第一篇：線性代數的學習方法和心得體會

線性代數的學習方法和心得體會

一、學習方法

今天先談談對線形空間和矩陣的幾個核心概念的理解。這些東西大部分是憑著自己的理解寫出來的，基本上不抄書，可能有錯誤的地方，希望能夠被指出。但我希望做到直覺，也就是說能把數學背后說的實質問題說出來。

首先說說空間(space)，這個概念是現代數學的命根子之一，從拓撲空間開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實還是比較初級的，如果在里面定義了范數，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度，就有了內積空間，內積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間。

總之，空間有很多種。你要是去看某種空間的數學定義，大致都是“存在一個集合，在這個集合上定義某某概念，然后滿足某些性質”，就可以被稱為空間。這未免有點奇怪，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會看到，其實這是很有道理的。

我們一般人最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數學上說，這是一個三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多，先看看我們熟悉的這樣一個空間有些什么最基本的特點。仔細想想我們就會知道，這個三維的空間：1.由很多（實際上是無窮多個）位置點組成；2.這些點之間存在相對的關系；3.可以在空間中定義長度、角度；4.這個空間可以容納運動，這里我們所說的運動是從一個點到另一個點的移動（變換），而不是微積分意義上的“連續”性的運動，認識到了這些，我們就可以把我們關于三維空間的認識擴展到其他的空間。事實上，不管是什么空間，都必須容納和支持在其中發生的符合規則的運動（變換）。你會發現，在某種空間中往往會存在一種相對應的變換，比如拓撲空間中有拓撲變換，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應空間中允許的運動形式而已。因此只要知道，“空間”是容納運動的一個對象集合，而變換則規定了對應空間的運動。

下面我們來看看線性空間。線性空間的定義任何一本書上都有，但是既然我們承認線性空間是個空間，那么有兩個最基本的問題必須首先得到解決，那就是：

1.空間是一個對象集合，線性空間也是空間，所以也是一個對象集合。那么線性空間是什么樣的對象的集合？或者說，線性空間中的對象有什么共同點嗎？

2.線性空間中的運動如何表述的？也就是，線性變換是如何表示的？ 我們先來回答第一個問題，回答這個問題的時候其實是不用拐彎抹角的，可以直截了當的給出答案。線性空間中的任何一個對象，通過選取基和坐標的辦法，都可以表達為向量的形式。通常的向量空間我就不說了，舉兩個不那么平凡的例子：

L1.最高次項不大于n次的多項式的全體構成一個線性空間，也就是說，這個線性空間中的每一個對象是一個多項式。如果我們以x0, x1,..., xn為基，那么任何一個這樣的多項式都可以表達為一組n+1維向量，其中的每一個分量ai其實就是多項式中x(i-1)項的系數。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說，提一下而已。

下面來回答第二個問題，這個問題的回答會涉及到線性代數的一個最根本的問題。

線性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都可以通過一個線性變化來完成。那么，線性變換如何表示呢？很有意思，在線性空間中，當你選定一組基之后，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而使某個對象發生對應運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量。簡而言之，在線性空間中選定基之后，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。

是的，矩陣的本質是運動的描述。如果以后有人問你矩陣是什么，那么你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質是運動的描述。（chensh，說你呢！）

可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩陣嗎？這實在是很奇妙，一個空間中的對象和運動竟然可以用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？如果是巧合的話，那可真是幸運的巧合！可以說，線性代數中大多數奇妙的性質，均與這個巧合有直接的關系。

接著理解矩陣、、、我們說“矩陣是運動的描述”，到現在為止，好像大家都還沒什么意見。但是我相信早晚會有數學系出身的網友來拍板轉。因為運動這個概念，在數學和物理里是跟微積分聯系在一起的。我們學習微積分的時候，總會有人照本宣科地告訴你，初等數學是研究常量的數學，是研究靜態的數學，高等數學是變量的數學，是研究運動的數學。大家口口相傳，差不多人人都知道這句話。但是真知道這句話說的是什么意思的人，好像也不多。簡而言之，在我們人類的經驗里，運動是一個連續過程，從A點到B點，就算走得最快的光，也是需要一個時間來逐點地經過AB之間的路徑，這就帶來了連續性的概念。而連續這個事情，如果不定義極限的概念，根本就解釋不了。古希臘人的數學非常強，但就是缺乏極限觀念，所以解釋不了運動，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動、飛毛腿阿喀琉斯跑不過烏龜等四個悖論）搞得死去活來。因為這篇文章不是講微積分的，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的《重溫微積分》。我就是讀了這本書開頭的部分，才明白“高等數學是研究運動的數學”這句話的道理。

“矩陣是線性空間里躍遷的描述”。

可是這樣說又太物理，也就是說太具體，而不夠數學，也就是說不夠抽象。因此我們最后換用一個正牌的數學術語——變換，來描述這個事情。這樣一說，大家就應該明白了，所謂變換，其實就是空間里從一個點（元素/對象）到另一個點（元素/對象）的躍遷。比如說，拓撲變換，就是在拓撲空間里從一個點到另一個點的躍遷。再比如說，仿射變換，就是在仿射空間里從一個點到另一個點的躍遷。附帶說一下，這個仿射空間跟向量空間是親兄弟。做計算機圖形學的朋友都知道，盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的計算機圖形學變換矩陣都是4 x 4的。說其原因，很多書上都寫著“為了使用中方便”，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關。真正的原因，是因為在計算機圖形學里應用的圖形變換，實際上是在仿射空間而不是向量空間中進行的。想想看，在向量空間里相一個向量平行移動以后仍是相同的那個向量，而現實世界等長的兩個平行線段當然不能被認為同一個東西，所以計算機圖形學的生存空間實際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4 x 4的。又扯遠了，有興趣的讀者可以去看《計算機圖形學——幾何工具算法詳解》。

一旦我們理解了“變換”這個概念，矩陣的定義就變成： “矩陣是線性空間里的變換的描述。”

到這里為止，我們終于得到了一個看上去比較數學的定義。不過還要多說幾句。教材上一般是這么說的，在一個線性空間V 里的一個線性變換T，當選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什么是線性變換，什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡單的，設有一種變換T，使得對于線性空間V中間任何兩個不相同的對象x和y，以及任意實數a和b，有： T(ax + by)= aT(x)+ bT(y)，那么就稱T為線性變換。

接著往下說，什么是基呢？這個問題在后面還要大講一番，這里只要把基看成是線性空間里的坐標系就可以了。注意是坐標系，不是坐標值，這兩者可是一個“對立矛盾統一體”。這樣一來，“選定一組基”就是說在線性空間里選定一個坐標系。就這意思。

好，最后我們把矩陣的定義完善如下：

“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那么對于任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述。” 同樣的，對于一個線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。

但是這樣的話，問題就來了如果你給我兩張豬的照片，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢？同樣的，你給我兩個矩陣，我怎么知道這兩個矩陣是描述的同一個線性變換呢？如果是同一個線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見面不認識，豈不成了笑話。

好在，我們可以找到同一個線性變換的矩陣兄弟們的一個性質，那就是： 若矩陣A與B是同一個線性變換的兩個不同的描述（之所以會不同，是因為選定了不同的基，也就是選定了不同的坐標系），則一定能找到一個非奇異矩陣P，使得A、B之間滿足這樣的關系：

A = P-1BP 線性代數稍微熟一點的讀者一下就看出來，這就是相似矩陣的定義。沒錯，所謂相似矩陣，就是同一個線性變換的不同的描述矩陣。按照這個定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點，不過能讓人明白。

而在上面式子里那個矩陣P，其實就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個變換關系。關于這個結論，可以用一種非常直覺的方法來證明（而不是一般教科書上那種形式上的證明），如果有時間的話，我以后在blog里補充這個證明。

這樣一來，矩陣作為線性變換描述的一面，基本上說清楚了。但是，事情沒有那么簡單，或者說，線性代數還有比這更奇妙的性質，那就是，矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個坐標系（基）表換到另一個坐標系（基）去。而且，變換點與變換坐標系，具有異曲同工的效果。線性代數里最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內容，線性代數里很多定理和規則會變得更加清晰、直覺。

二、學習心得

線性代數是一門對理工科學生極其重要數學學科。線性代數主要處理的是線性關系的問題，隨著數學的發展，線性代數的含義也不斷的擴大。它的理論不僅滲透到了數學的許多分支中，而且在理論物理、理論化學、工程技術、國民經濟、生物技術、航天、航海等領域中都有著廣泛的應用。同時，該課程對于培養學生的邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力具有重要的作用。

線代課本的前言上就說：“在現代社會，除了算術以外，線性代數是應用最廣泛的數學學科了。”我們的線代教學的一個很大的問題就是對線性代數的應用涉及太少，課本上涉及最多的只能算解線性方程組了，但這只是線性代數很初級的應用。我自己對線性代數的應用了解的也不多。但是，線性代數在計算機數據結構、算法、密碼學、對策論等等中都有著相當大的作用。

沒有應用到的內容很容易忘，就像現代一樣，我現在高數還基本記得。因為高數在很多課程中都有廣泛的應用，比如在開設的大學物理課中。所以，如果有時間的話，要盡可能地到網上或圖書館了解線性代數在各方面的應用。如：《線性代數》（居余馬等編，清華大學出版社）上就有線性代數在“人口模型”、“馬爾可夫鏈”、“投入產出數學模型”、“圖的鄰接矩陣”等方面的應用。也可以試著用線性代數的方法和知識證明以前學過的定理或高數中的定理，如老的高中解析幾何課本上的轉軸公式，它就可以用線性代數中的過渡矩陣來證明。

線性代數被不少同學稱為“天書”，足見這門課給同學們造成的困難。在這門課的學習過程中，很多同學遇到了上課聽不懂，一上課就想睡覺，公式定理理解不了，知道了知識但不會做題，記不住等問題。我認為，每門課程都是有章可循的，線性代也不例外，只要有正確的方法，再加上自己的努力，就可以學好它。

一定要重視上課聽講，不能使線代的學習退化為自學。上課時干別的會受到老師講課的影響，那為什么不利用好這一小時四十分鐘呢？上課時，老師的一句話就可能使你豁然開朗，就可能改變你的學習方法甚至改變你的一生。上課時一定要“虛心”，即使老師講的某個題自己會做也要聽一下老師的思路。上完課后不少同學喜歡把上課的內容看一遍再做作業。實際上應該先試著做題，不會時看書后或做完后看書。這樣，作業可以幫你回憶老師講的內容，重要的是這些內容是自己回憶起來的，這樣能記得更牢，而且可以通過作業發現自己哪些部分還沒掌握好。作業盡量在上課的當天或第二天做，這樣能減少遺忘給做作業造成的困難。做作業時遇到不會的題可以問別人或參考同學的解答，但一定要真正理解別人的思路，絕對不能不弄清楚別人怎么做就照抄。適當多做些題對學習是有幫助的。

數學上的方法是相通的。比如，考慮特殊情況這種思路。線性代數中行列式按行或列展開公式的證明就是從更簡單的特殊情況開始證起；解線性方程組時先解對應的齊次方程組，這些都是先考慮特殊情況。高數上解二階常系數線性微分方程時先解其對應的齊次方程，這用的也是這種思路。

方法真的很難講，而方法包含許多細節的內容很難講出來甚至我都意識不到，但它們會對學習起很大的作用。我感覺“做完題要總結”，“上課想到老師前面”，“注重知識之間的聯系”很重要。

以上就是我學習線性代數的心得。

第二篇：線性代數心得體會

矩陣——1張神奇的長方形數表

關鍵詞：矩陣與線性方程組高階矩陣簡化方法財務數據分析工具

在本學期的線性代數課程的第二章中，我接觸了矩陣的相關概念，發現其不僅能夠在數學中幫助研究線性變換、向量的線性相關性及線性方程的解法，還能為日常許多數據統計與分析中看似雜亂無章毫無關系的數據按一定的規則清晰展現，并能通過矩陣的運算刻畫其內在聯系，這對于審計專業的我們將來開展財務數據統計與分析能帶來巨大的幫助。

在運用矩陣解方程組時，可以將線性方程組簡化為矩陣形式：AX=B，來進行矩陣計算，這種方法不僅書寫方便，而且可以把線性方程組的理論與矩陣理論聯系起來，給線性方程組的討論帶來很大的便利。

在具體的矩陣運算過程中，我們可以通過等式兩邊同時左乘?1來求X，這就引出了第二章第三節的逆矩陣概念，逆在以前高中的實數乘法中便起著重要作用，在學習線性代數課程中，逆矩陣也是一個重要概念，且因為兩矩陣乘積的定義，我們需要注意所討論的矩陣是方陣形式，否則就會帶來運算上的錯誤。

而對于高階的復雜矩陣，還可以利用分塊矩陣，將大矩陣的運算化成若干小矩陣，間接使高階矩陣轉化成多個低階矩陣來運算，以及矩陣的初等變換規律對矩陣進行轉換：如通過公式(AE)

（?1)可以對前面逆矩陣的運算起到簡化作用，通過公式(AB)初等行變換初等行變換

（?1B)則可以借此求解矩陣方程AX=B。通過一步一步的學習，我慢慢對線性代數矩陣這一章節有了進一步的理解掌握，發現各個章節看似無關的概念，其實最后都可以聯系在一起，為求解線性方程組、甚至后面章節的線性變換、線性相關性等都起到極大的鋪墊基礎作用。

談了這么多矩陣對于求解線性方程組過程中的體會，更吸引我的是矩陣對于數據處理方面的作用，作為審計專業的學生，未來工作中會遇到很多處理產品成本的核算的問題，而通過矩陣這一工具，可以通過特殊的“數型結合”恰當的顯示出各種數據間的內在聯系，例如：可12以用矩陣（12）來表示一個公司的單位產品成本構成（兩列分別代表產品1和產品2，121三行分別代表材料成本、勞動力成本、其他輔助成本），當與產品產量矩陣（）

211+22相乘時，則可以得出兩種材料的總成本矩陣(11+22)將產品總成本的構成以更清晰

11+22明了的方式呈現出來，可以為財務數據的處理帶來很大的助益。

第三篇：線性代數心得體會

矩陣——1張神奇的長方形數表

關鍵詞：矩陣與線性方程組高階矩陣簡化方法財務數據分析工具

在本學期的線性代數課程的第二章中，我接觸了矩陣的相關概念，發現其不僅能夠在數學中幫助研究線性變換、向量的線性相關性及線性方程的解法，還能為日常許多數據統計與分析中看似雜亂無章毫無關系的數據按一定的規則清晰展現，并能通過矩陣的運算刻畫其內在聯系，這對于審計專業的我們將來開展財務數據統計與分析能帶來巨大的幫助。

在運用矩陣解方程組時，可以將線性方程組簡化為矩陣形式：AX=B，來進行矩陣計算，這種方法不僅書寫方便，而且可以把線性方程組的理論與矩陣理論聯系起來，給線性方程組的討論帶來很大的便利。

在具體的矩陣運算過程中，我們可以通過等式兩邊同時左乘?1來求X，這就引出了第二章第三節的逆矩陣概念，逆在以前高中的實數乘法中便起著重要作用，在學習線性代數課程中，逆矩陣也是一個重要概念，且因為兩矩陣乘積的定義，我們需要注意所討論的矩陣是方陣形式，否則就會帶來運算上的錯誤。

而對于高階的復雜矩陣，還可以利用分塊矩陣，將大矩陣的運算化成若干小矩陣，間接使高階矩陣轉化成多個低階矩陣來運算，以及矩陣的初等變換規律對矩陣進行轉換：如通過公式(AE)

（?1)可以對前面逆矩陣的運算起到簡化作用，通過公式(AB)初等行變換初等行變換

（?1B)則可以借此求解矩陣方程AX=B。通過一步一步的學習，我慢慢對線性代數矩陣這一章節有了進一步的理解掌握，發現各個章節看似無關的概念，其實最后都可以聯系在一起，為求解線性方程組、甚至后面章節的線性變換、線性相關性等都起到極大的鋪墊基礎作用。

談了這么多矩陣對于求解線性方程組過程中的體會，更吸引我的是矩陣對于數據處理方面的作用，作為審計專業的學生，未來工作中會遇到很多處理產品成本的核算的問題，而通過矩陣這一工具，可以通過特殊的“數型結合”恰當的顯示出各種數據間的內在聯系，例如：可12以用矩陣（12）來表示一個公司的單位產品成本構成（兩列分別代表產品1和產品2，121三行分別代表材料成本、勞動力成本、其他輔助成本），當與產品產量矩陣（）

211+22相乘時，則可以得出兩種材料的總成本矩陣(11+22)將產品總成本的構成以更清晰

11+22明了的方式呈現出來，可以為財務數據的處理帶來很大的助益。

第四篇：線性代數心得體會

矩陣——1張神奇的長方形數表

關鍵詞：矩陣與線性方程組高階矩陣簡化方法財務數據分析工具

在本學期的線性代數課程的第二章中，我接觸了矩陣的相關概念，發現其不僅能夠在數學中幫助研究線性變換、向量的線性相關性及線性方程的解法，還能為日常許多數據統計與分析中看似雜亂無章毫無關系的數據按一定的規則清晰展現，并能通過矩陣的運算刻畫其內在聯系，這對于審計專業的我們將來開展財務數據統計與分析能帶來巨大的幫助。

在運用矩陣解方程組時，可以將線性方程組簡化為矩陣形式：AX=B，來進行矩陣計算，這種方法不僅書寫方便，而且可以把線性方程組的理論與矩陣理論聯系起來，給線性方程組的討論帶來很大的便利。

在具體的矩陣運算過程中，我們可以通過等式兩邊同時左乘?1來求X，這就引出了第二章第三節的逆矩陣概念，逆在以前高中的實數乘法中便起著重要作用，在學習線性代數課程中，逆矩陣也是一個重要概念，且因為兩矩陣乘積的定義，我們需要注意所討論的矩陣是方陣形式，否則就會帶來運算上的錯誤。

而對于高階的復雜矩陣，還可以利用分塊矩陣，將大矩陣的運算化成若干小矩陣，間接使高階矩陣轉化成多個低階矩陣來運算，以及矩陣的初等變換規律對矩陣進行轉換：如通過公式(AE)

（?1)可以對前面逆矩陣的運算起到簡化作用，通過公式(AB)初等行變換初等行變換

（?1B)則可以借此求解矩陣方程AX=B。通過一步一步的學習，我慢慢對線性代數矩陣這一章節有了進一步的理解掌握，發現各個章節看似無關的概念，其實最后都可以聯系在一起，為求解線性方程組、甚至后面章節的線性變換、線性相關性等都起到極大的鋪墊基礎作用。

談了這么多矩陣對于求解線性方程組過程中的體會，更吸引我的是矩陣對于數據處理方面的作用，作為審計專業的學生，未來工作中會遇到很多處理產品成本的核算的問題，而通過矩陣這一工具，可以通過特殊的“數型結合”恰當的顯示出各種數據間的內在聯系，例如：可12以用矩陣（12）來表示一個公司的單位產品成本構成（兩列分別代表產品1和產品2，121三行分別代表材料成本、勞動力成本、其他輔助成本），當與產品產量矩陣（）

211+22相乘時，則可以得出兩種材料的總成本矩陣(11+22)將產品總成本的構成以更清晰

11+22明了的方式呈現出來，可以為財務數據的處理帶來很大的助益。

第五篇：線性代數心得體會

線性代數心得體會

本學期選修了田亞老師《線性代數精講》的課程，而且這個學期我們的課程安排中也是有線性代數的，正好和選修課相輔相成，讓我的線性代數學的更好。

本來這門學修課是準備面向考研生做近一步拔高的，但是有很多同學沒有學過線性代數，或者說像我們一樣是正在學習線性代數的，所以老師還是很有耐心的從基礎開始講，適當的增加一些考研題作為提高，這樣就都可以兼顧大家。

線性代數的主要內容是研究代數學中線性關系的經典理論。由于線性關系是變量之間比較簡單的一種關系，而線性問題廣泛存在于科學技術的各個領域，并且一些非線性問題在一定條件下, 可以轉化或近似轉化為線性問題，因此線性代數所介紹的思想方法已成為從事科學研究和工程應用工作的必不可少的工具。尤其在計算機高速發展和日益普及的今天，線性代數作為高等學校工科本科各專業的一門重要的基礎理論課，其地位和作用更顯得重要。

我覺得線代是一門比較費腦子的課，因為這門課中的概念、運算法則很多，而且大多都很抽象，所以一定要注重對基本概念的理解與把握，應整理清楚不要混淆，正確熟練運用基本方法及基本運算。而且，線代作為一門數學，各知識點之間有著千絲萬縷的聯系，其前后連貫性很強，所以學習線代一定要堅持，循序漸進，注意建立各個知識點之間的聯系，形成知識網絡。除此之外，代數題的綜合性與靈活性也較大，所以我們在平時學習中一定要注重串聯、銜接與轉換。一定要掌握矩陣、方程組和向量的內在聯系，遇到問題才能左右逢源，舉一反三，化難為易。

在此我要感謝田亞老師細心、認真的教育和無微不至的照顧。田老師大一時教我們高數，從那時起就是這樣認真，負責，上課準備的很充分，講課也很細致，有問題也會耐心、認真的為我們講解。本學期選修田老師的課還是很開心的，一是講課方式比較熟悉，二是田老師的課確實講的細致有條理。除了講授課本的知識以外，田老師還會講一些有關考研，人生規劃之類的事情，我覺得這對激勵我們努力學習有很大的幫助。

線代本身作為數學，其實是比較枯燥乏味的，所以如果在選修課中能加入一些比較有趣味性的東西，那講課效果應該更好。

微風細雨，潤物無聲。再次感謝田老師本學期的教誨。老師辛苦了！