第一篇：用幾何方法證明坐標平面內互相垂直的兩直線的斜率之積等于-1

用幾何方法證明“坐標平面內，兩直線互相垂直時，它們的斜率的乘積等于-1”

證明：如圖，直線y1=k1x和直線y2=k2x互相垂直，過直線y1=k1x上任意一點A做AC⊥x軸于點C，在直線y2=k2x上取一點B使OB=OA，過B點做BD⊥x軸于點D，則∠ACO=∠BDO=90

又∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90∵∠ACO=90°，∴∠AOC+∠OAC=90∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（設OC=a，則BD=OC=a∵點B在第二象限，∴點B的坐標是（-k1a，a），把點B坐標代入直線y2=k2x，得：a=k2×（-k1a），∴k1k2=-1.應用舉例：

如圖，直線AB交x軸于點A（a，0），交y軸于點B（0，b），且a、b滿足，且AH⊥BC于點H，AH交PB于點?a?b?2??a?4?2?0.若點C坐標為（-1,0）

P，試求點P坐標.解：由?a?b???a?4??0易得：a=4，b=-4，22∴點B坐標為（0，-4），∵點C坐標為（-1,0），∴線段BC的解析式為y=-4x-4，∵AH⊥BC，∴線段AH的斜率為1，4因為點A坐標為（4，0），易得線段AH的解析式為y?1x?1，4

所以點P的坐標為（0，-1）.當然，該題利用全等三角形的知識解決起來會更簡便一些。這留給同學們自己來解答.

第二篇：證明兩直線垂直的方法

證明兩直線垂直的方法

1.矩形四個內角

2.三角形中的兩角之和為90°，則另一角必為直角

3.證明兩直線中的一條是等腰三角形的底邊，另一邊是頂角平分線或底邊上的中線

4.勾股定理逆定理

5.圓直徑所對的圓周角

6.垂徑定理的判定

7.利用菱形的對角線互相垂直

8.利用正方形的對角線互相垂直

9.圓的切線垂直于過切點的半徑

10.證這兩直線中的一直線與第三直線平行，另一直線與第三直線垂直；或證明這兩直線各與已知的兩垂線平行

11.相交兩圓的連心線垂直平分公共弦

12.軸對稱那類的圖形，對應點垂直于軸

13.到線段兩邊距離相等的點在這個線段的中垂線上

14.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

15.與直角三角形相似的三角形 對應角是直角

16.與直角三角形全等的三角形 對應角是直角

17.利用鄰角相等：兩直線相交所成的兩個鄰角相等，可確定兩直線垂直

18.點到直線最短的線段

19.45圓周角所對的圓心角

20.等邊三角形中，任一頂點與內心所在直線垂直于底邊

21.利用已知的直角或其余角：證兩直線的夾角等于已知的直角，或證明兩直線的夾角是兩銳角互余的三角形的第三角

22.矩形中位線垂直他所在的兩邊

23.利用反證法、同一法

24.平面直角坐標系x、y軸垂直

第三篇：初中幾何證明兩直線平行和垂直的方法

初中幾何證明兩直線平行和垂直的方法大全

三、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。

四、證明兩直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。

11.利用半圓上的圓周角是直角。

第四篇：用向量運算證明兩直線垂直或求兩條直線的夾角

及第中學高二數學導學案編制人:聶海利 吳振芹審核:王秀梅 審批: 陳安樂 編號：47（2）

班級姓名

名人名言、警句：

班級姓名

第五篇：用向量運算證明兩條直線垂直或求兩直線所成的角

高二數學理（B）學案

用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角

編號：10編制：王井雷審核：劉紅英時間：2012.2.18

【學習目標】

1、掌握兩條直線垂直的充要條件，知道直線夾角和其方向向量夾角的關系。

2、會用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角。【重點難點】

教學重點：用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角。教學難點：直線的方向向量。【知識梳理】

??????

1、兩條直線l1與l2所成的角?，兩條直線l1、l2的方向向量v1,v2所成的??????????

角v1,v2的范圍，?與v1,v2的關系是。

變式訓練1：.已知正方體ABCD-A?B?C?D? 中，點E,F分別是棱BB?與面對角線B'D'的中點。求證：直線EF?直線A'D

例2.已知三棱錐O-ABC，OA＝4,OB＝5,OC＝3,∠AOB＝ ∠BOC＝60o, ∠COA＝90o,M、N分別是棱OA、BC的中點。求直線MN與AC所成的角（用反三角函數表示）。

變式訓練2：已知四棱錐S?ABCD的高SO?3，底面是邊長為2，?ABC?60?的棱形，O為

2、l1?l2?，cos?【課前達標】

??

1、若異面直線l1、l2的方向向量分別是a??0,?2,?1?，b??2,0,4?，則異面直線l1與l2的夾

角的余弦值等于（）A、?

5B、2

5C、?

5D、52、在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分別CC1,AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于（）A

5B

5C、4

5D、2

3底面的中心，E,F分別為SA和SC的中點，求異面直線BF與DE所成的角

【典型例題】

例1.已知正方體ABCD-A?B?C?D? 中，點M、N分別是棱BB?與對角線CA?的中點。求證：MN?BB?；MN ?A?C。

高二數學理（B）學案

【鞏固練習】

1．在正三棱柱A1B1C1-ABC中，若1，則AB1與C1B所成的角的大小為（）

6.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；（2）求異面直線AE與CD所成角的余弦值．

7.如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.（1）求BN的長（2）求cos

1>的值；（3）求證：A1B⊥C1M.A．60? B．90? C．105? D．75?

2．A1B1C1-ABC是直三棱柱，? BCA=90?，點D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點，若

BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）

A．

3010

B．

2C．

301

5D．

3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，F是B1D1的中點，則BE與DF所成角的余弦值為__________.4.已知F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中點，則異面直線A1C1與DF所成的角的余弦值為__________.5.在棱長為1的正方體中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、BD的中點，G在CD上，且CG

＝CD/4，H為C1G的中點，⑴求證：EF⊥B1C；⑵求EF與C1G所成角的余弦值；⑶求FH的長。