第一篇：人教版數學高二年級《應用直線的斜率解題》教學設計

應用直線的斜率解題 重慶市潼南古溪中學

陳本平

對一些數式結構與直線斜率有關的數學問題，通過相似類比、聯想，可借助直線斜率的幾何意義，巧妙解決，下面舉例說明.一、用斜率確定某些參數的取值范圍 例1 已知兩點P（2，－3），Q（3，2），直線ax+y+2=0與線段PQ相交，求a的取值范圍.解：如右圖直線l：ax+y+2=0恒過定點M（0，－2），l與線段PQ相交，故kMP≤k1≤kMQ.?kl??a,kMP????43?a?12.12,kMQ?43，二、證明不等式

例2 已知a、b、m∈R+，且a＜b,求證：

a?mb?m?ab.分析：觀察不等式左邊，結構與斜率公式k?與點（－m,－m）的連線的斜率.解：如圖，∵0＜a＜b，y2?y1x2?x1完全相似,a?mb?m?a?(?m)b?(?m).顯然此式為點(b,a)∴點P（b,a）在第一象限且必位于直線y=x下方.又∵m＞0, ∴點M（－m,－m）在第三象限且必在y=x上.連OP、PM，則kOP?ab,kMP?a?mb?m.∵直線MP的傾角大于直線OP的傾角，∴kMP＜kOP,即有 a?mb?m?ab.—1—

第二篇：《直線的傾斜角和斜率》教學設計

《直線的傾斜角和斜率（1）》教學設計

一、教學目標

知道一次函數的圖象是直線，了解直線方程的概念，掌握直線的傾斜角和斜率的概念以及直線的斜率公式．

二、重難點

1．重點：通過對一次函數的研究，學生對直線的方程已有所了解，要對進一步研究直線方程的內容進行介紹，以激發學生學習這一部分知識的興趣；直線的傾斜角和斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，是研究兩條直線位置關系的重要依據，要正確理解概念；斜率公式要在熟練運用上多下功夫． 2．難點：一次函數與其圖象的對應關系、直線方程與直線的對應關系是難點．由于以后還要專門研究曲線與方程，對這一點只需一般介紹就可以了．

三、教學過程

(一)復習一次函數及其圖象

已知一次函數y=2x+1，試判斷點A(1，2)和點B(2，1)是否在函數圖象上． 初中我們是這樣解答的： ∵A(1，2)的坐標滿足函數式，∴點A在函數圖象上．

∵B(2，1)的坐標不滿足函數式，∴點B不在函數圖象上．

現在我們問：這樣解答的理論依據是什么？(這個問題是本課的難點，要給足夠的時間讓學生思考、體會．)討論作答：判斷點A在函數圖象上的理論依據是：滿足函數關系式的點都在函數的圖象上；判斷點B不在函數圖象上的理論依據是：函數圖象上的點的坐標應滿足函數關系式．簡言之，就是函數圖象上的點與滿足函數式的有序數對具有一一對應關系．

(二)直線的傾斜角 一條直線l向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角，叫做這條直線的傾斜角，如圖中的α．特別地，當直線l和x軸平行時，我們規定它的傾斜角為0°，因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．

直線傾斜角角的定義有下面三個要點：(1)以x軸正向作為參考方向(始邊)；(2)直線向上的方向作為終邊；(3)最小正角．

(三)直線的斜率

傾斜角不是90°的直線．它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率．直線的斜率常用k表示，即

k?tan?

(四)過兩點的直線的斜率公式

在坐標平面上，已知兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于兩點可以確定一條直線，直線P1P2就是確定的．當x1≠x2時，直線的傾角不等于90°時，這條直線的斜率也是確定的．怎樣用P2和P1的坐標來表示這條直線的斜率？

P2分別向x軸作垂線P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分別是M1、M2、Q．那么：

α=∠QP1P2(圖甲)或α=π-∠P2P1Q(圖乙)在圖甲中：tan??QP2y2?y1 ?P1Qx2?x1在圖乙中：tan???tan?P2P1Q?QP2y2?y1 ?QPx2?x1

如果P1P2向下時，用前面的結論課得：

tan??y1?y2y2?y1 ?x1?x2x2?x綜上所述，我們得到經過點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)兩點的直線的斜率公式：

對于上面的斜率公式要注意下面四點：(1)當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到．

(五)例題

例1 如圖，直線l1的傾斜角α1=30°，直線l2⊥l1，求l1、l2的斜率．

解：

∵l2的傾斜角α2=90°+30°=120°，?k2?tan1200??3

k1?tan300?33

本例題是用來復習鞏固直線的傾斜角和斜率以及它們之間的關系的，可由學生課堂練習，學生演板．

例2 求經過A(-2，0)、B(-5，3)兩點的直線的斜率和傾斜角．

∴tgα=-1． ∵0°≤α＜180°，∴α=135°．

因此，這條直線的斜率是-1，傾斜角是135°．

講此例題時，要進一步強調k與P1P2的順序無關，直線的斜率和傾斜角可通過直線上的兩點的坐標求得．

(六)課后小結

(1)直線的方程的傾斜角的概念．(2)直線的傾斜角和斜率的概念．(3)直線的斜率公式．

三、布置作業

1．在坐標平面上，畫出下列方程的直線：(1)y=x(2)2x+3y=6(3)2x+3y+6=0(4)2x-3y+6=0 作圖要點：利用兩點確定一條直線，找出方程的兩個特解，以這兩個特解為坐標描點連線即可．

2．求經過下列每兩個點的直線的斜率，若是特殊角則求出傾斜角：(1)C(10，8)，D(4，-4)；

解：(1)k=2 ．

(3)k=1，α=45°．

3．已知：a、b、c是兩兩不相等的實數，求經過下列每兩個點的直線的傾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．

解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．

4．已知三點A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一條直線上，求實數a的值．

∵A、B、C三點在一條直線上，∴kAB=kAC．

第三篇：“直線的傾斜角和斜率”教學設計

“直線的傾斜角和斜率”教學設計

金華市艾青中學 阮彩香

一、內容和內容解析

內 容：直線傾斜角與斜率的概念，直線的斜率公式．

內容解析：本課是人教版數學必修2第一節直線的傾斜角與斜率的第一課時，是高中解析幾何內容的開始．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，是用以坐標法研究直線及其幾何性質的基礎．本課不僅要理解兩個概念、得到一個公式，更要了解幾何問題代數化的過程，初步滲透解析幾何的基本思想方法．本課有著開啟全章，奠定基調，滲透方法的作用．

傾斜角是從幾何的角度描述了直線傾斜程度．課本結合具體圖形，在探索確定直線位置的幾何要素中給出直線傾斜角概念．

斜率是從代數角度描述了直線傾斜程度．課本借助“坡度”引出直線斜率的概念．定義給出了直線的斜率與傾斜角的關系，溝通了刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示的關系．

直線可由兩點來確定，就是說，任給直線上兩點P1(x1, y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2），那么這條直線唯一確定，進而它的傾斜角與斜率也就確定了，這說明直線的斜率與這兩點的坐標有內在聯系，因此直線的斜率就可以用直線上兩點的坐標來表示，這就是經過兩點直線的斜率公式．

“坐標法”與數形結合思想是本課內容蘊含的核心思想．

教學重點：直線的傾斜角及斜率公式．

二、目標和目標解析

目 標：理解傾斜角的概念，明確確定直線的幾何要素．理解斜率的定義和公式，經歷幾何問題代數化的過程，了解坐標法思想．

目標解析：

在平面直角坐標系中，結合具體的圖形，探索確定直線位置的幾何要素，引出直線的傾斜角概念，明確傾斜角的取值范圍．

借助“坡度”概念引出斜率的概念，讓學生體驗數形結合思想和轉化思想的意義和價值，發展學生對變量數學的認識．

初步了解坐標平面內的圖形的幾何特征是如何進行量化和代數化的,了解“坐標法”．

三、教學問題診斷分析

兩點確定一條直線是學生知道的，如何認識直角坐標系這一“參照系”下確定直線的幾何要素，對學生來說有點困難．所以在教學過程中可以引導學生發現兩點確定的其實是直線上的一點及其方向，再通過對直線方向的正確描述的探討，形成傾斜角的概念，明確一點和一角是確定直線的幾何要素．

引入斜率的概念時，教學中可充分利用學生已有的知識（坡度概念），引導學生把這個同樣用來刻畫傾斜程度的量與傾斜角聯系起來，并通過坡度的計算方法，引入斜率的概念．知道傾斜角和斜率都可以刻畫直線的傾斜程度．

探究已知兩點求直線的斜率公式,這既是這節課的一個重點，又是后繼內容（直線的方程）學習的一個要點．事實上，它揭示了同一直線上的點所具有的一般規律：過任意兩點確定的傾斜角是相同的，為學生學習直線方程做了鋪墊，同時說明為什么有了直線的傾斜角，還需要引入斜率這個概念的必要性．這一點學生在后繼內容學習的過程中會慢慢地體會到．由傾斜角到斜率，再對斜率的坐標化，這正是解析法思想的所在．要注意的是要通過對在坐標系下的直線的四種位置及P1、P2兩點位置順序的討論，滲透分類討論的思想．

教學難點：

傾斜角概念的形成，斜率概念的理解．

四．教學條件支持

為了有效實現教學目標，考慮到學生的知識水平和理解能力，借助計算機工具和現實生活中的相關實物圖片，從激勵學生探究入手，講練結合，直觀演示能使教學更富趣味性和生動性．

五．教學過程設計

1.開篇語

（1）活動設置

①如何在直角坐標系內畫出我們學校從校門口到食堂的路線？

圖1

②線段AB的中垂線上的點M在運動的過程中什么量保持不變？ 【設計意圖】通過對如何確定圖2和圖3中的幾何圖形的方法探討，使學生明確，在平面直角坐標系中，如果給定了點的坐標，多邊形的形狀和大小就唯一確定．就是說，如果有了點坐標，可以通過坐標的運算研究圖形的幾何性質；如果能找到動點在運動過程中規律，也即一個不變的等量關系式，就能尋找到用以表示曲線的代數式，然后我們就可以通過這個代數表達式研究圖形的性質．通過活動，讓學生初步體會坐標法思想．

（2）提升小結

引導性語言：這種以坐標系為橋梁，把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質的方法，叫坐標法．用坐標法研究幾何的學科稱為解析幾何，它是17世紀法國數學家笛卡兒和費馬創立的．解析幾何的創立是數學發展史上的一個里程碑，數學從此由常量數學進入變量數學時期．課后請同學們閱讀課本P111《笛卡兒與解析幾何》，進一步了解解析幾何．

2.課題引入

引導性語言：今天我們先從直線開始研究．根據坐標法思想，為了確定表示直線的代數表達式，先必須探索坐標系下直線的幾何特征，即確定直線位置的幾何要素，然后用代數的方法把幾何要素表示出來．

【設計意圖】使學生明確本課學習的內容．

3.探究新知

（1）傾斜角概念

問題1：如圖4，在平面直角坐標系內，你認為直線l的位置由哪些條件確定？

【設計意圖】引導學生復習學過的相關知識，尋找新內容的生長點．

預設的回答：兩點確定一條直線．

師生活動：引導學生發現：兩點確定一條直線，而這兩點確定的其實是直線上的一點及其方向，明確過一點不能確定一條直線（如圖5）．

問題2：在直角坐標系中，任何一條直線都有一個相對傾斜度，可以用一個什么幾何量來表示這個傾斜程度呢？

【設計意圖】探索描述直線的傾斜程度的幾何要素，由此引出傾斜角的概念．

師生活動：引導學生把重點放在“如何描述直線傾斜程度”的問題上．啟發學生可以用角來區別直線的位置．

問題3：依傾斜角的定義，傾斜角的范圍是什么？

【設計意圖】讓學生明確傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°．

問題4：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？你認為確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是什么？

【設計意圖】使學生理解確定一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，兩者缺一不可．

（2）斜率概念

引導性語言：到現在為止，我們尋找到確定直線的幾何要素是兩點或一點一傾斜角，由這些幾何要素還是不能確定一個等量關系，找到直線的代數表示，所以我們繼續探索直線上的點在變的過程中有什么量是不變的．

問題5：確定了點P1和角α后，P2點位置的改變不會影響直線的位置，也即角α的大小不會改變，這種變化規律類似我們已學過的什么內容？

【設計意圖】基于學生的客觀現實，結合已有的生活經驗尋找幾何要素代數化的方法．

預設的回答：相似三角形．

師生活動：引導學生回憶起坡度問題，如圖6、7、8所示，知道坡度(比)=．然后通過類比，把坡度這個同樣用來刻畫直線傾斜程度的量與傾斜角聯系起來，引導學生發現如果使用“傾斜角”的概念，“坡度”實際就是“傾斜角α的正切值”, 由此引出斜率概念．

問題6：是否每條直線都有斜率？傾斜角不同，斜率是否相同？可以用斜率表示直線的傾斜程度嗎？

【設計意圖】溝通數形關系，加深概念理解．明確斜率和傾斜角之間的關系，從而明確斜率是直線的傾斜程度的代數表示．

（3）斜率公式

引導性語言：有了斜率的概念，我們得到等式是k=tanα，這還不能體現是直線上的點所滿足的等量關系，但我們可以嘗試探究tanα的值與直線上的點坐標之間聯系．

問題7：兩點確定一條直線，就是說，任給直線上兩點P1(x1, y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2），那么這條直線唯一確定（如圖9、10所示），進而它的傾斜角與斜率也就確定了，這說明直線的斜率與這兩點的坐標有內在聯系．那么這種聯系是什么呢？

【設計意圖】讓學生自己探索發現直線的斜率的坐標表示公式．

師生活動：教師給出直線上兩點的坐標，可以請兩位同學到黑板上板演，其余同學在下面完成；學生根據斜率的定義，通過構造直角三角形推算出斜率公式．師生共同評析，明確公式與P1，P2的順序無關．

問題8：當直線與坐標軸平行或重合時（如圖

11、圖12所示）,上述結論還成立嗎?

【設計意圖】通過自己的探索，完善兩點式斜率公式k=（x1≠x2），檢驗得到公式與P1，P2兩點的順序無關．

4.應用舉例

例1 如圖13，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．

【設計意圖】直接利用斜率定義式求解，熟悉斜率公式，并體驗斜率與傾斜角之間的關系．

師生活動：學生動筆計算出答案，教師引導學生 可以結合圖形，直接分析得出傾斜角和斜率的關系．

變式（1）把題中的B點坐標改為(-4，2)，此時直線AB的

斜率和傾斜角分別什么？

（2）把B點坐標改為(3，1)，此時直線AB的斜率和傾斜角分別什么？

例2 在平面直角坐標系中，畫出經過原點且斜率分別為1，-1，和2的直線．

設計意圖：要求學生畫圖，體驗數形結合的思想方法．熟練應用兩點式斜率公式．

師生活動：引導學生根據已知條件分析解決方法，可以利用一點一角確定直線，也可以用兩點確定直線．因為直線過原點，所以只要再找出另外一點直線就可以確定了．在推導斜率公式時，學生已經知道，斜率k的值與直線上的兩點位置無關，因此，由已知直線的斜率畫直線時，可以再找一個特殊點，比如可以使其橫坐標等于1，給計算帶來方便．

5.課堂練習

（1）課本P86練習1，2，3，4.（2）①當m為何值時，經過兩點A（-m，6），B（1，3m）的直線斜率是12？

②當m為何值時，經過兩點A（m，2），B（-m，2m-1）的直線的傾斜角是450？

（3）已知直線l上不同三點A（1，2），B（3，4），C(x，y)，試求kAB和kAC.．

6.課堂小結

（1）在本節課中，你學到了哪些新的概念？它們有什么關系？

（2）怎樣求出已知兩點的直線的斜率？

（3）從傾斜角(形)能刻畫直線的傾斜程度，到斜率(數)也能刻畫直線的傾斜程度，這個過程中主要體現了什么數學思想？

【設計意圖】培養學生反思的習慣，鼓勵學生對研究的問題進行質疑和概括．

師生活動：讓學生歸納出刻畫直線傾斜程度的兩種方法：傾斜角(形)和斜率(數)．利用確定直線的兩種方法，歸納出求斜率的兩個計算公式．在傾斜角和斜率相互轉化的過程中體現了數形結合的數學思想．強調“坐標法”是解決解析幾何問題的基本方法．

六、目標檢測設計

1.課本P89習題3.1A組 1，2，3.

第四篇：直線的傾斜角與斜率教學設計

《直線的傾斜角與斜率》教學設計

尊敬的各位評委

各位老師，大家好，今天我說課的題目是《直線的傾斜角與斜率》，我主要從以下六個方面進行分析，希望大家喜歡。

一：教材分析：

本節課是新人教版高一數學必修（2）的第三章第一節的內容，根據實際教學的安排，這是第一課時的內容。

1.內容分析：本節課主要有兩個概念（直線的傾斜角、直線的斜率）及一個公式（斜率計算公式）。直線的傾斜角是從形的角度描述直線的傾斜程度，而斜率從數的角度描述直線的傾斜程度。這也是數形結合思想的體現。

我們都知道兩點一線的事實，那么，如何用坐標法來描述這一過程呢？因此，斜率公式的推出就是很自然的一件事情了。這也體現了我們的數學具有自然美這一特性。

2.作用分析

通過本節課的學習，初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法，培養學生對數形結合、分類討論思想的應用知識，為后繼判斷兩條直線的位置關系以及建立直線的方程等內容起著鋪墊的作用。

二：學情分析

1.學生在初中階段已經學習過了平面直角坐標系，學習過了一次函數、二次函數、反比例函數等。

2.同學們已經知道了兩點可以確定一條直線的基本事實。

3.同學們剛剛學完立體幾何，對空間點線面的關系已經有了比較深入的了解。

三：目標分析

1.知識與技能

探索確定直線位置的幾何要素，感受傾斜角這個幾何量的形成過程，體會由生活中的坡度的概念抽象成數學中的斜率的過程

經歷直線斜率公式的推導過程，并會用斜率公式解決簡單的問題。

2.方法與過程

本節課設計3個大問題23個小問題，層層深入，環環相扣，步步緊逼、使學生學會用探究式的方法來研究數學問題。

3.情感態度與價值觀

通過斜率概念的構建和斜率公式的探究滲透數形結合、分類討論的思想方法，體會數學的自然之美，和諧之美，有用之美；通過學生之間師生之間的交流合作，實現共同探究的目標，培養學生的合作意識。同時也是響應國家社會主義核心價值觀進課堂的重要體現。

四：重難點分析

重點：直線的傾斜角和斜率概念，過兩點的直線的斜率公式

難點：傾斜角為鈍角時，斜率公式的推導。

五：教學過程分析：

1.故事引入，激發興趣

本環節講一個講關于法國數學家、解析幾何創始人笛卡爾的一個愛情故事。

笛卡爾窮困潦倒之際與一個瑞典的公主相愛了，就像所有的愛情故事一樣，他不被丈母娘看好，所以只能以悲劇結束，或許，唯有如此才能流傳千古吧。但是，故事的亮點并不在此，而是他在彌留之際寫給心愛姑娘的最后一封情書竟然是一個數學公式。P=a（1-sinb）。大家想知道這封情書的含義嗎？那么就學好解析幾何吧。今天我們就來學習解析幾何的初始內容，直線的傾斜角與斜率。

設計意圖：以故事吸引學生，激發學生興趣，引爆學習數學的小宇宙。

2.設計問題

層層探究

本環節我設計了三個大問題，23個小問題，把本節課的所有內容串了起來。

思考1

在平面直角坐標系內如何確定一條直線？

設計意圖：通過前3個問題，引出傾斜角的概念，再用后五個問題，加深同學們對傾斜角概念的理解。讓學生體會到幾何問題的本質就是用代數的方法來研究幾何問題。

思考2

生活中，還有沒有其它表示傾斜程度的量？

設計意圖：本環節通過前兩個問題生成斜率的概念，再用后面的6個問題加深對概念的理解。本環節通過把生活中的坡度轉化為數學中的斜率，讓學生體會數學源于生活，高于生活，數學是自然而然產生的。

思考3：已知直線上兩點的坐標如何計算直線的斜率？

設計意圖：本環節設計7個子問題，引導學生自己探索，指導學生注意分類討論時思維的嚴謹性，培養學生思維的嚴謹性，完備性。

就這樣通過以上23個如此簡單的問題在悄無聲息中完成了知識的生成，思想的滲透，以及合作意識的培養。

3.例題分析

加深理解

設計意圖：通過對課本上兩道例題的分析，加深學生對傾斜角、斜率的概念的理解。

4.當堂檢測

學以致用

設計意圖：考查學生對概念的理解情況，重視課本知識，達到舉一反三的效果。

5.歸納總結

知識升華

設計意圖：知識性的內容由學生自己總結，把課堂的內容內化為學生的能力。

6.布置作業

查漏補缺

設計意圖：梯度作業，既鞏固課堂，又延伸拓展，為第二課時的內容做一鋪墊。

六：板書設計

設計意圖：板書內容并不是對ppt內容的簡單重復，而是相輔相成混為一體的。

第五篇：直線的傾斜角和斜率.doc 教學設計

直線的傾斜角和斜率”教學設計

一、內容和內容解析

內容：直線傾斜角與斜率的概念，直線的斜率公式。

內容解析：本課是人教版數學必修2第一節直線的傾斜角與斜率的第一課時，是高中解析幾何內容的開始。直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示，是平面直角坐標系內以坐標法（解析法）的方式來研究直線及其幾何性質（如直線位置關系、交點坐標、點到直線距離等）的基礎。通過該內容的學習，幫助學生初步了解直角坐標平面內幾何要素代數化的過程，初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法。本課有著開啟全章，奠定基調，滲透方法的作用。

直線傾斜角是描述直線傾斜程度的幾何要素，課本結合具體圖形，在探索確定直線位置的幾何要素中給出直線傾斜角概念：當直線與x軸相交時，取x軸作基準，x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角，當直線與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為零，這樣，直線傾斜角α的范圍是0°≤α＜180°。

直線的斜率是表示直線傾斜程度的代數表示，課本借助日常生活中表示傾斜面的“坡度”引出直線斜率的概念：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。定義本身給出了直線的斜率與傾斜角的關系，溝通了刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數表示的關系。直線可由兩點來確定，坐標平面內的點由其坐標確定，因此直線的斜率就可以用直線上兩點的坐標來表示，這就是經過兩點直線的斜率公式，它溝通了直線斜率與點的代數表示的關系。

直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用。因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵。“坐標法”思想與數形結合思想是本課內容蘊含的核心思想。

教學重點：抽象概括直線的傾斜角和斜率概念，探究發現過兩點的直線的斜率公式。

二．目標和目標解析

目標：理解直線的傾斜角和斜率概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩

點的直線的斜率公式。

目標解析：

1.在平面直角坐標系中，觀察具體圖形并結合動畫演示，在探索描述直線的傾斜程度的幾何要素中，抽象出直線傾斜角的概念，明確傾斜角的取值范圍。

2.借助日常生活中表示傾斜面的“坡度”問題，引出描述直線傾斜程度的直線斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，明確傾斜角和斜率之間的關系。3.在探究直線的斜率與直線上兩點坐標關系的過程中，掌握過兩點的直線的斜率公式的特點，能根據斜率的兩個計算公式，求直線的斜率。

4.通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生了解解析幾何的“坐標法”思想和基本研究方法，進一步體會“數形結合”的思想方法。

三．教學問題診斷分析

1．兩點確定一條直線，這是學生知道的，但就已知一點再需要增加什么量才能確定直線，以及如何來刻畫這個量，對學生來說有點困難，所以在教學過程中可以引導學生先觀察過一點的不同直線的區別，從中形成傾斜角的概念。

2．對斜率概念的理解是本節的難點，學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣，另外，為什么要用傾斜角的正切定義斜率對學生來說也有一定困難，教學中通過日常生活的例子，充分利用學生已有的知識（坡度概念），引導學生把這個同樣用來刻畫傾斜程度的量與傾斜角聯系起來，并通過坡度的計算

方法，引入斜率的概念。

教學難點：傾斜角概念形成，斜率概念的理解。

四．教學條件支持

為了有效實現教學目標，考慮到學生的知識水平和理解能力，借助計算機工具和現實生活中的相關實物圖片，從激勵學生探究入手，講練結合，直觀演示能使教學更富趣味性和生

動性。五．教學過程設計

（一）開篇語

引導性語言：在初中，不與坐標軸平行的直線可以用一次函數來表示，開口向上或向下的拋物線可以用二次函數來表示，這樣就把對圖形的研究轉化為對函數的研究，這里溝通數形關系的橋梁是坐標系。這種以坐標系為橋梁，把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質的方法，叫坐標法。用坐標法研究幾何的學科稱為解析幾何，它是17世紀法國數學家笛卡兒和費馬創立的。課后請同學們閱讀課本P111《笛卡兒與解析幾何》，進

一步了解關于解析幾何的介紹。

那么如何用代數的方法表示平面中其它簡單圖形？如與x平行或垂直的直線，開口向右

或左的拋物線，圓等等。

設計意圖：通過對已有知識及思想方法的回憶，尋找新的知識“生長點”，引導學生用“坐

標法”的思想來思考新的問題。

（二）課題引入

引導性語言：我們先研究坐標平面內最簡單的圖形——直線。為此，我們先探索確定直線位置的幾何要素，然后在坐標系中用代數的方法把幾何要素表示出來。

設計意圖：使學生明確本課學習的內容。

（三）探究新知 1．傾斜角概念

問題1：如圖1，對于平面直角坐標系內的一直線l，你認為它的位置由哪些條件確定？

設計意圖：明確思維方向,探索確定直線位置的幾何要素。師生活動：引導學生發現：兩點確定一條直線，過一點不能確定一條直線。

問題2：如圖2，在直角坐標系中，過點P1的不同直線的區別在哪里？

設計意圖：引導學生發現過定點的不同直線，其傾斜程度不同。從而發現直線上一點和直線的傾斜程度也能確定一條直線。

問題3：在直角坐標系中，任何一條直線與x軸都有一個相對傾斜度，可以用一個什么幾何量來反映一條直線與x軸的相對傾斜程度呢？

設計意圖：探索描述直線的傾斜程度的幾何要素，由此引出傾斜角的概念。

問題4：依傾斜角的定義，傾斜角的范圍是什么？

設計意圖：讓學生明確傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°。

問題5：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？你認為確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是什么？

設計意圖：使學生理解確定一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個點以及它的傾斜角，兩者缺一不可。2．斜率概念

引導性語言：我們已經給出了確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素，那么如

何用代數的語言描述上述幾何要素呢？

設計意圖：告知目標，明確思維的方向，將幾何要素代數化。問題6：在日常生活中，我們有沒有碰到過表示傾斜程度的量？

設計意圖：基于學生的客觀現實，結合已有的生活經驗尋找幾何要素代數化的方法。師生活動：引導學生在生活中舉例，比如，山坡，樓梯等，教師適時給出游樂場里的水滑梯，大橋的引橋等教學情景。

問題7：（1）觀察圖5，6，我們發現坡越陡，坡面與地平面所成的角越大，你認為這個角的變化與圖中哪個數量變化有關？（2）觀察圖7，坡面與地平面所成的角不變的情況下，升高量和前進量都在變化，那么你認為這個角的變化與升高量和前進量之間究竟是怎樣的關系？能不能用一個數學式子來表示它們之間的關系？

問題8：從上面的討論，我們發現，如果使用“傾斜角”的概念，“坡度”實際就是“傾斜角α的正切值”，由此你認為還可以用怎樣的量來刻畫直線的傾斜程度？

設計意圖：探索描述直線的傾斜程度的代數表示，由此引出斜率概念。

問題9：是否每條直線都有斜率？傾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎樣結

論？

設計意圖：溝通數形關系，加深概念理解。明確可以用斜率表示直線的傾斜程度。

3．斜率公式

問題10：兩點確定一條直線，直線確定，傾斜角也就確定，斜率也就確定了，那么直線的斜率可以用直線上兩點P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐標來表示，你能自己

導出它們的關系嗎？

設計意圖：讓學生自己推導出過兩點的直線的斜率公式。

問題11：當直線與坐標軸平行或重合時,上述結論還成立嗎?

設計意圖：通過自己的探索，完善兩點式斜率公式k=（x1≠x2），檢驗得到公式與

P1，P2兩點的順序無關。

師生活動：總結兩點式斜率計算公式：k=

（四）應用舉例

（x1≠x2）。

例1.如下圖，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷

這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。

設計意圖：直接利用斜率定義式求解，熟悉斜率公式，并體驗斜率與傾斜角之間的關系。

變式1.直線的斜率為k，傾斜角為α，若＜α＜，則k的范圍是（）

A.（-1，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1] D.（-∞，-1]∪[1，+∞）變式2.設直線的斜率為k，傾斜角為α，若-1

例2.在平面直角坐標系中，畫出經過原點且斜率分別為1，-1，和2的直線。設計意圖：要求學生畫圖，體驗數形結合的思想方法。熟練應用兩點式斜率公式。

（五）課堂小結

（1）在本節課中，你學到了哪些新的概念？他們之間有什么關系？

（2）怎樣求出已知兩點的直線的斜率？

（3）從傾斜角（形）能刻畫直線的傾斜程度，到斜率（數）也能刻畫直線的傾斜程度，這

個過程中主要體現了什么數學思想？

設計意圖：培養學生反思的習慣，鼓勵學生對研究的問題進行質疑和概括。

師生活動：讓學生歸納出刻畫直線傾斜程度的兩種方法：傾斜角（形）和斜率（數）。利用確定直線的兩種方法，歸納出求斜率的兩個計算公式。在傾斜角和斜率相互轉化的過程中體現了數形結合的數學思想。強調“坐標法”是解決解析幾何問題的基本方法。

六、目標檢測設計

1．已知直線的傾斜角為α，若sinα=，求此直線的斜率。

2．已知直線y=xsinθ-1，求該直線傾斜角范圍。

3．在x軸上有一點P與Q（2，）傾斜角為150o,求點P坐標。

4．求證：點A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在一條直線上。設計意圖：通過訓練，鞏固本課所學知識，檢測運用所學知識解決問題的能力