第一篇：高等代數與高等數學

高等代數與高等數學的區別

高等代數、數學分析是數學專業中更細的數學研究的分類。高等代數是代數方向的究，而數學分析使用極限方法研究函數特性的數學。而高等數學是對非數學專業的人學習的區別于初等數學的數學，應當包括高等代數和數學分析部分。

高等代數是代數學發展到高級階段的總稱，它包括許多分支?，F在大學里開設的高等代數，一般包括兩部分：線性代數初步、多項式代數。高等代數在初等代數的基礎上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁復。

集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數值還同時具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運算的規則的集合。向量空間中的運算對象已經不只是數，而是向量了，其運算性質也有很大的不同了。

其研究對象不僅是數，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算，雖然也叫做加法或乘法，但是關于數的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數學的內容可以概括稱為帶有運算的一些集合，在數學中把這樣的一些集合，叫做代數系統。比較重要的代數系統有群論、環論、域論。群論是研究數學和物理現象的對稱性規律的有力工具。現在群的概念已成為現代數學中最重要的，具有概括性的一個數學的概念，廣泛應用于其他部門。高等數學比初等數學“高等”的數學。廣義地說，初等數學之外的數學都是高等數學，也有將中學較深入的代數、幾何以及簡單的集合論邏輯稱為中等數學，作為小學初中的初等數學與本科階段的高等數學的過渡。通常認為，高等數學是將簡單的微積分學，概率論與數理統計，以及深入的代數學，幾何學，以及他們之間交叉所形成的一門基礎學科，主要包括微積分學，其他方面各類課本略有差異。

第二篇：復旦大學2000年高等代數

復旦大學高等數2000

1． 求方陣

?10?1????11?1?

?110???的逆陣。

2． 設A為一個n階方陣且A的秩等于A的秩。證明A的秩等于A的秩。

3． 設A為一個n階正交陣，x1,x2,?,xn?1為一組線性無關的列向量，對于1?i?n?1都

有Axi?xi。如果A的行列式等于1，證明A是單位矩陣。

4． 設n是一個自然數，V是由所有n?n實矩陣構成的n2維實向量空間，U和W分別為

由所有n?n對稱矩陣和反對稱矩陣構成的空間。證明V?U?W，既V是U和W的直和。

5． 設K為一個數域，K[x]為K上以x作為不定元的多項式全體所組成的集合。設23

?f(x)g(x)?其中f(x),g(x),h(x),q(x)?K[x]。假定f(x)q(x)?g(x)h(x)是A???h(x)q(x)??，??

K中的一個不等于零的數。證明A可以表示成有限多個以下類型的矩陣的乘積：?10??1s(x)??a0???r(x)1??,??01??,??0b??,其中a,b是K中的非零數，而r(x),s(x)?K[x].??????

第三篇：高等代數半期心得體會

高等代數半期心得體會

剛剛開始接觸到高等代數的時候，對它一無所知，僅僅聽其它專業的同學談論過線性代數這門課程。唏噓記得第一高代課節講的是排列，全新的知識點，因為第一次課沒有課本，那節課我異常的認真，發現高代很有趣。在第一次課，我們也見到了樹文老師，第一次課老師提早了五分鐘來，在這幾分鐘里老師沒有和我們說話，讓我覺得老師很嚴肅。但是在之后的接觸卻讓我深深的喜歡樹文老師。

記得老師說過數學大致分為基礎數學運用數學。而基礎數學包含幾何、代數和分析，這三個主要方面。說明我們所學的高等代數是學習之后課程的基礎，可見其重要性?！陡叩却鷶怠肥菙祵W學科的一門傳統課程。在當今世界的數學內部學科趨于統一性和數學在其他學科的廣泛應用性的今天，《高等代數》以其追求內容結構的清晰刻畫和作為數學應用的基礎，是我們的主干基礎課程。它是數學在其它學科應用的必需基礎課程，又是數學修養的核心課程。高等代數是在初等代數的基礎上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁復。通過學習后，我們知道，不僅是數，還有矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算，雖然也叫做加法或乘法，但是關于數的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數學的內容可以概括稱為帶有運算的一些集合，在數學中把這樣的一些集合，叫做代數系統。

在學習之前，我一直認為高等代數就是線性代數。經過半學期的學習后，我發現，這兩者之間區別還是挺大的。高等代數是我們數學專業開設的專業課，更注重理論的分析，需要搞懂許多概念是怎么來的，而線性代數，只是一種運算工具，是供工科和部分醫科專業開設的課程，只注重應用。

經過半學期的學習，我對高等代數里面的知識有了個初步的認識和接觸，特別是代數的一些思想，也從中收獲不少。下面就對半學期的學習做一個回顧和總結。行列式

行列式是代數學中的一個基本概念，它不僅是討論線性方程組理論的有力工具，而且還廣泛的應用于數學及其他科學技術領域

定義：設A=（aij）為數域F上的nn矩陣，規定A的行列式為 其中，為1,2，…，n的一個排列。

從定義，我們可以看出，行列式是到F的一個映射。通過這個定義，我們可以推斷出行列式的諸多性質： 1.行列式與它的轉置相等；

2.互換行列式的兩行（列），行列式變號；

3.若一個行列式中有兩行（列）元素對應相等，則這個行列式為零；

4.行列式的某行（列）中的公因子可以提出去，或者以一數乘行列式等于這個數乘行列式； 5.如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零； 6.幫行列式的一行乘以某個數加到另一行，行列式不變；

7.Laplace展開定理：任取A的k 行，可構成A的一切可能的k階子式為t（）個，設為 ,其相應的代數余子式為，則。

其中，第七條性質的特殊情形就是我們平時常用的展開定理。這7條性質的應用是行列式應用于其他地方的基本保障。在此基礎上，我們可以得出更多的性質和推論。通過學習，我們知道，行列式其實是一種工具，是將多種情況下轉換為行列式，通過計算行列式的值來得到想要的結果。在上面7條性質的基礎上，我們可以得到計算一般階的主要方法與技巧：定義法、化三角形法、Vandermonde（范德蒙）行列式法、分列式行列式法、加邊法、降階法、遞推法、數學歸納法、做輔助行列式法。這里就不一一分析了，比較常用的就是化三角法，一般有上三角和下三角。

在學行列式時，沒覺得有什么困難，知識本身也比較簡單，除了弄懂那些定理是怎么來的，剩下來的就是計算了，一般情況下，只要細心點，就不會錯了。行列式還是比較好學的。矩陣

矩陣，Matrix。在數學上，矩陣是指縱橫排列的二維數據表格，最早來自于方程組的系數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家Cayley于1858年首先提出。自此，矩陣理論便迅速的建立起來。矩陣論是數學中內容最為豐富、應用最廣泛的部分。定義：稱數域F中m×n個數a_ij（i=I,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形表格 ?a11??a21????a?m1a12?a1n??a22?a2n?????am2?amn??

為數域F上的一個m×n矩陣，簡記為，其中稱為矩陣的第i 行第 j列交叉點上的元素（簡稱元）。其中，若對于矩陣A，如果存在矩陣B，是的AB=E,則稱B為A的逆矩陣。在我們的學習中，矩陣的秩和初等矩陣是在矩陣應用中兩個比較重要的概念。矩陣的秩：設A=,是A的行向量，為A的列向量，稱r矩陣的秩，若r為A行（列）向量組的極大無關組的個數。

用通俗的話講就是若A中存在一個r階子式不等于0，而一切r+1階子式都等于0，則稱r為A的秩，并記為rank A=r；特別的，當A=0時，規定rankA=0.我們用到矩陣時另一個重要的概念就是初等矩陣。

定義：由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。定義中提到的另一個概念初等變換是指，? 交換矩陣的兩行（列）

? 用一個非零數乘矩陣的某一行（列）

? 用一個數乘矩陣某一行（列）加到另一行（列）上去

初等變換和初等矩陣之間的關系也是一個很重要的知識點，它為我們之后的矩陣進行的各種處理提供了理論基礎：對于一個sxn矩陣A做一次初等行變換就相當于在A的左邊乘相應的一個sxs初等矩陣；做一次初等列變換就相當于在A的右邊乘相應的nxn初等矩陣。這種對應關系也就是后來學到的線性變換，這在后文會單獨列出來講述。矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見于統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。由此可見，矩陣在高等代數中的重要性。記得在初次接觸矩陣的時候，還沒有覺得有什么困難，但當學到矩陣的秩的時候，便開始犯糊涂了，腦子一時轉不過彎，無法理解什么才叫矩陣的秩。經過長時間的學習后，才對秩有了一個深入的了解，兩學期的高代課下來，才讓我真正認識到矩陣的重要性。當然，矩陣的重要性并不是因為上述兩個重要的概念，而是矩陣分支出去的概念的應用，下面便一一闡釋。

線性方程組

線性方程組中其實是用到了矩陣的乘法。線性方程組是方程組的一種，它符合以下的形式：

其中，a11，a12以及b1，b2等等為已知常數，而x1，x2等等則是要求的未知數。運用矩陣的方式，可以將線性方程組寫成一個向量方程：Ax=b，其中，A是由方程組里未知量里未知量的系數排成的mxn矩陣，x是含有n個元素的行向量，b是含有m個元素的行向量。A=，x=, b= 在這個寫法下，將原來的多個方程轉化成一個向量方程，在已知矩陣A和向量b的情況下，求未知向量x。對于方程組

（1）

當b1,b2,...,bm為零時，我們稱（1）為其次線性方程組，否則，為非齊次線性方程組。定義：齊次線性方程組的一組解η1，η2，...，ηt稱為（1）的一個基礎解系，如果 1)（1）的任意一個解都能表達成η1，η2，...，ηt的線性組合； 2)η1，η2，...，ηt線性無關。

在證明其次線性方程組的確有基礎解系的時候，我們得到這樣一個定理：在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，并且基礎解系所含解的個數等于n-r，這里的r表示系數矩陣的秩。

進一步可得，如果是非齊次線性方程組的一個特解，那么該方程組的任意一個解都可以表成

γ=γ0+ η

其中該方程組導出組的一個解。這樣，就給出了非齊次線性方程組的任意解的表達方式。以上便是線性方程組所學習的主要內容，線性方程組的應用十分廣泛，現實中的問題大多數是連續的，例如工程中求解結構受力后的變形，空氣動力學中計算機翼周圍的流場，氣象預報中計算大氣的流動等等。這些現象大多是用若干個微分方程描述。用數值方法求解微分方程（組），不論是差分方法還是有限元方法，通常都是通過對微分方程（連續的問題，未知數的維數是無限的）進行離散，求解在科學與工程中的應用非常重要。在學線性方程組的時候，對基礎解系的概念理解的不夠深，再加上大一學的求基礎解系的方法和王老師教的有一定的區別，導致我時常搞混，經常弄得到最后都求不來基礎解系，不過，經過一段時間的學習，還是克服了這個困難，其實只要搞懂基礎解系這個概念，求它的方法自然也就好理解了。

學習高代的熱情還有一部分來自于可愛的高代老師。老師每次上課都會提早五分鐘到，因為我記得樹文老師說過讓我們必須提早五分鐘到，老師看見有同學上課玩手機就會很生氣，因為老師不讓我們上課玩手機，如果沒擦黑板老師會讓書記和班長罰站，如果作業做的不認真或者和老師的侄子叫同一個名字，你就會被提問。老師有好多古怪的教學方法，讓我們覺得很有趣，每一節課都很輕松愉快。記得又一次身體不舒服，問老師可不可以先走需不需要補假條，老師任性的說了一句：走吧，不用補假條我說的算。好霸氣...好溫暖，感謝擁有樹文這樣可愛任性的高代老師。

回顧半學期的學習，覺得高代這門課還是挺難的，最重要的一個因素就是它比較抽象，需要一定的抽象思維去理解它，不像數學分析那樣，很多東西都能夠通過畫畫圖什么的去理解它，而且，高代里面有許多概念，看似簡單，但真正理解它，對于我而言，還是一個不小的困難。高等代數作為數學專業學科中最基礎的課程之一，相信以后的學習中會用到它的一些思想什么的，也許到那時，就會慢慢領悟其深刻含義了！

第四篇：教學大綱-廈門大學高等代數

教學大綱

一． 課程的教學目的和要求

通過這門課的學習，使學生掌握高等代數的基本知識，基本方法，基本思路，為進一步學習專業課打下良好的基礎，適當地了解代數的一些歷史，一些背景。

要突出傳授數學思想和數學方法，讓學生盡早地更多地掌握數學的思想和方法。突出高等代數中等價分類的思想，分解結構的思想，同構對應的思想，揭示課程內部的本質的有機聯系。

二．課程的主要內容：

代數學是研究代數對象的結構理論與表示方法的一門學科。代數對象是在一個集合上定義若干運算，且滿足若干公理所構成的代數系統，線性空間則是數學類專業本科生所接觸和學習的第一個代數對象。本課程力求突出代數學的思想和方法。

《高等代數》分為兩個部分主要內容。一部分是基本工具性質的，包括多項式，行列式，矩陣初步，二次型。既然是工具性質的，因而除了多項式內容外，也是數學專業以外的理科、工科、經管類《線性代數》的內容，以初等變換為靈魂的矩陣理論是這部分內容的核心。另外一部分是研究線性空間的結構，這是研究代數結構的起點和模型，也是《高等代數》有別于《線性代數》之所在?！陡叩却鷶怠窂娜齻€角度進行研究。從元素的角度看，研究向量間的線性表示，線性相關性，基向量；從子集角度看，研究子空間的運算和直和分解；從線性空間之間的關系來研究線性空間結構，就是線性映射，線性變換，線性映射的像與核，Jordan標準形對應的空間分解。而歐氏空間則是具體的研究空間的例子。在研究線性空間中，始終貫穿著幾何直觀和矩陣方法的有機結合，矩陣的相似標準形和對應的線性空間分解則是這種有機結合的生動體現和提升，因而是本課程的精華內容。

本課程力求突出幾何直觀和矩陣方法的對應和互動。我們強調矩陣理論，把握簡潔和直觀的代數方法，同時重視線性空間和線性映射（變換）的主導地位和分量，從幾何觀點理解和把握課程內容。

三．課程教材和參考書：

教材：林亞南編著，高等代數，高等教育出版社，第一版

參考書：1.姚慕生編著，高等代數（指導叢書），復旦大學出版社，第二版 2.北京大學數學系編，高等代數，高等教育出版社，北京（1987）3.張禾瑞、郝炳新，高等代數，高等教育出版社，北京（1999）4.樊惲、鄭延履、劉合國，線性代數學習指導，科學出版社，北京（2003）5.林亞南編：高等代數方法選講，2002年，見廈門大學精品課程“高等代數”網站 四．課程內容及學時分配

本課程開課時間：一學年（共兩學期），共170學時，其中課堂講授122學時,習題討論課42學時，考試6學時。具體安排為：第一學期，80學時，其中課堂講授60學時，習題討論課18學時，半期考2學時；第二學期，90學時，其中課堂講授62學時，習題討論課24學時，單元考4學時；以上不包括期末考。課堂講授有全程教學錄像，習題討論課不錄像。

第一章 矩陣（28學時）

1、教學內容：矩陣定義與運算，分塊矩陣，行列式的定義，行列式的性質，行列式的基本計算方法，Laplace定理，可逆矩陣，矩陣的初等變換與初等矩陣，矩陣的相抵標準形，矩陣的秩。

2、教學目的和要求：使學生正確掌握矩陣的運算和運算法則，熟練掌握矩陣的初等變換這一矩陣論的核心內容和方法，掌握分塊矩陣的運算，掌握矩陣的逆、矩陣的秩，掌握矩陣相抵的等價分類，化標準形的思想方法，理解行列式的歸納法定義，熟練掌握行列式的性質，熟練掌握計算行列式基本方法，了解和應用Laplace定理，了解行列式的等價定義。

3、各節教學時間分配及進度安排:§1數域（1學時）；§2 矩陣和運算（3學時）；§3分塊矩陣（2學時）；§4 行列式（6學時）；§5 行列式的展開式和Laplace定理（2學時）；§6可逆矩陣（2學時）；§7 初等變換和初等矩陣（4學時）；§8矩陣的秩（2學時）；習題討論課（6學時）。

第二章 線性方程組（14學時）

1、教學內容：數域，列向量的線性關系，向量組的秩，線性方程組解的結構。

2、教學目的和要求：使學生正確理解數域的概念，正確判斷和證明列向量的線性關系，掌握證明向量組的秩的命題的方法，熟練掌握線性方程組的解的判斷、計算和解的結構。

3、各節教學時間分配及進度安排:§1消元法（2學時）；§2 n維列向量（3學時）；§3向量組的秩（4學時）；§4 線性方程組解的結構（2學時）；習題討論課（3學時）。

第三章 線性空間（14學時）

1、教學內容：線性空間的定義，線性相關性：線性相關和線性無關，線性表示，線性等價的向量組，極大線性無關組，基與維數，基的變換與過渡矩陣，線性空間的同構，子空間的定義與判斷，子空間分解，關于子空間的交空間和和空間的維數公式。

2、教學目的及要求：使學生正確理解線性空間的定義，從定義出發正確判斷和證明向量組的線性關系，把握一批重要實例的基與維數，掌握計算矩陣的秩的初等變換方法和子式方法，培養學生嚴謹的邏輯推理能力和準確簡明的表達能力，熟悉同構的思想，等價分類的思想，直和分解的思想。

3、各節教學時間分配進度安排：§1線性空間（2學時）；§2基和維數（2學時）；§3坐標（2學時）；§4 子空間（2學時）；§5 直和分解（2學時）；習題討論課（4學時）。

第四章 線性映射（22學時）

1、教學內容：線性映射和線性變換，兩個線性空間的線性映射（變換）的全體構成集合的代數結構，線性映射與矩陣的同構對應，線性映射的核與像 以及維數公式，線性變換的不變子空間和導出變換。

2、教學目的及要求：使學生準確理解和掌握線性映射（變換）的概念，理解線性映射由基的像唯一確定及其應用；掌握兩個線性空間之間的線性映射（變換）的全體在定義了加法、數乘（和乘法）運算后構成線性空間（代數）；熟練掌握用核空間與像空間刻畫單滿線性映射，熟練掌握維數公式；學會在同構意義下線性映射的命題與矩陣的命題之間的轉化；學會以上內容在具體例子的實現和計算。

3、各節教學時間分配進度安排：§1映射（2學時）；§2 線性映射和運算（4學時）；§3 同構（3學時）；§4像與核（3學時）；§5 線性變換（3學時）；§6 不變子空間（2學時）；習題討論（5學時）。

第五章 多項式（24學時）

1、教學內容：一元多項式的概念，多項式的運算，整除的概念與性質，帶余除法，最大公因式的唯一性、存在性，Euclidean輾轉相除法，互素的性質及判定；中國剩余定理；不可約多項式及其性質，標準分解式，重因式的判定與求法；多項式函數的根，余數定理，根的個數；代數基本定理，復數域上多項式的分解，Vieta定理；實系數多項式的不可約多項式，實系數多項式的分解；有理系數多項式的根，本原多項式，Gauss引理，Eisenstein判別法；多元多項式的基本概念，多元多項式中單項式的排列次序，關于乘積首項和次數；對稱多項式，初等對稱多項式，對稱多項式的基本定理。

2、教學目的及要求：使學生掌握多項式全體作為線性空間的代數結構的運算法則；熟練掌握和應用帶余除法定理；熟練掌握最大公因式和互素的判別方法和基本性質；熟練掌握和應用因式分解定理，掌握不可約多項式的基本性質，了解重因式與重根的聯系，掌握復系數與實系數的標準分解式，掌握有理系數多項式的Gauss引理，Eisenstein判別法；了解多元多項式與了解多元多項式函數的關系，理解和掌握對稱多項式的基本定理和Newton公式。

3、各節教學時間分配及進度安排：§1一元多項式和運算（1.5學時）；§2 整除（2學時）；§3 最大公因式（2.5學時）；§4 標準分解式（2學時）；§5 多項式函數（2學時）；§6復系數和實系數多項式（1.5學時）；§8 有理系數和整系數多項式（2.5學時）；§9 多元多項式（1.5學時）；§10 對稱多項式（2.5學時）；習題討論課（6學時）。第一單元考試（2學時）。

第六章 特征值（16學時）

1、教學內容：特征值和特征向量，特征多項式及其性質，特征值、特征向量的求法；復方陣相似于上三角陣及其應用；矩陣可對角化的判定和計算，特征子空間，特征值的代數重數、幾何重數，完全特征向量系；零化多項式和極小多項式，Cayley-Hamilton定理。

2、教學目的及要求：使學生掌握特征值、特征向量、特征多項式、特征子空間、極小多項式的定義和基本性質；清楚零化多項式和極小多項式的關系，掌握Cayley-Hamilton定理；熟練掌握計算特征值與特征向量，可對角化的判定和計算。

3、各節教學時間分配及進度安排：線性空間線性映射知識回顧（4學時）；§1 特征值和特征向量（3學時）；§2 可對角化（2.5學時）；§3 極小多項式（2.5學時）；習題討論課（4學時）。

第七章 相似標準形（22學時）

1、教學內容：多項式矩陣和矩陣多項式，λ-矩陣的相抵，初等λ-矩陣；λ-矩陣的法式；矩陣的行列式因子，不變因子，初等因子；不變因子和Frobenius型；初等因子和Jondan小塊，矩陣相似的全系不變量；Jordan標準形：Jordan 標 準形對應的不變子空間分解；根子空間，循環子空間。

2、教學目的及要求：使學生了解多項式矩陣與矩陣多項式的關系，λ－矩陣的相抵與矩陣相似的關系．掌握行列式因子、不變因子、初等因子的概念與計算，掌握不變因子與Frobenius型的對應，初等因子組與Jordan標準形的對應，Jordan 標準形對應的不變子空間分解。

3、各節教學時間分配及進度安排： §1 λ-矩陣的法式（2學時）；§2 特征矩陣（1.5學時）；§3 不變因子和Frobenius標準形（2.5學時）；§4 初等因子組和廣義Jordan標準形（2學時）；§5 Jordan標準形（2學時）；§6 Jordan 標準形的進一步討論（6學時）；習題討論課（6學時）。第二單元考試（2學時）。

第八章 歐氏空間(14學時)

1、教學內容：內積和內積空間的概念，向量的長度，夾角，平行和正交，Cauchy-Schwarz不等式，三角不等式；單位向量，正交基，標準正交基，標準正交基的過度矩陣，Schmidt正交化，正交補空間，度量矩陣，Bessel不等式；正交變換與正交陣的判別及性質；正交相似，對稱變換的性質，實對稱矩陣正交相似的全系不變量，實對稱矩陣的正交相似標準形。

2、教學目的及要求：使學生掌握歐氏空間的度量概念與度量性質，掌握正交相似關系，掌握正交變換和正交矩陣的對應，對稱變換與對稱矩陣的對應，從矩陣的正交相似關系進一步熟練掌握等價分類的思想。

3、各節教學時間分配進度安排：§1內積和歐氏空間（1學時）；§2標準正交基（4.5學時）；§3 對稱變換和對稱矩陣（0.5學時）；§4 正交變換和正交矩陣（4學時）；習題討論課（4課時）。

第九章 二次型（10學時）

1、教學內容：二次型與對稱矩陣的對應，二次型的非退化線性替換與對稱陣的合同關系；二次型化簡的配方法和初等變換法；復二次型的規范標準形，慣性定理，正慣性指數，負慣性指數，符號差，實二次形的規范標準形；正定型與正定矩陣；半正定型與半正定陣、負定型與負定陣。

2、教學目的及要求：使學生掌握用非退化線性替換，化二次型為標準形和規范形，掌握判斷二次型的正定性的方法，從對稱矩陣的合同關系理解等價分類的思想。

3、各節教學時間分配進度安排：§1二次型與矩陣的合同（2學時）；§2規范形（1.5學時）；§3正定二次型（2.5學時）；習題討論課（4學時）。

第五篇：2014福州大學高等代數考研資料免費下載

2014福州大學高等代數考研資料免費下載

歷年考研真題試卷

福州大學2007年招收碩士研究生入學考試試卷

考試科目高等代數科目編號818

注意：作圖題答案可直接做在試卷上。所有的作圖題均應保留精確的作圖線條。試卷必須與答卷一起交。答題時不必抄原題，但必須寫清所答題目順序號。

一、簡答題（每小題3分，滿分30分）

1、計算行列式，其中，但(思遠福大考研網)。

2、在線性空間中，求向量組的一個極大線性無關組。

3、已知3階矩陣滿足，求的所有特征值，這里表示單位矩陣。

4、在線性空間中，已知向量共面，求。

5、設是線性空間中的線性變換，滿足

求在基下的矩陣(思遠福大考研網)。

6、設，若被整除，求。

7、設矩陣，其中線性無關，向量，求方程組的通解；

8、設，它們相似嗎？

9、求矩陣的最小多項式和若當標準型。

10、討論二次型何時正定(思遠福大考研網)。

二、解答題（第11-18題，每題15分滿分120分）

11、（1）設是正定實對稱矩陣，則對任一正整數，存在正定實對稱矩陣，使；

（2）設是滿秩實矩陣，則存在正定實對稱矩陣和正交矩陣，使。

12、設是數域，（表示元素在的矩陣全體），且，對于的子空間，,，證明：。

13、設為有理數域，是上的線性空間，是的線性變換，設，且，，證明：（1）線性無關；

（2）線性無關(思遠福大考研網)。

14、設是數域上矩陣關于矩陣加法和數乘作成的線性空間，定義變換。（1）證明是上的的對合線性變換，即滿足（恒等變換）的線性變換；（2）求的特征值和特征向量；

15、求多項式在有理數域上的分解式。

16、設，求一個正交矩陣，使成對角矩陣。

17、設向量分別屬于方陣的不同特征值的特征向量(思遠福大考研網)，證明向量組線性無關。

18、設是有限維歐式空間的一個正交變換，且其中是一個正整數且，是的恒等變換，令，證明：

（1）是的一個子空間；（2）是的一個不變子空間，其中是的正交補；