第一篇：《一元二次方程根的分布》教學設計

《一元二次方程根的分布》教學設計

曹勇

一元二次方程是高中數學中極其重要的內容，這段內容與一元二次不等式，二次函數等內容有著直接而密切的聯系。講解一元二次方程不能不涉及其根的分布。盡管在新教材中，并沒有這部分的內容，根據我校學生的實際情況，我決定不僅要講解這段內容，而且希望達到一定的深度，使學生對這段內容有一個較為全面透徹的理解。

一、對學生已有知識的估計

在初中時，一元二次方程就是數學中的重點和難點內容，學生已經知道了方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)的求解方法。知道了判別式△=b2-4ac與方程是否存在實數根的關系，也掌握了一元二次方程根的分布最簡單的情況，如判別式△和系數a,b,c滿足什么條件時，方程有兩個正根，兩個負根，一正根一負根等。

二、一元二次方程的根的分布的教學設計

在第一課時主要是幫助學生回憶、復習初中所學的相關內容，并進行總結歸納，給出一般性的結論。同時，進行變化略作提高。今天第二課時的教學就是要在第一課時的基礎上，進行引伸、提高?？紤]到課堂的時間與所講內容難度，我決定找一個能一題多用的例題，以便提高效率，為此，我先給出了如下一個例題。例題講解：

例1． 求實數m的范圍，使關于x的方程x+2(m-1)x+2m+6=0(1)有兩個實根，且一個比2大，一個比2小；(2)有兩個實根，且都比1大；

(3)有兩個實根α、β，且滿足0<α<1<β<4;(4)至少有一個正根。

2選題分析：

第（1）題由學生思考并回答。靈活運用初中所學知識，可以解決此問題。設x1 x2是方程的兩實根，則(x1?2)?(x2?2)?0即x1?x2?2(x1?x2)?4?0。但此題又存在一種更具特色的解法。設f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,則這是一條開口向上的拋物線，由題意，拋物線與直線x=2的交點在x軸的下方，于是f(2)<0。即22 +2(m-1)2+2m+6<0。第二種方法比起第一種方法，在思維上是一種飛躍，它是將拋物線的有關知識運用到一元二次方程上來，需要很好地掌握兩方面的知識，學生初次接觸這種方法，部分學生在理解上會產生一定的困難。作為教師要注意到這一點，事先有足夠的準備，要作重點講解。

第（2）、（3）、（4）題都是在第（1）題的基礎上，難度逐個遞增的小題，這三個小題僅用初中所學知識是不夠的，必須把的相應問題轉化為二次函數問題來解決。也即二次函數的圖象與x軸的交點的位置的分布。學生在解決這類問題時，容易出現的錯誤是思考不周，少考慮了一些必須考慮的因素，特別有區間時，區間的端點常常成為盲點，從而使得到的條件組的條件不足。這是教學時特別要注意的。

關于教學方法，我認為用師生共同討論的方法較好。如第（3）題，在令f(x)=x2+2(m-1)x+2x+6之后，讓學生想想，圖該怎樣畫？由這張圖，你能得到怎樣的條件組？與已知條件等價嗎？這三個小題都有一定的難度，尤其是第4小題，更加困難一些，因此一個學生的回答可能會有缺陷，需要有其他學生補充、糾正，必要時教師應適時引導。

例題2 在下列條件下，分別求出m的取值范圍

（1）方程x2-mx+4=0在[-1，1 ]有解：

（2）函數f(x)=x2-3x+4-m的圖象與橫軸 x在[-1，1 ]上有交點。設計例題2，是希望能讓學生見識一下其它情形的一元二次方程的根的分布，拓展視野；同時也體會一下分類討論思想在這類問題中是如何運用的；例題2也是在例題1的基礎上的再提高。這個例題的主要解答過程也是由學生回答。

三、教學后的反思

這節課按照設想完成了。效果如何呢？我布置了如下的幾道作業題：

1.關于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩個實根一個小于1，另一個大于1，求實數k的取值范圍。

2.已知關于x的方程kx2+2kx+k-2=0有兩個實根，其中一根在(0，1)之間，另一根在(-1，0)之間，求實數k的取值范圍。

3.關于x的方程2x2-3x-3+2m=0的兩根均在[-1，1]之間，求m的范圍。

4.集合A={（x,y）|y＝x2+mx+2},B={(x,y)|x-y+1=0且0≤x≤2}，若A∩B≠Ф，求實數m的取值范圍。

題1和題2和例1中第（1）、（3）題相似，差不多都做對了。第3題與兩道例題略有差別，約三分之二的學生做對。第4題需要一定的靈活性才能解決，約三分之一的學生做對。從整個情況看，作業做得不錯，基本上實現了教學目的。我認為，在生源比較好的學校，按照上述要求上課，學生是能夠接受的。

我了解我的學生，我相信他們的實力。在整個一節課上，基本上是學生講為主，我講為輔。像例2這樣較為困難的問題，我也鼓勵學生大膽思考，不怕困難，一個人完不成，講不透，第二個人、第三個人補充，直到完成整個例題。這樣上課氣氛非?；钴S，學生之間常會因為某個觀點的不同而爭論，作為教師可能比較辛苦。一方面要控制好整節課的節奏，另一方面又要察言觀色，適時地對某些觀點作出判斷，或與學生一同討論。我想，如果以后再講到這一段，這節課會有很大的參考價值。

第二篇：一元二次方程根的分布教案

一元二次方程根的分布

【學習目標】

1.能判斷一元二次方程根的存在性及根的個數。

2.體會高中數學中“函數與方程”的思想方法，“數形結合”的思想。

3.進一步理解函數與方程的關系，讓學生學會借助圖像輔助分析。

【學習重點】

一元二次方程根的分布。數形結合法。

【學習難點】

數型結合思想，根的分布的復雜變形。

所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關系。

【典型例題】

例1.m為何實數值時，關于x的方程x2?mx?(3?m)?0

（1）有實根（2）有兩正根（3）一正一負

變式題：m為何實數值時，關于x的方程x2?mx?(3?m)?0有兩個大于1的根.例2.若8x4+8(a－2)x2－a+5>0對于任意實數x均成立，求實數a的取值范圍.例3.關于x的方程ax?2x?1?0至少有一個負根,求實數m的取值范圍。

課堂小練習：

【布置作業】

第三篇：一元二次方程根的判別式教學設計

《一元二次方程的根的判別式》教學設計

澗口鄉初級中學

吉小芳

〖教學目標〗

知識與技能：了解一元二次方程根的判別式，理解為什么能根據它判斷方程根的情況；能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實數根以及兩個實數根是否相等。

過程與方法：經歷一元二次方程根的判別式的意義及作用的探究過程，體會分類討論和轉化的思想方法，感受數學思想的嚴密性與方法的靈活性。

情感態度與價值觀：通過對根的判別式的意義及作用的探究，培養對科學的探索精神和嚴謹的治學態度。

〖重點難點〗

本節內容的教學重點是用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等；教學難點是弄懂為什么可以用判別式判別一元二次方程根的情況；突破難點的關鍵在于結合平方根的性質理解求根公式。

〖教學準備〗

教具準備：多媒體課件。

學生準備：復習一元二次方程的解法，預習本節內容。

〖教學流程〗

一、創設情境，提出問題

1、你能說出我們共學過哪幾種解一元二次方程的方法嗎？

2、能力展示：分組比賽用公式法解方程（1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0。

（待學生做完后，教師點評)（1）x1= x2 = 2 ；（2）x1 = 1，x2 =-3 ；（3）無實數根。

3、發現問題

觀察上面三個方程的根的情況，你有什么發現？(1)方程根的情況？（2）與b2-4ac的值，有什么關系？

4、提出問題

對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何時有兩個相等的實數根？何時有兩個不相等的實數根？它何時沒有實數根？方程的根的情況是由什么決定的？

二、探究新知

1、一元二次方程的根的判別式 活動1 學生自學，初步感悟

請學生帶著上面的問題，自學第31頁課文至倒數第四行，并注意分類討論的思想方法的使用。

教師巡視，并注意收集問題，為下一步集中釋疑做準備?；顒? 合作交流，深入探究

請學生結合自己的理解，就上述問題的答案在小組內進行討論、探究，然后教師組織全班進行交流，關鍵讓學生講清每個結論的理由。

活動3 師生合作，歸納提升（屏幕顯示）：

由上面的討論可見，一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況由b2-4ac來決定。因此，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式。通常用符號“Δ”（希臘字母）來表示，讀做“得爾塔”，即Δ=b2-4ac。在今后的數學學習中還會遇到：用一個簡單的符號來表示一個數學式子的情況，同學們要逐漸適應這一點，它體現了數學的簡潔美。（書寫標題）

2、一元二次方程的根的判別方法

思考：你能說出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況具體有哪幾種，又是如何判別的嗎？ 學生思考，師生共同得出：

定理 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)當Δ＞0時，有兩個不相等的實數根； 當Δ＝0時，有兩個相等的實數根； 當Δ＜0時，沒有實數根。

這個結論告訴我們，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式的值，就可以由它的符號直接判別方程根的情況。活動4 應用遷移，發展能力

例題1 不解方程，判別下列方程根的情況：（1）5x2-3x=2（2）25y2+4=20y（3）2x2+3x+2=0 本例先讓學生思考，分析解題思路，然后請學生口述第（1）小題的解法，教師板書，以進一步明確思路，強調解題方法及格式。

解（1）原方程可變形為 5x2-3x-2=0，因為Δ＝（-3）2-4×5×（-2）＞0，所以，原方程有兩個不相等的實數根。

請學生回顧上面的解題過程，總結判別一元二次方程的根的情況的一般步驟：

一化（將一元二次方程化為一般形式）； 二算（確定a、b、c的值，算出Δ的值）； 三判斷（根據定理判別方程根的情況）。（2）、（3）小題由學生完成。練習反饋：課本第32頁練習1。

3、逆定理

活動5 逆向思考，拓展延伸

上面的定理中共有三個命題，你能分別說出它們的逆命題嗎？（屏幕顯示定理）

學生思考、交流并回答，教師指出：這三個命題也是真命題，從而得到：

逆定理 對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當方程有兩個不相等的實數根時，Δ＞0； 當方程有兩個相等的實數根時，Δ＝0； 當方程沒有實數根時，Δ＜0。

例題2 已知關于x的方程x2－3x + k = 0，問k取何值時，這

個方程有兩個相等的實數根? 學生思考、分析，并與同伴交流與討論，然后請同學說出自己的想法。

解：∵方程有兩個相等的實數根，∴Δ= 0，即(－3)2－4k = 0, 解得k= ∴ k= 9494

時，方程有兩個相等的實數根。

變式：已知關于x的方程x2－3x + k = 0，問k取何值時，這個方程有兩個實數根? 學生思考、分析，并與同伴交流與討論，師生共同得到正確解題思路。

解：∵方程有兩個實數根，∴Δ≥0，即(－3)2－4k ≥ 0, 解得k ≤

三、當堂檢測

1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判別式的值為______ ,所以方程根的情況是_______________.2.若一元二次方程x2-ax+1=0的兩實根相等，則a的值是（）A.a=0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D.a =2或a =0 3.若關于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有兩個實數根，則m的取值范圍是（）

A.m ﹥0 B.m ≥ 0 C.m ﹥ 0 且m≠1 D.m≥0且m≠1

94方程有兩個相等的實數根。

四、小結與評價

1、通過本節課的學習，你有哪些收獲？ 本節課的主要內容：

（1）、一元二次方程根的判別式的意義；

（2）、由根的判別式的符號判斷一元二次方程根的情況的定理和逆定理

2、本節課你對自己的表現滿意嗎？對同學呢？能給老師一個評價嗎？

五、作業設計 課本第33頁習題18.3 必做題：第1,3題； 選做題：第2,4,5題.板書設計：

一元二次方程根的判別式

1、定義

例題解（1）

學生板演處

2、定理逆定理

3、一化二算三判斷

第四篇：一元二次方程教學設計

《一元二次方程》教學設計

一、內容和內容解析

（一）內容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式．

（二）內容解析

一元二次方程是解決諸多實際問題的需要，是二次函數的基礎．

針對一系列實際問題，建立方程，引導學生觀察這些方程的共同特點，從而歸納得出一元二次方程的概念及一般形式．在這個過程中，通過歸納具體方程的共同特點，得出一元二次方程的概念.一般形式ax2+bx+c=0也是對具體方程從“元”（未知數的個數）、“次數”和“項數”等角度進行歸納的結果；a≠0的條件是確保滿足 “二次”的要求．

二、目標和目標解析

（一）教學目標

1．體會一元二次方程是刻畫實際問題的重要數學模型，初步理解一元二次方程的概念；

2．了解一元二次方程的一般形式，會將一元二次方程化成一般形式．

（二）目標解析

1．學生能舉例說明一元二次方程存在的實際背景，感受一元二次方程是重要的數學模型，體會到學習的必要性；

2．將不同形式的一元二次方程統一為一般形式，學生從數學符號的角度，體會概括出數學模型的簡潔和必要，針對“二次”規定a≠0的條件，完善一元二次方程的概念．學生能夠將一元二次方程整理成一般形式，準確的說出方程的各項系數，并能確定簡單的字母系數方程為一元二次方程的條件．

三、教學問題診斷分析

一元二次方程是學生學習的第四個方程知識，首先在初一學習了一元一次方程，接著擴展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程組的學習，初二分式的教學，使得對實際問題的刻畫從整式推廣到有理式，分式方程得以出現，到一元二次方程第一次實現 “次”的提升．學生必然存在著疑問，為什么有些背景列得的方程是二次的呢？教學中要直面學生的疑問，顯化學生的疑問，啟發學生自己解釋疑問，才能避免“灌輸”，體現知識存在的必要性，增強學好的信念．

培養建模思想，進一步提升數學符號語言的應用能力，讓學生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，對初三學生是必須的，也是適可的．

本課的教學重點應該放在形成一元二次方程概念的過程上，在概念的理解上要下功夫． 本課的教學難點是一元二次方程的概念．

四、教學過程設計

（一）創設情境，引入新知

教師展示教科書本章的章前圖，請同學們閱讀章前問題，并回答： 問題1．這個方程屬于我們學過的某一類方程嗎？

師生活動:學生整理已經學過的方程類型，復習方程的概念，元與次的概念，觀察新方程，分析此方程的元與次，嘗試為新方程命名．

【設計意圖】使學生認識到一元二次方程是刻畫某些實際問題的模型，體會學習的必要性，在學生已有的知識的體系中合理的構建一元二次方程這一新知識．

問題2．這樣的方程在其他實際問題中是否還存在呢？你能再想出一個例子嗎？

師生活動:學生思考二次項產生的原因，從熟悉的實際背景中，很有可能從矩形的面積出發，設計情境．

【設計意圖】讓學生從“接受式”的學習方式中走出來，走向對一元二次方程產生的根源的探求，在編制情境的過程中，他們將加深對一元二次方程概念的理解．部分學生能夠獨立解決問題，自己編制情境并列出方程，部分學生可以根據同學給出的情境去列方程，或者閱讀課本上的實際問題．

（二）拓寬情境，概括概念 給出課本問題

1、問題2的兩個實際問題，設未知數，建立方程．

問題1 如圖21．1-1，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，你說組織者應邀請多少個隊參賽？

教師引導學生思考并回答以下幾個問題： 全部比賽共有______場

若設應邀請個隊參賽，則每個隊要與其他____個隊各賽一場，全部比賽共有___ 場． 由此，我們可以列出方程______________，化簡得________________． 問題3． 這些方程是幾元幾次方程？

師生活動:學生將實際問題中的語言轉化成數學的符號語言，體會運算關系，尋找等量關系，學習建模．將列得的方程化簡整理，判斷出方程的次數．

【設計意圖】在建模的過程中不僅加強學生的數學思維能力，而且對二次項產生的根源將更加明晰，加深對一元二次方程的理解．讓學生回答方程的元與次，一是讓他們體會統一成一般形式的必要性，為概念的形成做鋪墊，分解教學的難點；二是讓他們明確教學的主線，從被動學習走向主動學習．

問題4． 這些方程是什么方程？

師生活動:觀察本課得出的一些方程，思考它們的共性，同學們嘗試給出一元二次方程的定義，并且概括出一元二次方程的一般形式．

1．一元二次方程的概念：

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2（二次）的方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是．其中是二次項，a是二次項系數；是一次項，b是一次項系數；c是常數項．

【設計意圖】讓學生自己給出定義就是對過去所學一元一次方程的定義的類比和對比，概括一般形式是對一元二次方程另一個角度的理解，是對數學符號語言的應用能力的提升．

（三）辨析應用，加深理解

問題5． 請你說出一個一元二次方程，和一個不是一元二次方程的方程．

師生活動:可以由學生舉手回答，也可以隨機選擇學生回答，調動學生廣泛的參與．追問學生所舉的反例為什么不是一元二次方程？是什么方程？

【設計意圖】學生自己舉例，應用概念，從正反兩個方向強化了對概念的理解，在追問的過程中，幫助學生將已有的方程梳理成比較清晰的知識體系，開發學生認識的資源，激發學生從不同角度、不同形式去深入理解同一概念，讓不同的學生在此過程中獲得不同的收獲，實現分層教學分層指導的效果．

問題6． 下列方程哪些是一元二次方程? 例1．下列方程哪些是一元二次方程?（1）（2）； ；（3）（4）（5）（6）；

； ； ．

答案（2）（5）（6）．

師生活動:用概念指導辨析，方程（3）與（4）同學們可能會產生爭議，（3）幫助學生明確一元二次方程是整式方程，（4）體會化為一般形式的必要性，對a≠0條件加深認識．

【設計意圖】補足學生所舉正反例的缺漏，追問：有二次項的一元方程就是一元二次方程嗎？幫助學生進一步鞏固概念，深化對一元、二次的認識．

問題7．指出下列方程的二次項、一次項和常數項及它們的系數．

例2． 將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數項及它們的系數：

（1）師生活動:（1）將方程，其中二次項是；（2）

去括號得：，二次項系數是3；一次項是，過程略．，在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件，時此方程為一元一次方程．，移項，合并同類項得：，一次項系數是，常數項是．教師應及時分析可能出現的問題（比如系數的符號問題）．（2）一元二次方程的一般形式是例3．關于x的方程下此方程為一元一次方程？

答案：時此方程為一元二次方程；【設計意圖】在形式比較復雜的方程面前，通過辨析方程的元、次、項看清方程的本質，深化理解，淡化對一元二次方程概念的記憶．

（四）鞏固概念，學以致用 教科書第4頁： 練習【設計意圖】鞏固性練習，同時檢驗一元二次方程概念的掌握情況．

（五）歸納小結，反思提高

請學生總結今天這節課所學內容，通過對比之前所學其它方程，談對一元二次方程概念的認識，反思學習過程中的典型錯誤．

（六）布置作業：教科書習題21．1 復習鞏固：第1，2，3題．

五、目標檢測設計

1．下列方程哪些是關于x的一元二次方程（1）；（2）

；（3）

；（4）

．

【設計意圖】考查對一元二次方程概念的理解． 2．關于的方程A． B．

C．的條件． 【設計意圖】考查

是一元二次方程，則（）．

D．

3．將關于的一元二次方程化為一般形式，并指出二次項系數． 【設計意圖】考查化簡方程的能力，及對一元二次方程一般式的掌握情況．

第五篇：一元二次方程教學設計

一元二次方程教學設計

海門市海南中學 顧 健

學習目標：

1.類比一元一次方程，自主探究一元二次方程的定義.2.知道一元二次方程的一般形式和方程的解，會解簡單方程.3.經歷觀察、思考、討論等探究過程，發展自主學習的能力，感悟“從特殊到一般”“轉化”“類比”等數學思想方法，積累數學活動經驗.4.通過合作、交流，進一步學會互助、共享，并與同伴得到共同提高.教學重難點：一元二次方程的定義和一般式，會解簡單方程.教學過程：

一、在復習回顧中，引導學生類比一元一次方程自主探究一元二次方程定義 1.自主回顧

已知矩形的長比寬大1厘米

問題（1）若矩形的周長是6厘米，求寬。你會求解嗎？你準備怎么做？

問題（2）若矩形的面積是6平方厘米，求寬。你會求解嗎？你準備怎么做？ 2.類比歸納

問題（1）中的等式你學過嗎？是什么方程？你是怎么知道的？（化簡整理）你能回憶一元一次方程的定義嗎？（學生補充）你知道一元一次方程的一般式嗎？ 追問：a為什么不等于0？b呢？ 還學習了一元一次方程的哪些內容？

問題（2）中的等式你認識嗎？你是怎么知道的？（一個未知數、最高次是

2、整式方程）你能歸納一元二次方程的定義嗎？ 3.你能舉出一些一元二次方程的例子嗎？（轉化后介紹項、系數、常數）4.你能歸納一元二次方程的一般式嗎？

追問：a為什么不等于0？b呢？C呢？（正確尋找a、b、c）

二、在合作交流中，引導學生分享方法，歸納方程解法 1.什么是方程的解？（能使等號兩邊相等的未知數的值）

什么是一元二次方程的解？

2.如何解一元一次方程？（形成x=a）它的解有幾個？

3.猜想：如何解一元二次方程？嘗試解黑板上的一元二次方程。（先獨立完成2分鐘，再在小組內交流）4.展示方法，你的依據是什么？

5.歸納方法，比較一元二次方程的解與一元一次方程的區別與聯系。（降次思想、轉化思想）

三、共同反思，小結提升

1.你是如何理解一元二次方程的定義的？ 2.你對一元二次方程中的a、b、c有怎樣的認識？

3.一元二次方程的解有怎樣的特點？今天你學會了哪些方法解一元二次方程？ 4.通過今天對一元二次方程的學習，你積累了哪些重要的學習方法和經驗？