第一篇：11.1平面內點的坐標教案(2課時)大全

11．1平面上點的坐標（（2）上電影院看電影，電影票上至少要有幾個數據才能確定你的位置？（3）在教室里，怎樣確定一個同學的位置？

（二）觀察交流，構建新知

觀察、交流、思考，回答教科書

引導觀察：如左圖中點P可以這樣表示：由P 向x軸作垂線，垂足M在x軸上的坐標是-2，點P向y軸作垂線，垂足N在y軸的坐標是3，于是就說點P的橫坐標是-2，縱坐標3，把橫坐標寫在縱坐標前面記作（-2，3），即P點坐標（-2，3）。引導練習：寫出點A、B、C的坐標。學生相互交流，得出正確答案。(強調點的坐標的有序性和正確規范書寫)教師提問：已知平面內任意一點，可以寫出它的坐標；反之，給出一點的坐標，你能在上圖中描出嗎？

試一試：D（1，3）E（-3，2）F（-4，-1）（注意引導學生進行逆向思維）

教師提問：請同學們想一想：原點O的坐標、x軸和y軸上的點坐標有什么特點？

學生發現：O點坐標（0，0），x軸上點的縱坐標為0，y軸上點橫坐標為0。試一試：描點：G（0，1），H（1，0）（注意區別）

（三）觀察思考，探究規律

教師講解：兩條坐標軸把坐標平面分成四個部分：右上部分叫

2、能在直角坐標系中，根據坐標找出點，由點求出坐標。坐標平面內的點和有序實數對是一一對應的。

3、掌握象限點、x軸及y軸上點的坐標的特征：

12．1平面上點的坐標（(1)關于x軸對稱的兩點的坐標之間有什么關系？(2)關于 y軸對稱的兩點的坐標之間有什么關系？(3)關于原點對稱的兩點的坐標之間又有什么關系？

教師指出：①關于x軸對稱的兩個點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數（簡記“橫等縱反”）；關于y軸對稱的兩個點的橫坐標互為相反數，縱坐標相等（橫反 縱等）；關于原點對稱的兩個點，橫、縱坐標分別互為相反數（橫反縱反）。（緊 密結合圖形進行講解）；

思考3： 在直角坐標平面內，(1)

1、點A(m-1,2m)在

第二篇：平面向量的坐標運算教案1[定稿]

平面向量的坐標運算教案1

教學目標

1．理解平面向量的坐標表示方法，包括起點是坐標原點的向量坐標表示法，起點不是坐標原點的向量坐標表示法、相等向量的坐標表示法．

2．掌握已知平面向量的和、差、實數與向量的積的坐標表示法．

教學重點和難點

重點：平面向量的坐標表示法，特別是起點不是坐標原點的向量坐標表示法．平面向量的和、差、實數與向量的積的坐標運算．

難點：起點不是坐標原點的向量的坐標表示．

教學過程設計

(一)復習近平面向量的基本定理：

如果一向量、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內任

＝λ

1，有且只有一對實數λ

1、λ2，使、λ

2．這里、表示這一平面內的一組基底．平面向量的基本定理說明：同一平面內任一向量都可沿兩個不共線的基底進行分解．

(二)導入新課

1．平面向量的坐標表示

在直角坐標平面內，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，由平面向量基本定理，對平面內任一向量對實數x，y，使

＝、，有且只有一

x＋y．我們把(x，y)叫向量

在y軸上的坐標．的(直角)坐標．其中x叫在x軸上的坐標．y叫 ＝(x，y)叫向量的坐標表示．

(1)目前我們已掌握了向量的三種表示方法：

表示法是向量的代數表示法，它有利于向量的運算．

(2)根據向量可以平移的觀點，平面內與向量相等的向量的坐標也為(x，y)．

(3)顯然： ＝(1，0)，＝(0，1)，＝(0，0)．

(4)在坐標平面內設＝x＋y，向量的坐標為(x，y)，這就是點A的坐標，反過來點A的坐標(x，y)就是向量的坐標．因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一對有序實數對唯一表示．

(5)設A點的坐標為(x1，y1)，B點坐標為(x2，y2)

2．平面向量的坐標運算

(Ⅰ)向量的加法：已知向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．兩向量的和：

＋＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)

＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．

(Ⅱ)向量的減法：已知向量差：

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．兩向量的 －＝(x1＋y1)－(x2＋y2)

＝(x1－x2)＋(y1－y2)．

＝(x，y)和實數λ．

(Ⅲ)實數與向量的積：已知向量

λ＝λ(x＋y)＝λx，λy．

(1)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．實數與向量積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標．

(2)根據向量差的坐標運算，我們可以得到起點不是原點的向量的坐標表示．

設A點(x1，y1)，B點(x2，y2)．

求向量的坐標．

作向量、． ＝－．即＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．

由此得到：一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標．

(三)學生課堂練習(黑板板演，加課堂練習)

1．課本練習3．已知A、B兩點的坐標，求、的坐標．

(1)＝(3，4)，＝(－3，－4)．(2)＝(9，－1)，＝(－9，1)．

(3)5，0)．

2．課本練習1

(1)+＝(3，6)，－=(7，－5)

－

=(－7，2)．(2)

+

=(1，11)，＝(0，2)，＝(0，－2)．(4)

＝(5，0)，＝(－

(3)+＝(0，0)，－＝(3，－4)．

3．課本練習2 －

24．課本練習4

∴ AB∥CD．

+

4＝(4，6)．(4)+=(3，4)，－

＝(－6，－8)，4+3＝(12，5)．

＝

．

＝(1，－1)，＝(1，－1)，(四)教師講解例題，鞏固提高

例1 已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，求頂點D的坐標．

分析：平行四邊形ABCD中，＝

．由此來確定D點的坐標．

解：設D點坐標為(x，y)．

＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．

由＝．(1,2)＝(3－x，4－y)．

∴D點坐標為(2，2)．

例2 已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)，以為一組基底來表示

分析：向量＋＋＝λ

＋

1、＋＋+λ

2＋． 的坐標可求出，、的坐標可求出．設

．可求出λ

1、λ2．

＝(－4，2)，＝(－5，1)．

解： ＋ ＝(－3，5)，＋

＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．

＝(2，4)． ＝(1，3)，＋＋＝λ

1＋λ

2，(－12，8)＝λ1(1，3)＋λ2(2，4)＝(λ1＋2λ2，3λ1＋4λ2)．

∴ ＋

＋

＝

32－22

．

(五)小結：教師總結重點內容

1．向量的坐標表示

＝(x，y)．

2．起點不是原點的向量的坐標求法，A(xA，yA)，B(xB，yB)，(xB－xA，yB－yA)．

＝

一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．

3．向量的坐標運算

＋

＝(x1，y1)，－

＝(x2，y2)．

＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(λx1，λy1)．

(x1－x2，y1－y2)．

λ·

(六)作業習題5．4 1、2、3、4、5．

第三篇：平面構成的點.線.面 2課時

教案設計

平面構成的點.線.面 2課時

主講人:黃錦芳

一．教學目標

認知：理解平面構成的概念、意義、用途及方法。

操作：按平面構成的要求設計一種構成練習。

情感：體會平面構成的形式美、秩序美。

創造：設計出具有個性的基本形和構成形式。

二．教學重點難點

l．重點： 主要掌握點.線.面的性格特征和構成形式的設計。

2．難點： 如何啟發學生運用創造性思維，進行平面構成的設計

三．達標規程

構成概念;造型元素;基本形態;性格特征 綜合構成

四.教學方法

舉例法 對比感受法 實踐操作法

五.教學準備

師：1．收集平面構成在生活中的應用實例、實物、以前學生的優秀作

2．繪制平面構成范畫

3．繪制自然界有關生物體的綜合構成

生：1．收集生活中點.線.面的實例.2．準備鉛筆、圓規、三角尺。

六.教材分析

本節課是為學生學習和體會造型元素規律而設置的，是一種形式美感的訓練，設 計才能的訓練，讓學生體會平面構成的美感。

七．教學指向

認識——練習——欣賞——綜合練習

八.教學過程

(一)導入新課（5分鐘）

根據唐詩“大漠孤煙直，長河落日圓。”讓學生展開想象，抽幾位學生上黑板，用點、線、面概括地表現景色。

教師總結：這種用點、線、面抽象形態構成的圖形就叫平面構成。(二)實踐操作:（5分鐘）

利用同學剛才設計的平面構成進行點評,修改成一幅具有特色的平面構成作品,并且引導同學對造型元素的關注!師:我們剛才的作品中,同學們找出下看看有什么形狀!生:不規則形.線..曲線.三角形.菱形等)師:是的,剛才我們運用很多形體,用平面構成元素說就是點.線.面.構成了一幅理想的作品.主要是對他們的特征進行了解剖,才能表現如此生動熟!即使是一條線.一個點.同學們想不想也能擁有如此高超的技巧呢?讓我們一起來學習造型元素吧!(三)造型元素(點.線.面)(板書)1.點（23分鐘）.1點的形態

(1)分為有規則形(圓點.方形點.長方形點.橢圓形等)(2)無規則形(不受幾何形體的約束)1.2點在生活中的運用(乒乓球.珠子.籃球.眼睛.嘴巴.月亮等)1.3點的構成

把同學分成四大組,讓同學們討論以下幾張圖片,給我們的感受怎樣,并且派代表說出他們的組織形式!看哪一組表達得最到位!(1)

(2)(3)

(4)

(5)

(6)

解說備注:(1)不同大小、疏密的混合排列，使之成為一種散點式的構成形式 ,具有自由活潑的特性.(2)將大小一致的點按一定的方向進行有規律的排列，給人的視覺留下一種由點 的移動而產生線化的感覺。給人穩定.嚴肅的視覺感覺

(3)以由大到小的點按一定的軌跡、方向進行變化,使之產生一種優美的韻律感。(4)把點以大小不同的形式,既密集、又分散的進行有目的的排列,產生點的面化感覺。

(5)將大小一致的點以相對的方向,逐漸重合,產生微妙的動態視覺。(6)不規則點的視覺效果。1.3 學生練習:

除了上面點的組織形態,同學們是不是還能組織其他視覺不一樣的效果呢!總結: 通過我們對他們的圖片分析,點的練習,了解到了由點組合的作品具有靜態感.動態感.線感.面感.遠近感.縮漲感,視覺錯誤感等,合理的運用點的構成,能豐富點的藝術語言!2.線(重點)(板書)（27分鐘）線定義—線是點的動軌跡所形成的.(板書)從生活中舉例說明:1.雨滴快速落下

2.運動的乒乓球

3.投籃的軌跡

4.學生隊伍

(由學生隊伍的變化直線,曲線.垂直線.斜線等引入到線的變化)2.1線的形態(板書)(1)直線(水平線.垂直線.斜線.折線等)(2)曲線(圓線.拋物線.雙曲線.弧線等)2.2線的性格特征:

(播放幾種音樂片段讓學生體會其中韻律,并且用線來表達.)學生活動(略)教師講解: 1.2.3.4.5.6.水平線

:平靜.力量.開闊.堅定.穩定等 垂直線

:莊重.肅穆.挺立.向上等 斜線

:不安定.危險.動蕩等 折線

:起伏.焦躁.動蕩等 曲線

:動感.彈力.柔等

自由曲線:自然流動.隨意輕快.輕盈等 總結:每一種線都有它自己獨特的性格特征,合理的運用它特征給我們生活帶來意想不到的驚喜!2.3線的生活運用:(板書)老師出題,學生回答

1.胖的人應該穿橫條紋的衣服還是豎條紋的衣服.2.方形臉的女人應該作直發還是卷發,男人呢? 3.如果用圓形和三角形和方形來表現男人和女人你會選擇哪個? 2.4線的構成

師:擺出幾種直線,讓同學想像延伸,自己構成.(提示:寬度.等距.疏密等)然后得出總結:(1)線排列（等距的密集排列）嚴肅整潔視覺效果

(2)疏密變化的線（按不同距離排列）透視空間的視覺效果(3)粗細變化空間,虛實空間的視覺效果

(4)錯覺化的線（將原來較為規范的線條 排列作一些切換變化）(5)立體化的線

(6)不規則的線

總結:合理的運用線的特性和構成能豐富構成的視覺效果.3.面

(板書)（20分鐘）3.1面的定義:面是線移動的軌跡.3.2面的形態

(板書)(1)幾何形的面，表現規則、平穩、較為理性的視覺效果

(2)自然形的面，不同外形的物體以面的 形式出現后，給人以更為生動、厚實的 視覺效果(3)徒手的面

(4)有機形的面，得出柔和、自然、抽象的面的形態(5)偶然形的面，自由、活潑而富有 哲理性(6)人造形的面，較為理性的人文特點 3.3面的構成

教師:讓同學回憶,方才我們所學的知識能不能構成面?又有那些呢? 學生:能.他有以下幾種(1)點的面化

(相對論)(2).線的面化.密集排列.縱橫交錯.(相對論)(3).實面與虛面.4.點.線.面的綜合構成定義

(板書)（4分鐘）

5．欣賞作品（情感表達 形式表現 故事背景）

（6分鐘）

（延伸課題）練習布置: 點.線.面綜合構成作業兩張.分別已”寧靜”,”喧鬧”為內容.要求:1.規格:20CM*20CM

2.注意形的長短.位置.方向.數量.明暗.空間等因素

6．總結：通過對平面設計點 線 面設計造型元素的學習，同學們掌握了一定的知識和造型元素的個性特征，能比較靈活處理整與局部的關系！為今后的構成學習奠基了基礎！九．學生練習，教師輔導。十．達標測評和小結

概括本課內容，強調點 線 面的個性特征，挑選一部分作品作展示，邀請兩名學生互評，然后教師講評。

十一．板書設計

(三)造型元素(點.線.面)1.點.1點的形態 1.2點在生活中的運用 1.3點的構成 1.3 學生練習: 2.線

2.1線的形態 2.2線的性格特征: 2.3線的生活運用 2.4線的構成

3.面

3.1面的定義:面是線移動的軌跡.3.2面的形態 3.3面的構成

4.點.線.面的綜合構成定義 5．欣賞作品（延伸課題）

第四篇：平面向量的坐標表示教案范文

平面向量共線的坐標表示

教學目的：

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量的坐標運算

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性 授課類型：新授課 教具：多媒體、實物投影儀 教學過程：

一、復習引入： 1．平面向量的坐標表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標運算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

二、講解新課：

???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

????設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)??消去λ，x1y2-x2y1=0

y??y2?1?探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵b?0∴x2，y2中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成y1y2∵x1，x2有可能為0 ?x1x2??(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b ?(b?0)?a??b

x1y2?x2y1?0

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.例3設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.??例4若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x

??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0 ??a∴x=±2∵與b方向相同∴x=2

例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD

四、課堂練習：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.五、小結

第五篇：平面向量的坐標運算 教案

平面向量的坐標運算 教案

一、教學目標

1、知識與技能：

掌握平面向量的坐標運算；

2、過程與方法：

通過對共線向量坐標關系的探究，提高分析問題、解決問題的能力。3情感態度與價值觀：

學會用坐標進行向量的相關運算，理解數學內容之間的內在聯系。

二、教學重點與難點

教學重點：平面向量的坐標運算。

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確.三、教學設想

（一）導入新課

思路1.向量具有代數特征,與平面直角坐標系緊密相聯.那么我們在學習直線和圓的方程以及點、直線、平面之間的位置關系時,直線與直線的平行是一種重要的關系.關于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時為零)何時所體現的兩條直線平行？向量的共線用代數運算如何體現？

思路2.對于平面內的任意向量a,過定點O作向量OA=a,則點A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點O為原點建立平面直角坐標系,那么點A的位置可通過其坐標來反映,從而向量a也可以用坐標來表示,這樣我就可以通過坐標來研究向量問題了.事實上,向量的坐標表示,實際是向量的代數表示.引入向量的坐標表示可使向量運算完全代數化,將數與形緊密結合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數量運算.引進向量的坐標表示后,向量的線性運算可以通過坐標運算來實現,那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標來研究呢？

（二）推進新課、新知探究、提出問題

①我們研究了平面向量的坐標表示,現在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標表示嗎? ②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣表示AB的坐標？你能在圖中標出坐標為(x2-x1,y2-y1)的P點嗎?標出點P后,你能總結出什么結論? 活動:教師讓學生通過向量的坐標表示來進行兩個向量的加、減運算,教師可以讓學生到黑板去板書步驟.可得:

圖1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教師和學生一起總結,把上述結論用文字敘述分別為: 兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差);實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.教師再引導學生找出點與向量的關系:將向量AB平移,使得點A與坐標原點O重合,則平移后的B點位置就是P點.向量AB的坐標與以原點為始點,點P為終點的向量坐標是相同的,這樣就建立了向量的坐標與點的坐標之間的聯系.學生通過平移也可以發現:向量AB的模與向量OP的模是相等的.由此,我們可以得出平面內兩點間的距離公式: |AB|=|OP|=(x1?x2)2?(y1?y2)2.教師對總結完全的同學進行表揚,并鼓勵學生,只要善于開動腦筋,勇于創新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.討論結果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結論:一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.提出問題

①如何用坐標表示兩個共線向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y?2是向量a、b共線的什么條件? x1x2活動:教師引導學生類比直線平行的特點來推導向量共線時的關系.此處教師要對探究困難的學生給以必要的點撥:設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當且僅當存在實數λ,使a=λb.如果用坐標表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2), ??x??x2,即?1消去λ后得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.這就是說,當且僅當x1y2-x2y1=0時向量a、b(b≠0)共線.又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價的,但這與

y1y?2是不等價的.因x1x2為當x1=x2=0時,x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy?2均無意義.因此1?2是向量a、bx1x2x1x2共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應用更具一般性,更簡捷、實用,讓學生仔細體會這點.討論結果:①x1y2-x2y1=0時,向量a、b(b≠0)共線.②充分不必要條件.提出問題

a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實數λ使得a=λb, 那么這個充要條件如何用坐標來表示呢？

活動:教師引導推證:設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a，??x1??x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)??消去λ,得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.討論結果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.教師應向學生特別提醒感悟: 1°消去λ時不能兩式相除,∵y1、y2有可能為0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一個不為0.2°充要條件不能寫成y1y?2(∵x1、x2有可能為0).x1x2?a??b3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0)??

?x1y2?x2y1?0.（三）應用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標.活動:本例是向量代數運算的簡單應用,讓學生根據向量的線性運算進行向量的和、差及數乘的坐標運算,再根據向量的線性運算律和向量的坐標概念得出的結論.若已知表示向量的有向線段的始點和終點坐標,那么終點的坐標減去始點的坐標就是此向量的坐標,從而使得向量的坐標與點的坐標可以相互轉化.可由學生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點評:本例是平面向量坐標運算的常規題,目的是熟悉平面向量的坐標運算公式.變式訓練

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量a?b

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全國高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b?()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

圖2 例2 如圖2,已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點D的坐標.活動:本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個向量相等,則它們的坐標相等”,解題過程中應用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量OD的坐標,進而得到點D的坐標.解題過程中,關鍵是充分利用圖形中各線段的位置關系(主要是平行關系),數形結合地思考,將頂點D的坐標表示為已知點的坐標.解:方法一:如圖2,設頂點D的坐標為(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得?1?3?x,(1,2)=(3-x,4-y).∴?

2?4?x.??x?2,∴? ?y?2.∴頂點D的坐標為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知

BD?BA?AD?BA?BC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴頂點D的坐標為(2,2).點評:本例的目的仍然是讓學生熟悉平面向量的坐標運算.變式訓練

圖3 如圖3,已知平面上三點的坐標分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解:當平行四邊形為ABCD時,仿例二得:D1=(2,2);當平行四邊形為ACDB時,仿例二得:D2=(4,6);當平行四邊形為DACB時,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點之間的位置關系.活動:教師引導學生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點組合成兩個向量,然后根據兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點是否共線.教師引導學生進一步理解并熟練地運用向量共線的坐標形式來判斷向量之間的關系.讓學生通過觀察圖象領悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標系中作出A、B、C三點,觀察圖形,我們猜想A、B、C三點共線.下面給出證明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直線AB、直線AC有公共點A, ∴A、B、C三點共線.點評:本例的解答給出了判斷三點共線的一種常用方法,其實質是從同一點出發的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點共線.這是從平面幾何中判斷三點共線的方法移植過來的.變式訓練

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 設點P是線段P1P2上的一點,P1、P2的坐標分別是(x1,y1)、(x2,y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時,求點P的坐標;(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時,求點P的坐標.活動:教師充分讓學生思考,并提出這一結論可以推廣嗎?即當

P1P=λPP2時,點P的坐標是什么?師生共同討論,一起探究,可按照求中點坐標的解題思路類比推廣,有學生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)，?x1??x2x?,???x?x1??(x2?x)?1??即? ????y?y1??(y2?y)?y?y1??y2.?1???這就是線段的定比分點公式,教師要給予充分肯定,鼓勵學生的這種積極探索,這是學習數學的重要品質.時間允許的話,可以探索λ的取值符號對P點位置的影響,也可鼓勵學生課后探索.圖4 解:(1)如圖4,由向量的線性運算可知

x?x2y1?y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以點P的坐標是（x1?x2y1?y2,.)22(2)如圖5,當點P是線段P1P2的一個三等分點時,有兩種情況,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

圖5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1?x22y1?y2,).332x1?x22y1?y2,).33即點P的坐標是(同理,如果

x?2x2y1?2y2P1P,.=2,那么點P的坐標是133PP2點評:本例實際上給出了線段的中點坐標公式和線段的三等分點坐標公式.變式訓練

在△ABC中,已知點A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點都在坐標軸上,求點C的坐標.解:(1)若AC的中點在y軸上,則BC的中點在x軸上, 設點C的坐標為(x,y),由中點坐標公式,得

3?xy?5?0,?0, 22∴x=-3,y=-5, 即C點坐標為(-3,-5).(2)若AC的中點在x軸上,則BC的中點在y軸上,則同理可得C點坐標為(2,-7).綜合(1)(2),知C點坐標為(-3,-5)或(2,-7).例2 已知點A(1,2),B(4,5),O為坐標原點,OP=OA+tAB.若點P在第二象限,求實數t的取值范圍.活動:教師引導學生利用向量的坐標運算以及向量的相等,把已知條件轉化為含參數的方程(組)或不等式(組)再進行求解.教師以提問的方式來了解學生組織步驟的能力,或者讓學生到黑板上去板書解題過程,并對思路清晰過程正確的同學進行表揚,同時也要對組織步驟不完全的同學給與提示和鼓勵.教師要讓學生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點是,將已知條件轉化為關于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個不等式(組)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).?3t?1?021若點P在第二象限,則????t??

33?3t?2?021,?).33點評:此題通過向量的坐標運算,將點P的坐標用t表示,由點P在第二象限可得到一個關于t的不等式組,這個不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓練 故t的取值范圍是(?已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范圍.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.從而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范圍是［2,6］.222 7

（四）課堂小結

1.先由學生回顧本節都學習了哪些數學知識:平面向量的和、差、數乘的坐標運算,兩個向量共線的坐標表示.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,定義法、歸納、整理、概括的思想,強調在今后的學習中,要善于培養自己不斷探索、善于發現、勇于創新的科學態度和求實開拓的精神,為將來的發展打下良好基礎.（五）作業