第一篇：[41KB]山東大學2000年高等代數考研試卷

山東大學

2000年碩士研究生研究生入學考試試題

考試科目：高等代數

注意：

1、所有答案必須寫在“山東大學研究生入學考試答題紙”上，寫在試卷和其他紙上無效

2、本科目允許/不允許使用無字典存儲和編程功能的計算器。

1.設

?1,?2,??m

（m>1），是線性無關的向量組。令

試討論?1,?2,?,?m的?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m,?m??m??1，線性相關性。

2.設A，B是數域F上的n階文陣，E是n階單位矩陣。（1）如果E－AB可逆。證明：E

－BA也可逆。（2）利用（1），證明：AB與BA有相同的特征值。

3.設，為A?(aij),B?(bij)，n階正定矩陣，證明：C?(cij)（其中cij?aijbij）是正定

矩陣。

4.設T是n維歐氏空間Rn的一個保距變換即：??,??R,T??T?????。如果T

將零向量變為零向量，證明：T是正交變換。

5.設A為n階方陣。證明：A2?A是充要條件是A秩＋（A－E）秩＝n.6.設M為無限多個n階矩陣組成的集合，且M中任意兩個矩陣相乘時可交換。如果M中

每個矩陣都可以對角化，試證明：存在一個可逆矩陣P，使得對M中任意矩陣X，恒有

PXP，為對角矩陣。

?1

n

第二篇：2014福州大學高等代數考研資料免費下載

2014福州大學高等代數考研資料免費下載

歷年考研真題試卷

福州大學2007年招收碩士研究生入學考試試卷

考試科目高等代數科目編號818

注意：作圖題答案可直接做在試卷上。所有的作圖題均應保留精確的作圖線條。試卷必須與答卷一起交。答題時不必抄原題，但必須寫清所答題目順序號。

一、簡答題（每小題3分，滿分30分）

1、計算行列式，其中，但(思遠福大考研網)。

2、在線性空間中，求向量組的一個極大線性無關組。

3、已知3階矩陣滿足，求的所有特征值，這里表示單位矩陣。

4、在線性空間中，已知向量共面，求。

5、設是線性空間中的線性變換，滿足

求在基下的矩陣(思遠福大考研網)。

6、設，若被整除，求。

7、設矩陣，其中線性無關，向量，求方程組的通解；

8、設，它們相似嗎？

9、求矩陣的最小多項式和若當標準型。

10、討論二次型何時正定(思遠福大考研網)。

二、解答題（第11-18題，每題15分滿分120分）

11、（1）設是正定實對稱矩陣，則對任一正整數，存在正定實對稱矩陣，使；

（2）設是滿秩實矩陣，則存在正定實對稱矩陣和正交矩陣，使。

12、設是數域，（表示元素在的矩陣全體），且，對于的子空間，,，證明：。

13、設為有理數域，是上的線性空間，是的線性變換，設，且，，證明：（1）線性無關；

（2）線性無關(思遠福大考研網)。

14、設是數域上矩陣關于矩陣加法和數乘作成的線性空間，定義變換。（1）證明是上的的對合線性變換，即滿足（恒等變換）的線性變換；（2）求的特征值和特征向量；

15、求多項式在有理數域上的分解式。

16、設，求一個正交矩陣，使成對角矩陣。

17、設向量分別屬于方陣的不同特征值的特征向量(思遠福大考研網)，證明向量組線性無關。

18、設是有限維歐式空間的一個正交變換，且其中是一個正整數且，是的恒等變換，令，證明：

（1）是的一個子空間；（2）是的一個不變子空間，其中是的正交補；

第三篇：高等代數課程試卷及參考答案

《高等代數》自測題（2）

一、計算（20分）

3?21?4

?57?46

1?2?13

x?a

ax?a?a

????

aa?x?a

52?3

a?a

1）2）

二、證明：（20分）

1）若向量組?1??n線性無關，則它們的部分向量組也線性無關。2）若向量組?1??n中部分向量線性相關，則向量組?1??n必線性相關

三、（15分）已知A為n階方陣A為A的伴隨陣，則|A|=0，A的秩為1或0。

四、（10分）設A為n階陣，求證，rank（A+I）+rank（A-I）≥n

五、（15分）求基礎解系

?x1?x2?x3?x4?0

?

?x1?x2?x3?3x4?0 ?x?x?2x?3x?0

234?1

~

~

六、（10分）不含零向量的正交向量組是線性無關的七、（10分）設A是n×n正定矩陣，證明A6也是正定的。

第四篇：天津大學 考研836高等代數(含解析幾何)

天津大學碩士研究生入學考試業務課考試大綱

課程編號：836課程名稱：高等代數（含解析幾何）

一、考試的總體要求

要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握代數的基本方法，要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力、綜合運用所學的知識分析和解決問題的能力。

二、考試的內容及比例

1．多項式：數域，二元多項式、整除、最大公因式、互素、不可約多項式、因式分解定理、重因式、多項式、函數、復系數與實系數多項式的因式分解，有理系數多項式，多元多項式。

2．行列式：排列，n階行列式的定義，n階行列式的性質及計算，行列式展開（按一行(一列)展開，拉普拉斯定理）克萊姆法則。

3．矩陣：矩陣的概念，矩陣的運算，逆矩陣、矩陣乘積的行列式、分塊矩陣、初等矩陣、初等變換，分塊矩陣和初等變換及其應用，矩陣的秩。

4．線性方程組：n維向量空間，n維向量的線性相關性，向量組的極大線性無關組，向量組的秩和線性方程組的解法、有解的判別原理、解的結構。

5．二次型：二次型及其矩陣表示，二次型的標準型、唯一性、化二次型為標準型，正定二次型。

6．線性空間：集合、映射、線性空間的定義與性質。基、維數與坐標、基變換與坐標變換，線性子空間，子空間的交與和，直和，線性空間的同構。

7．線性變換的定義及其運算，線性變交換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核、不變子空間。

8．λ-矩陣：λ-矩陣的概念，λ的矩陣在初等變換下的標準型，行列式因子，不變因子，及初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的若當標準型及理論推導。

9．歐幾里德空間：歐幾里德空間的定義與基本性質，標準正交基，歐氏空間的同構和正交變換，子空間及其正交系，正交補，對稱矩陣的標準形。向量到子空間的距離，最小二乘法，酉空間。

各部分占10%左右。

三、考試的題型及比例

1．填空題15%。2．計算題40%。3．證明題45%。

四、考試形式及時間

考試形式均為筆試。考試時間為三小時。（滿分150分）

第五篇：2007年考研高等代數大綱(碩士)

江蘇自動化研究所碩士研究生入學考試

《高等代數》考試大綱

一、總體要求

要求掌握行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間、(多項式理論、λ-矩陣不單獨出題)。

二、命題范圍及考查的知識點

1、行列式

1）行列式的定義與性質。

2）低階行列式，高階規律性較強的行列式計算。

2、線性方程組

1）解線性方程組

2）線性方程組解的理論

3）線性相關性的證明

3、矩陣

1）矩陣的運算

2）矩陣的逆

3）矩陣秩的不等式的證明

4、二次型

1）化二次型為標準形

2）正定性問題的證明

5、線性空間

1）線性空間與子空間的概念

2）基、維數與坐標

3）子空間的直和的證明

6、線性變換

1）特征值、特征向量有關問題

2）求若當標準形、最小多項式

3）線性變換的值域與核

7、歐氏空間

1）正交矩陣與正交變換

2）實對稱陣有關證明

三、考試說明

1、考試形式與試卷結構

1)答卷方式：閉卷，筆試，總分150分,2)答題時間：3小時，3)總分：滿分150分，4)題型比例

計算題約 50%

證明題約 50%

四、參考書目

《高等代數》（第三版），北京大學數學系，高等教育出版社，2003年