《數學A版必修3》《數學A版必修4》《數學A版必修5》《數學A版選修2-1》《數學A版選修2-2》《數學A版選修2-3》數學A版選修4-1》《數學A版選修4-4》《數學A版選修4-5》.人民教育出版社 4．丁

一、張劍主編.《中學教材全解》.陜西人民教育出版社

5.黃翔、李開慧主編..關于數學課程的情境化設計.《課程教材教法》.2006.9 6任志鴻主編

志鴻優化設計《高中數學優秀教案A版必修1，2，3，4，5，選修2-1，選修2-,2，選修2-3，選修4-1選修4-3選修4-5》

2013版。南方出版社。

第四篇：數學建模數學建模之雨中行走問題模型

數學建模

雨

中

行

走

模 型

系別：

班級：

姓名：

學號：

正文：

數學建模之雨中行走問題模型

摘要：

考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數學模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。若雨是迎著你前進的方向向你落下，這時的策略很簡單，應以最大的速度向前跑；

若雨是從你的背后落下，你應控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。① 當v?rsin?時,淋在背上的雨量為

.?pwD?rhsin??vh?v,雨水總量C?pwD?drcos??h?rsin??v??v② 當v?rsin?時,此時C2?0.雨水總量CpwDdrvcos?,如??300,C?0.24升

這表明人體僅僅被頭頂部位的雨水淋濕.實際上這意味著人體剛好跟著雨滴向前走,身體前后將不被淋雨.③ 當v?rsin?時,即人體行走的快于雨滴的水平運動速度rsin?.此時將不斷地趕上

?pwDh?v?rsin?雨滴.雨水將淋胸前（身后沒有）,胸前淋雨量C2關鍵詞：

?v

淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風），路程的遠近，行走的速度

1.問題的重述

人們外出行走,途中遇雨,未帶雨傘勢必淋雨,自然就會想到,走多快才會少淋雨呢？一個簡單的情形是只考慮人在雨中沿直線從一處向另一處進行時,雨的速度（大小和方向）已知,問行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.問題的分析.由于沒帶傘而淋雨的情況時時都有，這時候大多人都選擇跑，一個似乎很簡單的事情是你應該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。，一、我們先不考慮雨的方向，設定雨淋遍全身，以 最大速度跑的話，估計總的淋雨量；

二、再考慮雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為?，如圖1，建立總淋雨量與速度v及參數a,b,c,d,u,w,?之間的關系，問速度v多大，總淋雨量最少，計算?=0，?=90時的總淋雨量；

0 2

三、再是雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為?，如圖2.，建立總淋雨量與速度v及參數a , b , c, d , u , w , ? 之間的關系，問速度多大，總淋雨量最少；

四、以總淋雨量為縱軸，對

（三）作圖，并解釋結果的實際意義；

五、若雨線方向不在同一平面內，模型會有什么變化；按照這五個步驟，我們可以進行研究了。

3.模型的假設與符號說明

2.1模型的假設

1.設雨滴下落的速度為u（米/秒）,降水強度（單位時間平面上的降水厚度）為w（厘米/時）,且u,w為常量.2.設雨中行走的速度為v（米/秒）,（固定不變）.雨中行走的距離為d（米）.3.設降雨的角度（雨滴下落的反方向與人前進的方向之間的夾角）為? 4.視人體為一個長方體,其身高為a（米）,身寬為b（米）,厚度為c（米）

3.2符號說明

a:代表人頸部以下的高度 b:人身體的寬度 c:人身體的厚度 d:起跑點到終點的距離 vm:跑步的最大速度

u:雨的速度

wv:降雨量 :跑步速度

:雨線方向與人體夾角 ?S:人的全身面積

t= d/vm:雨中行走的時間

4.模型的建立與求解

（1）不考慮雨的方向

首先討論最簡單的情形，即不考慮降雨角度的影響。雨將淋遍全身，淋雨的面積s=2ab+2ac+bc=2.2m，淋雨的時間t=d/vm=200s, 降雨量w=2cm/h=10?42/18(m/s), 所以總的淋雨量Q=stw?2.4L。

（2）雨從迎面吹來

雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內，且與人體的角度為。如圖1。建立總淋雨量與速度v及參數a，b，c，d，u，w，之間的關系，問速度v多大，總淋雨量最少。計算? =0，? =30時的總降雨量。

雨滴落下的速度為u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前部。分兩部分計算淋雨量.頂部的淋雨量Q1= bcdw cos ?/v；雨速水平分量usin ?，風向與v相反。合速度usin ?+v，迎面單位時間、單位面積的淋雨量w（usin ?+v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin ?+v）/uv，所以總淋雨量

bdwcucos??a(usin??v)Q?Q1?Q2?? uvv=vm時Q最小。??0時，Q=1.2L；?=30，Q?1.6L。

0 4

(3)考慮降雨方向的模型（雨從背面吹來）

雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內，且與人體的夾角為a，如圖2。建立總淋雨量與速度v及參數a，b，c，d，u，w，之間的關系，問速度v多大，總淋雨量最少。

計算 =30的總淋雨量。

雨滴落下的速度為u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因為考慮了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和背部。分兩部分計算淋雨量。

頂部的淋雨量Q1=bcdw cos ?/v；雨速水平分量usin ?，風向與v相反。合速度usina?v，迎面單位時間、單位面積的淋雨量w（usin ?-v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin ?-v）/uv，所以總淋雨量：

?bdwcucosa?(usina?v)bdwu(cosa?asina)?av???,v?usina??uvuvQ???bdw?cucosa?(v?usina)?bdw?u(cosa?asina)?av,v?usina?vuv?u若ccosa0m

?asina???即tana>c/a，則v=usina時Q最小，否則，v=v時Q最小，當a?30，tana>0.2/1.5，v=2m/s，Q?0.24L最小，可與v=vm，Q?0.93L相比。

(4)以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對三作圖（考慮 a的影響），并解釋結果的實際意義

雨從背面吹來，只要 不太小，滿足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m時，> 即可），v=usina，Q 最小，此時人體背面不淋雨，只有頂部淋雨。

(5)若雨線方向與跑步方向不在同一平面內，模型會有什么變化

再用一個角度表示雨的方向，應計算側面的淋雨量，問題本質上沒有變化。

5.模型的評價

（1）在不考慮風向情況下：

此時，你的前后左右和上方都將淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大約為2.44升。結論表明:淋雨量是速度的減函數，當速度盡可能大時淋雨量達到最小（2）在考慮風向及雨量的情況下: 當v=usinθ時，Q取到最小.表明：當行走速度等于雨滴下落的水平速度時，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。

當v﹥usinθ，你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的胸膛。

6.模型的結果分析

綜合上面的分析，我們得到的結論是：

1．如果雨是迎著你前進的方向落下，這時的最優行走策略是以盡可能大的速度向前跑。

2．如果雨是從你的背后落下，這時你應該控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

根據一般常識，我們所得到的結果是合理的且與我們的日常生活經驗是一致的。運用簡單的數學工具，我們對日常生活中司空見慣的問題給予了定量的分析。但同時必須指出的是，這里建立的簡單數學模型與雨中行走的實際過程尚有距離，因為在建立數學模型的過程中我們忽略了一些相對次要的因素。關于模型的檢驗，請大家觀察、體會并驗證。雨中行走問題的建模過程又一次使我們看到模型假設的重要性，模型的階段適應性。

參考文獻

[1] 姜啟源 謝金星 葉俊，數學模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.

第五篇：小學數學課堂教學中

小學數學課堂教學中，教師的困惑與對策

課堂教學是小學數學教學的最基本形式。只有搞好課堂教學，才能充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用，也才能有效提高教學質量，發展學生能力。基礎教育課程改革在全國啟動之后，小學數學課堂教學呈現出了嶄新的面貌。課堂上打破了以教師為中心、以教材為中心的教學方式，教師正由單純的知識傳授者轉變為教學活動的組織者、學生探索知識的引導者和合作者；教學內容的選取更加密切聯系社會實際和學生生活實際；學生的學習普遍采用自主、合作、探究的方式；師生之間關系和諧、民主、平等。然而在這教育改革的明媚春光下，由于受傳統教育觀念的影響，有的教師在小學數學課堂教學中產生了一些困惑，導致了行為上的偏差，這不利于教育改革的順利進行。

困惑一：觀念陳舊，方式封閉

對策：發散思維，實行開放式教學 在實際教學中，我們發現有的教師的教學方式名義上是開放式的，教師主動讓學生回答問題、動手操作等，學生與教師的合作使教師很滿意。如一些教師在教義務教育課程標準實驗教科書一年級數學第一冊第“#頁“$以內的加法”時，先讓學生看圖片回答：%&'左邊的小朋友手里拿著幾個紙鶴!%”'右邊的小朋友手里拿著幾個紙鶴!%#'一共有幾個紙鶴!接著教師在黑板上寫出算式后，再用同樣方法教學#(&)$。最后教師指揮學生完成書上的做一做，教師說一學生動手做一，教師說二學生動手做二??這些老師的教法看上去是放手讓學生自己解決問題，其實學生還是在老師的框子內轉動，這種過于統一、注重封閉的教學都是不利于他們的發展的，不但桎梏了學生思維的發散，而且在心理上依賴或習慣于跟著老師走。

小學生發散思維活動的展開，其重要的一點是要能改變已形成的思維定勢。從認知心理學的角度來看，小學生在進行抽象的思維活動過程中，由于身心的特征等原因，往往難以擺脫已有的思維方向，也就是說學生個體乃至于群體）的思維定勢往往影響了對新問題的解決，從而產生錯覺。所以要培養與發展小學生的抽象思維能力，必須十分注意培養他們思維的發散性。如，進行語言敘述的變式訓練，即讓學生依據一句話改變敘述形式為幾句話。這將有利于學生不囿于已有的思維定勢，使學生在訓練中逐漸形成具有多角度、多方位的思維方法與能力。

新課程教學體現的是開放的文化，只有開放才有空間，才有選擇，才有合作。因此，在教學中教師一定要轉變教學觀念，大膽放手讓學生自主求知，學生能想的讓他們想，能說的讓他們說，能做的讓他們做，真正實行開放式教學，以充分滿足不同學生的不同需求，最大限度地促進他們的發展。

困惑二：定理背誦，缺乏理解

對策：自主構建，促進學生的主動發展

小學生的思維處于形象思維逐步向抽象思維過渡的時期。一些教師為了讓孩子們更快地掌握知識，就要求他們背公式、背定理，這一拔苗助長的做法不但不能幫助孩子們由形象思維過渡到抽象思維，而且使他們對數學產生了恐懼甚至是厭惡。建構主義理論認為：不同的人對同一客觀對象的理解各不相同。正如奧蘇伯爾所說：“任何有意義的學習都是舊知識對新知識的同化和順應。”不同的認知結構導致新知識的固著點、同化和順應的途徑、方式、方法、習慣自然各不相同。因此，課程標準多次指出不同的人學習不同的數學這一思想。只有這樣獲得的數學才是學生自己的數學，活的知識，有用的知識。

在實踐中我們看到，有的學生擅長于用形象思維立體地理解數學；有的學生更趨向于用邏輯思維抽象地理解數學。因此，我們的教學就是要在適應學生思維特點的基礎上，理解數學并促進學生思維能力的提高。如《時間》一課中，有學生對1時——1時半這一過程是這樣理解地：長長瘦瘦的是分針是叔叔，他跑步跑得快；而那個矮矮胖胖的時針是老公公，他跑得慢。叔叔已經跑半圈了，老公公還只有跑了一小格里的一半。顯然，孩子是用自己的方式來理解數學的，所以很容易掌握。

因此，只有自主建構過的才是學生自己的，教師教給學生的東西對學生來說存在著距離感，不管教師在教學過程中教得有多深刻和透徹。對于學生來講，他們需要的是經過重組后在頭腦中留下的真正屬于自己的那些東西。由此可見，學生需要的是用自己的方式理解數學，而不是單純地死記硬背。

困惑三：方法單一，效率低下 對策：貼近生活，增強實用性

為什么學生越學越沒有了靈氣和活力？為什么學生在數學學習過程中不能體驗到快樂？我們發現有的教師不善于選擇行之有效的教學方法，往往習慣于自己的教學思路和方法，認為只要學生在做題時都能做對，那就是好的教學。把本應活潑的課堂變成了傳授知識、灌輸知識的課堂。

據香港的一項針對當地學生的調查表明，學生以數字、符號、公式等來形容數學，將數學簡化成運算． 亦有一些響應帶有“課堂數學”的強烈影子，例如認為數學是“用公式計算”和“背方法”的學科，以及“很多計算方法都能得到相同答案”和“答案準確”等，這大概是由于他們的數學觀多來自于課堂教學，而“課堂數學”大多是教導學生如何去運用定理和公式，題目答案唯一。而談到數學具有實用性的功能只有30%的學生。

因此，我們在選擇教學材料時應盡量從學生實際生活中直接去提煉數學問題，這就是我們平時所說的數學問題生活化！如在教學《20以內的進位加法》時，我聯系品德與生活課中的超市購物這一情境，規定每個小朋友只能帶20元，又羅列了一些孩子們喜歡的商品，然后要求他們去購買。孩子們提出了各種各樣的購買方案。緊接著又問，如果只能買三樣東西，并且不能超過15元，你會選擇哪三樣？最后再問，如果要用最少的錢買數量最多的東西又該怎么買？這一系列問題的設計，激起了孩子們去解決日常生活中必備的、常見問題的興趣。正如古羅馬教育家魯塔克指出：兒童的心靈“不是一個需要填滿的罐子，而是一顆需要點燃的火種。”這就是說，只有點燃學生心靈的火種，才能感動學生學習科學；在數學課程中只有超越“科學世界”，關注生活世界，才能感動學生學習數學。

困惑四：處理教材，舍本逐末 對策：根據實際，恰當處理

傳統教學強調“教師應當緊扣教材”，而新課標強調必要時適當地突破教材。后者對教師提出了更高的要求。如結合學生實際和當地環境，小則更換一些簡便易行的題目，大則適當地改變教科書中某些課時的編排次序等，這確實能提高教學效率，促進學生的發展。然而，有的教師認為新課程標準提倡創造性處理教材，不但把教科書上的教學內容搞得支離破碎、無重點，并且將教科書上很好的內容也處理掉了。

如有位老師在教學《長方體和正方體》的認識時，不利用課本上的題目，不按照教材編排意圖，而是先出示一個長方體實物，讓學生觀察并掌握特征，然后出示一個正方體實物用同樣的方法教給學生。最后教師問學生：“正方體是一種怎樣的長方體!”學生都答不上來，教師只能自己說出“特殊的”三個字。這樣的教學表面上看起來是教師把教材處理后進行教學，是新觀念下的教學行為，但實際上是把長方體和正方體對立起來讓學生學，把課本上有關長方體和正方體之間密切聯系的“長、寬、高都相等的長方體叫做正方體”等重要句子都給“處理”掉了，造成了不良后果。因此，筆者認為，教學中教師不能盲目追求處理教材“熱”，以致舍本逐末，而要根據實際的需要恰當地處理教材，以求高效率。

實施新課程過程中，需要教師按新的理念和新的要求設計教學方法。教師首先應當反思一下，以往我是怎樣教學的，通常的教學方法是怎樣的？這樣的教學方法的特征是什么？是否有助于學生發展，是否符合新課程的理念。再看一些教學改革的案例，就會發現，原來教學還可以這樣組織，學生還可以這樣學習。思考一下，以往教學中學生是什么角色，教師是什么角色，是不是可以嘗試改變教師和學生在教學過程中的角色。并想一想，如果教師和學生的角色轉變之后會發生什么。把思考付諸于行動之后，迎刃而解地不單單只是困惑??

困惑一：課堂上一定要讓學生暢所欲言嗎？

《數學新課程標準》提出：“學生是數學學習的主體。教師是學生學習的組織者、引導者與合作者”。此我在教學時，總是試圖使每一個人學生都能參與到課堂教學中。每當提出一個問題，我會盡量讓學生說出自己的見解。學生們參與的積極性很高，都想把自己的想法介紹給大家，你一言，我一語，有的即使別人已經說過了，自己也要說，課堂上雖然很熱鬧，好像人人參與，但實際能提煉出來的內容并不多，層次也不深。為了尊重學生、維護學生回答問題的積極性，我又不能中途截斷，造成了課堂時間的浪費，有時也不能按計劃完成預定教學內容。

困惑

二、課堂上應怎樣設置小組合作學習？

《數學新課程標準》強調：有效的數學學習活動不能單純地模仿與記憶，動手實踐、自主探究與合作交流是學生學習數學的重要方式。很多公開課中也充分體現出小組合作學習的優勢。但我在教學實踐中發現：.在小組合作學習的過程中，學生間應形成的那種良好的互助、互動的關系，可是小組活動中卻經常會出現不友好、不傾聽、不分享、不聽取他人見解，固執己見的現象。還有一些性格內向的，成績不太好的學生，只作為一個旁觀者，而不是參與者。在小組匯報中好學生發言的機會多，能得到更多的鍛煉。困難的學生基本沒有發言的時間，而且他也不想發言。久而久之，困難的學生學習越來越困難，優秀生越來越好。兩級差距越來越大。另外，小組合作的學習方式看似簡單易學，但稍有不慎就會使課堂氣氛得不到較好的調控，達不到預期的目的，特別是低年級的學生年齡小，自我管理能力差，還沒有形成合作學習的意識和能力。如果教師不及時提醒和指導，他們不知道該怎樣相互討論和交流，每個人都爭先發言，表面上看起來很熱鬧，但沒有學會真正傾聽、理解并吸收他人意見，缺乏實質性的合作。同時，小組活動中還出現一些放任自流的現象，教師不易發現學生開小差。最后，小組.合作學習的時間不好把握。由于年齡特點，知識水平，合作學習能力不同，在小組討論、合作學習時，有的小組很快完成任務，有的小組還在激烈交流，各抒己見，完成的組開始說一些與課堂無關的話，甚至出現打鬧現象。課堂紀律非常松散。怎樣解決小組合作學習中出現的這些問題問題呢