第一篇：2007年考研高等代數(shù)大綱(碩士)

江蘇自動化研究所碩士研究生入學(xué)考試

《高等代數(shù)》考試大綱

一、總體要求

要求掌握行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、歐氏空間、(多項式理論、λ-矩陣不單獨出題)。

二、命題范圍及考查的知識點

1、行列式

1）行列式的定義與性質(zhì)。

2）低階行列式，高階規(guī)律性較強的行列式計算。

2、線性方程組

1）解線性方程組

2）線性方程組解的理論

3）線性相關(guān)性的證明

3、矩陣

1）矩陣的運算

2）矩陣的逆

3）矩陣秩的不等式的證明

4、二次型

1）化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

2）正定性問題的證明

5、線性空間

1）線性空間與子空間的概念

2）基、維數(shù)與坐標(biāo)

3）子空間的直和的證明

6、線性變換

1）特征值、特征向量有關(guān)問題

2）求若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、最小多項式

3）線性變換的值域與核

7、歐氏空間

1）正交矩陣與正交變換

2）實對稱陣有關(guān)證明

三、考試說明

1、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

1)答卷方式：閉卷，筆試，總分150分,2)答題時間：3小時，3)總分：滿分150分，4)題型比例

計算題約 50%

證明題約 50%

四、參考書目

《高等代數(shù)》（第三版），北京大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，2003年

第二篇：2014年湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)817高等代數(shù)考研大綱

一、適用專業(yè)（領(lǐng)域）：

生物數(shù)學(xué)

二、參考書目：

張禾瑞等.高等代數(shù)（第五版），北京：高等教育出版社，2006.三、基本題型及所占分值：

計算題100分，證明題50分。

四、知識考查范圍：

一、多項式

多項式最大公因式；重因式；多項式函數(shù)、多項式的根；有理數(shù)域上的多項式。

二、行列式

N階行列式；子式和代數(shù)余子式、行列式的依行、列展開；克萊姆法則。

三、線性方程組

齊次、非齊次解的判別；解的結(jié)構(gòu)

矩陣

矩陣的運算；可逆矩陣、矩陣的分塊。

向量空間

向量的相關(guān)性；基和維數(shù)；坐標(biāo)；矩陣的秩。

線性變換

線性變換的運算；線性變換和矩陣；不變子空間；本征值和本征向量；矩陣的可對角化。

歐氏空間

向量的內(nèi)積；正交基和正交變換；對稱變換和對稱矩陣

二次型

二次型和對稱矩陣；復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型；正定二次型；主軸問題。

沈陸明

2013年6月21日

第三篇：2013年廣西大學(xué)高等代數(shù)考研真題

2013年廣西大學(xué)研究生入學(xué)考試——高等代數(shù)

一、填空題：

11、已知A為三階矩陣，且A??，求A?1?2A?=------------

22、已知A3?0，則(E?A)?1?----------

3、與三階矩陣等價的矩陣標(biāo)準(zhǔn)型有----------

4、實數(shù)域上的不可約多項式為----------

5、設(shè)A為n階方陣，則A'A的特征值為----------，且A'A為-----------矩陣

6、n階實對稱矩陣的維數(shù)是------------

7、已知?1,?2,?3線性相關(guān)，則?1??2,?2??3,?1??3線性相關(guān)性---------------

8、設(shè)V是n維線性空間，則核空間與象空間的維數(shù)之間的關(guān)系是-------

9、設(shè)歐氏空間上的內(nèi)積定義為?f(x),g(x)???f(x)g(x)dx，則1=----------------

0?

10、設(shè)瑞利商Rn?x'Enxx'Ax，求REn??-------------x'xx'xa1

1二、已知a12?a1na22?an2a21?an1?a11x1?a12x2??a1,n?1xn?1?a1n??a2n?a21x1?a22x2??a2,n?1xn?1?a2n，求證無解 ?0??????an1x1?an2x2??an,n?1xn?1?ann?ann?

三、實數(shù)域上的多項式f(x),g(x)滿足（f(x),g(x)）=1, 并設(shè)?(x)與?(x)如下：3n32m???(x)?(x?1)f(x)?(x?x)g(x)，求證：(?(x),?(x))?x?1 ?2n2m???(x)?(x?x)f(x)?(x?1)g(x)

四、設(shè)有n個實系數(shù)多項式f1(x),f2(x),?,fn(x)的次數(shù)不大于n-2，且a1,a2,?,anf1(a1)為任意常數(shù)，求證：

f1(a2)?f2(a2)??fn(a2)?f1(an)f2(an)?fn(an)?0

f2(a1)?fn(a1)??

五、設(shè)三階矩陣A???????，是否存在可逆矩陣使之相似于對角陣 ?? 注：矩陣A里面的具體數(shù)值記不清了，但A是一個非對稱矩陣。比如說由?E?A?0可計算出特征值為-2，-2，5，其中特征值-2對應(yīng)兩個特征向量，特征值5對應(yīng)一個特征向量，因此得出可相似于對角陣

1求Im?,Ker?

六、設(shè)?為線性空間V上的的一線性變換，且?(f(x))?f'(x)，○2線性空間V是否為Im?與Ker?的直和

○

七、設(shè)復(fù)數(shù)域C6上一線性變換在基底?1,?2,?,?6下的矩陣是Jordan矩陣，且?21???2????311J的初等因子○2C6的??不變子空間直和 J???，求：○31???3?????5??

八、線性空間V上的兩組向量?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?m，滿足(?i,?j)?(?i,?j)其中i、j?1,2,?m，求證：L(?1,?2,?,?m)?L(?1,?2,?,?m)

九、設(shè)A為實二次型對應(yīng)的矩陣，A的n個特征根?1,?2,?,?n滿足?1??2????n 求證：?1x'x?x'Ax??nx'x

第四篇：天津大學(xué) 考研836高等代數(shù)(含解析幾何)

天津大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試業(yè)務(wù)課考試大綱

課程編號：836課程名稱：高等代數(shù)（含解析幾何）

一、考試的總體要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握代數(shù)的基本方法，要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力、綜合運用所學(xué)的知識分析和解決問題的能力。

二、考試的內(nèi)容及比例

1．多項式：數(shù)域，二元多項式、整除、最大公因式、互素、不可約多項式、因式分解定理、重因式、多項式、函數(shù)、復(fù)系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式，多元多項式。

2．行列式：排列，n階行列式的定義，n階行列式的性質(zhì)及計算，行列式展開（按一行(一列)展開，拉普拉斯定理）克萊姆法則。

3．矩陣：矩陣的概念，矩陣的運算，逆矩陣、矩陣乘積的行列式、分塊矩陣、初等矩陣、初等變換，分塊矩陣和初等變換及其應(yīng)用，矩陣的秩。

4．線性方程組：n維向量空間，n維向量的線性相關(guān)性，向量組的極大線性無關(guān)組，向量組的秩和線性方程組的解法、有解的判別原理、解的結(jié)構(gòu)。

5．二次型：二次型及其矩陣表示，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、唯一性、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，正定二次型。

6．線性空間：集合、映射、線性空間的定義與性質(zhì)。基、維數(shù)與坐標(biāo)、基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，直和，線性空間的同構(gòu)。

7．線性變換的定義及其運算，線性變交換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的值域與核、不變子空間。

8．λ-矩陣：λ-矩陣的概念，λ的矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，行列式因子，不變因子，及初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及理論推導(dǎo)。

9．歐幾里德空間：歐幾里德空間的定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，歐氏空間的同構(gòu)和正交變換，子空間及其正交系，正交補，對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。向量到子空間的距離，最小二乘法，酉空間。

各部分占10%左右。

三、考試的題型及比例

1．填空題15%。2．計算題40%。3．證明題45%。

四、考試形式及時間

考試形式均為筆試。考試時間為三小時。（滿分150分）

第五篇：[41KB]山東大學(xué)2000年高等代數(shù)考研試卷

山東大學(xué)

2000年碩士研究生研究生入學(xué)考試試題

考試科目：高等代數(shù)

注意：

1、所有答案必須寫在“山東大學(xué)研究生入學(xué)考試答題紙”上，寫在試卷和其他紙上無效

2、本科目允許/不允許使用無字典存儲和編程功能的計算器。

1.設(shè)

?1,?2,??m

（m>1），是線性無關(guān)的向量組。令

試討論?1,?2,?,?m的?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m,?m??m??1，線性相關(guān)性。

2.設(shè)A，B是數(shù)域F上的n階文陣，E是n階單位矩陣。（1）如果E－AB可逆。證明：E

－BA也可逆。（2）利用（1），證明：AB與BA有相同的特征值。

3.設(shè)，為A?(aij),B?(bij)，n階正定矩陣，證明：C?(cij)（其中cij?aijbij）是正定

矩陣。

4.設(shè)T是n維歐氏空間Rn的一個保距變換即：??,??R,T??T?????。如果T

將零向量變?yōu)榱阆蛄?，證明：T是正交變換。

5.設(shè)A為n階方陣。證明：A2?A是充要條件是A秩＋（A－E）秩＝n.6.設(shè)M為無限多個n階矩陣組成的集合，且M中任意兩個矩陣相乘時可交換。如果M中

每個矩陣都可以對角化，試證明：存在一個可逆矩陣P，使得對M中任意矩陣X，恒有

PXP，為對角矩陣。

?1

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