第一篇：高等代數北大版教案-第5章二次型

第五章 二次型

§1 二次型的矩陣表示

一 授課內容：§1 二次型的矩陣表示

二 教學目的：通過本節的學習，掌握二次型的定義，矩陣表示，線性替換和矩陣的合同.三 教學重點：矩陣表示二次型

四 教學難點：二次型在非退化下的線性替換下的變化情況.五 教學過程：

定義：設P是一數域，一個系數在數域P中的x1,x2,?,xn的二次齊次多項式

f(x1,x2,?,xn)?a11x12?2a12x1x2???2a1nx1xn?(3)a22x2???2a2nx2xn?…?annxn稱為數域P上的一個n元二次型，或者，簡稱為二次型.22例如：x1?x1x2?3x1x3?2x2 就是有理數域上的一個?4x2x3?3x323元二次型.定義1 設x1,x2,?,xn，y1,y2,?,yn是兩組文字，系數在數域P中的一組關系式

?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?x?cy?cy???cy?22112222nn ?(4)??????????????xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn稱為x1,x2,?,xn到y1,y2,?,yn的一個線性替換，或則，簡稱為線性替換.如果系數行列式 cij?0，那么線性替換(4)就稱為非退化的.二次型的矩陣表示：

·４８·令 aij?aji，i?j 由于 xixj?xjxi,那么二次型(3)就可以寫為

f(x1,x2,?,xn)?a11x12?a12x1x2???a1nx1xn? a21x2x1?a22x2???a2nx2xn?…+an1xnx1?an2xnx2???annxnnn???aijxixj(5)

i?1j?1把(5)的系數排成一個n?n矩陣

?a11??aA??21???a?n1a12a22?an2?a1n???a2n?

?????ann??它稱為二次型(5)的矩陣.因為aij?aji，i,j?1,2,?,n，所以

A??A.我們把這樣的矩陣稱為對稱矩陣，因此，二次型(5)的矩陣都是對稱的.?x1????x2?令X???,于是，二次型可以用矩陣的乘積表示出來，????x??n??a11??a21?xn?????a?n1a12a22?an2?a1n??x1?????a2n??x2?

????????????ann???xn?X?AX??x1x2??x1x2?a11x1?a12x2???a1nxn????ax?a22x2???a2nxn??xn??211

????????????ax?ax???ax?n22nnn??n11???aijxixj.i?1j?1nn故 f(x1,x2,?,xn)?X?AX.·４９· 顯然，二次型和它的矩陣是相互唯一決定的.由此還能得到，若二次型

f(x1,x2,?,xn)?X?AX?X?BX

且 A??A,B??B，則，A?B 線性替換的矩陣表示

?c11??c21令C?????c?n1?c1n??y1????c22?c2n??y2?,Y???,那么，線性替換(4)可以寫成，?????????y?cn2?cnn???n?c12?x1??c11????x2??c21??????????x??c?n??n1?c1n??y1????c22?c2n??y2?

????????????cn2?cnn???yn?c12或者X?CY.顯然，一個非退化的線性替換把二次型還是變成二次型，現在就來看一下替換后的二次型與原二次型之間有什么關系.設 f(x1,x2,?,xn)?X?AX，A??A，(7)是一個二次型，作非退化的線性替換

X?CY(8)得到一個y1,y2,?,yn的二次型Y?BY.現在來看矩陣B與矩陣A的關系 把(8)代入(7)有

f(x1,x2,?,xn)?X?AX?(CY)?A(CY)?Y?C?ACY?Y?(C?AC)Y?Y?BY.容易看出，矩陣C?AC也是對稱的，事實上，(C?AC)??C?A?C???C?AC.由此，即得

B?C?AC.定義2 數域P上n?n矩陣A,B稱為合同的，如果有數域P上可逆的n?n矩陣C，使

B?C?AC.合同是矩陣之間的一個關系，不難看出，合同關系具有

·５０·(1)反身性 A?E?AE.(2)對稱性 由 B?C?AC，即得A?(C?1)?B(C?1).??(3)傳遞性 由A1?C1AC1，A2?C2A1C2，即得A2?(C1C2)?A(C1C2).因之，經過非退化的線性替換，替換后的二次型的矩陣與原二次型矩陣是合同的.§2 標準形

一 授課內容：§2 標準形

二 教學目的：通過定理的證明掌握二次型化為標準形的配方法.三 教學重點：化普通的二次型為標準形.四 教學難點：化普通的二次形為標準形的相應矩陣表示.五 教學過程：

I 導入

可以認為，在二次型中最簡單的一種是只含有平方項的二次型 d1x12?d2x2(1)????dnxnII 講授新課

定理1 二次型都可以經過非退化的線性替換變為平方和(1)的形式.不難看出，二次型(1)的.?d10??0d2?xn??????00?0???0??????dn???22=?x1d1x12?d2x2????dnxnx2?x1????x2????.???x??n?反過來，矩陣是對角形的二次型就只含有平方項.定理2 在數域P上，任意一個對稱矩陣都合同于一對角矩陣.定義 二次型f(x1,x2,?,xn)經過非退化的線性替換所變成的平方和稱為f(x1,x2,?,xn)的一個標準形.·５１· 例 化二次型

f(x1,x2,x3)?2x1x2?6x2x3?2x1x3

為標準形.解：作非退化的線性替換

?x1?y1?y2??x2?y1?y2 ?x?y33?則f(x1,x2,x3)?2(y1?y2)(y1?y2)?6(y1?y2)y3?2(y1?y2)y3

222?2y12?2y2?4y1y3?8y2y3?2(y1?y3)2?2y3?2y2?8y2y3

?z1?y1?y3?y1?z1?z3??再令 ?z2?y2或?y2?z2

?y?z?z?y33?3?3222則f(x1,x2,x3)?2z12?2z2.?8z2z3?2z3?2z12?2(z2?2z3)2?6z3?w1?z1?z1?w1??最后令 ?w2?z2?2z3或?z2?w2?2w3

?w?z?z?w3333??22則 f(x1,x2,x3)?2w12?2w2 ?6w3是平方和，而這幾次線性替換的結果相當于作一個總的線性替換，3??w1??x1??110??101??100??w1??11???????????????x2???1?10??010??012??w2???0?1?1??w2?.?x??001??001??001??w??00??1?????3???3??????w3?用矩陣的方法來解 例 化二次型

f(x1,x2,x3)?2x1x2?6x2x3?2x1x3

為標準形.1??01??解：f(x1,x2,x3)的矩陣為A??10?3?.?1?30???

·５２·?110????C?1?10取1??,則A1?C1AC1

?001???1??110??20?2??110??01??????????1?10??10?3??1?10???0?24?.?001??1?30??001???240??????????101????再取C2??010?，則A2?C2A1C2

?001???0?2??101??200??100??2??????????010??0?24??010???0?24?.?101???24????0??????001??04?2??100????再取C3??012?，則A3?C3A2C3

?001???0??100??100??20????????010??0?24??012? ?021??04?2??001???????A3是對角矩陣，因此令

3??110??101??100??11????????C?C1C2C3??1?10??010??012???1?1?1?，?001??001??001??001?????????就有

?200???C?AC??0?20?.?006???作非退化的線性替換

X?CY

即得

22.f(x1,x2,x3)?2y12?2y2?6y3

·５３·

§3 唯一性

一 授課內容：§3 唯一性

二 教學目的： 通過本節的學習，讓學生掌握復二次型，實二次型的規范形，正(負)慣性指數，符號差.三 教學重點：復二次型，實二次型的規范形的區別及唯一性的區別.四 教學難點：實二次型的唯一性 五 教學過程：

在一個二次型的標準形中，系數不為零的平方項個數是唯一確定的，與所作的非退化的線性替換無關.二次型的矩陣的秩有時候就稱為二次型的秩.至于標準形的系數就不是唯一的.例 二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?6x2x3?2x1x3經過非退化的線性替換

3??w1??x1??11??????x?0?1?1?2????w2? ?x??00??1??3????w3?得到標準形

22.2w12?2w2?6w3而經過非退化的線性替換

?x1????x2??x??3?1??1?2?1??1?2??00??1?y1?????1???y2? ?3??1??y3??3?就得到另一個標準形

1222y2?y3.23這就說明，在一般的數域內，二次型的標準形不是唯一的，而與所作

2y12?

·５４·的非退化的線性替換有關.下面只就復數域與實數域的情形來進一步討論唯一性的問題.對于復數域的情形

設f(x1,x2,?,xn)是一個復系數的二次型，則經過一個適當的非退化的線性替換后，f(x1,x2,?,xn)變為標準形，不妨設標準形為

2d1y12?d2y2????dryr2，di?0，i?1,2,?,r(1)易知，r就是f(x1,x2,?,xn)的矩陣的秩.因為復數總可以開平方，我們再作一非退化的線性替換

1?y?z1?1d1????????yr?1zr(2)?dr??yr?1?zr?1????????yn?zn(1)就變為 z12?z2????zr2(3)(3)稱為復二次型f(x1,x2,?,xn)的規范形.顯然，規范形完全被原二次型的矩陣的秩所決定.定理3 任意一個復系數的二次型，經過一個適當的非退化的線性替換可以變為規范形，規范形是唯一的.定理3換個說法就是，任意一個復的對稱矩陣合同于一個形式為

?1????????1??

0????????0???的對角矩陣.從而有，兩個復對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等.·５５· 對于實數域的情形

設f(x1,x2,?,xn)是一個實系數的二次型，則經過一個適當的非退化的線性替換，再適當排列文字的次序，可使f(x1,x2,?,xn)變為標準形，d1y12????dpy2??dryr2(4)p?dp?1yp?1??di?0 i?1,2,?,r，r就是f(x1,x2,?,xn)的矩陣的秩.因為在實數域中，正實數總可以開平方，所以，再作一非退化的線性替換

1?y?z1?1d1????????yr?1zr ?(5)dr??yr?1?zr?1????????yn?zn(4)就變為 z12????z2p?zp?1????zr(6)(6)稱為實二次型f(x1,x2,?,xn)的規范形.顯然，規范形完全被r,p這兩個數所決定.定理4(慣性定理)任意一個實數域上的二次型，經過一個適當的非退化的線性替換可以變為規范形，規范形是唯一的.定義3 在實二次型f(x1,x2,?,xn)的規范形中，正平方項的個數p稱為f(x1,x2,?,xn)的正慣性指數，負平方項的個數r?p稱為f(x1,x2,?,xn)的負慣性指數，它們的差p?(r?p)?2p?r稱為f(x1,x2,?,xn)的符號差.慣性定理也可以敘述為，實二次型的標準形中系數為正的平方項個數是唯一的，它等于正慣性指數，而系數為負的平方項個數也是唯一的，它等于負慣性指數.·５６·

§4 正定二次型

一 授課內容：§4 正定二次型

二 教學目的：通過本節的學習，讓學生掌握正定(負定，半正定，半負定，不定)二次型或矩陣.(順序)主子式的定義，掌握各種類型的判別法.三 教學重點：正定二次型.四 教學難點：判別方法 五 教學過程：

定義4 實二次型f(x1,x2,?,xn)稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實數c1,c2,?,cn都有f(c1,c2,?,cn)?0.顯然，二次型 f(x1,x2,?,xn)?x12????xn2是正定的，因為只有在c1?c2???cn?0時，c12????cn才為零.一般的，實二次型 f(x1,x2,?,xn)?d1x12?d2x2????dnxn是正定的，當且僅當di?0 i?1,2,?,n.可以證明，非退化的實線性替換保持正定性不變.定理5 n元實二次型f(x1,x2,?,xn)是正定的充分必要條件是它的正慣性指數等于n.定理5說明，正定二次型f(x1,x2,?,xn)的規范形為 y12????yn(5)定義5 實對稱矩陣A稱為正定的，如果二次型X?AX正定.因為二次型(5)的矩陣是單位矩陣E，所以一個實對稱矩陣是正定的，·５７· 當且僅當它與單位矩陣合同.推論 正定矩陣的行列式大于零.定義6 子式

a11Pi?a21?ai1a12?a1ia22?a2i(i?1,2,?,n)

???ai2?aii稱為矩陣A?(aij)nn的順序主子式.定理6 實二次型

f(x1,x2,?,xn)???aijxixj?X?AX

i?1j?1nn是正定的充分必要條件為矩陣A的順序主子式全大于零.例 判斷二次型

22f(x1,x2,x3)?5x12?x2?x3?4x1x2?8x1x3?4x2x3

是否正定.解：f(x1,x2,x3)的矩陣為

2?4??5??21?2?? ??4?25???它的順序主子式

52?4521?2?0 5?0，?0，221?4?25因之，f(x1,x2,x3)正定.與正定性平行，還有下面的概念.定義7 設f(x1,x2,?,xn)是一實二次型，對于任意一組不全為零的實數c1,c2,?,cn，如果都有f(c1,c2,?,cn)?0，那么f(x1,x2,?,xn)稱為負定的；如果都有f(c1,c2,?,cn)?0，那么f(x1,x2,?,xn)稱為半正定的；

·５８·如果都有f(c1,c2,?,cn)?0，那么f(x1,x2,?,xn)稱為半負定的；如果它既不是半正定又不是半負定，那么f(x1,x2,?,xn)就稱為不定的.對于半正定，我們有

定理7 對于實二次型f(x1,x2,?,xn)?X?AX，其中A是實對稱的，下面條件等價：

(1)f(x1,x2,?,xn)是半正定的.(2)它的正慣性指數與秩相等.(3)有可逆實矩陣C，使

?d1???d??2C?AC???，其中，di?0 i?1,2,?,n.????dn???(4)有實矩陣C使A?C?C.(5)A的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，僅有順序主子式大于或等于零是不能保證半正定性的.比如，f(x1,x2)??x??x122?00??x1?x2???0?1????x?? 就是一個反例.???2?

·５９·

第二篇：高等代數北大版教案-第6章線性空間

第六章 線性空間

§1 集合映射

一 授課內容:§1 集合映射

二 教學目的:通過本節的學習,掌握集合映射的有關定義、運算,求和號與乘積號的定義.三 教學重點:集合映射的有關定義.四 教學難點:集合映射的有關定義.五 教學過程: 1.集合的運算,集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射)的概念 定義:(集合的交、并、差)設S是集合,A與B的公共元素所組成的集合成為A與B的交集,記作A?B；把A和B中的元素合并在一起組成的集合成為A與B的并集,記做A?B；從集合A中去掉屬于B的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為A與B的差集,記做AB.定義:(集合的映射)設A、B為集合.如果存在法則f,使得A中任意元素a在法則f下對應B中唯一確定的元素(記做f(a)),則稱f是A到B的一個映射,記為

f:A?B,a?f(a).如果f(a)?b?B,則b稱為a在f下的像,a稱為b在f下的原像.A的所有元素在f下的像構成的B的子集稱為A在f下的像,記做f(A),即f(A)??f(a)|a?A?.若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 則稱f為單射.若 ?b?B,都存在a?A,使得f(a)?b,則稱f為滿射.如果f既是單射又是滿射,則稱f為雙射,或稱一一對應.2.求和號與求積號(1)求和號與乘積號的定義

為了把加法和乘法表達得更簡練,我們引進求和號和乘積號.設給定某個數域K上n個數a1,a2,?,an,我們使用如下記號:

·６０·a1?a2???an??ai, a1a2?an??ai.i?1i?1nn當然也可以寫成

a1?a2???an?(2)求和號的性質 容易證明，1?i?n?ai, a1a2?an?1?i?n?ai.??ai???ai,?(ai?bi)??ai??bi,??aij???aij.i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnnmmni?1j?1j?1i?1事實上,最后一條性質的證明只需要把各個元素排成如下形狀:

a11a21?an1a12a22?an2?a1m?a2m

???anm分別先按行和列求和,再求總和即可.§2 線性空間的定義與簡單性質

一 授課內容：§2 線性空間的定義與簡單性質

二 教學目的：通過本節的學習,掌握線性空間的定義與簡單性質.三 教學重點：線性空間的定義與簡單性質.四 教學難點：線性空間的定義與簡單性質.五 教學過程：

1.線性空間的定義

(1)定義4.1(線性空間)設V是一個非空集合,且V上有一個二元運算“+”(V?V?V),又設K為數域,V中的元素與K中的元素有運算數量

·６１· 乘法“?”(K?V?V),且“+”與“?”滿足如下性質:

1、加法交換律 ??,??V,有???????；

2、加法結合律 ??,?,??V,有(???)?????(???)；

3、存在“零元”,即存在0?V,使得???V,0????；

4、存在負元,即???V,存在??V,使得????0；

5、“1律” 1????；

6、數乘結合律 ?k,l?K,??V,都有(kl)??k(l?)?l(k?)；

7、分配律 ?k,l?K,??V,都有(k?l)??k??l?；

8、分配律 ?k?K,?,??V,都有k(???)?k??k?, 則稱V為K上的一個線性空間,我們把線性空間中的元素稱為向量.注意:線性空間依賴于“+”和“?”的定義,不光與集合V有關.(2)零向量和負向量的唯一性,向量減法的定義,線性空間的加法和數乘運算與通常數的加、乘法類似的性質

命題4.1 零元素唯一,任意元素的負元素唯一.證明:設0與0'均是零元素,則由零元素的性質,有0?0'?0?0'；

???V,設?,?'都是?的負向量,則

??0???(?'??)????'?(???)???0??, 于是命題得證.由于負向量唯一,我們用??代表?的負向量.定義4.2(減法)我們定義二元運算減法“-”如下:

???定義為??(??).命題4.2 線性空間中的加法和數乘滿足如下性質:

1、加法滿足消去律 ???????????；

2、可移項 ???????????；

3、可以消因子 k???且k?0,則??1?； k4、0???0, k?0?0,(?1)????.(3)線性空間的例子

·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函數所構成的集合,令K??,V中加法的定義就是函數的加法,關于K的數乘就是實數遇函數的乘法,V構成K上的線性空間.4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線性相關與線性無關的定義以及等價表述,向量組的秩,向量組的線性等價；極大線性無關組.定義4.3(線性組合)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,又給定數域K內s個數k1,k2,?,ks,稱k1?1?k2?2???ks?s為向量組?1,?2,?,?s的一個線性組合.定義4.4(線性表出)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,設?是V內的一個向量,如果存在K內s個數k1,k2,?,ks,使得??k1?1?k2?2???ks?s,則稱向量?可以被向量組?1,?2,?,?s線性表出.定義4.5(向量組的線性相關與線性無關)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,如果對V內某一個向量?,存在數域K內不全為零的數k1,k2,?,ks,使得k1?1?k2?2???ks?s?0,則稱向量組?1,?2,?,?s線性相關；若由方程k1?1?k2?2???ks?s?0必定推出k1?k2???ks?0,則稱向量組?1,?2,?,?s線性無關.命題4.3 設?1,?2,??s?V,則下述兩條等價: 1)?1,?2,??s線性相關； 2)某個?i可被其余向量線性表示.證明同向量空間.定義4.6(線性等價)給定V內兩個向量組

?1,?2,?,?r(Ⅰ), ?1,?2,?,?s(Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)線性表示,反過來,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)線性表示,則稱兩向量組線性等價.定義4.7(極大線性無關部分組)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,如

·６３· 果它有一個部分組?i1,?i2,?,?ir滿足如下條件:(i)、?i1,?i2,?,?ir線性無關；

(ii)、原向量組中任一向量都能被?i1,?i2,?,?ir線性表示, 則稱此部分組為原向量組的一個極大線性無關部分組.由于在向量空間中我們證明的關于線性表示和線性等價的一些命題中并沒有用到Kn的一些特有的性質,于是那些命題在線性空間中依然成立.定義4.8(向量組的秩)一個向量組的任一極大線性無關部分組中均包含相同數目的向量,其向量數目成為該向量組的秩.例4.2 求證:向量組?e?1x,e?2x?的秩等于2(其中?1??2).證明:方法一:設k1,k2∈R,滿足k1e?1x?k2e?2x?0,則k1e?1x??k2e?2x,假若k1,k2不全為零,不妨設k1?0,則有e(?1??2)x??k2,而由于?1??2,等號左k1邊為嚴格單調函數,矛盾于等號右邊為常數.于是k1?k2?0.所以e?1x,e?2x線性無關,向量組的秩等于2.證畢.方法二:若在(a,b)上k1e?1x?k2e?2x?0, 兩端求導數,得k1?1e?1x?k2?2e?2x?0，?c?c??k1e1?k2e2?0,以x?c?(a,b)代入,有? ?1c?2c??k1?1e?k2?2e?0.而e?1ce?2c?1e?2c?2e?2c?e(?1??2)c(?2??1)?0, 于是k1?k2?0.證畢.·６４·§3 維數、基與坐標

一 授課內容:§3 維數、基與坐標

二 教學目的:通過本節的學習,掌握線性空間的基與維數,向量的坐標的有關定義及性質.三 教學重點:基與維數、向量坐標的有關定義.四 教學難點:基與維數、向量坐標的有關定義.五 教學過程: 1.線性空間的基與維數,向量的坐標 設V是數域K上的線性空間,則有: 定義4.9(基和維數)如果在V中存在n個向量?1,?2,?,?n,滿足: 1)?1,?2,?,?n線性無關；

2)V中任一向量在K上可表成?1,?2,?,?n的線性組合, 則稱?1,?2,?,?n為V的一組基.基即是V的一個極大線性無關部分組.基的個數定義為線性空間的維數.命題4.4 設V是數域K上的n維線性空間,而?1,?2,?,?n?V.若V中任一向量皆可被?1,?2,?,?n線性表出,則?1,?2,?,?n是V的一組基.證明:由?1,?2,?,?n與V的一組基線性等價可以推出它們的秩相等.命題4.5 設V為K上的n維線性空間,?1,?2,?,?n?V,則下述兩條等價: 1)?1,?2,?,?n線性無關；

2)V中任一向量可被?1,?2,?,?n線性表出.定義4.10(向量的坐標)設V為K上的n維線性空間,?1,?2,?,?n是它的一組基.任給??V,由命題4.4,?可唯一表示為?1,?2,?,?n的線性組合,即?!ai?K,(i?1,2,?,n),使得??a1?1?a?2?2??an?n,于是我們稱?a1,a2,?,an?為?在基?1,?2,?,?n下的坐標.易見,在某組基下的坐標與V/K中的向量是一一對應的關系.·６５· §4 基變換與坐標變換

一 授課內容:§4 基變換與坐標變換

二 教學目的:通過本節的學習,掌握基變換與過渡矩陣的定義、運算, 坐標變換公式.三 教學重點:基變換與過渡矩陣的定義、運算, 坐標變換公式.四 教學難點:坐標變換公式的應用.五 教學過程: 1.線性空間的基變換,基的過渡矩陣

設V/K是n維線性空間,設?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是兩組基,且

??1?t11?1?t21?2???tn1?n,???t??t????t?,?2121222n2n ????????????????n?t1n?1?t2n?2???tnn?n.將其寫成矩陣形式

?t11t12?t1n???tt?t2n?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)?2122.????????t?t?tnn??n1n2定義4.11 我們稱矩陣

?t11t12?t1n???tt?t2n?T??2122 ????????t?t?tnn??n1n2為從?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的過渡矩陣.命題4.6 設在n維線性空間V/K中給定一組基?1,?2,?,?n.T是K上一個n階方陣.命

(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.·６６·則有?1,?2,?,?n是V/K的一組基,當且僅當T可逆.證明:若?1,?2,?,?n是線性空間V/K的一組基,則?1,?2,?,?n線性無關.考察同構映射?:V?Kn,???在?1,?2,?,?n下的坐標,構造方程

k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0, 其中ki?K,(i?1,2,?,n), ??(k1?1?k2?2???kn?n)?0?k1?1?k2?2???kn?n?0, ?k1?k2???kn?0??(?1),?(?2),?,?(?n)線性無關.?(?1),?(?2),?,?(?n)構成了過渡矩陣的列向量,所以過渡矩陣可逆；

反過來,若過渡矩陣可逆,則構造方程

k1?1?k2?2???kn?n?0,其中ki?K,(i?1,2,?,n), 兩邊用?作用,得到k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0, ?k1?k2???kn?0.證畢.2.向量的坐標變換公式；Kn中的兩組基的過渡矩陣(1)向量的坐標變換公式

設V/K有兩組基為?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n,又設?在?1,?2,?,?n下的坐標為?a1,a2,?,an?,即

?a1???a??(?1,?2,?,?n)?2?，?????a???n?在?1,?2,?,?n下的坐標為(b1,b2,?,bn),即

?b1???b??(?1,?2,?,?n)?2?.?????b???n?現在設兩組基之間的過渡矩陣為T,即(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.記

·６７·

?a1??b1?????ab2?2???X?,Y?, ?????????a???b???n??n?于是

(?1,?2,?,?n)X?(?1,?2,?,?n)Y?[(?1,?2,?,?n)T]Y?(?1,?2,?,?n)(TY).于是,由坐標的唯一性,可以知道X?TY,這就是坐標變換公式.(2)Kn中兩組基的過渡矩陣的求法 我們設Kn中兩組基分別為

?1?(a11,a12,?,a1n),?2?(a21,a22,?,a2n),?????????n?(an1,an2,?,ann).和

?1?(b11,b12,?,b1n),?2?(b21,b22,?,b2n),?????????n?(bn1,bn2,?,bnn).而(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.按定義,T的第i個列向量分別是?i在基?1,?2,?,?n下的坐標.將?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n看作列向量分別排成矩陣

?a11?a21?A?????a?n1a12?a1n??b11b12?b1n????a22?a2n?bb?b21222n?；B??，????????????b?an2?ann?b?bnn???n1n2則有B?AT,將A和B拼成n?2n分塊矩陣?A|B?,利用初等行變換將左邊矩陣A化為單位矩陣E,則右邊出來的就是過渡矩陣T,示意如下:(A|B)?行初等變換????(E|T).·６８·

§5 線性子空間

一 授課內容:§5 線性子空間

二 教學目的:通過本節的學習,掌握線性子空間的定義、判別定理.三 教學重點:線性子空間的定義、判別定理.四 教學難點:線性子空間的判別定理.五 教學過程: 1.線性空間的子空間的定義

定義4.12(子空間)設V是數域K上的一個線性空間,M時V的一個非空子集.如果M關于V內的加法與數乘運算也組成數域K上的一個線性空間,則稱為V的一個子空間.命題4.7 設V是K上的線性空間,又設一個非空集合W?V,則W是子空間當且僅當下述兩條成立: i)W對減法封閉； ii)W對于K中元素作數乘封閉.證明:必要性由定義直接得出；

充分性:各運算律在V中已有,所以W滿足運算律的條件.只需要證明0?W且對于任意??W,???W,且對加法封閉即可.事實上,由于W關于數乘封閉,則0???0?W；(?1)??????W,于是對于??,??W,??????(??)?W,W關于加法封閉.于是W是V的一個子空間.證畢.事實上,W關于加法和數乘封閉也可以得出上述結論.命題4.8 設W是V的一個有限維子空間,則W的任一組基可以擴充為V的一組基.證明:設dimV?n,dimW?r,(r?n),若r?n,則命題為真； 若r?n,對n?r作歸納:設?1,?2,?,?r為W的一組基,取?r?1?VW,則?1,?2,?,?r,?r?1線性無關.于是令W'?{??k?r?1|??W,k?K},易見,W’是V的一個子空間,且dimW'?r?1,此時n?dimW'?n?r?1,對其用歸納假設即可.·６９· §6 子空間的交與和

一 授課內容:§6子空間的交與和

二 教學目的:通過本節的學習,掌握子空間的交與和的定義、性質及維數公式.三 教學重點:子空間的交與和的定義及維數公式.四 教學難點:子空間的交與和的性質及維數公式..五 教學過程: 1.子空間的交與和,生成元集 定義4.13 設?1,?2,?,?t?V,則

?k1?1?k2?2???kt?t|ki?K,i?1,2,?,t?

是V的一個子空間,稱為由?1,?2,?,?t生成的子空間,記為L(?1,?2,?,?t).易見,生成的子空間的維數等于?1,?2,?,?t的秩.定義4.14(子空間的交與和)設V1,V2為線性空間V/K的子空間,定義

V1?V2?{v?V1且v?V2},稱為子空間的交； V1?V2?{v1?v2|v1?V1,v2?V2},稱為子空間的和.命題4.9 V1?V2和V1?V2都是V的子空間.證明:由命題4.7,只需要證明V1?V2和V1?V2關于加法與數乘封閉即可.事實上,??,??V1?V2,則?,??V1,?,??V2.由于V1,V2均是V的子空間,則????V1,????V2,于是????V1?V2,V1?V2關于加法封閉；???V1?V2,k?K,kv?V1,kv?V2,于是kv?V1?V2,V1?V2關于數乘封閉.??,??V1?V2,則由V1?V2的定義,??1,?1?V1,?2,?2?V2,使得???,????1??21?,2而?1??1?V1,?2??2?V2,則

????(?1??2)?(?1??2)?(?1??1)?(?2??2)?V1?V2, V1?V2關于加法封閉；???V1?V2,k?K,??1?V1,?2?V2,使得???1??2,由于k?1?V1,k?2?V2,則k??k(?1??2)?k?1?k?2?V1?V2,V1?V2關于

·７０·數乘封閉.證畢.命題4.10 設V1,V2,?,Vm是V的子空間,則V1?V2???Vm和V1?V2???Vm均為V的子空間.2.維數公式.定理4.1 設V為有限維線性空間,V1,V2為子空間,則

dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2).這個定理中的公式被稱為維數公式.證明:設dimV1?s,dimV2?t,dim(V1?V2)?n,dim(V1?V2)?r,取V1?V2的一組基?1,?2,?,?r(若V1?V2=0,則r?0,基為空集),將此基分別擴充為V1,V2的基

?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r, ?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r, 只需要證明?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2?，?t?r是V1?V2的一組基即可.首先,易見V1?V2中的任一向量都可以被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r線性表出.事實上,???V1?V2,則???1??2,其中?1?V1,?2?V2,而

?1?k1?1?k2?2???kr?r?kr?1?1?kr?2?2???ks?s?r，?2?l1?1?l2?2???lr?r?lr?1?1?lr?2?2???lt?t?r.ki,lj?K 于是???1??2可被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2?，?t?r線性表出.只要再證明向量組?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2,?,?t?r線性無關即可.設k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0, 其中ki,aj,bh?K.則

k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r??b1?1?b2?2???bt?r?t?r(*)于是

k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1, ?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?V2，·７１· 于是k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1?V2,記為?.則?可被?1,?2,?,?r線性表示,設

??h1?1?h2?2???hr?r, 代入(*),有

h1?1?h2?2???hr?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0, 由于?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r是V2的一組基,所以線性無關,則

h1?h2???hr?b1?b2???bt?r?0, 代回(*),又有k1?k2???kr?a1?a2???as?r?0, 于是向量組?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r線性無關.證畢.推論2.1 設V1,V2,?,Vt都是有限為線性空間V的子空間,則: dim(V1?V2???Vt)?dimV1?dimV2???dimVt.證明:對t作歸納.§7 子空間的直和

一 授課內容:§7 子空間的直和

二 教學目的:通過本節的學習,掌握子空間的直和與補空間的定義及性質.三 教學重點:子空間的直和的四個等價定義.四 教學難點:子空間的直和的四個等價定義.五 教學過程: 1.子空間的直和與直和的四個等價定義

定義 設V是數域K上的線性空間,V1,V2,?,Vm是V的有限為子空間.若對于?Vi中任一向量,表達式

i?1m???1??2????m,?i?Vi,i?1,2,?,m.·７２·是唯一的,則稱?Vi為直和,記為

i?1mV1?V2???Vm或?Vi.i?1m定理 設V1,V2,?,Vm為數域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四條等價: 1)V1?V2???Vm是直和； 2)零向量表示法唯一；

????V)?{0},?i?1,2,?,m； 3)Vi?(V1???Vim4)dim(V1?V2???Vm)?dimV1?dimV2???dimVm.證明: 1)?2)顯然.2)?1)設???1??2????m??1??2????m,則

(?1??1)?(?2??2)???(?m??m)?0.由2)知,零向量的表示法唯一,于是

?i??i,i?1,2,?,m, 即?的表示法唯一.由直和的定義可知,V1?V2???Vm是直和.????V)?{0},2)?3)假若存在某個i,1?i?m,使得Vi?(V1???Vim????V),于是存在??V,使得 則存在向量??0且??Vi?(V1???Vjjim?i????m.???1????由線性空間的定義，????V), ???Vi?(V1???Vim則?1???(??)????m???(??)?0,與零向量的表示法唯一矛盾,于是

????V)?{0},?i?1,2,?,m.Vi?(V1???Vim3)?2)若2)不真,則有

0??1????i????m, 其中?j?Vj(j?1,2,?,m)且??i?0.于是

????V), ?i????m?Vi?(V1???V??i??1????im

·７３· 與3)矛盾,于是2)成立.3)?4)對m作歸納.①m=2時,由維數公式得到

dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2)?dimV1?dimV2.②設m?1(m?3)已證,則對于m, dim(V1?V2???Vm)?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1)?dim(Vm?(V1?V2???Vm?1))?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1),而?i,1?i?m?1,都有

垐Vi?(V1???Vi???Vm?1)?Vi?(V1???Vi???Vm)?{0}；

由歸納假設,可以得到dim(V1?V2???Vm)?dimV1?dimV2???dimVm.4)?3)?i,1?i?m,都有

垐dim(Vi?(V1???Vi???Vm))?dim(Vi)?dim(V1???Vi???Vm)?dim(V1?V2???Vm)?0, ????V)?{0},?i?1,2,?,m.證畢.于是Vi?(V1???Vim推論 設V1,V2為V的有限維子空間,則下述四條等價: i)V1?V2是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)V1?V2?{0}；

iv)dim(V1?V2)?dimV1?dimV2.2.直和因子的基與直和的基

命題 設V?V1?V2???Vm,則V1,V2,?,Vm的基的并集為V的一組基.證明: 設?i1,?i2,?,?ir是Vi的一組基,則V中任一向量可被

i?{?i?1mi1,?i2,?,?ir}線性表出.又dimV??dimVi?r1?r2???rm,由命題4.5,imi?1它們線性無關,于是它們是V的一組基.證畢.3.補空間的定義及存在性

定義 設V1為V的子空間,若子空間V2滿足V?V1?V2,則稱為V1的補

·７４·空間.命題 有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補空間.證明: 設V1為K上的n為線性空間V的非平凡子空間,取V1的一組基?1,?2,?,?r,將其擴為V的一組基?1,?2,?,?r,?r?1,?r?2,?,?n取V2?L(?r?1,?r?2,?,?n),則有

V?V1?V2,且dimV1?dimV2?n?dim(V1?V2), 于是V?V1?V2,即V2是V1的補空間.證畢.§8 線性空間的同構

一 授課內容:§1線性空間的同構

二 教學目的:通過本節的學習,掌握線性空間同構的有關定義及線性空間同構的判定.三 教學重點:線性空間同構的判定.四 教學難點:線性空間同構的判定.五 教學過程: 1.線性映射的定義

定義 設U,V為數域K上的線性空間,?:U?V為映射,且滿足以下兩個條件: i)?(???)??(?)??(?),(??,??U)； ii)?(k?)?k?(?),(???U,k?K), 則稱?為(由U到V的)線性映射.由數域K上的線性空間U到V的線性映射的全體記為HomK(U,V),或簡記為Hom(U,V).定義中的i)和ii)二條件可用下述一條代替: ?(k??l?)?k?(?)?k?(?),(??,??U,k,l?K).·７５· 例 Mm?n(K)是K上的線性空間,Ms?n(K)也是K上線性空間,取定一個K上的s?m矩陣A,定義映射

?:Mm?n(K)?Ms?n(K),x?AX.則?是由Mm?n(K)到Ms?n(K)的線性映射.例 考慮區間(a,b)上連續函數的全體,它是R上的線性空間,令

U?L(1,sinx,sin2x,?,sinnx), V?L(1,cosx,cos2x,?,cosnx).再令

?:則?是由U到V的一個線性映射.定義 設?:U?V是線性映射

U?V,f(x)?AX.i)如果?是單射,則稱?是單線性映射(monomorphism)； ii)如果?是滿射,則稱?是滿線性映射(endmorphism)；

iii)如果?既單且滿,則稱?為同構映射(簡稱為同構,isomorphism),并說U與V是同構的,同構映射也稱為線性空間的同態(homomorphism),同構映射的逆映射也是同構映射；

iv)?的核(kernel)定義為ker??{??U|?(?)?0}；

v)?的像(image)定義為im?={??V|???U,s.t?(?)??},也記為?(U)；

命題 ker?和im?是V的子空間.證明:容易證明它們關于加法和數乘封閉.vi)?的余核定義為coker??V/im?.命題 線性映射f是單的當且僅當kerf?{0},f是滿的當且僅當cokerf?{0}.定理(同態基本定理)設f:U?V是數域K上的線性空間的滿線性

·７６·映射,則映射

?:U/kerf?V，??kerf?f(?).是同構映射.證明:首先證明?是映射,即若???'?U/kerf,則?(?)??(?').由于???',存在??kerf,使得???'??.于是

f(?)?f(?'??)?f(?')?f(?)?f(?'),即?(?)??(?').再證明?是線性映射.??,??U/ker?,k,l?K,有

?(k??l?)?f(k??l?)?kf(?)?lf(?)?k?(?)?l?(?).易見?是滿射,且有V?imf.只要再證明?是單射即可,即證明.設??ker?,則?(?)?f(?)?0,于是??kerf,即有??0.ker??{0}證畢.命題 設?:U?V是線性映射,dimU?n,則下述三條等價: i)?單；

ii)?將U中任意線性無關組映為V中的線性無關組； iii)dim?(U)?n.證明:i)?ii)若?1,?2,?,?t?V線性無關,則令

k1?(?1)?k2?(?2)???kt?(?t)?0, 由線性映射的定義,?(k1?1?k2?2???kt?t)?0.?單,于是k1?1?k?2?2??kt?t?0,則k1?k2???kt?0,ii)成立；

ii)?iii)若取U的一組基?1,?2,?,?n,則由已知, ?(?1),?(?2),?,?(?n)線性無關,而im?中任意向量可以被?(?1),?(?2),?,?(?n)線性表出,于是?(?1),?(?2),?,?(?n)構成im?的一組基,iii)成立；

iii)?i)由同態基本定理知U/ker??im?,于是diUm?di?m?ke?r?dim?k?e,r即有ker??{0}.證畢.·７７·

第三篇：高等代數教案第四章線性方程組

第四章

線性方程組

一 綜述

線性方程組是線性代數的主要內容之一.本章完滿解決了關于線性方程組的三方面的問題,即何時有解、有解時如何求解、有解時解的個數,這在理論上是完美的.作為本章的核心問題是線性方程組有解判定定理（相容性定理）,為解決這個問題,從中學熟知的消元法入手,分析了解線性方程組的過程的實質是利用同解變換,即將方程的增廣矩陣作行變換和列的換法變換化為階梯形（相應得同解方程組）,由此相應的簡化形式可得出有無解及求其解.為表述由此得到的結果,引入了矩陣的秩的概念,用它來表述相容性定理.其中實質上也看到了一般線性方程組有解時,也可用克萊姆法則來求解（由此得所謂的公式解——用原方程組的系數及常數項表示解）.內容緊湊,方法具體.其中矩陣的秩的概念及求法也比較重要,也體現了線性代數的重要思想（標準化方法）.線性方程組內容的處理方式很多,由于有至少五種表示形式,其中重要的是矩陣形式和線性形式,因而解線性方程組的問題與矩陣及所謂線性相關性關系密切；本教材用前者（矩陣）的有關問題討論了有解判定定理,用后者討論了（有無窮解時）解的結構.實際上線性相關性問題是線性代數非常重要的問題,在以后各章都與此有關.另外,從教材內容處理上來講,不如先講矩陣及線性相關性,這樣關于線性方程組的四個問題便可同時討論.二 要求

掌握消元法、矩陣的初等變換、秩、線性方程組有解判定定理、齊次線性方程組的有關理論.重點：線性方程組有解判別法,矩陣的秩的概念及求法.4.1 消元法

一 教學思考

本節通過具體例子分析解線性方程組的方法——消元法,實質是作方程組的允許變換（同解變換）化為標準形,由此得有無解及有解時的所有解.其理論基礎是線性方程組的允許變換（換法、倍法、消法）是方程組的同解變換.而從形式上看,施行變換的過程僅有方程組的系數與常數項參與,因而可用矩陣（線性方程組的增廣矩陣）表述,也就是對（增廣）矩陣作矩陣的行（或列換法）初等變換化為階梯形,進而化為標準階梯形,其體現了線性代數的一種重要的思想方法——標準化的方法.二 內容要求

主要分析消元法解線性方程組的過程與實質,以及由同解方程組討論解的情況（存在性與個數）,為下節作準備,同時指出引入矩陣的有關問題（初等變換等）的必要性,矩陣的初等變換和方程組的同解變換間的關系.三 教學過程

1?1x??213x2?x3?1?5?1．引例：解方程組?x1?x2?3x3?

3（1）

3??2x?4x?5x?2123?3?定義：我們把上述三種變換叫做方程組的初等變換,且依次叫換法變換、倍法變換、消法變換.2．消元法的理論依據

TH4.1.1初等變換把一個線性方程組變為與它同解的線性方程組（即線性方程組的初等變換是同解變換.）

3．轉引

在上面的討論中,我們看到在對方程組作初等變換時,只是對方程組的系數與常數項進行了運算,而未知數沒有參加運算,也就是說線性方程組有沒有解以及有什么樣的解完全決定于它的系數和常數項,因

?a11??a21A??a12a22?a1n???a2n?,則A可經過一系列行初等變換和第一種列初等變換化為如下形式：

????????am1a?a?m2mn????1?????????01?????????????????????000?1brr?1????； ?000?00?0??????????????000?00?0??進而化為以下形式：

??100?0c1r?1?c1n??010?0c?c??2r?12n?????????????000?1crr?1?c?rn?.其中r?0,r?m,r?n,“?”表示不同的元素.?000?00?0??????????????000?00?0??5）用矩陣的初等變換解線性方程組

?a11x1?對線性方程組：?a12x2???a1nxn?b1???ax1?a22x2???a2nxn?b?212?

（1）???????am1x1?am2x2???amnxn?bm????a11a12?a1n?由定理1其系數矩陣A??aa?a??21222n???????可經過行初等變換和列換法變換化為 ??am1am2?a?mn????100?0c1r?1?c1n??010?0c?c??2r?12n?????????????000?1crr?1?c?rn?；則對其增廣矩陣 ?000?00?0??????????????000?00?0??

?y1?d1?c1r?1kr?1???c1nkn?y?d?ck???ck22r?1r?12nn?2????,這也是（1）的解,由kr?1,?,kn的任意性（1）有無窮多解.?yr?dr?crr?1kr?1???crnkn?yr?1?kr?1?????yn?kn??x1?2x2?3x3?x4?5?2x?4x?x??3?124例1 解線性方程組?.??x1?2x2?5x3?2x4?8??x1?2x2?9x3?5x4??21解：對增廣矩陣作行初等變換：

?2315??1?1???40?1?3???2A???0?1?2528?????0?12?9?5?21?????020?0100001212003???2?13? 6?0??0?13?x?2x?x??24?122同解,故原方程組的一般解為所原方程組與方程組?113?x3?x4?26?31?x???2x?x42?122.?131?x3??x462?4.2 矩陣的秩

線性方程組可解判別法

一 教學思考

1．本節在上節消元法對線性方程組的解的討論的基礎上,引入了矩陣的秩的概念,以此來表述有解判定定理,在有解時從系數矩陣的秩與未知數的個數間的關系可討論解的個數,其中在有無數解時引入了一般解與通解的概念.2．矩陣的秩的概念是一個重要的概念,學生易出問題.定義的表述不易理解,應指出秩是一個數（非負整數）r,其含義是至少有一個r階非零子式,所有大于r階（若有時）子式全為0.重要的是“秩”的性質——初等變換下不變,提供了求秩的另一方法——初等變換法.3．本節內容與上一節和下一節互有聯系,結論具體,方法規范,注意引導總結歸納.二 內容要求

1． 內容：矩陣的秩、線性方程組可解判定定理

2． 要求：掌握矩陣的秩的概念、求法及線性方程組求解判定定理 二 教學過程

1．矩陣的秩（1）定義

??x1?x2?x3?1??x1??x2?x3?? ?x?x??x??23?124.3 線性方程組的公式解

一 教學思考

1．本節在理論上解決了當線性方程組有解時,用原方程組的系數和常數項將解表示出來——即公式解,結論的實質是克拉默法則的應用.其中過程是在有解判定的基礎上選擇r個適當方程而得,可歸納方法步驟（方程的選擇、自由未知量的選擇）,內容規范完整,理論作用較大,實用性較小.2．作為特殊的線性方程組——齊次線性方程組的解的理論有特殊的結果,易于敘述和理解,需注意其特殊性（與一般的區別,解的存在性、解的個數等）.二 內容要求

1．內容：線性方程組的公式解,齊次線性方程組的解

2．要求：了解線性方程組的公式解,掌握齊次線性方程組的解的結論 三 教學過程

1．線性方程組的公式解

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b2112222nn2

（1）有解時,用方程組的系數和常數項把解本節討論當方程組???????am1x1?am2x2???amnxn?bm表示出來的問題——公式解.處理這個問題用前面的方法——消元法是不行的,因為這個過程使得系數和常數項發生了改變,但其思想即化簡得同解線性方程組的思想是重要的,所以現今能否用其它方法把（1）化簡得同解方程組且系數和常數項不變,才可能尋求公式解.?x1?2x2?x3?2,(G1)?為此看例,考察?2x1?3x2?x3?3,(G2)

（2）

?4x?x?x?7,(G)3?123顯然G1,G2,G3間有關系G3?2G1?G2,此時稱G3是G1,G2的結果（即可用G1,G2線性表示）.則方程組（2）與??x1?2x2?x3?2(G1)同解.2x?3x?x?3(G)232?1同樣地,把（1）中的m個方程依次用G1,G2,?,Gm表示,若在這m個方程中,某個方程Gi是其它若干個方程的結果,則可把（1）中的Gi舍去,從而達到化簡的目的.即現在又得到化簡（1）的方法：不考慮（1）中那些是其它若干個方程的結果,而剩下的方程構成與（1）同解的方程組.現在的問題是這樣化簡到何種程度為止,或曰這樣化簡的方程組最少要保留原方程組中多少個方程.由初等變換法,若（1）的r(A)?r,則可把（1）歸結為解一個含有r個方程的線性方程組.同樣

TH4.3.1設方程組（1）有解,r(A)?r(A)?r(?0),則可以在（1）中的m個方程中選取r個方程,使得剩下的m?r個方程是這r個方程的結果.因而解（1）歸結為解由這r個方程組成的方程組.下看如何解方程組：

第四篇：高等代數教案第一章基本概念

第一章

一 綜述

基本概念

1．本章是本門課程所需要的最基本概念（集合、映射、整數的一些性質、數環和數域）和方法（數學歸納法、反證法）.所需位置不同,可根據課時安排及進度分散處理.如集合、整數的一些整除性質、數學歸納法、數環和數域可先講,映射可放在線性空間前講.2．從內容上講,除集合中的卡氏積的概念及數環、數域的概念外,其它內容是學生在中學數學當中熟知的,只不過是將有關內容的系統化、理論化（如整數的整除性、映射、數學歸納法,其在中學中熟知其一些事實,今在理論上加以嚴密論證）.3．新的知識點是集合的卡氏積、數環、數域的概念,數學歸納法作為定理的論證.4．學習本部分的難點是：從概念出發進行推理論證,這需要從具體例子引導訓練,逐步培養.二 重點、難點

1.重點在于所有基本概念,特別是引入的新概念.2.難點是可逆映射、整數的整除性、數學歸納法本身的證明.1．1

集

合

一 教學思考

1．集合可以作為不定義的概念來處理,有些教材上給出了一個簡單刻化.2．確定一個集合A,就是要確定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.說明一個集合包含哪些元素時,常用“列舉法”、“示性法”（描述法）.3．中學代數大部分的內容是計算,因此一開始遇到證明題時,往往不知從何入手,此需注意培養學生的推理能力,這里應通過證明“集合相等”來加強這方面的訓練.4．為稍拓寬知識,可講解一下補集、冪集等概念.二 重點、要求

1．重點、難點：卡氏積的概念及從概念出發（集合相等、子集等）進行推理.2．要求：使學生了解有關集合的刻化及運算,培養推理能力.三 教學過程

1．集合：簡稱集,在此是一個不定義的原始概念,通常可給出如下描述性的解釋：即所謂集合,是指由某些確定的事物（或具有某種性質的事物）組成的集體.其中每個事物稱為這個集合的元素.常用大寫字母A、B、C?表示集合,用小寫字母a、b、c?表示集合的元素.若a是集合A的元素,就說a屬于A,記作a?A,或者說A包含a.若a不是集合A的元素,就說a不屬于A,記作a?A,或者說A 不包含a.常采用兩種方法：

（1）列舉法：列出集合的所有元素（包括利用一定的規律列出無限集）的方法.如A??1,2,3,??.（2）示性法（描述法）：給出集合所具有的特征性質.如B?x|x?3x?4?0表示方程

?2?x2?3x?4?0的解集.2．集合的分類（按所含元素的個數分）： 有限集：只含有有限多個元素的集合.無限集：由無限多個元素組成的集合.空集：不含任何元素的集合.用?表示.約定：?是任何集合的子集.3．集合間的關系：

（1）設A、B是兩個集合.“?x?A?x?B”）子集：若A的每個元素都是B的元素,則稱A是B的子集（即若..記作A?B

?如：f:R?R,x?x;g:R?R,x?2．映射的合成

x2.有f?g.（1）定義3.設f:A?B,g:B?C是兩個映射,對?x?A,有f(x)?B,從而g(f(x))?C,這樣,對?x?A,就有C中唯一的g(f(x))與之對應,就得到A到C的一個映射,這個映射是由f:A?B和g:B?C所決定的,稱為f與g的合成.記作g?f.即：g?f:A?C,x?g(f(x)).例子：f:R?R,x?x2;g:R?R,x?sinx.則

g?f:R?R,x?sinx2;f?g:R?R,x?sin2x.（2）映射合成滿足結合律：

設f:A?B,g:B?C,h:C?D,則由合成映射的定義可得A?D的兩個映射：h?(g?f),(h?g)?f,則h?(g?f)?(h?g)?f.3．幾類特殊映射

定義4.設f:A?B,對?x?A,有f(x)?B,則所有這樣的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)??f(x)|x?A?,叫做A在f下的象,或叫做映射f的象.（1）滿射: 定義5.設f:A?B是一映射,若f(A)?B,則稱f是A到B上的一個映射,也稱f是一個滿射.（2）單射: 定義6.設f:A?B是一個映射,若對?x1,x2?A,只要x1?x2,就有f(x1)?f(x2),則稱f是A到B的一個單射,簡稱單射.（3）雙射（1-1對應）:定義7.若f:A?B既是單射又是滿射,即

1）若 f(x1)?f(x2)?x1?x2,?x1,x2?A；

2）f(A)?B.則稱f是A到B的一個雙射.特別若f是A到A上的一個1-1對應,就稱f為A的一個一一變換；有限集A到自身的雙射稱為A的一個置換.如：jA是A的一個一一變換,同樣jB是B的一個一一變換.由映射合成及相等：若f:A?B,則有f?jA?f,jB?f?f.TH1.2.1令f:A?B是一個映射,則：下述兩條等價：1）f是雙射；2）存在g:B?A使得g?f?jA,f?g?jB.且2）成立時,其中的g由f唯一決定.（4）可逆映射及其逆映射

定義8.設f:A?B,若存在g:B?A,使得g?f?jA,f?g?jB,則稱f是可逆映射,且稱g為f的逆映射.求其逆的方法

由定理知：f:A?B可逆?f是雙射.而驗證雙射有具體方法,所以可先證f可逆（雙射）,再求其逆.而由TH1證知f可逆時其逆唯一為g:B?A,y?x（若f(x)?y)（即對y?B,找在f下的原象）.（5）代數運算

引例：我們常說整數加法是整數的一個“代數運算”.其意思是說對任一對整數(a,b),有確定的唯一一個整數（通過相加）與之對應,用映射的觀點來說整數加法是Z?Z?Z的一個映射：?:(a,b)?a?b.同樣實數乘法亦然.一般地：

定義9.設A是一個非空集合,我們把A?A?A的一個映射叫做集合A的一個代數運算.若集合A 有代數運算?,也說A對?封閉.要從中體會嚴格的推理論述.此與多項式相應的問題平行,到時應對照學習.1.整除、帶余除法（1）整除

這時a叫做b的一個因數,而b叫做a的一個倍數.若a不整除b（即對?d?Z,ad?b）,記作a|b.B）整除的性質：

1）a|b,b|c?a|c；

（傳遞性）2）a|b,a|c?a|(b?c);3）a|b,?c?Z?a|bc；

4）由2）、3）a|bi,?ci?Z,i?1,2,3,?,n?a|?bcii；

5）?1|a,a|0,?a|a(?a?Z)；由此任意整數a有因數?1,?a,它們稱為a的平凡因數； 6）若a|b??a|?b；

7）a|b且b|a?a?b或a??b.（對稱性）(2)帶余除法

“整除”是整數間的一種關系,任意兩個整數可能有這種關系,可能沒有這種關系,一般地有：

TH1.4.1(帶余除法)設a,b?Z,且a?0；那么?q,r?Z使得b?aq?r

且0?r?a.滿足上述條件的q,r是唯一的.2.最大公因數、互素（1）最大公因數

且c|a,c|b?c|d（即d能被a與b的任一個公因數整除）.則稱d為a與b的一個最大公因數.最大公因數的概念可推廣至有限個整數.B）最大公因數的存在性（及求法）

TH1.4.2 任意n(n?2)個整數a1,a2,?,an都有最大公因數；若d為a1,a2,?,an的一個最大公因數,則?d也是；a1,a2,?,an的兩個最大公因數至多相差一個符號.C）性質

TH1.4.3 設d為a1,a2,?,an的一個最大公因數,那么?t1,t2,?,tn?Z使得A）定義1.設a,b?Z,若?d?Z使得b?ad,則稱a整除b（或b被a整除）.用符號a|b表示.d|a且d|bA）定義2.設a,b?Z,d?Z,若d滿足：1）（即d是a與b的一個公因數）；2）若c?Zd?t1a1?ta2??2?tnan.略證：若a1?a2???an?0,則d?0,從而對?ti?Z都有0?t1a1?t2a2???tnan；若ai不全為0,由證明過程知結論成立.（2）互素

定義3.設a,b?Z,若(a,b)?1,則稱a,b互素；一般地設a1,a2,?,an?Z,若(a1,a2,?,an)?1,則稱a1,a2,?,an互素.3.素數及其性質

（1）定義4.一個正整數p?1叫做一個素數,若除?1,?p外沒有其他因數.（2）性質

1）若p是一個素數,則對?a?Z有(a,p)?p或(a,p)?1.（注意轉換為語言敘述,證易；略）

2）?a?Z且a?0,?1；則a可被某一素數整除.3）TH1.4.5 設p是一個素數,a,b?Z,若p|ab,則p|a或p|b.TH1.4.4 n個整數a1,a2,?,an互素??t1,t2,?,tn?Z使得t1a1?t2a2???tnan?1.6-

第五篇：復旦大學2000年高等代數

復旦大學高等數2000

1． 求方陣

?10?1????11?1?

?110???的逆陣。

2． 設A為一個n階方陣且A的秩等于A的秩。證明A的秩等于A的秩。

3． 設A為一個n階正交陣，x1,x2,?,xn?1為一組線性無關的列向量，對于1?i?n?1都

有Axi?xi。如果A的行列式等于1，證明A是單位矩陣。

4． 設n是一個自然數，V是由所有n?n實矩陣構成的n2維實向量空間，U和W分別為

由所有n?n對稱矩陣和反對稱矩陣構成的空間。證明V?U?W，既V是U和W的直和。

5． 設K為一個數域，K[x]為K上以x作為不定元的多項式全體所組成的集合。設23

?f(x)g(x)?其中f(x),g(x),h(x),q(x)?K[x]。假定f(x)q(x)?g(x)h(x)是A???h(x)q(x)??，??

K中的一個不等于零的數。證明A可以表示成有限多個以下類型的矩陣的乘積：?10??1s(x)??a0???r(x)1??,??01??,??0b??,其中a,b是K中的非零數，而r(x),s(x)?K[x].??????