第一篇：人教版數(shù)學(xué)高二年級(jí)《橢圓的一些有趣性質(zhì)及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓的一些有趣性質(zhì)及其應(yīng)用

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山西臨汾三中

李峰泰

教材中只介紹了橢圓的一些基本性質(zhì)．在實(shí)際中，橢圓還有一些有趣的性質(zhì)．探討這些性質(zhì)，不僅可以豐富解題思路，而且還可以培養(yǎng)我們的創(chuàng)新意識(shí)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)有所發(fā)現(xiàn)．本文介紹幾個(gè)性質(zhì)以示拋磚引玉．

一、橢圓上點(diǎn)對(duì)兩焦點(diǎn)張直角的性質(zhì)

Ｐ是橢圓b2x2?a2y2?a2b2(a?b?0)上的一點(diǎn)，Ｆ１、Ｆ２是左、右焦點(diǎn)，Ｏ是橢圓中心，e是離心率，ＯＰ的傾斜角為α，則∠Ｆ１ＰＦ２＝

９０°的充要條件是sin??1?ee22．

證明 如圖，在△Ｆ１ＰＦ２中，∠Ｆ１ＰＦ２為直角的充要條件是OP?∵F1F2?2c,?OP?c.F1F22（平面幾何定理）

設(shè)Ｐ點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y），則x?OP?cos?,y?OP?sin?,即x?c?cos?,y?c?sin?，代入橢圓方程得：

bccos??a?c?sin??ab,?cos??1?sin? 2222222222∴整理得c2(a2?b2)sin2??b2(a2?c2)

bc2444即sin??2,???[0,?)

∴sin??bc?a?ccx2222?1?ee22．

例１ Ｐ是橢圓△ＰＦ１Ｆ２的面積． 4?y2?1上的一點(diǎn)，Ｆ１、Ｆ２為兩焦點(diǎn)，若∠Ｆ１ＰＦ２＝９０°，試求

解 設(shè)ＯＰ的傾斜角為α，又知e?F1F2?OP?sin?2234，代入可得sin??13．

13∴S?PFF?12?2c?csin?2?c?sin??3?2?1

二、橢圓準(zhǔn)線上點(diǎn)對(duì)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)視角的性質(zhì)

橢圓bx?ay?ab(a?b?0)準(zhǔn)線上的點(diǎn)對(duì)其長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)的視角為α，若橢圓的離心率為e，則α是銳角且sin?≤e． 222222 —1— 證明 如圖，設(shè)Ｐ在x軸上方，坐標(biāo)為(ya2a2c,y)

kPA1?,kPA2?ya2c?a,ctg???a?

222kPA2?kPA11?kPA2?kPA12acyab?cy22∵y?0,tg??0,??為銳角．

整理為y的方程c2y2?2ac2ctga?y?a2b2?0 ∵此方程有實(shí)根，∴Δ?4a2c4ctg2??4a2b2c2?0

ca22∴cctg??c?a?0,?c?csc??a,sin??∵α為銳角，∴sin??e． 例２ Ｐ是橢圓的最大值．

解 ∵a?2,b?3,c?1,e?121222222222?e，2x24?y23?1右準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)Ｐ對(duì)此橢圓左右兩頂點(diǎn)Ａ１、Ａ２的視角為α，求α

?6由題設(shè)及性質(zhì)得sin??e??sin

又知α為銳角，∴α的最大值為

三、橢圓中心點(diǎn)張直角的性質(zhì)

?6．

若橢圓bx?ay?ab(a?b?0)上有兩點(diǎn)Ａ、Ｂ，且ＯＡ⊥ＯＢ，則原點(diǎn)到弦ＡＢ的距離d?aba?b22222222．

?2證明 如圖，設(shè)∠ＢＯＸ＝α，則∠ＡＯＸ＝0,A點(diǎn)為

＋α，設(shè)ＯＢ＝m＞0,OA=n＞（－nsin?,ncos?)，Ｂ點(diǎn)為（msin?,mcos?），代入橢圓方程整理得

1m2?acos??bsin?ab222222,1n2?bcos??asin?ab222222，—2— ?1m2?1n2?a?bab2222,AB?OA2?OB2?22m?n

由等面積法得d?OC?mnm?n22?11m2?1n2?aba?b22

例３ 直線y?kx?1與橢圓坐標(biāo)原點(diǎn)．

解 a＝２，b?22x24?2y2?1交于Ａ、Ｂ兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)，以ＡＢ為直徑的圓通過(guò)，∵ＡＢ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，∴ＯＡ⊥ＯＢ，由性質(zhì)及原點(diǎn)到直線距離公式得

d?k122???12212,解之得k??52．

4?

—3—

第二篇：人教版數(shù)學(xué)高二年級(jí)《橢圓第二定義的教學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓第二定義的教學(xué)

江蘇省如皋中學(xué)

郝 茹

郝勁赴

現(xiàn)行高中《平面解析幾何》課本對(duì)橢圓第二定義采用了從具體事例入手，引出一個(gè)新概念的定義的方法，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的從具體到抽象、從特殊到一般地講授新概念的方法，符合人們從感性到理性的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律．但是，在這里我們要注意，從認(rèn)識(shí)事物的原型到認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，這是對(duì)事物認(rèn)識(shí)的質(zhì)的飛躍，妥善處理好這個(gè)過(guò)程，是教學(xué)成功的關(guān)鍵．為此，我們?cè)诮虒W(xué)橢圓第二定義時(shí)，作了如下安排：

１．自讀推敲，引導(dǎo)剖析 首先讓學(xué)生自讀課本Ｐ．７６例３及由此引出的橢圓第二定義，自己推敲這一定義的內(nèi)涵及外延，并提出以下問(wèn)題供學(xué)生思考：

（１）定義中有哪些已知條件？

（２）定點(diǎn)、定直線、定比在橢圓定義中的名稱各是什么？

（３）定比是哪兩個(gè)量的比？這兩個(gè)量本身是變量還是常量？定比是什么范圍的值？（４）定點(diǎn)、定直線、定比一定是例３給出的數(shù)量關(guān)系（Ｆ（c,0),x?定直線方程是否可為其他的形式？

對(duì)第（１）、（２）、（３）三個(gè)問(wèn)題學(xué)生容易從課本中找出答案，但第（４）個(gè)問(wèn)題則一石激起千層浪，學(xué)生們議論紛紛．這時(shí)，教師啟而不答．

２．通過(guò)變式，提示內(nèi)涵 讓學(xué)生研究課本Ｐ．７９第１０題“點(diǎn)Ｐ與一定點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是１：２，求點(diǎn)Ｐ的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形．”

學(xué)生很快根據(jù)例３求出c＝２，又由e?ca?12a2c,e?ca?1)嗎？定點(diǎn)坐標(biāo)、，得a＝４，而由x?a2c?422可知滿足題意．從?8，而得點(diǎn)Ｐ的軌跡方程為x216?y212?1，所以點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．

接著，我將上題稍加改動(dòng)，讓學(xué)生研究：“點(diǎn)Ｐ與一定點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是13，求點(diǎn)Ｐ的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形．”學(xué)生沿用上題的解法，得c?2，由

x2ca?13，得a?6,b?6?2?32，得軌跡方程為22236?y232?1，有的學(xué)生由

a2c?362?18?8而提出該題題設(shè)

?c?2?c?2,11??e??，而認(rèn)為此題無(wú)解． 矛盾，所以無(wú)解，也有的學(xué)生列出方程組?a2，解得?23?8?a?4,??c這時(shí)，教師不評(píng)價(jià)學(xué)生的解法，而是提示他們比較該題題意與課本給出的橢圓第二定義是否一致，由他們自己發(fā)現(xiàn)滿足題意的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓，進(jìn)而重新尋求解題的途徑．不少學(xué)生建立方程(x?2)?yx?822?13(x?5，化簡(jiǎn)得

481)2?y292?1，由此可見(jiàn)，這是中心在點(diǎn)（54,0)，對(duì)稱軸為直線x?5416及y?0的橢圓．

—1— 從該例讓學(xué)生看到橢圓第二定義中的定點(diǎn)、定直線、定比的數(shù)量關(guān)系不一定是課本Ｐ．７６例３給出的定點(diǎn)Ｆ（c，０）、定直線x?a2c、定比e?ca，當(dāng)不滿足這個(gè)數(shù)量關(guān)系時(shí)，建立橢圓方程不能套用例３的結(jié)果去解．當(dāng)給出定點(diǎn)Ｆ（n，０）、定直線x＝m（m≠n）、定比為e（０＜e＜１)時(shí)，可建立方程

me2(x?n)?yx?m22(x??e，解得

?n21?e22e(m?n)(1?e)22)2?y222e(m?n)1?e2?1．

顯然，只要m≠n，即點(diǎn)Ｆ（n，０）不在直線x＝m上時(shí)，都是橢圓方程．

這樣，就讓學(xué)生自己在解決問(wèn)題的過(guò)程中，求得思考題（４）的第一個(gè)問(wèn)題的答案．進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生深入推敲橢圓第二定義，讓他們深切地理解定義中的定點(diǎn)一般為(x0,y0)，定直線一般為ax+by+c＝０，并告訴學(xué)生在學(xué)過(guò)坐標(biāo)變換之后，可通過(guò)坐標(biāo)變換，將所求的軌跡方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

通過(guò)以上研究，讓學(xué)生明確：課本Ｐ．７６例３題設(shè)中給出的數(shù)量關(guān)系是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的條件，而不是所有橢圓方程所要求的條件，即不是橢圓方程的本質(zhì)特征，這樣，學(xué)生對(duì)橢圓第二定義的內(nèi)涵和外延的理解就深刻多了．

３．列舉反例，防患未然 要使學(xué)生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，運(yùn)用變式比較，揭示概念本質(zhì)以外，我們還經(jīng)常列舉一些反例讓學(xué)生判別，防止常見(jiàn)錯(cuò)誤的發(fā)生．為此，給出以下兩例，讓學(xué)生判別命題是否正確．

例１ 點(diǎn)Ｐ到點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離比它到定直線x=7的距離小１，點(diǎn)Ｐ的軌跡是什么圖形？ 給出如下解法讓學(xué)生判別：

解：設(shè)Ｐ點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），則(x?2)?y22?1?x?7?(x?2)?yx?722?1?1.而(x?2)?yx?722?(x?2)?yx?722?1＝１，所以點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離與它到定直線x=7的距離的比小于１，故點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢 圓．

例２ 點(diǎn)Ｐ到定直線x=8的距離與它到點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離的比為

12，則點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．

22對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐一分析，讓學(xué)生明確：例１中，比值

(x?2)?yx?7?1，但不是一個(gè)常數(shù)，故不可斷定點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．例２中要注意橢圓第二定義中的定比是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)直線的距離，其比的前后項(xiàng)順序不可倒置，故不可斷定此題中的點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．經(jīng)過(guò)對(duì)上述兩例中典型錯(cuò)誤的剖析，學(xué)生對(duì)橢圓第二定義的本質(zhì)屬性有了更深刻的認(rèn)識(shí)．

４．設(shè)置新題，檢測(cè)運(yùn)用

經(jīng)過(guò)前面的教學(xué)過(guò)程，應(yīng)該說(shuō)基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)講清了．但是，要讓學(xué)生深刻理解教學(xué)的內(nèi)容，并且能夠正確運(yùn)用，這需要讓學(xué)生有一個(gè)獨(dú)立運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程．于是，我們讓學(xué)生獨(dú)立解以下題目：一動(dòng)點(diǎn)Ｐ到直線2x+y－８=0的距離與它到點(diǎn)（１，２）的距離的比值為5，求動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡方程，并判 —2— 斷點(diǎn)Ｐ的軌跡是何種曲線．

2x?y?8解：設(shè)Ｐ點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），則

25(x?1)?(y?2)2?5

?5(x?1)?(y?2)2222?2x?y?8

22?25(x?2x?1?y?4y?4)?4x?y?64?4xy?32x?16y ?21x?4xy?24y?18x?84y?61?0． 22從方程看，現(xiàn)在我們還不能判定此方程的曲線是何種曲線，但仔細(xì)分析題意，可將已知條件改述為動(dòng)點(diǎn)Ｐ到點(diǎn)（１，２）的距離與它到直線２x＋y－８＝０的距離之比為１：5，這顯然符合橢圓第二定義，可知Ｐ點(diǎn)的軌跡為橢圓．

通過(guò)這一例的教學(xué)讓學(xué)生更深切地理解了橢圓的第二定義，也讓學(xué)生看到橢圓的非標(biāo)準(zhǔn)方程所具有的形式．

５．拓展課本，活化知識(shí)

xa22課本對(duì)于橢圓的準(zhǔn)線方程作了如下敘述：“對(duì)于橢圓?yb22?1，相應(yīng)于焦點(diǎn)Ｆ（c，０）的準(zhǔn)線方程為x?a2c，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)Ｆ′（－c，０）的準(zhǔn)線方程為x??a2c；所以，橢圓有兩條準(zhǔn)線．”由此啟發(fā)學(xué)生看到命題（稱做Ａ）：點(diǎn)Ｍ（x,y）與定點(diǎn)Ｆ′（－c，０）的距離與它到直線l′：x??a2c的距離之比是常數(shù)ca（a＞c＞０），則點(diǎn)Ｍ（x，y）的軌跡方程也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．于是我們引導(dǎo)學(xué)生明確結(jié)論：課本Ｐ．７６例３給出的數(shù)量關(guān)系：定點(diǎn)Ｆ（c，０）、定直線l：x?a2c、常數(shù)

ca（a＞c＞０），以及命題Ａ給出的數(shù)量關(guān)系：定點(diǎn)Ｆ′（－c，０）、定直線l′：x??a2c、常數(shù)

ca（a＞c＞０）均分別是動(dòng)點(diǎn)Ｍ的軌跡方程為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的充要條件，并且，二者是等價(jià)的．接著，我們又引導(dǎo)學(xué)生再次分析本文第２部分所講到的命題（稱為Ｂ）：定點(diǎn)為Ｆ（n，０），定直線為x＝m（m≠n），定比為e

(x?me2?n2（０＜e＜１)，得出的橢圓方程

1?e22e(m?n)(1?e)22)2?y222e(m?n)1?e2?me2?n?0,?讓他們看到當(dāng)且僅當(dāng)?1?e2?1．

?1?e2?0?2即e?2nm?1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Ｍ的軌跡方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．即條件“e?nm?1”是動(dòng)點(diǎn)Ｍ的軌跡方程為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的充要條件．

—3— 在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生自行命題，設(shè)計(jì)出動(dòng)點(diǎn)的條件，使其軌跡方程分別符合下列要求： ①軌跡方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

②軌跡方程為中心在x軸上且短軸平行于y軸的橢圓方程．

從而，讓學(xué)生不但能正確地解命題Ｂ型的問(wèn)題，而且能自行設(shè)計(jì)命題Ｂ型的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)橢圓第二定義的理解、掌握和運(yùn)用達(dá)到新的境界．

—4—

第三篇：橢圓的基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

《橢圓的幾何性質(zhì)（1）》教學(xué)設(shè)計(jì)

信豐二中

鄧麗華

一、教學(xué)目標(biāo)：、知識(shí)掌握目標(biāo)：通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，并能正確作出圖形。、基本技能和一般能力培養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力。、創(chuàng)新素質(zhì)和創(chuàng)新人格的培養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)。、德育目標(biāo)：通過(guò)數(shù)與形的辨證統(tǒng)一，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育，通過(guò)對(duì)橢圓對(duì)稱美的感受，激發(fā)學(xué)生對(duì)美好事物的追求。

二、教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其探究過(guò)程。

三、教學(xué)難點(diǎn)：利用橢圓方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率定義的給出過(guò)程。

四、教材分析：

德育點(diǎn)：在研究性質(zhì)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，敢于發(fā)表個(gè)人見(jiàn)解，培養(yǎng)學(xué)生喜歡探究的情感和態(tài)度。過(guò)對(duì)橢圓對(duì)稱性的體驗(yàn)，使學(xué)生得到美的感受。

創(chuàng)新點(diǎn)：①教學(xué)中不拘泥于教材，改變教材的安排，有利于學(xué)生進(jìn)行探究。在范圍這一性質(zhì)的教學(xué)中，鼓勵(lì)用多種方法推倒，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維；②在反饋訓(xùn)練中，讓學(xué)生自己編擬方程并研究其性質(zhì)。③留研究性作業(yè)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索。

空白點(diǎn)：①研究性過(guò)程中多處留白，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想并根據(jù)方程給予論證②反思性小結(jié)中設(shè)計(jì)表格留空白，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與。

五、教學(xué)過(guò)程、創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)目標(biāo)與內(nèi)容

教師： 2003 年 10 月 15 日是每一個(gè)中國(guó)人為之驕傲的日子（課件展示飛船繞地球運(yùn)行模擬圖），大家還記得這一天嗎？

學(xué)生：神州五號(hào)飛船發(fā)射成功。通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們知道，飛船在變軌前是沿著地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的，如果告訴你飛船的軌道方程，你怎樣作出飛船的軌跡呢？這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是什么？

學(xué)生：已知一個(gè)橢圓的方程，畫出這個(gè)橢圓。

教師：讓學(xué)生拿出預(yù)習(xí)中用描點(diǎn)法畫出 所示的圖形，同時(shí)計(jì)算機(jī)給出作圖過(guò)程，糾正學(xué)生作圖中存在的問(wèn)題后給出：這種作圖方法雖然比較準(zhǔn)確，同學(xué)們通過(guò)作圖體會(huì)到了什么？

學(xué)生：麻煩。

教師：有簡(jiǎn)單的方法嗎？如果有，需要知道什么呢？ 學(xué)生：研究曲線的特點(diǎn)。

教師：對(duì)，如果我們能根據(jù)橢圓的方程，探討出它的幾何特征，那么作圖就很方便了。這節(jié)課我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（引出課題）

教師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的哪些知識(shí)？ 學(xué)生：學(xué)習(xí)了定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。教師：你還記得標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？ 學(xué)生： 或

教師：這節(jié)課就以（a ＞ b ＞ 0）為例來(lái)研究。2、教師點(diǎn)撥、指導(dǎo)，學(xué)生研究、合作、體驗(yàn)（1）對(duì)稱性

教師：（大屏幕展示所示的圖形）請(qǐng)同學(xué)們觀察這個(gè)圖形在 x 軸的上方、下方，y 軸的左側(cè)、右側(cè)有怎樣的關(guān)系呢？（此處是空白點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生思考）

學(xué)生：有對(duì)稱性，關(guān)于 x 軸、y 軸、原點(diǎn)都對(duì)稱。

教師：正確。那么一般的橢圓 是否也具有這種對(duì)稱性，你能根據(jù)方程得到結(jié)論嗎？

學(xué)生： A ：（充分討論后）也有同樣的對(duì)稱性。在 上任取一點(diǎn) P（x,y）則 P 點(diǎn)關(guān)于 x 軸、y 軸和坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是（x,-y）（-x，y）、（-x，-y），而代入方程知這三個(gè)對(duì)稱點(diǎn)都適合方程，即點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸、y 軸和坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍然在橢圓上，可得結(jié)論。

教師：回答得非常正確。

課件展示對(duì)稱過(guò)程后總結(jié)： 所表示的橢圓，坐標(biāo)軸是其對(duì)稱軸，坐標(biāo)原點(diǎn)是其對(duì)稱中心，對(duì)稱中心也叫橢圓的中心，橢圓是有心曲線。做人應(yīng)向橢圓學(xué)習(xí)，做一個(gè)有心之人。

（2）頂點(diǎn)

教師：（大屏幕展示 所表示的圖形）請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察這個(gè)橢圓與坐標(biāo)軸有幾個(gè)交點(diǎn)呢？

學(xué)生 B ：與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn)。

教師：對(duì)，一般的橢圓 與坐標(biāo)軸有幾個(gè)交點(diǎn)呢？ 學(xué)生 B ：同樣是四個(gè)。

教師：你能根據(jù)方程求得四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？（計(jì)算機(jī)給出圖形，橢圓與 x 抽的交點(diǎn)分別是、，與 y 軸的交點(diǎn)分別是、）

學(xué)生 B ：分別令 x=0,y=0，得(-a,0)、（a,0）、（0,-b）（0,b）.教師：回答得很好。這四個(gè)點(diǎn)是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，也是橢圓與其對(duì)稱點(diǎn)的交點(diǎn)。

及時(shí)總結(jié)并給出頂點(diǎn)的定義（強(qiáng)調(diào)是與對(duì)稱軸的交點(diǎn)）。結(jié)合圖形指出長(zhǎng)軸、短軸、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)，點(diǎn)明方程中 a、b 的幾何意義。

教師：（根據(jù)課件中的圖）如果過(guò)、、分別作 y 軸的平行線，過(guò)、分別做 x 軸的平行線，則這四條直線將構(gòu)成----？

學(xué)生：一個(gè)矩形。

教師：橢圓在矩形----？ 學(xué)生：內(nèi)部

教師：正確，這說(shuō)明了什么？

學(xué)生：有的說(shuō)有界，有的說(shuō)有范圍。

教師：指出橢圓是有范圍的，根據(jù)前面求得的、、、的坐標(biāo)，你能說(shuō)出 x、y 的范圍嗎？

學(xué)生 C ：-a ≤ x ≤ a，-b ≤ y ≤ b.教師：完全正確。那么你根據(jù)方程 研究 x、y 的取值范圍嗎？請(qǐng)同學(xué)們想一想，并互相討論討論。（此處既是空白點(diǎn)、又是創(chuàng)新點(diǎn)，學(xué)生能夠動(dòng)腦思考，動(dòng)手實(shí)踐，親身體驗(yàn)，積極地投入到“創(chuàng)新性研究”中，把數(shù)學(xué)的重點(diǎn)放在了學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，而不是獲得一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)果）

（3）范圍

引導(dǎo)學(xué)生用多種方法探究，匯報(bào)研究成果并用實(shí)物投影展示或到黑板板書。學(xué)生 D ：由 利用兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和為 1，結(jié)合不等式知識(shí)得 ≤ 且 ≤，則有-a ≤ x ≤ a，-b ≤ y ≤ b.教師：很好，誰(shuí)還有不同意見(jiàn)？

學(xué)生 E ：利用三角換元，令 θ，θ，θ∈ R。由弦函數(shù)有界可得范圍。教師：這個(gè)想法也不錯(cuò)，誰(shuí)還有不同見(jiàn)解？

學(xué)生 F ：從 中解出，利用 ≥ 0 可得 y 的取值范圍，同樣可得 x 的取值范圍。

教師：這種想法也不錯(cuò)，誰(shuí)還有不同見(jiàn)解？ 此時(shí)學(xué)生陷入深思中，教師及時(shí)點(diǎn)撥，前面我們學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的定義域、植域，這對(duì)你研究橢圓的范圍有何啟示呢？

學(xué)生議論紛紛，有的開(kāi)始動(dòng)筆推導(dǎo)，有的幾個(gè)人一起在商量。

教師：誰(shuí)研究出來(lái)了，或哪個(gè)小組研究出來(lái)了？請(qǐng)到前面給大家講一講。學(xué)生 G ：（實(shí)物展臺(tái)展示）由 則 y= ±，可通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的定義域、值域得范圍。

教師： y= ± 是函數(shù)嗎？

學(xué)生 G ：（思考后）說(shuō)不是。教師：怎么處理呢？

學(xué)生 G ：把 y= 和 y=-分別看作是一個(gè)函數(shù)。教師：正確。往下怎么研究呢？

學(xué)生 G ：先求函數(shù) y= 的定義域、值域。利用前面學(xué)習(xí)過(guò)的代數(shù)函數(shù)求定義域、值域的方法，可得-a ≤ x ≤ a，0 ≤ y ≤ b，同樣得 y= 中-a ≤ x ≤ a，-b ≤ y ≤ 0，于是得到范圍。（課堂響起一片掌聲，表示對(duì)這位同學(xué)的支持、肯定與鼓勵(lì)

教師：前面我們研究了橢圓的對(duì)稱性，誰(shuí)能簡(jiǎn)化學(xué)生 G 的推導(dǎo)過(guò)程呢？ 學(xué)生 H ：老師，我想只需求 y=(0 ≤ x ≤ a)的定義域、值域即可，然后利用對(duì)稱性可得范圍。

教師：很好。教師：通過(guò)前面的探討，我們知道橢圓是有范圍的，即它圍在一個(gè)矩形框內(nèi)。有了前面這幾個(gè)性質(zhì)，我們就可以很快地作出焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的草圖了教師在黑板上示范作圖（先找到標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)，畫出矩形框，光滑曲線連接，并注意對(duì)稱性）

教師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這種作圖方法，在同一坐標(biāo)系下畫出方程 和 所示的橢圓，并思考這兩個(gè)橢圓的形狀有何不同？

學(xué)生 M ：實(shí)物展臺(tái)展示畫圖，指出一個(gè)扁一些，一個(gè)圓一些。教師：（追問(wèn)）圓扁與什么有關(guān)系？（提示學(xué)生注意兩個(gè)方程）學(xué)生 M ：與 b 有關(guān)系。教師：是這樣嗎？

學(xué)生 N ：在 a 不變的情況下與 b 有關(guān)系，b 大則圓，b 小則扁，因此與 a、b 有關(guān)系。教師課件動(dòng)畫展示（a 不變，隨 b 變化，橢圓形狀的變化）印證學(xué)生的猜測(cè)是正確的，同時(shí)提出問(wèn)題：在推導(dǎo)方程中曾令，這又意味著形狀還與什么有關(guān)系呢？

學(xué)生有的說(shuō)與 b、c 有關(guān)，有的說(shuō)與 a、b、c 有關(guān)。（鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)）

教師：在給出橢圓的定義中，大家還記得嗎？影響橢圓形狀的最關(guān)鍵的要素是什么？

學(xué)生：是 a 和 c 教師：下面我們就一起看一下在 a 不變的情況下，隨 b 的變化 c 是如何變化的（動(dòng)畫演示）。從而引出離心率。

（4）離心率

教師在動(dòng)畫演示過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn) a 不變，b 大則 c 小，橢圓較圓，b 小則 c 大，橢圓較扁，特別當(dāng) a=b 時(shí)，c=0 橢圓為圓。教師指出：當(dāng) a 不變，b 大則 c 小，此時(shí) 也變小，學(xué)生通過(guò)觀察指出此時(shí)橢圓較圓，反之較扁，c=0 時(shí)變成了圓。及時(shí)總結(jié)并給出離心率的定義、符號(hào)和范圍及特例。（強(qiáng)調(diào)離心率是焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比，與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)，并引導(dǎo)學(xué)生分析出：固定 a、b、c 中任何一個(gè)量，改變另外兩個(gè)量可得到同樣的結(jié)論，即 e 大則扁，e 小則圓，特別 e=0 時(shí)為圓）

因此離心率是一個(gè)刻畫橢圓圓扁程度的量。（此處是難點(diǎn)，教學(xué)中借助動(dòng)畫演示，結(jié)合教師啟發(fā)引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解離心率的定義及離心率對(duì)橢圓形狀的影響）、鞏固與創(chuàng)新應(yīng)用

請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)一個(gè)焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的幾何性質(zhì)。（此題把主要權(quán)交給學(xué)生，提高學(xué)生的參與意識(shí)）

利用本節(jié)所學(xué)的知識(shí)，說(shuō)出橢圓 的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。（此處也是一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比化歸的思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力，也通過(guò)本題使學(xué)生體驗(yàn)這節(jié)課所學(xué)的性質(zhì)是橢圓自身固有的性質(zhì)與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)）

橢圓(k ＞ 0)的長(zhǎng)軸是短軸的 2 倍，則 k= 如果一個(gè)橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，求橢圓的離心率，（通過(guò)第（3）（4）兩題鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)）、反思與小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、思想方法和研究問(wèn)題的方法三個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)。教師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？體驗(yàn)到了什么？掌握了什么？ 學(xué)生討論、反思。師生合作：

（1）知識(shí)總結(jié)：教師設(shè)計(jì)關(guān)于性質(zhì)的表格，學(xué)生填表，并總結(jié)：記住這些性質(zhì)的關(guān)鍵是抓住兩條線（對(duì)稱軸），一個(gè)框（范圍），七個(gè)點(diǎn)（一個(gè)中心、兩個(gè)焦點(diǎn)、四個(gè)頂點(diǎn)）和用 e 刻畫圓扁。思想方法總結(jié)：本節(jié)課主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想和類比化歸的思想研究性質(zhì)的，平時(shí)學(xué)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。

（2）掌握利用曲線方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，即通過(guò)研究曲線的對(duì)稱性、頂點(diǎn)、范圍、離心率等，這樣就可以從整體上把握曲線了。

六、板書設(shè)計(jì)：

橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1、對(duì)稱性； 4、離心率、頂點(diǎn)； 5、板書學(xué)生推導(dǎo) 3、范圍； 6、作圖

七、教后反思 ：

1、滲透教學(xué)思想方法重在平時(shí) 當(dāng)學(xué)生有一天不再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了，我們給學(xué)生留下的是什么？我想應(yīng)該是學(xué)生遇到具體問(wèn)題時(shí)那種思考問(wèn)題的方式和解決問(wèn)題的方法。本節(jié)課始終是引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形后研究方程，即數(shù)形結(jié)合的思想。華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。”因此在平時(shí)教學(xué)中，要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。、信息技術(shù)走進(jìn)課堂 在離心率這一性質(zhì)的教學(xué)中，充分利用多媒體手段，以輕松愉悅的動(dòng)畫演示，化解了知識(shí)的難點(diǎn)。

不足：在對(duì)具體例子 的觀察分析中，設(shè)計(jì)的問(wèn)題過(guò)于具體，可能束縛了學(xué)生的思維，還沒(méi)有放開(kāi)。還有就是少講多學(xué)方面也是我今后教學(xué)中努力的方向。

感悟：新課堂是活動(dòng)的課堂，討論、合作交流可課堂，德育教育的課堂，應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)的課堂，因此新教育理念、新課改下的新課堂需要教師和學(xué)生一起來(lái)培育。面對(duì)新課改教師惟有主動(dòng)適應(yīng)，創(chuàng)造新生。

現(xiàn)代教育技術(shù)既作為教的工具，也作為學(xué)的工具。

第四篇：橢圓幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖

篇一：教學(xué)設(shè)計(jì)-橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》說(shuō)教學(xué)設(shè)計(jì)

一.教材分析 1.地位和作用

本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（選修2-1）第二章第2節(jié)，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，這節(jié)課是結(jié)合橢圓圖形發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì),再利用橢圓的方程探討橢圓的幾何性質(zhì),是數(shù)與形的完美結(jié)合，讓學(xué)生在了解如何用曲線的方程研究曲線的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，充分認(rèn)識(shí)到“由數(shù)到形，由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化，體會(huì)了數(shù)與形的辨證統(tǒng)一，也從中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，受到了數(shù)學(xué)文化熏陶，為后繼研究解析幾何中其它曲線的幾何性質(zhì)奠定了重要基礎(chǔ)。2.教材的內(nèi)容安排和處理

考慮到橢圓的性質(zhì)有較多拓展，我將本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)來(lái)完成，本課為第一課時(shí)，主要介紹橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）及其初步運(yùn)用，在解析幾何中，利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是第一次，因此可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況及認(rèn)知特點(diǎn)，改變了教材中原有研究順序，引導(dǎo)學(xué)生先從觀察課前預(yù)習(xí)所作的具體圖形入手，按照通過(guò)圖形先發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，在利用方程去說(shuō)明性質(zhì)的研究思路，循序漸近進(jìn)行探究。在教學(xué)中不僅要注重對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的理解和運(yùn)用，而且更應(yīng)重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行這種研究方法的思想滲透，通過(guò)教師合理的情境創(chuàng)設(shè)，師生的共同討論研究，學(xué)生的親身實(shí)踐體驗(yàn)，使學(xué)生真正意義上理解在解析幾何中，怎樣用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)，鞏固數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，達(dá)到切實(shí)地用數(shù)學(xué)分析解決問(wèn)題的能力。3.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：知識(shí)上，要掌握如何利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征研究橢圓的幾何性質(zhì)；學(xué)生的體驗(yàn)上，需要關(guān)注學(xué)生在探究橢圓性質(zhì)的過(guò)程中思維的過(guò)程展現(xiàn)，如思維角度和思維方法。

教學(xué)難點(diǎn)；利用曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率定義的給出過(guò)程。

二.學(xué)生的學(xué)情心理分析

我的任教班是普班,大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱, 獨(dú)立分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力不是很強(qiáng), 但是他們的思維活躍，參與意識(shí)強(qiáng)烈,又具備了高一學(xué)習(xí)階段的知識(shí)基礎(chǔ)，因此依據(jù)以上特點(diǎn),在教學(xué) 設(shè)計(jì)方面，我打算借助多媒體手段，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，結(jié)合圖形啟發(fā)引導(dǎo)，組織學(xué)生合作探究等形式，都符合我班學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，為他們創(chuàng)設(shè)了一個(gè)自然和諧的課堂氛圍。

三.教學(xué)目標(biāo)

本著新課程標(biāo)準(zhǔn)的貫徹原則,結(jié)合我的學(xué)生的實(shí)際情況，我制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

知識(shí)與技能：

掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),并能初步運(yùn)用其探索方法研究問(wèn)題。

過(guò)程與方法：

通過(guò)學(xué)生親身的實(shí)踐體驗(yàn)，利用橢圓的方程討論橢圓的幾何性質(zhì)，經(jīng)歷由形到數(shù),由數(shù)到形的

思想跨越，感知用代數(shù)的方法探究幾何性質(zhì)的過(guò)程，感受“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”的數(shù)學(xué)真諦，進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)中的重要地位。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

在自然和諧的教學(xué)氛圍中，通過(guò)師生間的、生生間的平等交流，塑造學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作，鉆研探究的品質(zhì)和態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生研究問(wèn)題的能力；通過(guò)對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生得到美的感受，體驗(yàn)到探究之后的成功與喜悅。四.教學(xué)方法與手段

課堂教學(xué)應(yīng)有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的形成與發(fā)展，使學(xué)生扎實(shí)地學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，真正的學(xué)以置用，為此我制定了本節(jié)課的教學(xué)方法和手段如下：

教學(xué)方法：

我采用的教學(xué)方法主要是情境激趣法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、合作探究法等等。

（一）情境激趣法：注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際的聯(lián)系，同時(shí)也發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，開(kāi)闊他們的視野。

（二）引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：符合教學(xué)原則，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性與積極性。

（三）合作探究法：1.體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí) 2.使學(xué)生體驗(yàn)到團(tuán)結(jié)協(xié)作的力量以及探索發(fā)現(xiàn)的成就，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

教學(xué)手段：

新課標(biāo)要求,立體幾何的教學(xué)要直觀感知,操作確認(rèn)。對(duì)于本節(jié)內(nèi)容,我也采用了這樣的思路。

本節(jié)借助多媒體輔助手段及實(shí)物投影，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，并通過(guò)圖形引導(dǎo)學(xué)生形象直觀地體驗(yàn)由數(shù)到形的過(guò)渡，便于學(xué)生觀察、認(rèn)知、探求、發(fā)現(xiàn)、歸納。

五.學(xué)法指導(dǎo)

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，教師應(yīng)注意指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究式學(xué)習(xí)和體驗(yàn)式學(xué)習(xí)（興趣是前提）。例如導(dǎo)入，通過(guò)“神六”號(hào)這樣一個(gè)人們關(guān)注的話題引入，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣。再如，這節(jié)課是學(xué)生第一次利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，為了解決這一難點(diǎn)，在課前設(shè)計(jì)中改變了教材中原有研究順序，讓學(xué)生從觀察一個(gè)具體橢圓圖形入手，從觀察到對(duì)稱性這一宏觀特征開(kāi)始研究，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)的積極性，使他們進(jìn)行自主探究與合作交流，親身體驗(yàn)幾何性質(zhì)的形成與論證過(guò)程，變靜態(tài)數(shù)學(xué)為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)。

教學(xué)中也突出多媒體輔助知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展和突破重、難點(diǎn)的優(yōu)勢(shì)，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的過(guò)程與方法的掌握，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用。

六.教學(xué)過(guò)程

這是本節(jié)課教學(xué)過(guò)程的流程圖,我將本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)為五大環(huán)節(jié),特點(diǎn)是以知識(shí)與技能為載體，過(guò)程與方法為主線，情感、態(tài)度與價(jià)值觀為目標(biāo)的設(shè)計(jì)原則，突出多媒體這一教學(xué)手段在本節(jié)課輔助知識(shí)產(chǎn)生，發(fā)展和突破重難點(diǎn)的優(yōu)勢(shì)。

篇二：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

哈工大附中 閆曉麗

教材： 人民教育出版社a版選修1—1 【教學(xué)目標(biāo)】 1.知識(shí)目標(biāo)：

(1).使學(xué)生掌握橢圓的性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)正確地作出橢圓草圖；掌握橢圓中 a、b、c的幾何意義及相互關(guān)系；

(2)通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生知道在解析幾何中是怎樣用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)的，逐步領(lǐng)會(huì)解析法（坐標(biāo)法）的思想。(3)能利用橢圓的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。2.能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決 實(shí)際問(wèn)題的能力。

3.德育目標(biāo)：(1)通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究活動(dòng)，親歷知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，使學(xué)生領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)涵 的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，體驗(yàn)探索中的成功和快樂(lè)，使學(xué)生在探索中喜歡數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)。(2)通過(guò)“神舟7號(hào)”飛天圓夢(mèng)，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)之情。

(3)培養(yǎng)學(xué)生既能獨(dú)立思考，又能積極與他人合作交流的意識(shí)和勇于探索創(chuàng)新的精神。

【教學(xué)重點(diǎn)】橢圓性質(zhì)的探索過(guò)程及性質(zhì)的運(yùn)用。

【教學(xué)難點(diǎn)】利用曲線方程研究橢圓性質(zhì)的方法及離心率的概念。

【教學(xué)方法】發(fā)現(xiàn)探究式

【教學(xué)組織方式】學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流、師生共同探究相結(jié)合。

【教學(xué)工具】多媒體課件、實(shí)物投影儀。

【教學(xué)過(guò)程】

一．創(chuàng)設(shè)情境

教師：請(qǐng)同學(xué)們看大屏幕（課件展示“神舟 七號(hào)”飛船在變軌前繞地球運(yùn) 行的模擬圖）： 2008.9.25，是我國(guó)航天史上一個(gè)非常重要的日子，“神舟 七號(hào)”載人飛船成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了幾代中國(guó)人遨游太空的夢(mèng)想,這是我們中華民族的驕傲。我們知道，飛船繞地運(yùn)行了十四圈，在變軌前的四圈中，是沿著以地球中 心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的。如果告訴你飛船飛離地球表面最近和最遠(yuǎn)的距 離，即近地點(diǎn)距地面的距離和遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面的距離，如何確定飛船運(yùn)行的軌道方 程？要想解決這一實(shí)際問(wèn)題，就有必要對(duì)橢圓做深入的研究，這節(jié)課我們就一起 探求橢圓的性質(zhì)。（引出課題）

教師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（學(xué)生回答）。

二．探索研究 1.范圍

教師：同學(xué)們繼續(xù)觀察橢圓，如果分別過(guò)a1、a2作y軸的平行線，過(guò)b1、b2作x軸的平行線（課件展示），同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生能答出：橢圓圍在一個(gè)矩形內(nèi)。

教師補(bǔ)充完整：橢圓位于四條直線x=±a, y=±b所圍成的矩形里，說(shuō)明橢圓 是有范圍的。x2y2 教師：下面我們想辦法再用方程2+2=1(a>b>0)來(lái)證明這一結(jié)論的正確ab 性。啟發(fā)學(xué)生，用方程討論圖形的范圍就是確定方程中x、y的取值范圍。

從方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，師生共同分析，給出證明過(guò)程。x2y2 由2+2=1，利用兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識(shí)得，ab x2≤a2且y2≤b2,則有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。2．對(duì)稱性的發(fā)現(xiàn)與證明

教師：橢圓的圖形給人們以視覺(jué)上的美感（課件展示橢圓），如果我們沿焦 點(diǎn)所在的直線上下對(duì)折，沿兩焦點(diǎn)連線的垂直平分線左右對(duì)折，大家猜想橢圓可能有什么性質(zhì)？（學(xué)生動(dòng)手折紙，課前教師要求學(xué)生把上節(jié)學(xué)習(xí)橢圓定義時(shí)畫的橢圓拿來(lái)。）

學(xué)生們基本上能發(fā)現(xiàn)橢圓的軸對(duì)稱性。

教師：除了軸對(duì)稱性外，還可能有什么對(duì)稱性呢？

稍作提示容易發(fā)現(xiàn)中心對(duì)稱性。

教師：這僅僅是由觀察、猜想得到的結(jié)果，怎樣用方程證明它的對(duì)稱性？ 師生討論后，需要建立坐標(biāo)系，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。不妨建立焦點(diǎn)在xx2y2 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，它的方程就是2+2=1。ab 教師：這節(jié)課就以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例來(lái)研究橢圓的性質(zhì)。教師：這樣建立的坐標(biāo)系對(duì)稱軸恰好重合于坐標(biāo)軸，我們先證橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱。

為了證明對(duì)稱性，先作如下鋪墊：（一起回顧）教師：在第一冊(cè)學(xué)過(guò)，曲線關(guān)于y軸對(duì)稱是指什么呢？

學(xué)生：曲線上的每一點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上。

教師：要證曲線上每一點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上，只要證明-----學(xué)生：曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上。

在學(xué)生嘗試進(jìn)行問(wèn)題解決的過(guò)程中，當(dāng)他們難以把握問(wèn)題解決的思維方向，難以建立起新舊知識(shí)的聯(lián)系時(shí)，這就需要教師適時(shí)進(jìn)行啟發(fā)點(diǎn)撥。

教師：同學(xué)們閱讀教材中橢圓對(duì)稱性的證明過(guò)程，仔細(xì)體會(huì)并思考“為什么把x換成-x時(shí)，方程不變，則橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱”。

請(qǐng)一位學(xué)生講解橢圓對(duì)稱性的證明過(guò)程，以此來(lái)訓(xùn)練學(xué)生表述的邏輯性、完整性和推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。

教師對(duì)學(xué)生的證明進(jìn)行評(píng)價(jià)。

教師：用類似的方法可以證明橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。課件展示x2y2 對(duì)稱性并總結(jié)：方程2+2=1表示的橢圓，坐標(biāo)軸是其對(duì)稱軸，原點(diǎn)是其對(duì)稱ab 中心.從而橢圓有兩條互相垂直的對(duì)稱軸,有一個(gè)對(duì)稱中心(簡(jiǎn)稱中心).教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一環(huán)節(jié)進(jìn)行反思，即通過(guò)建立坐標(biāo)系，用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)，這種方法我們今后經(jīng)常用到。

投影顯示下圖及問(wèn)題

問(wèn)題：圖中的橢圓有對(duì)稱軸和中心嗎？

指導(dǎo)學(xué)生思考討論后獲取共識(shí)：坐標(biāo)系是用來(lái)研究曲線的重要工具，而橢圓的對(duì)稱性是橢圓本身固有的性質(zhì)，無(wú)論橢圓在坐標(biāo)系的什么位置，它都有兩條互相垂直的對(duì)稱軸，有一個(gè)中心，與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)。（此問(wèn)題也為后面研究平移變換埋下伏筆）。3.頂點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)與確定

教師：我們研究曲線，常常需要根據(jù)曲線上特殊點(diǎn)的位置來(lái)確定曲線的位置。教師提問(wèn)：你認(rèn)為橢圓上哪幾個(gè)點(diǎn)比較特殊？

由學(xué)生觀察容易發(fā)現(xiàn)，橢圓上存在著四個(gè)特殊點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)就是橢圓與坐標(biāo) 軸的交點(diǎn)，同時(shí)也是橢圓與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)。

教師啟發(fā)學(xué)生與一元二次函數(shù)的圖像（拋物線）的頂點(diǎn)作類比，并給出橢圓的頂點(diǎn)定義。

教師：能根據(jù)方程確定這四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

由學(xué)生自主探究,求出四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)。即令x=0,得 y=±b，因此b1(0,-b), b2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此a1(-a,0), a2(a,0)。

結(jié)合圖形指出長(zhǎng)軸、短軸、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)，半焦距，點(diǎn)明方程中a、b和c的幾何意義和數(shù)量關(guān)系。

由學(xué)生探究得出橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)f2到長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)a1 , a2的距離分別為a+c 和a-c。教師指出，這在解決天體運(yùn)行中的有關(guān)實(shí)際問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到。4．離心率

教師：我們?cè)趯W(xué)習(xí)橢圓定義時(shí)，用同樣長(zhǎng)的一條細(xì)繩畫出的橢圓形狀一樣 嗎？

同學(xué)們能回答出：不一樣，有的圓一些，有的扁一些。

請(qǐng)同學(xué)們思考：橢圓的圓扁程度究竟與哪些量有關(guān)呢？

課件動(dòng)畫演示

此時(shí)學(xué)生展開(kāi)討論，可能有的說(shuō)與a、c有關(guān)，也可能說(shuō)與a、b有關(guān)等等。通過(guò)觀察演示實(shí)驗(yàn)，化抽象為具體，引導(dǎo)學(xué)生思考。

教師引導(dǎo)學(xué)生從演示實(shí)驗(yàn)觀察到由于橢圓位于直線x=±a,y=±b圍成的矩形 里，矩形的變化對(duì)橢圓形狀的影響。

矩形越狹長(zhǎng)，橢圓越扁；矩形越接近于正方形，橢圓越接近于圓；當(dāng)矩形變?yōu)檎叫螘r(shí)，即a=b時(shí),橢圓變?yōu)閳A。

即當(dāng)比值bb越小，橢圓越扁；比值越大，橢圓越接近于圓。aa bcbc2a2?c2a2?c2 由于 ===，所以當(dāng)越大時(shí)，越小，橢圓?()aaaaaa2 cbc越小時(shí)，越大，橢圓越接近于圓。把比值e=叫橢圓的離心率，aaa 分析出離心率的范圍：0＜e＜1。

結(jié)論：橢圓在-a＜x＜a，-b＜x＜b內(nèi)，離心率e越大，它就越扁；離心率e越接近于0，它就越接近于圓。所以說(shuō)離心率是描述橢圓圓扁程度的量。

bc由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映橢圓的圓扁程度，為什aa c么定義是橢圓的離心率呢？因?yàn)閍、c這兩個(gè)量是橢圓定義中固有的，是決定a c橢圓形狀最關(guān)鍵的要素，隨著今后的學(xué)習(xí)可以看到還有更重要的幾何意義。a 三．鞏固與創(chuàng)新應(yīng)用 越扁；當(dāng)

例1求橢圓 16x2?25y2?400 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率和頂點(diǎn)，并畫出它的草圖。

本題采用講練結(jié)合的方式。前一部分由學(xué)生口述求解過(guò)程，后一部分由教師 介紹畫橢圓草圖的方法（考慮到畫草圖對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較實(shí)用）。

解：由于a=5, b=4，c=25?16=3 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=10，短軸長(zhǎng)2b=8 c3 離心率e== a5 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)教師：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖，方法如下：（課件展示）

首先確定橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，其次畫出表示范圍的矩形框，然后畫出橢圓在第一象限的部分，最后根據(jù)對(duì)稱性用平滑的曲線將四個(gè)頂點(diǎn)連成一個(gè)橢圓的基本圖形。

教師提醒學(xué)生：畫圖時(shí)注意橢圓的對(duì)稱性和頂點(diǎn)附近的平滑性。

學(xué)生根據(jù)畫草圖的方法畫出上述方程表示的橢圓。

教師說(shuō)明，如果需要比較準(zhǔn)確地畫出橢圓，可以按教材例1那樣，用描點(diǎn)法 畫出橢圓在第一象限的部分，再根據(jù)對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓（要求學(xué)生課下閱讀教材中的描點(diǎn)法作圖）。x2y2 練習(xí)：如果把例1中的橢圓方程改為+=1，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心1625 率和頂點(diǎn)有什么變化。

此處是一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想解決問(wèn)題的能力，也通過(guò)與上題

做比較，使學(xué)生體會(huì)到橢圓的性質(zhì)是其本身固有的，是客觀存在的，與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)。

學(xué)生的回答可能會(huì)因?yàn)殚L(zhǎng)軸位置發(fā)生變化而導(dǎo)致頂點(diǎn)坐標(biāo)出錯(cuò)，教師要予以糾正。（此題用實(shí)物投影展示或由學(xué)生到黑板板書）

例2 我國(guó)發(fā)射的“神舟七號(hào)”飛船在變軌前是沿以地球的中心f2為一個(gè)焦 點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的。已知它的近地點(diǎn)a（離地面最近的點(diǎn)）距地面約為200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)b（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面約為350km，地球半徑為6371km并且f2、a、b在同一直線上，求飛船運(yùn)行的軌道方程。（結(jié)果精確到0.01km）

設(shè)置本題的主要意圖是:第一,為增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；第二，為滿足中等及中等以上層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

師生共同分析：先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。（求神舟五號(hào)飛船的軌道方程，就是求橢圓的方程）。

教師：求橢圓的方程又需要先做什么呢？（建立坐標(biāo)系）。怎樣建系？（以過(guò)a、b的直線為x軸，f2為橢圓的右焦點(diǎn)，記f1為左焦點(diǎn)x2y2 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（課件上作圖、建系）則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+2=1 ab(a>b>0)。

下面確定a、b的值，題中提供的信息是近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)到地面的距離以及地球的半徑，由這些條件我們可以知道些什么呢？

學(xué)生對(duì)照?qǐng)D形認(rèn)真思考，相互討論由學(xué)生得出解法。

｜f2 a｜=6371+200，｜f2 b｜=6371+350 又∵｜f2 a｜=｜o a｜-｜of2｜=a-c 因此,有 a-c=｜o a｜-｜of2｜=｜f2 a｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o b｜+｜of2｜=｜f2b｜=6371+350=6721 解得 a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 x2y2 因此，飛船的軌道方程為+=1 664626645.582 學(xué)生可能出現(xiàn)的另一種解法：

由2a =｜ab｜=｜bn｜+｜nm｜+｜ma｜ =350+2×6371+200 ∴ a =6646 c =｜of2｜=｜o a｜-｜f2 a｜ =6646-6371-200=75 以下做法同上。

計(jì)算過(guò)程由學(xué)生用計(jì)算器求得。

教師最后課件展示：用計(jì)算機(jī)畫出飛船運(yùn)行的軌跡。

四．總結(jié)提煉

教師：通過(guò)這節(jié)課學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？（教師引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和方法兩方面進(jìn)行歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思自己學(xué)習(xí)過(guò)程的意識(shí)）

篇三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教案

課題：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)內(nèi)容是橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，是在學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程之后展開(kāi)的，它是繼續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容起到一個(gè)鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承上啟下的作用，是發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的好素材。本教案的設(shè)計(jì)遵循啟發(fā)式的教學(xué)原則，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)能力。

教學(xué)目標(biāo)：了解用方程的方法研究圖形的對(duì)稱性；理解橢圓的范圍、對(duì)稱性及對(duì)稱軸，對(duì)稱中心、離心率、頂點(diǎn)的概念；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)例題了解橢圓的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)初步了解橢圓的第二定義． 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法。

教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

二過(guò)程與方法目標(biāo)

（1）復(fù)習(xí)與引入過(guò)程

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點(diǎn)，在本節(jié)中不僅要注意通過(guò)對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對(duì)這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實(shí)數(shù)的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質(zhì)得到橢圓的對(duì)稱性；③先定義圓錐曲線頂點(diǎn)的概念，容易得出橢圓的頂點(diǎn)的坐標(biāo)及長(zhǎng)軸、短軸的概念；④通過(guò)p48的思考問(wèn)題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．

〖板書〗橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．

（2）新課講授過(guò)程

（i）通過(guò)復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，知道對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來(lái)研究橢圓的幾何性質(zhì)． 提問(wèn)：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來(lái)研究？

通過(guò)對(duì)曲線的范圍、對(duì)稱性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)及其他特征性質(zhì)來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)．

（ii）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) y2x2 ①范圍：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，2?1?2?0，進(jìn)一步得：?a?x?a，同理可ba 得：?b?y?b，即橢圓位于直線x??a和y??b所圍成的矩形框圖里；

②對(duì)稱性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y這三個(gè)方面來(lái)研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒(méi)有，從而得到橢圓是以x軸和y軸為對(duì)稱軸，原點(diǎn)為對(duì)稱中心；

③頂點(diǎn)：先給出圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對(duì)稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)．因此橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，由于橢圓的對(duì)稱軸有長(zhǎng)短之分，較長(zhǎng)的對(duì)稱軸叫做長(zhǎng)軸，較短的叫做短軸；

④離心率： 橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e?c叫做橢圓的離心率（0?e?1），a，b?當(dāng)e?1時(shí)，c?a，?圓圖形越扁?橢?0?當(dāng)e?0時(shí)，c?0，b?a；? ． ?橢圓越接近于 圓

（iii）例題講解與引申、擴(kuò)展

例1 求橢圓16x?25y?400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 分析：由橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出a,b,c．引導(dǎo)學(xué)生

用橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的定義即可求相關(guān)量．

擴(kuò)展：已知橢圓mx?5y?5m?m? 0?的離心率為e?22225 求m的值．

解法剖析：依題意，m?0,m?5，但橢圓的焦點(diǎn)位置沒(méi)有確定，應(yīng)分類討論：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，即0?m? 5時(shí)，有a?b?c?，∴?，得

m?3；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，即m?5時(shí)，有a?b?c?，∴?25?m?． 3 例2 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分．過(guò)對(duì)對(duì)稱的截口bac是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)f1上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)f2上，由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)f1發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)f2．已知bc?f1f2，f1b?2.8cm，f1f2?4.5cm．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口bac所在橢圓的方程． x2y2 解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2?2?1，算出a,b,c的ab 值；此題應(yīng)注意兩點(diǎn)：①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則；②關(guān)于a,b,c的近似值，原則上在沒(méi)有注意精確度時(shí)，看題中其他量給定的有效數(shù)字來(lái)決定．

引申：如圖所示，“神舟”截人飛船發(fā)射升空，進(jìn)入預(yù)定

軌道開(kāi)始巡天飛行，其軌道是以地球的中心f2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢 圓，近地點(diǎn)a距地面200km，遠(yuǎn)地點(diǎn)b距地面350km，已知

地球的半徑r?6371km．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出橢圓的軌跡方程．

例3如圖，設(shè)m?x,y?與定點(diǎn)f?4,0?的距離和它到直線l：x?25的距離的比是常數(shù)4 4，求點(diǎn)m的軌跡方程． 5 分析：若設(shè)點(diǎn)m?x,y?，則

mf?，到直線l：x?25的距離4d?x?25，則容易得點(diǎn)m的軌跡方程． 4 引申：（用《幾何畫板》探究）若點(diǎn)m?x,y?與定點(diǎn)f?c,0? a2 的距離和它到定直線l：x?的距離比是常數(shù)c a2cx?則點(diǎn)m的軌跡方程是橢圓．其中定點(diǎn)f?c,0?是焦點(diǎn)，定直線l：e??a?c?0?，ca a2 x??．相應(yīng)于f的準(zhǔn)線；由橢圓的對(duì)稱性，另一焦點(diǎn)f???c,0?，相應(yīng)于f?的準(zhǔn)線l?：(3)c 小結(jié)

1．知識(shí)總結(jié)：橢圓的幾何性質(zhì) 2．思想方法總結(jié)：

教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當(dāng)補(bǔ)充、歸納、點(diǎn)評(píng)。

第五篇：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

<<橢圓的幾何性質(zhì)>>教學(xué)設(shè)計(jì)

山西省運(yùn)城中學(xué)

趙彥明

一、教學(xué)分析：

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

橢圓是生活中常見(jiàn)的曲線，是學(xué)生學(xué)習(xí)第二章所接觸到的第一個(gè)重要的圓錐曲線，研究它的幾何性質(zhì)，對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線有著重要的指導(dǎo)作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎(chǔ)。

（二）教學(xué)對(duì)象分析

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)。按照學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，改變了教材中原有安排順序，引導(dǎo)學(xué)生從觀察課前預(yù)習(xí)所作的圖形入手，從分析對(duì)稱開(kāi)始，循序漸進(jìn)進(jìn)行探究。

（三）教學(xué)環(huán)境分析

因?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容比較抽象，再者學(xué)校條件的有限所以利用電腦模擬動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng),增強(qiáng)直觀性,激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、數(shù)學(xué)想像能力和抽象思維能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能

掌握橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，學(xué)會(huì)由已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的幾何性質(zhì)的一般方法與步驟。

（二）過(guò)程與方法

通過(guò)實(shí)際活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納的能力；培養(yǎng)分析、抽象、概括的能力，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)；經(jīng)歷幾何問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程，感受解析幾何研究問(wèn)題的思路和方法。

（三）情感與態(tài)度

通過(guò)有關(guān)橢圓幾何性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生研究橢圓的幾何性質(zhì)的積極性。

三、教學(xué)重難點(diǎn)及教具

（一）教學(xué)重點(diǎn)：由標(biāo)準(zhǔn)方程分析出橢圓的幾何性質(zhì)

（二）教學(xué)難點(diǎn)：橢圓離心率幾何意義的理解

（三）教學(xué)用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片，學(xué)生每人一個(gè)橢圓形紙板（同桌相同），直尺

四、教學(xué)方法過(guò)程及整合點(diǎn)

（一）教學(xué)方法：講授法、啟發(fā)法、討論法、情境教學(xué)法、小組合作交流

（二）教學(xué)過(guò)程： １.創(chuàng)設(shè)情境，欣賞傾聽(tīng)

這節(jié)課我們繼續(xù)研究有關(guān)橢圓的相關(guān)知識(shí)，在進(jìn)入本節(jié)課的知識(shí)之前，我們先看一段視頻短片：

（整合點(diǎn)：播放中央電視臺(tái)新聞中關(guān)于國(guó)家大劇院外部景觀介紹的視頻短片）﹝設(shè)計(jì)意圖:提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣﹞

提出問(wèn)題：為什么國(guó)家大劇院最終會(huì)選擇了橢球形設(shè)計(jì)呢？ ﹝設(shè)計(jì)意圖:激發(fā)學(xué)生的求知欲，引入課題﹞

教師指出其根本原因是橢球形非常美觀，這源于橢圓的美！那么橢圓到底美在何處？它又具有哪些特性？讓我們一起來(lái)研究一下——橢圓的幾何性質(zhì)，以方程x2y2??1(a?b?0)為研究對(duì)象。a2b2（板書）12.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)

2．探究問(wèn)題，觀察發(fā)現(xiàn)

從哪幾方面研究研究橢圓的幾何性質(zhì)呢?學(xué)生紛紛討論之后老師確定從橢圓的 2

對(duì)稱性、頂點(diǎn)、范圍、離心率來(lái)探究。探究一：橢圓的對(duì)稱性

問(wèn)題1：你能找到橢圓紙板的中心嗎？

﹝設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生直觀感知，操作確認(rèn)，更深入認(rèn)識(shí)橢圓的對(duì)稱性﹞

學(xué)生活動(dòng):用手中的紙板折紙——把橢圓紙板折疊，使兩部分完全重合，兩條折痕的交點(diǎn)，即為橢圓紙板的中心，兩條折痕為對(duì)稱軸。實(shí)物演示部分可以由學(xué)生同桌兩兩一組共同完成（整合點(diǎn)：學(xué)生通過(guò)實(shí)物投影儀展示活動(dòng)成果，教師通過(guò)幾何畫板演示 “橢圓的對(duì)稱性.gsp”）

得出結(jié)論：橢圓具有對(duì)稱性。

①兩條折痕為對(duì)稱軸——橢圓是軸對(duì)稱圖形，它關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱； ②實(shí)物演示：橢圓繞中心旋轉(zhuǎn)180?后與原橢圓重合——橢圓也是中心對(duì)稱圖形，這時(shí)坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心。

問(wèn)題2：從方程看如何判斷橢圓的對(duì)稱性？

﹝設(shè)計(jì)意圖:經(jīng)歷幾何問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程，感受解析幾何研究問(wèn)題的思路和方法。﹞

學(xué)生討論：設(shè)P（x，y），則P點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，則P點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)也在曲線上，即（x，-y）滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。問(wèn)題3：通過(guò)上面研究同學(xué)們歸納出方程要滿足什么條件曲線才具有這些對(duì)稱性？

﹝設(shè)計(jì)意圖: 為培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納問(wèn)題的能力。為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。﹞

學(xué)生討論得出：以-x代x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；以-y代y，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；同時(shí)以-x代x、以-y代 y，方程不變，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

（板書）橢圓的對(duì)稱性：橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。探究二：橢圓的頂點(diǎn)

問(wèn)題4：橢圓與它的對(duì)稱軸有交點(diǎn)嗎？若有，那么橢圓與它的對(duì)稱軸有幾個(gè)交點(diǎn)？你能求出交點(diǎn)的坐標(biāo)嗎?

學(xué)生易得：橢圓與對(duì)稱軸有交點(diǎn)，有四個(gè)交點(diǎn)。問(wèn)題5：從方程看如何求出橢圓的頂點(diǎn)？ ﹝設(shè)計(jì)意圖:體驗(yàn)用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題過(guò)程﹞ 令x=0則有y=b或y=-b;同理可得x=a或x=-a

22教師指出：其實(shí)，我們把橢圓x2?y2?1(a?b?0)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

abA1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)就叫做橢圓的頂點(diǎn)。

其中線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。顯然長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a，短軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)，此時(shí)長(zhǎng)軸在x 軸上。（整合點(diǎn)：教師通過(guò)ppt演示 “橢圓的頂點(diǎn)”）

（板書）橢圓的頂點(diǎn)：A1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)。探究三：橢圓的范圍

問(wèn)題6：請(qǐng)同學(xué)們拿起手中的作業(yè)紙，思考如果在一張矩形紙上作橢圓，要求所作橢圓盡可能最大，應(yīng)如何做？

﹝設(shè)計(jì)意圖: 讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作更深入認(rèn)識(shí)橢圓的范圍﹞

學(xué)生活動(dòng):分小組討論，并動(dòng)手解決本問(wèn)題，盡量使回答準(zhǔn)確、精練。得出結(jié)論：橢圓是有范圍的。

教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，將具體實(shí)例抽象成數(shù)學(xué)圖形，數(shù)學(xué)問(wèn)題，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)來(lái)研究：如下圖，﹝設(shè)計(jì)意圖:利用“橢圓的頂點(diǎn).ppt”課件展示，使學(xué)生直觀

感性認(rèn)識(shí)橢圓范圍所在區(qū)域﹞

學(xué)生得出：橢圓位于直線x??a,y??b所圍成的矩形內(nèi)。

問(wèn)題7：如何從數(shù)的角度（也就是方程）來(lái)驗(yàn)證我們剛才從直觀（也就是形）得來(lái)的結(jié)論呢？

﹝設(shè)計(jì)意圖:體驗(yàn)用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想﹞

（整合點(diǎn)：用多種方法探究，匯報(bào)研究成果并用實(shí)物投影展示或到黑板板書。）學(xué)生可能有如下方法: 方法1：由且，則有

利用兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識(shí)得

。那么它的范圍就是直線所圍成的區(qū)域。

方法2：從中解出，利用可得y的取值范圍，同樣可得x的取值范圍。

方法3：把和分別看作是一個(gè)函數(shù)，只需求范圍。的定義域、值域即可，然后利用對(duì)稱性可得(板書)教師指出橢圓的范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b 5

探究四：橢圓的離心率

橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離心率問(wèn)題。為了能將抽象的問(wèn)題形象化，利于學(xué)生的理解與接受，設(shè)計(jì)如下的課堂活動(dòng)，讓全體學(xué)生參與到課堂中來(lái)，在自己的探究中獲得學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，學(xué)習(xí)的快樂(lè)，并且可以使不同程度的學(xué)生都有所收獲。

問(wèn)題8：請(qǐng)同學(xué)們舉起手中的橢圓，大家觀察它們的形狀有何不同？圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來(lái)刻畫橢圓“扁”的程度呢？

﹝設(shè)計(jì)意圖:在同學(xué)們參與到課堂活動(dòng)中的時(shí)候，在自己舉起自己手的橢圓的時(shí)候希望得到大家的關(guān)注想與大家交流，同時(shí)，在其他同學(xué)們舉起手中的橢圓的時(shí)候，他們也會(huì)更加去關(guān)注其他同學(xué)手中的橢圓的形狀，進(jìn)而與自己手中的橢圓進(jìn)行比較。在比較的過(guò)程中就會(huì)發(fā)現(xiàn)橢圓形狀的變化，引起思考。﹞

有的同學(xué)手中的橢圓形紙板扁長(zhǎng)，有的同學(xué)手中的橢圓形紙板稍圓，有的同學(xué)手中的橢圓更接近于圓形。

本過(guò)程中，由具體的同學(xué)們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平面直角坐標(biāo)系中橢圓形狀的變化的過(guò)程中，幾何畫板的強(qiáng)大功能會(huì)發(fā)揮巨大的作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時(shí)，還可以讓學(xué)生觀察到橢圓中a,b,c三個(gè)參量的變化，進(jìn)而對(duì)橢圓的離心率充分了解。觀看課件演示，加深對(duì)離心率問(wèn)題的直觀認(rèn)識(shí)。

(整合點(diǎn)：展示“橢圓的離心率.gsp”幾何畫板，取橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)不變，拖動(dòng)兩焦點(diǎn)改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學(xué)生觀察出橢圓形狀的變化。)

教師指出：在剛才的演示中，我們發(fā)現(xiàn)在橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)不變的前提下，兩個(gè)焦點(diǎn)離開(kāi)中心的程度不一樣，可以用離心率來(lái)描述

1）概念：橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比。2）定義式：?jiǎn)栴}9：那么離心率與橢圓的扁圓程度有什么關(guān)系呢？

﹝設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過(guò)觀察動(dòng)畫更容易找出橢圓圖形隨e的變化而變化的規(guī)律，他到突破難點(diǎn)的效果﹞

再一次演示幾何畫板。學(xué)生發(fā)現(xiàn)不變時(shí)，c變大，即離心率變大時(shí)，橢圓越扁；c變小即離心率變小時(shí)，橢圓越圓。

從式子上看：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時(shí)

時(shí)的特例。，此時(shí)也可認(rèn)為線段為橢圓也可認(rèn)為圓為橢圓在橢圓變扁，直至成為極限位置線段在時(shí)的特例。

(板書)橢圓的離心率：3．反思構(gòu)建，性質(zhì)應(yīng)用，1）求橢圓9x2＋25y2＝225的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，離心率、交點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)。2）下列各組橢圓中，哪一個(gè)更接近于圓？

x2y2(1)4x?9y?36與??12520x2y222(2)9x?4y?36與??11216223）請(qǐng)你動(dòng)手用尺子測(cè)量一下你手中的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，寫出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

由于每個(gè)同學(xué)手里的橢圓長(zhǎng)軸與短軸長(zhǎng)度不一樣，因此在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生都熱情非常高的參與到這個(gè)測(cè)量的活動(dòng)中來(lái)，進(jìn)而寫出其手中的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

本過(guò)程兩個(gè)方面考察學(xué)生對(duì)于橢圓及其幾何性質(zhì)的掌握,應(yīng)用2)更是突出了對(duì)學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力和觀察能力的培養(yǎng)。4．課堂小結(jié)，競(jìng)爭(zhēng)合作

請(qǐng)你談?wù)勍ㄟ^(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)習(xí)到了什么?并且請(qǐng)各組成員互相評(píng)價(jià)。5．首尾呼應(yīng), 解決問(wèn)題

我們對(duì)于橢圓的幾何性質(zhì)的探索由來(lái)已久，現(xiàn)在橢圓的幾何性質(zhì)也正在被廣泛的應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中，國(guó)家大劇院是其中最典型的代表之一。當(dāng)然,國(guó)家大劇 7

院之所以會(huì)選擇了橢球形的設(shè)計(jì)，還有其他方面的考慮，例如很多科技方面的因素,感興趣的同學(xué)可以自己課下查找一些資料,對(duì)這個(gè)問(wèn)題全面了解。6．課后作業(yè)，鞏固提高

1）求出你的橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)，離心率，并通過(guò)測(cè)量將焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)在你的橢圓上；

2）完成焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)的研究。

探究活動(dòng)：課后查閱資料嘗試找到橢圓的幾何性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)生活中的其他應(yīng)用。