第一篇：定義新運算教案
四年級奧數教案
第一講
第一課時 教學時間：
教學內容：認識定義新運算。定義新運算的基本題型。教學目標：
1、讓學生了解定義新運算的基本模式。
2、讓學生學會解決簡單定義新運算的基本題型。教學重點：使學生學會運用定義新運算解決基本題型。教學難點：掌握定義新運算的解題方法。教學過程：
一、導入
我們學過的常用運算有：+、－、×、÷等，在這一講中，我們將定義一些新的運算。對這些新的運算符號同學們可能會感到陌生，但是解題時只在抓住新運算的運算法則，問題就迎刃而解了。
二、新授
1、教學例1。
【例1】定義一種運算△： a△b=3×a－2×b,(1)求3△2，2△3；
（2）這個運算“△”有交換律嗎？
（3）求（17△6）△2，17△（6△2）；
（4）這個運算“△”有結合律嗎？
【分析】解這類題的關鍵是抓住新運算的本質，本題的本質是：用運算符前面的3倍減去運算符號后面數的2倍?！窘狻浚?）3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0（2）由（1）的運算結果可知“△”沒有交換律。
（3）要計算（17△6）△2，先計算括號內的數，有：
17△6＝3×17－2×6＝39 再計算第二步：39△2＝3×39－2×2＝113 所以（17△6）△2＝113 對于17△（6△2）可同樣計算: 6△2=3×6－2×2=14 17△14=3×17－2×14=23 所以17△（6△2）=23(4)由(3)的運算結果可知“△”也沒有結合律。
2、學習例2。
【例2】定義新的運算a◎b=a×b＋a＋b（1）求6◎2，2◎6；
（2）求（1◎2）◎3，1◎（2◎3）；（3）這個運算有交換律和結合律嗎？
1、同桌之間互相交流，找出運算法則。
2、學生在練習本上嘗試練習。
3、集體訂正。【分析與解】
（1）6◎2＝6×2＋6＋2＝20 2◎6＝2×6＋2＋6＝20（2）（1◎2）◎3＝（1×2＋1＋2）◎3 ＝5◎3 ＝5×3＋5＋3
＝23 1◎（2◎3）＝1◎（1×2＋1＋2）
＝1◎11 ＝1×11＋1＋11 ＝23（3）由（1）的運算結果6◎2＝2◎6＝20，可知◎滿足交換律。
由（2）的運算結果（1◎2）◎3＝1◎（2◎3）＝23，可知◎滿足結合律。
三、鞏固練習。
1、對于數a、b定義運算“※”為a※b＝（a＋3）×(b－5)，求5※（6※7）的值。
2、對于數x、y定義兩種運算“?！奔啊啊酢比缦拢? x＃y＝6×x＋5×y，x□y=3×x×y，求（2＃3）□4的值。
四、課堂小結：通過這節課的學習，你有什么新的收獲，和你的同學交流一下。
五、作業《思維訓練》第10頁的1—3題。教學后記： 第二課時 教學時間：
教學內容：定義新運算
（二）教學目標：在上一節課的基礎上進一步學習了解有關定義新運算，使學生明白一種運算實際就是兩個數與一個數的一種對應方法。
重、難點：
重 點：使學生明白對應法則不同就是不同的運算。
難點：通過法則讓學生理解每個法則都有一個惟一確定的數與它們對應 教學過程：
一、復習
設a,b都表示數，規定a△b=3×a-2×b。（1）求4△3，3△4。這個運算“△”有交換律嗎？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。這個運算“△”有結合律嗎？
二、新授
1、學習例3 【例3】對于任意的兩個整數a、b，定義兩種運算“※”，“◎”： a※b=a＋b－1,a◎b=a×b－1，計算4◎［（6※8）※（3※5）］的值。（1）引導學生審題。分析題意。
（2）同桌之間互相交流，在練習本上嘗試練習。（3）師詳細講解。
【解】4◎［（6※8）※（3※5）］
＝4◎［（6＋8－1）※（3+5－1）］
＝4◎[13※7] ＝4◎[13+7-1] ＝4◎19 ＝4×19－1 ＝75 【例4】定義x*y=a×x＋2×y,并且已知5*6＝6*5，求a是幾？
1、讓學生讀題，理解題意。
2、讓學生根據定義新運算的基本模式和解題方法試著解答。
3、詳細講解
【解】根據題意，5*6＝5×a＋2×6=5a＋12 6*5=6×a＋2×5=6a＋10 且5a＋12=6a＋10 可以解出a=2
四、鞏固練習。
定義運算“*”為a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5（2）12*（3*），（12*3）*4（3）這個運算“*”有交換律、結合律嗎？
五、課堂小結：這節課你有什么收獲？
六、作業：《思維訓練》的第10頁5～7題。教學后記：
第三、四課時
教學時間： 教學內容：鞏固練習
教學目的：使學生正確熟練地解決新運算定義問題，培養學生理解能力的多樣化和解題的靈活性。
教學過程：
一、專項練習。
一、專項練習。
1、對于數a、b定義運算“※”為a※b＝6×a－2×b，求4※（5※6）的值。
2、對于數x、y定義兩種運算“?！奔啊啊酢比缦拢? x＃y＝8×x－4×y，x□y=6×x×y，求（5＃7）□8的值。
3、定義運算“*”為a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5
（2）12*（3*），（12*3）*4
（3）這個運算“*”有交換律、結合律嗎？
4、設a,b都表示數，規定a△b=3×a-2×b。
（1）求4△3，3△4。這個運算“△”有交換律嗎？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。這個運算“△”有結合律嗎？
（3）如果已知5△b=5，求b。
5、設a▽b=a×b+a-b,求5▽8。
第二篇：定義新運算教案
定義新運算
知識要點
基本概念：定義一種新的運算符號（“﹡”“?！薄啊鳌钡龋?，新的運算符號包含有多種基
本（混合）運算。
基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按
照基本運算過程、規律進行運算。關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉化前，是不適合各種運算定律的。
典題解析
例1：設a、b都表示數，規定：a△b表示a的3倍減去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。試計算：（1）5△6；（2）6△5；（3）5△（5△6）
練習：
1，設a、b都表示數，規定：a○b=6×a－2×b。試計算3○4。
2，設a、b都表示數，規定：a*b=3×a＋2×b。試計算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）
3，如果a※b=6×a+7×b，那么7※8=？ 10※5=？
例2：對于兩個數a與b，規定a⊕b=a×b＋a＋b，試計算6⊕2。
練習：1，對于兩個數a與b，規定：a⊕b=a×b－（a＋b）。計算3⊕5。
2，對于兩個數A與B，規定：A☆B=A×B÷2。試算6☆4。
3，規定：a＃b=2×a＋a×b，那么1＃2＃3=？
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規律計算3△5。
練習：1，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，計算：3▽4。
2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），計算8▽4。
3、規定：1 △ 5=1×2×3×4×5 ； 6 △ 4=6×7×8×9 ；求4 △ 6=？
例
4、如果 1※2＝1＋11；2※3＝2＋22＋222；3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 計算（3※2）×5。
練習：1，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此規律計算5！。
2，規定:6※2=6+66=72；2※3=2+22+222=246；1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=
例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此規律計算：7▽3。
練習：1，有一個數學運算符號“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此規律計算：8▽4。
2、有一種數學符號◎，使下列算式成立：,8◎4=28 ； 7◎6=27 ；10◎8=38 ；求：12◎8=？
3，如果：4※5=18，9※10=38，11※22=66，20※20=80，那么199※200=？
綜合練習
1、設m、n是兩個數，規定m※n=4×n－（m+n）÷2，這里加減乘除是通常的四則運算符號，括號的作用也是通常的含義?！切碌倪\算符號。計算：3※（4※6）＝（）
2、有一種數學運算符號◎，是下列算式成立：2◎4=8 5◎3=13 9◎7=25，那么6◎4=（育苗杯小學數學通訊賽預賽）
3、□表示一種新的數學運算符號，已知2□3=2+3+4，7□2=7+8 3□5=3+4+5+6+7，按此規則n□8=68，那么n的值是多少？（第九屆“祖沖之杯”數學邀請賽）
4、如果：4＃5=13, 5＃5=15，12＃10=34那么2007＃2008＝（）。
5、x、y表示兩個數，規定新運算·※及◎如下：x※y=4×x+3×y x◎y=2×x×y。求（3※4）◎5的值。
6、※是一種新運算符號，規定a※b=a×c+b×d，（其中c、d為常數），如5※7=5×c+7×d，如果1※2=5，1※3=7；那么：6※1000的計算結果是多少？（第四屆小學“希望杯”全國數學邀請賽題）
第三篇：四年級定義新運算測試題
四年級定義新運算測試題
姓名:
分數:
1、找規律，求得數 2★10=6 4★6=5 1★17=9 2★4=？
2、、對于兩個數A與B，規定：A☆B=A×B×2。試算5☆8。
3、設a、b都表示數，規定： a⊙b = a×3+b×2。試計算：5△6，6△7
4、設a、b都表示數，規定：a*b=3×a＋2×b。試計算：4*（5*6）
5、有一個數學運算符號“□”，使下列算式成立：6□2=6×7，4□3=4×5×6，計算：4□3。
第1講
第四篇：小學奧數1-3-1 定義新運算．教師版
定義新運算
教學目標
定義新運算這類題目是在考驗我們的適應能力，我們大家都習慣四則運算，定義新運算就打破了運算規則，要求我們要嚴格按照題目的規定做題．新定義的運算符號，常見的如△、◎、※等等，這些特殊的運算符號，表示特定的意義，是人為設定的．解答這類題目的關鍵是理解新定義，嚴格按照新定義的式子代入數值，把定義的新運算轉化成我們所熟悉的四則運算。
知識點撥
一
定義新運算
基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。
基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規律進行運算。
關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。
②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。
我們學過的常用運算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5
2×3＝6
都是2和3，為什么運算結果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應法則不同.可見一種運算實際就是兩個數與一個數的一種對應方法，對應法則不同就是不同的運算.當然，這個對應法則應該是對任意兩個數，通過這個法則都有一個唯一確定的數與它們對應.只要符合這個要求，不同的法則就是不同的運算.在這一講中，我們定義了一些新的運算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運算不相同.二
定義新運算分類
1.直接運算型
2.反解未知數型
3.觀察規律型
4.其他類型綜合例題精講
模塊一、直接運算型
【例
1】
若表示，求的值。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
A*B是這樣結果這樣計算出來：先計算A＋3B的結果，再計算A＋B的結果，最后兩個結果求乘積。
由
A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：
5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）
＝（5＋21）×12
＝
26×12
＝
312
【答案】
【鞏固】
定義新運算為a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
所求算式是兩重運算，先計算括號，所得結果再計算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】
【鞏固】
設△，那么，5△______，(5△2)
△_____.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】,【答案】
【鞏固】、表示數，表示，求3(68)
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
已知a,b是任意自然數,我們規定:
a⊕b=
a+b-1，那么
.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
表示
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
規定運算“☆”為：若a>b，則a☆b=a＋b；若a=b，則a☆b=a－b＋1；若a
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，四年級，二試
【解析】
【答案】
【例
2】
“△”是一種新運算，規定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d為常數)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的計算結果是________。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，六年級，二試
【解析】
1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，可得c=1,d=2
6△1000＝6×c＋1000×d=2006
【答案】
【鞏固】
對于非零自然數a和b，規定符號的含義是：ab＝（m是一個確定的整數）。如果14＝23，那么34等于________。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，六年級，二試
【解析】
根據14=23，得到，解出m=6。所以。
【答案】
【例
3】
對于任意的整數x與y定義新運算“△”：,求2△9。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】北京市，迎春杯
【解析】
根據定義
于是有
【答案】
【鞏固】
“*”表示一種運算符號，它的含義是：，已知，求。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【解析】
根據題意得，所以
【答案】
【例
4】
[A]表示自然數A的約數的個數.例如4有1,2,4三個約數,可以表示成[4]=3.計算:
=
.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
因為有個約數,所以[18]=6,同樣可知[22]=4,[7]=2.原式.【答案】
【鞏固】
x為正數,
.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
<19>為不超過19的質數,有2,3,5,7,11,13,17,19共8個.<93>為不超過的質數,共24個,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【答案】
【鞏固】
定義運算“△”如下:對于兩個自然數a和b,它們的最大公約數與最小公倍數的和記為a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根據上面定義的運算,18△12=
.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】
【例
5】
我們規定：符號表示選擇兩數中較大數的運算，例如：53=35=5，符號△表示選擇兩數中較小數的運算，例如：5△3=3△5=3，計算：的結果是多少？
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
【答案】
【鞏固】
規定：符號“&”為選擇兩數中較大數的運算，“◎”為選擇兩數中較小數的運算。計算下式：[（7◎3）&
5]×[
5◎（3
&
7）]
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
新定義運算進行計算時如果遇到有括號的，要先計算小括號里的，再計算中括號里的。
[（7◎6）&
5]×[
5◎（3
&
9）]＝[
&
5]
×[
5◎9
]＝6×5＝30
【答案】
【鞏固】
我們規定：AB表示A、B中較大的數，A△B表示A、B中較小的數。則
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，3年級，決賽
【解析】
根據題目要求計算如下：
【答案】
【例
6】
如果規定a※b
=13×a-b
÷8，那么17※24的最后結果是______。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，4年級，1試
【解析】
17※24=13×17-24÷8=221-3=218
【答案】
【鞏固】
若用G（a）表示自然數a的約數的個數，如：自然數6的約數有1、2、3、6，共4個，記作G（6）=4，則G(36)+G(42)=。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，4年級，1試
【解析】
36的約數有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的約數有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有。
【答案】
【鞏固】
如果,那么。
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，4年級，1試
【解析】
2&5=2+5÷10=2.5
【答案】
【例
7】
“華”、“杯”、“賽”三個字的四角號碼分別是“2440”、“4199”和“3088”，將“華杯賽”的編碼取為244041993088，如果這個編碼從左起的奇數位的數碼不變，偶數位的數碼改變為關于9的補碼，例如：0變9，1變8等，那么“華杯賽”新的編碼是________.【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】華杯賽，六年級，決賽
【解析】
偶數位自左至右依次為4、0、1、9、0、8，它們關于9的補碼自左至右依次為5、9、8、0、9、1，所以“華杯賽”新的編碼是：254948903981
【答案】
【例
8】
羊和狼在一起時，狼要吃掉羊.所以關于羊及狼，我們規定一種運算，用符號△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰勝狼.所以我們規定另一種運算，用符號☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，這個運算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由于羊能戰勝狼，當狼與羊在一起時，它便被羊趕走而只剩下羊了。對羊或狼，可以用上面規定的運算作混合運算，混合運算的法規是從左到右，括號內先算.運算的結果或是羊，或是狼．求下式的結果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】華杯賽，復賽
【解析】
因為狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼無論前面結果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼總等于狼，所以
原式=狼
【答案】狼
【例
9】
一般我們都認為手槍指向誰，誰好像是有危險的，下面的規則同學們能看懂嗎
規定：警察小偷警察，警察小偷小偷．
那么：（獵人小兔）（山羊白菜）
．
【考點】定義新運算之直接運算
【難度】2星
【題型】計算
【關鍵詞】學而思杯，4年級
【解析】
誰握著槍就留下誰，結果應該是
白菜
【答案】白菜
模塊二、反解未知數型
【例
10】
如果a△b表示,例如3△4,那么,當a△5=30時,a=
.【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
依題意,得,解得.【答案】
【鞏固】
規定新運算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,則x=
.【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
因為4※1=,所以x※(4※1)=
x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【答案】
【鞏固】
如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,當x⊙5比5⊙x大5時,x=
【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
根據題意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【答案】
【鞏固】
對于數a、b、c、d，規定，<
a、b、c、d
>＝2ab－c＋d，已知<1、3、5、x
>＝7，求x的值。
【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
根據新定義的算式，列出關于x的等式，解出x即可。
將1、3、5、x代入新定義的運算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根據已知<1、3、5、x
>＝7，故1＋x＝7，x＝6。
【答案】
【例
11】
定義新運算為，⑴求的值；⑵若則x的值為多少？
【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
⑴因為，所以
⑵，所以x的值為4.4.【答案】⑴
⑵
【鞏固】
對于任意的兩個自然數和，規定新運算：，其中、表示自然數.如果，那么等于幾？
【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
方法一：由題中所給定義可知，為多少，則就有多少個乘數．，即：602，則；，即33,所以．
方法二：可以先將（x3）看作一個整體，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，即33，所以．
【答案】
【例
12】
定義為與之間（包含、）所有與奇偶性相同的自然數的平均數，例如：，．在算術的方格中填入恰當的自然數后可使等式成立，那么所填的數是多少？
【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】4星
【題型】計算
【解析】，所以方格中填的數一定大于80．如果填的是個奇數，那么只能是；如果填的是個偶數，那么這個數與60的平均數應該是80，所以只能是．因此所填的數可能是100和101．
【答案】和
【鞏固】
如有#新運算，#表示、中較大的數除以較小數后的余數.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，則可以是________（小于50）
【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】4星
【題型】計算
【關鍵詞】101中學，入學測試
【解析】
這是一道把數論、定義新運算、倒推法、解方程等知識結合在一起的綜合題.可采用枚舉與篩選的方法.第一步先把（21#）看成一個整體.對于21#5，這個式子，一方面可把21作被除數，則等
于（21-5）16的大于5的約數，有兩個解8與16；另一方面可把21作除數，這樣滿足要求的數為26，47…，即形如21N+5這樣的數有無數個.但必須得考慮，這些解都是由所
代表的式子（21#）運算得來，而這個運算的結果是必須小于其中的每一個數的，也就是余數必須
比被除數與除數都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.現在只剩下8，與16.第二步求：（21#）8與（21#）16.對于（21#）8可分別解得，把21作被除數時：13，把21作除數時為：29，50，…形如21N+8的整數（N是正整數）.對于（21#）16，把21作被除數無解，21作除數時同理可得：37，58……所有形如21N+16
這樣的整數.（N是正整數）.所以符合條件的答案是13,29,37．
【答案】13,29,37．
【例
13】
已知、滿足，；其中表示不大于的最大整數，表示的小數部分，即，那么。
【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】學而思杯，6年級，第3題
【解析】
根據題意，是整數，所以也是整數，那么，由此可得，所以。
【答案】
【例
14】
規定：A○B表示A、B中較大的數，A△B表示A、B中較小的數．若（A○5＋B△3）×（B○5+
A△3）＝96，且A、B均為大于0的自然數，A×B的所有取值為
．（8級）
【考點】定義新運算之反解未知數
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽
【解析】
分類討論，由于題目中所要求的定義新運算的符號是較大的數與較大的數，則對于A或者B有3類不同的范圍，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。對于B也有類似，兩者合起來共有3×3=9種不同的組合，我們分別討論。
1)
當A＜3，B＜3，則（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，無解；
2)
當3≤A＜5，B＜3時，則有（5+B）×（5+3）=96，顯然無解；
3)
當A≥5，B＜3時，則有（A+B）×（5+3）=96，則A+B=12.所以有A=10，B=2，此時乘積為20或者A=11,B=1,此時乘積為11。
4)
當A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，無解；
5)
當3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，無解；
6)
當A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，則A=9.此時B=3后者B=4。則他們乘積有27與36兩種；
7)
當A＜3，B≥5時，有（5+3）×（B+A）=96。此時A+B=12。A與B的乘積有11與20兩種；
8)
當3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此時有B=9.不符；
9)
當A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。則A=5,B=9，乘積為45。
所以A與B的乘積有11,20,27，36,45共五種
【答案】11,20,27,36,45
模塊三、觀察規律型
【例
15】
如果
1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
計算
（3※2）×5。
【考點】定義新運算之找規律
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
通過觀察發現：a※b中的b表示加數的個數，每個加數數位上的數字都由a組成，都由一個數位，依次增加到b個數位。（5※3）×5
＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】
【鞏固】
規定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=
【考點】定義新運算之找規律
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.【答案】
【例
16】
有一個數學運算符號，使下列算式成立：，，求
【考點】定義新運算之找規律
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
通過對，，這幾個算式的觀察，找到規律：，因此
【答案】
【鞏固】
規定△,計算：（2△1）（11△10）______.【考點】定義新運算之找規律
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
這個題目直接套用定義給的公式非常麻煩，需要套用10次，然后再求和．但是我們注意到要求的10項值有一個共同的特點就是在要我們求得這個式子中b＝a－1，所以，我們不妨把b＝a－1代入原定義．
a△b就變成了a△b．所以2△1，3△2，……，3△2，則原式＋＋＋…＋．
這里需要補充一個公式：．
【答案】
【例
17】
一個數n的數字中為奇數的那些數字的和記為，為偶數的那些數字的和記為，例如，．
；＝
．
【考點】定義新運算之找規律
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽
【解析】
可以換個方向考慮。數字1在個位出現10次，在十位出現10次，在百位出現1次，共21次。數字2到9中的每一個在個位出現10次，在十位也出現10次，共20次。
所以，1到100中所有奇數數字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶數數字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】
模塊四、綜合型題目
【例
18】
已知：10△3=14，8△7=2，△，根據這幾個算式找規律，如果
△=1，那么=
.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】華杯賽，五年級，決賽
【解析】
規律是
a△b=(a－b)×2,所以
△x=，即
【答案】
【例
19】
如果、、是3個整數，則它們滿足加法交換律和結合律，即
⑴；⑵。
現在規定一種運算“*“，它對于整數
a、b、c、d
滿足：。
例：
請你舉例說明，“*“運算是否滿足交換律、結合律。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，四年級，二試
【解析】
(2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)
所以“*”滿足交換律
[(2,1)*
(6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)*
(4,3)=
(89,47)
(2,1)*[
(6,5)*(4,3)]=(2,1)
*
(39,9)=
(87,69)
所以“*”不滿足結合律
【答案】
“*”滿足交換律
“*”不滿足結合律
【例
20】
用表示的小數部分，表示不超過的最大整數。例如：記，請計算的值。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，四年級，二試
【解析】
代入計算結果分別為：0.4，1，0，1
【答案】0.4，1，0，1
【例
21】
在計算機中，對于圖中的數據(或運算)的讀法規則是：先讀第一分支圓圈中的，再讀與它相連的第二分支左邊的圓圈中的，最后讀與它相連的第二分支右邊的圓圈中的，也就是說，對于每一個圓圈中的數據(或運算)都是按“中→左→右“的順序。如：圖A表示：2+3，B表示2+3×2－1。圖C中表示的式子的運算結果是________。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，四年級，二試
【解析】
“教研龍”認為第2個圖最上面的圓圈應該有個2，原題卻沒有。第3個圖從上到下第3行第3個圈為2，第四個圈為42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】
【例
22】
表示成;表示成.試求下列的值:
(1)
(2)
(3);
(4)如果x,y分別表示若干個2的數的乘積,試證明:.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
(1);
(2);
(3)因為,所以;
(4)略
【答案】(1)
(2)81
(3)
(4)
令則..【例
23】
對于任意有理數x,y,定義一種運算“※”，規定:x※y=,其中的表示已知數,等式右邊是通常的加、減、乘運算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),則m的數值是
_________。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
由題設的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得,所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得
解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【答案】
【鞏固】
x、y表示兩個數，規定新運算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中
m、n、k均為自然數，已知
1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
x、y表示兩個數，規定新運算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中
m、n、k均為自然數，已知
1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析
我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求（1△2）*3的值，首先我們要計算1△2，根
據“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計算出來了，我們設1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義：
a*3=ma+3n，在只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值.因此
要計算（1△2）*
3的值，我們就要先求出
k、m、n的值.通過1*2
=5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4=64求出
k的值.因為1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因為m、n均為自然數，所以解出：，（舍去）
①當m=1，n=2時：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.②當m=3，n=1時：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
有36k=64，解出，這與k
是自然數矛盾，因此m=3，n=1，這組值應舍去。
所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.【答案】
【例
24】
對于任意的兩個自然數和，規定新運算：，其中、表示自然數.⑴求1100的值；⑵已知1075，求為多少？⑶如果（3）2121，那么等于幾？
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
⑴1100
⑵x1075,解得x3
⑶方法一：由題中所給定義可知，b為多少，則就有多少個加數．，即：602121，則x360；，即19360,所以x19．
方法二：可以先將（x3）看作一個整體y，那么就是y2121，y2,所以y60，那么也就有x360，即19360，所以x19．
【答案】
【鞏固】
兩個不等的自然數a和b,較大的數除以較小的數,余數記為a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8級）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
(1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我們不知道11和x哪個大(注意,x≠11),即哪個作除數,哪個作被除數,這樣就要分兩種情況討論.1)
x<11,這時x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因為x應大于余數2),所以x=3或9.2)
x>11,這時11除x余2,這說明x是11的倍數加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解為x=3,9,13.(3)這個方程比(2)又要復雜一些,但我們可以用同樣的方法來解.用y表示19☉x,不管19作除數還是被除數,19☉x都比19小,所以y應小于19.方程y☉19=5,說明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.當y=7時,分兩種情況解19☉x=7.1)
x<19,此時x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)
x>19,此時19除x余7,x是19的倍數加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45.當y=14時,分兩種情況解19☉x=14.1)
x<19,這時x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,這是不可能的.2)x>19,此時19除x余14,這就表明x是19的倍數加14,因為x<50,所以x=19+14=33.總之,方程(19☉x)☉19=5有四個解,x=12,26,33,45.【答案】(1)；；
(2)
x=3,9,13.(3)
x=12,26,33,45.【例
25】
設a,b是兩個非零的數,定義a※b.(1)計算(2※3)※4與2※(3※4).(2)如果已知a是一個自然數,且a※3=2,試求出a的值.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
(1)按照定義有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※.(2)由已知得①
若a≥6,則≥2,從而與①矛盾.因此a≤5,對a=1,2,3,4,5這5個可能的值,一一代入①式中檢查知,只有a=3符合要求.【答案】(1)
(2※3)※4；2※(3※4).(2)
a=3
【鞏固】
定義運算“⊙”如下:
對于兩個自然數a和b,它們的最大公約數與最小公倍數的差記為a⊙b.比如:10和14,最小公倍數為70,最大公約數為2,則10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)說明,如果c整除a和b,則c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,則c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
(1)為求12⊙21,先求出12與21的最小公倍數和最大公約數分別為84,3,因此12⊙21=84-3=81,同樣道理5⊙15=15-5=10.(2)略
(3)由于運算“⊙”沒有直接的表達式,解這個方程有一些困難,我們設法逐步縮小探索范圍.因為
6與x的最小公倍數不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之間,只有30是6的倍數,可見
6和x的最小公倍數是30,因此它們的最大公約數是30-27=3.由“兩個數的最小公倍數與最大公約數的積=這兩個數的積”,得到.所以.【答案】(1)；
(2)
如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數,則c整除a,b的最大公約數,顯然c也整除a,b最小
公倍數,所以c整除最小公倍數與最大公約的差,即c整除a⊙b.如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數,再由c整除a⊙b推知,整除a,b的最大公約數,而這個最大公約數整除b,所以
c整除b.(3)
【鞏固】
“⊙”表示一種新的運算符號，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此規則，如果n⊙868，那么，n
____.【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
因為從已知條件可歸納出的運算規則：⊙表示幾個連續自然數之和，⊙前面的數表示第一個加數，⊙后面的數表示加數的個數，于是，即
.【答案】
【例
26】
喜羊羊喜歡研究數學，它用計算器求個正整數的值。當它依次按了得到數字。而當它依次按時，驚訝地發現得到的數值卻是。這時喜羊羊才明白計算器先做除法再做加法。于是，她依次按，得到了正確的結果為
。（填出所有可能情況）
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第14題
【解析】，則，則，則，或，或
【答案】或
【例
27】
國際統一書號ISBN由10個數字組成，前面9個數字分成3組，分別用來表示區域、出版社和書名，最后一個數字則作為核檢之用。核檢碼可以根據前9個數字按照一定的順序算得。如：某書的書號是ISBN
7-107-17543-2，它的核檢碼的計算順序是：
①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；
②207÷11＝18……9；
③11－9＝2。這里的2就是該書號的核檢碼。
依照上面的順序，求書號ISBN-7-303-07618-□的核檢碼。
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】希望杯，六年級，二試
【解析】
7×10＋3×9＋0×
8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；
。
所以該書號的核檢碼是2.【答案】
【例
28】
如圖2一只甲蟲從畫有方格的木板上的A點出發，沿著一段一段的橫線、豎線爬行到B，圖1中的路線對應下面的算式：.請在圖2中用粗線畫出對應于算式：的路線．
【考點】定義新運算之綜合題
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】2003年，希望杯
【解析】
如圖3所示，通過圖1分析知道向上前進一格要加上1，向下前進一格要減1，向左前進一格要減去2，向右前進一格要加上2.【答案】
第五篇：5第1講 定義新運算教師用
第1講 定義新運算
（一）我們已經學習過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數學中最基本的運算，它們的意義、符號及運算律已被同學們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的運算及其符號，在中、小學課本中沒有統一的定義及運算符號，但學習討論這些新運算，對于開拓思路及今后的學習都大有益處。
例1 對于任意數a，b，定義運算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。
分析與解：根據題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
根據以上的規定，求10△6的值。
3，x>=2，求x的值。
分析與解：按照定義的運算，<1，2，3，x>=2，x=6。
由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應避免使用課本上明確定義或已經約定俗成的符號，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止發生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運算符號使用“*”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。
分析與解：按新運算的定義，符號“⊙”表示求兩個數的平均數。
四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。
按通常的規則從左至右進行運算。
分析與解：從已知的三式來看，運算“”表示幾個數相加，每個加數各數位上的數都是符號前面的那個數，而符號后面的數是幾，就表示幾個數之和，其中第1個數是1位數，第2個數是2位數，第3個數是3位數??按此規定，得
35=3+33+333+3333+33333=37035。
從例5知，有時新運算的規定不是很明顯，需要先找規律，然后才能進行運算。
例6 對于任意自然數，定義：n！=1×2×? ×n。
例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+?+100！的個位數字是幾？
分析與解：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24，5！=1×2×3×4×5=120，6！=1×2×3×4×5×6=720，??
由此可推知，從5！開始，以后6！，7！，8！，?，100！的末位數字都是0。
所以，要求1！+2！+3！+?+100！的個位數字，只要把1！至4！的個位數字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個位數字是3。
例7 如果m，n表示兩個數，那么規定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
解：3¤（4¤6）¤12
=3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12
=3¤19¤12
=[4×19-（3+19）÷2]¤12
=65¤12
=4×12-（65+12）÷2 =9.5。
練習1
1.對于任意的兩個數a和b，規定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。
2.已知a3.已知a
b表示a除以3的余數再乘以b，求13b表示（a-b）÷（a+b），試計算：（54的值。3）
（10
6）。
4.規定a◎b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8◎2的值。5.假定m◇n表示m的3倍減去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.對于任意的兩個數P，Q，規定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定義： a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（4△3）△（2b）。
9.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，??
求（44）÷（33）的值。
第2講 定義新運算
（二）例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結果。但是，根據四則運算的法則，我們可以先把新運算“※”化簡，再求結果。
a※b=（a+b）-（a-b）
=a+b-a+b=2b。
所以，9※2=2×2=4。
由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。
例2 定義運算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數，k為常數。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。問：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？
（2）當k取什么值時，對于任何不同的數a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新運算“⊙”符合交換律？
分析與解：（1）首先應當確定新運算中的常數k。因為5⊙2=3×5+5×5×2+k×2
=65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運算是：a⊙b=3a+5ab+4b。
8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。
因為244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。
（2）要使a⊙b=b⊙a，由新運算的定義，有
3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。
對于兩個任意數a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
當新運算是a⊙b=3a+5ab+3b時，具有交換律，即 a⊙b=b⊙a。
例3 對兩個自然數a和b，它們的最小公倍數與最大公約數的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍數是70，最大公約數是2，那么10☆14=70-2=68。
（1）求12☆21的值；
（2）已知6☆x=27，求x的值。
分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；
（2）因為定義的新運算“☆”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數代入表達式求x，只能用推理的方法。
因為6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6與x的最大公約數（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數[6，x]只能是28，29，30，33。這四個數中只有 30是 6的倍數，所以 6與x的最小公倍數和最大公約數分別是30和3。因為a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。
例4 a表示順時針旋轉90°，b表示順時針旋轉180°，c表示逆時針旋轉90°，d表示不轉。定義運算“◎”表示“接著做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。
分析與解： a◎b表示先順時針轉90°，再順時針轉180°，等于順時針轉270°，也等于逆時針轉90°，所以a◎b=c。
b◎c表示先順時針轉180°，再逆時針轉90°，等于順時針轉90°，所以b◎c=a。
c◎a表示先逆時針轉90°，再順時針轉90°，等于沒轉動，所以c◎a=d。
對于a，b，c，d四種運動，可以做一個關于“◎”的運算表（見下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是c◎b的結果。因為運算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結果。
例5 對任意的數a，b，定義：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。
（1）求f（5）-g（3）的值；
（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；
（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
解：（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；
（2）f（g（2））+g（f（2））
=f（2×2）+g（2×2+1）
=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；
（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。
練習2
2.定義兩種運算“※”和“△”如下：
a※b表示a，b兩數中較小的數的3倍，a△b表示a，b兩數中較大的數的2.5倍。
比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。
計算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。
4.設m，n是任意的自然數，A是常數，定義運算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。試確定常數A，并計算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內所作的旋轉運動：
a表示順時針旋轉240°，b表示順時針旋轉120°，c表示不旋轉。
運算“∨”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。
6.對任意兩個不同的自然數a和b，較大的數除以較小的數，余數記為a73=1，529=4，4
20=0。
b。比如
（1）計算：19982000，（519）19，5（195）；
（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。
7.對于任意的自然數a，b，定義：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。
（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；
（2）已知f（g（x））=8，求x的值。
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