第一篇：談談我學習動態(tài)幾何的體會

談談我學習動態(tài)幾何的體會

彭翕成

華中師范大學 國家數(shù)字化學習工程技術(shù)研究中心 武漢 430079

這幾年，我發(fā)表了一些關(guān)于動態(tài)幾何的文章，出版了相關(guān)著作，也在網(wǎng)絡上共享了不少資源。因此常被人問起：如何學習動態(tài)幾何。國內(nèi)有許多研究動態(tài)幾何的高手，不論從技術(shù)，還是教學實踐中的使用，勝于我者不在少數(shù)。但我還是想來談談這個問題，算是個人總結(jié)吧。

很多軟件，譬如Word，功能很多，但只要知道了各個菜單的功能，使用起來就非常簡單了；那些不常用的功能甚至不需要記，用的時候搜索幫助文件就可以了。動態(tài)幾何軟件則不同，譬如幾何畫板，菜單不多，且每個下拉菜單的長度很短，二級菜單更是寥寥無幾。但這并不意味著幾何畫板就容易掌握，因為若干平凡功能的復合可能會變得不平凡。

我學習動態(tài)幾何，分為幾何畫板和超級畫板兩個階段。

我從2003年開始學習幾何畫板。自學，沒有老師，沒有教材，只是在網(wǎng)上下載了軟件和幾個課件。我花了一個星期的時間熟悉軟件，知道了哪個菜單下有哪些工具，這些工具能夠完成哪些功能，而要使用這些工具，需要先作什么。譬如希望作一個點在多邊形周界上運動，需要先選擇各頂點，構(gòu)造出多邊形內(nèi)部，才能作出多邊形周界上的點。

初學者最容易上手，也最容易被震撼的要數(shù)動態(tài)測量功能了。作一個幾何圖形，加上一些測量和計算，再拖動，就能從變化中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律。我當時已經(jīng)打算從事數(shù)學教育方面的工作了，覺得應該好好學習動態(tài)幾何，將之作為一技之長。但那時，自學能力較差，不知道如何去網(wǎng)上搜索資源，尋求幫助，于是之后的一年多時間都沒有什么大的進步。

記得有一次，我想作一個橢圓，想了好幾天，沒作出來，心里很是埋怨，難道幾何畫板只能作平面幾何圖形，不能運用于解析幾何么？最后還是在網(wǎng)上找到了作法。

還有一次，我想作“過圓外一點P作圓的切線”，想了很久，被我想出來了，開心不已。雖然說穿了是如此簡單：如圖1，連接OP，作中點M，以M為圓心，MO為半徑作圓交?O于N，則PN即為所求作的切線；不過就是用到“直徑所對的角是直角”這一簡單的知識點，但我后來的幾何畫板培訓實踐表明，如果以前沒有這方面的學習，能夠?qū)⑵綍r用來解題的知識點運用到作圖中來的人并不多。

圖1 2004年，我買了幾本幾何畫板的書，在網(wǎng)上也下載了一些資料，特別是我加入了當時積聚國內(nèi)眾多高手的幾何畫板論壇：求師德，通過學習高手的作品，我的水平有了較大的進步?，F(xiàn)在回想起來，幾何畫板的學習竅門也就兩點而已：不斷追溯父子對象；創(chuàng)建新工具，查看腳本。

在求師德論壇的日子是令人難忘的，這不僅僅是我個人的感受，也是許多動態(tài)幾何愛好者的心聲。求師德的網(wǎng)友，不論是對新手的教導，還是同水平的人切磋，都是坦誠相見，毫不保留，所以大家的水平上升得都很快。國內(nèi)一些中學數(shù)學網(wǎng)站，討論也頗為熱烈，但一遇到關(guān)鍵問題，高手們大都打住不講了，因為他們需要以此發(fā)表文章。求師德的網(wǎng)友鉆研技術(shù)的很多，熱衷于寫文章的好像很少。我曾經(jīng)建議求師德的高手們寫點文章，因為雜志上相當多的動態(tài)幾何文章所作研究并不深入，甚至可能會誤導人。可惜我的建議并不被多少網(wǎng)友接受。求師德論壇后來關(guān)閉了，具體原因我不太清楚，這是讓很多動態(tài)幾何愛好者感到惋惜的。

2006年起，我開始轉(zhuǎn)向超級畫板的研究。超級畫板由于吸收了幾何畫板一些優(yōu)點，增加了很多功能，使得入門時間大大縮短，使用起來也更加方便。

不可避免地，我會對這兩個軟件進行比較。幾何畫板確實是一款非常優(yōu)秀的數(shù)學軟件，但很多的設計還是可以改進的。就拿前面所說的作圓的切線來說，原始的尺規(guī)作圖方式有其存在的意義，但作為一個現(xiàn)代化的工具來說，其作法能否更加直接，效率進一步地提高呢？超級畫板的智能畫筆就做到了這一點。在保證動態(tài)幾何性質(zhì)的前提下，充分考慮中學老師的使用習慣，順手一畫即可完成任務。而且超級畫板并不否定尺規(guī)作圖法，用戶可以選擇原始方法來鍛煉基本功，也可以采用先進方法迅速作出基本圖形，進一步探究以求獲得新的知識。

又如作多邊形上的點，從數(shù)學上來說，選擇多邊形各個頂點就應該能夠作出了，何必一定要先構(gòu)造多邊形內(nèi)部呢？在這一問題上，超級畫板比幾何畫板更符合數(shù)學本質(zhì)。

至于原來讓我頭痛的幾何畫板探究圓錐曲線，在使用超級畫板之后也變得輕松了，因為超級畫板在解析幾何方面提供了相當強大的功能。近幾年，隨著動態(tài)幾何研究隊伍的擴大，網(wǎng)上這方面的資料越來越多了，隨便一搜，光是橢圓的作法，至少能搜出二十幾種。這些作法，了解一下是很有好處的，它與“茴字的四種寫法”有著本質(zhì)的不同。每一種作法都反映了圓錐曲線的某些性質(zhì)。掌握這些作法，對研究解析幾何大有裨益。但也必須注意到，由于幾何畫板缺少最根本的解析幾何作圖功能：輸入二次曲線方程作圖，這讓相當多的用戶苦惱。

高手們總是會想出各種方法來補救現(xiàn)有軟件的不足，他們的研究熱情，所付出的努力，是一般人難以想象的。譬如幾何畫板4.0不能構(gòu)造函數(shù)與直線的交點，很多畫板愛好者花費大量時間，想出各種近似作法，但這些作法也僅在高手中流傳，因為一般人難以掌握這些技巧。但幾何畫板5.0的推出，交點功能的改善使得這一問題變得簡單。這說明，軟件開發(fā)者多為用戶著想，多做一些工作，就能使得數(shù)以萬計的用戶節(jié)省時間，提高效率。

學習動態(tài)幾何并不需要你有多高的計算機水平。培訓實踐表明，在最開始的入門階段，計算機老師比數(shù)學老師要快，而一旦過了這一階段，數(shù)學老師就遠遠地把計算機老師甩在后面。原因也很簡單，雖然軟件的操作是基礎，不掌握基本操作，很多想法都無法實現(xiàn)，但最終決定動態(tài)幾何水平高低的，還是看誰有扎實的數(shù)學功底，特別是平面幾何作圖方面。

在傳統(tǒng)幾何學習中，作圖與計算、證明三者的地位是并列的，而近些年，中學已經(jīng)大大刪減如何作圖了。為了學好動態(tài)幾何，我曾經(jīng)下功夫研究過一些作圖。譬如已知三角形兩邊和第三邊的角平分線長作三角形。我最早的作法是：如圖2，以C為圓心，分別以b、lc、a為半徑作圓；在半徑為b、a的圓上任取A、B兩點，在AB線段上作比例點D，使得DACA?；然后拖動B，使得D剛好落在半徑為lc的圓上。這樣作圖，顯然不符合動態(tài)幾DBCB何作圖要求，因為一拖動就會散架，不能保持幾何性質(zhì)。但我覺得動態(tài)幾何的這種近似作圖也有其存在的意義，直到現(xiàn)在，面對這種幾何約束作圖，不少雜志社、出版社束手無策，隨手所作圖形差錯十分明顯。他們確實有學一下動態(tài)幾何的必要了。

我后來想出了此題的尺規(guī)作法，但在此處，我卻想著重介紹另外一題：在△ABC的BC邊上，作點M使得△ABM和△ACM的內(nèi)切圓半徑相等。我最初也是采用近似作法。為了得到準確作法，我問了不少人，沒人會做。查了很多資料，最后在一本40年代的幾何書上找到了作法（后來發(fā)現(xiàn)梁紹鴻的《初等數(shù)學復習及研究（平面幾何）》也有），才作出圖來。

圖2 圖3 作法：如圖3，（1）BC的中垂線DE交△ABC的外接圓于E；

（2）作△ABC的內(nèi)心F；以E為圓心，EB為半徑作圓；FE交圓E于G；（3）過A作GB的平行線交BF于H；過A作GC的平行線交CF于I；（4）作AB關(guān)于AH的對稱直線交BC于M；

其中M即為題目所求。H、I分別為△ABM和△ACM的內(nèi)切圓圓心。

圖3作法巧妙，是很難想到的。也許有人會問：這個問題和動態(tài)幾何有什么關(guān)系呢？根本就是個數(shù)學題嘛！的確如此。因為我們研究動態(tài)幾何的根本目的就在于研究數(shù)學，而不是研究軟件本身。隨著軟件的發(fā)展，這種幾何約束作圖也會變得容易，譬如Geometry Expressions就在這方面已經(jīng)作出了相當不錯的嘗試。

接下來，我想嘗試回答一個問題。

一直以來，有人對動態(tài)幾何的作用提出質(zhì)疑，其典型觀點是：利用動態(tài)幾何軟件，不管是超級畫板還是幾何畫板，很多題目確實一作圖、一測量就出來結(jié)果了。但學生考試的時候，是不能使用計算機的，而且通過動態(tài)測量發(fā)現(xiàn)的也只是結(jié)果，沒有解題過程。

眾所周知，但凡能夠讓人產(chǎn)生依賴的東西必然有其獨特之處，譬如一本好的復習資料，一個好的家教，雖然有學生過分依賴好的復習資料和好的家教，上課聽課不認真了，但并不能因此就否定復習資料和家教的作用。

一件事物在一定條件下能夠發(fā)揮作用幫助到你，就說明它是有用的，這就夠了，我們不能求全責備，一定要它包打天下才行。就好比有人反對負數(shù)，理由是：你見過-1個人么？確實，我們沒有見過-1個人，但卻存在-1℃。這就說明負數(shù)有存在的意義。

下面這個案例應該能夠在一定程度上說明問題。

有學生問我這樣一個題目：如圖4，在正方形ABCD中，過點D作對角線AC的平行線，在平行線上作點E，使得CA?CE，CE交AD于F，求證：AE?AF。

圖4 圖5

我給出的證明：如圖5，作EI?AC，設BD交AC于O，顯然四邊形EDOI是矩形，CE?CA?BD?2OD?2IE，所以?ACE?30?，易得?AEF??AEF?75?，所以AE?AF。

但此題并沒有到此結(jié)束，還可以探究。細心的讀者會發(fā)現(xiàn)圖5中作的垂足標簽為I，按常理，緊接下來的標簽應該是G！這是因為我看到題目時，就感覺圖4只是題目敘述的可能情況之一。一般的解題者對題目給出的圖形比較依賴；而長期使用動態(tài)幾何的人解題時，則會不自覺地去嘗試重新作圖，即使不動手，也會在心里面把作圖步驟走一遍。

對于此題，在作好正方形ABCD后，尋找滿足條件的E時，通常是以C為圓心，CA為半徑作圓，很明顯圓與平行線的交點不止一點E，還有一點G，也滿足CA?CG。在前面證明的基礎上，我們?nèi)菀鬃C明AG?AH。如圖6，作GJ?AC，顯然CG?C?AB2?DO2?D2?I，所以EJG?30?，易得?CGA??CHA?15?，?GCJ所以AG?AH。

我把進一步的探究和學生講了之后，學生很佩服。因為在他看來，老師會解題，這是老師應該會的，不算什么；但老師能夠拿到題還能有新發(fā)現(xiàn)，說明老師很有水平。

圖6 一個人在長期使用動態(tài)幾何軟件之后，是否能擺脫軟件，達到手上無畫板，心中有畫板的境界呢？理智告訴我，這幾乎不可能，至少我個人是做不到這一點。但我堅信，長期使用動態(tài)幾何會使人加深對數(shù)學的理解；而使用Flash或PPT，則很難幫助你提高數(shù)學水平。我堅信，所以我堅持。

補充：已知三角形兩邊和第三邊的角平分線長作三角形。

尺規(guī)作法分析：如圖，假設△ABC為所求作，設CD是它的角平分線。引邊BC的平行線MD（點M在邊AC上）。因為?MCD??MCD??MDC，△CMD是等腰三角形。因為MCDBCBaab?，b所以MC????，且AM?MC。根據(jù)CD?cl和腰AMACACba?babMD?MC?作出等腰△CMD。然后在射線CM上截取線段CA?b。又在射線CM關(guān)于a?b直線CD對稱的射線上截取線段CB?a。

如果感覺解答此問題有困難，可先解決“已知三角形兩邊和第三邊的中線長作三角形” 問題。而要以a，b，mc作三角形，可先以點的性質(zhì)就很簡單了。

ab，mc作三角形。接下來的作圖根據(jù)中22

第二篇：談談我學習動態(tài)幾何的體會 3000字

談談我學習動態(tài)幾何的體會 計算機科學與教育軟件學院

這個學期，我查閱了一些關(guān)于動態(tài)幾何的文章、著作，也在查看網(wǎng)絡上的不少共享資源。因此我逐漸了解了：如何學習動態(tài)幾何。國內(nèi)有許多研究動態(tài)幾何的高手，不論從技術(shù)，還是教學實踐中的使用，勝于我者不在少數(shù)。但我還是想來談談這個問題，算是個人總結(jié)吧。

很多軟件，譬如z+z，功能很多，但只要知道了各個菜單的功能，使用起來就非常簡單了；那些不常用的功能甚至不需要記，用的時候搜索幫助文件就可以了。動態(tài)幾何軟件則不同，譬如幾何畫板，菜單不多，且每個下拉菜單的長度很短，二級菜單更是寥寥無幾。但這并不意味著幾何畫板就容易掌握，因為若干平凡功能的復合可能會變得不平凡。

我學習動態(tài)幾何，分為幾何畫板和超級畫板兩個階段。

我從本學年開始學習幾何畫板。通過老師、教材、在網(wǎng)上下載了軟件和幾個課件。我花了一個星期的時間熟悉軟件，知道了哪個菜單下有哪些工具，這些工具能夠完成哪些功能，而要使用這些工具，需要先作什么。譬如希望作一個點在多邊形周界上運動，需要先選擇各頂點，構(gòu)造出多邊形內(nèi)部，才能作出多邊形周界上的點。

初學者最容易上手，也最容易被震撼的要數(shù)動態(tài)測量功能了。作一個幾何圖形，加上一些測量和計算，再拖動，就能從變化中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律。我當時已經(jīng)打算從事數(shù)學教育方面的工作了，覺得應該好好學習動態(tài)幾何，將之作為一技之長。但那時，自學能力較差，不知道如何去網(wǎng)上搜索資源，尋求幫助，于是之后的一年多時間都沒有什么大的進步。

記得有一次，我想作一個橢圓，想了好幾天，沒作出來，心里很是埋怨，難道幾何畫板只能作平面幾何圖形，不能運用于解析幾何么？最后還是在網(wǎng)上找到了作法。

還有一次，我想作“過圓外一點P作圓的切線”，想了很久，被我想出來了，開心不已。雖然說穿了是如此簡單：如圖1，連接OP，作中點M，以M為圓心，MO為半徑作圓交?O于N，則PN即為所求作的切線；不過就是用到“直徑所對的角是直角”這一簡單的知識點，但我后來的幾何畫板培訓實踐表明，如果以前沒有這方面的學習，能夠?qū)⑵綍r用來解題的知識點運用到作圖中來的人并不多。

圖1 后來，我買了幾本幾何畫板的書，在網(wǎng)上也下載了一些資料，特別是我加入了當時積聚國內(nèi)眾多高手的幾何畫板論壇：求師德，通過學習高手的作品，我的水平有了較大的進步?，F(xiàn)在回想起來，幾何畫板的學習竅門也就兩點而已：不斷追溯父子對象；創(chuàng)建新工具，查看腳本。

在求師德論壇的日子是令人難忘的，這不僅僅是我個人的感受，也是許多動態(tài)幾何愛好者的心聲。求師德的網(wǎng)友，不論是對新手的教導，還是同水平的人切磋，都是坦誠相見，毫不保留，所以大家的水平上升得都很快。國內(nèi)一些中學數(shù)學網(wǎng)站，討論也頗為熱烈，但一遇到關(guān)鍵問題，高手們大都打住不講了，因為他們需要以此發(fā)表文章。求師德的網(wǎng)友鉆研技術(shù)的很多，熱衷于寫文章的好像很少。我曾經(jīng)建議求師德的高手們寫點文章，因為雜志上相當多的動態(tài)幾何文章所作研究并不深入，甚至可能會誤導人。可惜我的建議并不被多少網(wǎng)友接受。求師德論壇后來關(guān)閉了，具體原因我不太清楚，這是讓很多動態(tài)幾何愛好者感到惋惜的。

我開始轉(zhuǎn)向超級畫板的研究。超級畫板由于吸收了幾何畫板一些優(yōu)點，增加了很多功能，使得入門時間大大縮短，使用起來也更加方便。

不可避免地，我會對這兩個軟件進行比較。幾何畫板確實是一款非常優(yōu)秀的數(shù)學軟件，但很多的設計還是可以改進的。就拿前面所說的作圓的切線來說，原始的尺規(guī)作圖方式有其存在的意義，但作為一個現(xiàn)代化的工具來說，其作法能否更加直接，效率進一步地提高呢？超級畫板的智能畫筆就做到了這一點。在保證動態(tài)幾何性質(zhì)的前提下，充分考慮中學老師的使用習慣，順手一畫即可完成任務。而且超級畫板并不否定尺規(guī)作圖法，用戶可以選擇原始方法來鍛煉基本功，也可以采用先進方法迅速作出基本圖形，進一步探究以求獲得新的知識。

又如作多邊形上的點，從數(shù)學上來說，選擇多邊形各個頂點就應該能夠作出了，何必一定要先構(gòu)造多邊形內(nèi)部呢？在這一問題上，超級畫板比幾何畫板更符合數(shù)學本質(zhì)。

至于原來讓我頭痛的幾何畫板探究圓錐曲線，在使用超級畫板之后也變得輕松了，因為超級畫板在解析幾何方面提供了相當強大的功能。近幾年，隨著動態(tài)幾何研究隊伍的擴大，網(wǎng)上這方面的資料越來越多了，隨便一搜，光是橢圓的作法，至少能搜出二十幾種。這些作法，了解一下是很有好處的，它與“茴字的四種寫法”有著本質(zhì)的不同。每一種作法都反映了圓錐曲線的某些性質(zhì)。掌握這些作法，對研究解析幾何大有裨益。但也必須注意到，由于幾何畫板缺少最根本的解析幾何作圖功能：輸入二次曲線方程作圖，這讓相當多的用戶苦惱。

高手們總是會想出各種方法來補救現(xiàn)有軟件的不足，他們的研究熱情，所付出的努力，是一般人難以想象的。譬如幾何畫板4.0不能構(gòu)造函數(shù)與直線的交點，很多畫板愛好者花費大量時間，想出各種近似作法，但這些作法也僅在高手中流傳，因為一般人難以掌握這些技巧。但幾何畫板5.0的推出，交點功能的改善使得這一問題變得簡單。這說明，軟件開發(fā)者多為用戶著想，多做一些工作，就能使得數(shù)以萬計的用戶節(jié)省時間，提高效率。

學習動態(tài)幾何并不需要你有多高的計算機水平。培訓實踐表明，在最開始的入門階段，計算機老師比數(shù)學老師要快，而一旦過了這一階段，數(shù)學老師就遠遠地把計算機老師甩在后面。原因也很簡單，雖然軟件的操作是基礎，不掌握基本操作，很多想法都無法實現(xiàn)，但最終決定動態(tài)幾何水平高低的，還是看誰有扎實的數(shù)學功底，特別是平面幾何作圖方面。

在傳統(tǒng)幾何學習中，作圖與計算、證明三者的地位是并列的，而近些年，中學已經(jīng)大大刪減如何作圖了。為了學好動態(tài)幾何，我曾經(jīng)下功夫研究過一些作圖。譬如已知三角形兩邊和第三邊的角平分線長作三角形。我最早的作法是：如圖2，以C為圓心，分別以b、lc、a為半徑作圓；在半徑為b、a的圓上任取A、B兩點，在AB線段上作比例點D，使得DACA?；然后拖動B，使得D剛好落在半徑為lc的圓上。這樣作圖，顯然不符合動態(tài)幾DBCB何作圖要求，因為一拖動就會散架，不能保持幾何性質(zhì)。但我覺得動態(tài)幾何的這種近似作圖也有其存在的意義，直到現(xiàn)在，面對這種幾何約束作圖，不少雜志社、出版社束手無策，隨手所作圖形差錯十分明顯。他們確實有學一下動態(tài)幾何的必要了。

我后來想出了此題的尺規(guī)作法，但在此處，我卻想著重介紹另外一題：在△ABC的BC邊上，作點M使得△ABM和△ACM的內(nèi)切圓半徑相等。我最初也是采用近似作法。為了得到準確作法，我問了不少人，沒人會做。查了很多資料，最后在一本40年代的幾何書上找到了作法（后來發(fā)現(xiàn)梁紹鴻的《初等數(shù)學復習及研究（平面幾何）》也有），才作出圖來。

圖2 圖3 作法：如圖3，（1）BC的中垂線DE交△ABC的外接圓于E；

（2）作△ABC的內(nèi)心F；以E為圓心，EB為半徑作圓；FE交圓E于G；（3）過A作GB的平行線交BF于H；過A作GC的平行線交CF于I；（4）作AB關(guān)于AH的對稱直線交BC于M；

其中M即為題目所求。H、I分別為△ABM和△ACM的內(nèi)切圓圓心。

圖3作法巧妙，是很難想到的。也許有人會問：這個問題和動態(tài)幾何有什么關(guān)系呢？根本就是個數(shù)學題嘛！的確如此。因為我們研究動態(tài)幾何的根本目的就在于研究數(shù)學，而不是研究軟件本身。隨著軟件的發(fā)展，這種幾何約束作圖也會變得容易，譬如Geometry Expressions就在這方面已經(jīng)作出了相當不錯的嘗試。

接下來，我想嘗試回答一個問題。

一直以來，有人對動態(tài)幾何的作用提出質(zhì)疑，其典型觀點是：利用動態(tài)幾何軟件，不管是超級畫板還是幾何畫板，很多題目確實一作圖、一測量就出來結(jié)果了。但學生考試的時候，是不能使用計算機的，而且通過動態(tài)測量發(fā)現(xiàn)的也只是結(jié)果，沒有解題過程。

眾所周知，但凡能夠讓人產(chǎn)生依賴的東西必然有其獨特之處，譬如一本好的復習資料，一個好的家教，雖然有學生過分依賴好的復習資料和好的家教，上課聽課不認真了，但并不能因此就否定復習資料和家教的作用。

一件事物在一定條件下能夠發(fā)揮作用幫助到你，就說明它是有用的，這就夠了，我們不能求全責備，一定要它包打天下才行。就好比有人反對負數(shù)，理由是：你見過-1個人么？確實，我們沒有見過-1個人，但卻存在-1℃。這就說明負數(shù)有存在的意義。

下面這個案例應該能夠在一定程度上說明問題。

有這樣一個題目：如圖4，在正方形ABCD中，過點D作對角線AC的平行線，在平行線上作點E，使得CA?CE，CE交AD于F，求證：AE?AF。

圖4 圖5

我給出的證明：如圖5，作EI?AC，設BD交AC于O，顯然四邊形EDOI是矩形，CE?CA?BD?2OD?2IE，所以?ACE?30?，易得?AEF??AEF?75?，所以AE?AF。

但此題并沒有到此結(jié)束，還可以探究。細心的讀者會發(fā)現(xiàn)圖5中作的垂足標簽為I，按常理，緊接下來的標簽應該是G！這是因為我看到題目時，就感覺圖4只是題目敘述的可能情況之一。一般的解題者對題目給出的圖形比較依賴；而長期使用動態(tài)幾何的人解題時，則會不自覺地去嘗試重新作圖，即使不動手，也會在心里面把作圖步驟走一遍。

對于此題，在作好正方形ABCD后，尋找滿足條件的E時，通常是以C為圓心，CA為半徑作圓，很明顯圓與平行線的交點不止一點E，還有一點G，也滿足CA?CG。在前面證明的基礎上，我們?nèi)菀鬃C明AG?AH。如圖6，作GJ?AC，顯然CG?C?AB2?DO2?D2?I，所以EJG?30?，易得?CGA??CHA?15?，?GCJ所以AG?AH。

圖6 一個人在長期使用動態(tài)幾何軟件之后，是否能擺脫軟件，達到手上無畫板，心中有畫板的境界呢？理智告訴我，這幾乎不可能，至少我個人是做不到這一點。但我堅信，長期使用動態(tài)幾何會使人加深對數(shù)學的理解；而使用Flash或PPT，則很難幫助你提高數(shù)學水平。我堅信，所以我堅持。

第三篇：動態(tài)幾何學習心得

動態(tài)幾何學習心得

幾何畫板不是一個一般的繪圖軟件，不僅制作出的圖形是動態(tài)的，而且注重數(shù)學表達的準確性。因此，應該從數(shù)學的角度看待這個軟件，在理解中學習它，這樣就比較容易理解有關(guān)操作的規(guī)定，掌握操作方法，合理地進行操作，盡快掌握它的功能。反過來，當需要構(gòu)造某個圖形，進行某種操作時，就會自覺地滿足軟件對該項操作需要的前提條件。

首先用幾何畫板創(chuàng)設情景，靜態(tài)變動態(tài)，其次幾何畫板“數(shù)形結(jié)合”，抽象變形象，微觀變宏觀，能夠揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)思維能力、開發(fā)智力的工具。

通過這個課程的學習使我受益匪淺，對幾何畫板有了一個全面直觀的認識。在以后的教育教學中，我要堅持不斷學習，提高自己的課件制作水平。幾何畫板是一個在數(shù)學領域里進行創(chuàng)造、探索和分析等方面有著廣泛應用的軟件系統(tǒng)。利用幾何畫板，您可以構(gòu)造交互式的數(shù)學模型，可用于從事形與數(shù)的基礎研究，構(gòu)造高級的、動態(tài)的復雜系統(tǒng)的插圖。不僅學習了幾何畫板的應用知識，而且認識了很多同行，并從他們那里學到了不少知識。通過這學期的學習，感覺《幾何畫板》是個很不錯的學習輔助軟件，相比較FLASH等的軟件，它的本身占用資源較少，操作簡單，學習起來也較容易，而且在平時的教學中，用他去制作一些課件，不需要浪費太多的時間，但僅僅這花幾天的學習要想將這個軟件運用自如還是不可能的，老師只能領導你去認識它，真正的對它熟悉還要在平時的教學中多多運用，自己去鉆研。同時，通過學習，還讓我體會到了，在運用課件輔助教學時，不僅僅是去制作課件，在制作過程中，要對這節(jié)課完全理解，從原理上明白這節(jié)課的實質(zhì)內(nèi)容，再細化到如何去制作，才能讓我簡單明了的理解這節(jié)課，是在制作過程中的關(guān)鍵點。通過這次幾何畫板的學習，感覺受益匪淺！

第四篇：動態(tài)幾何教案(完)

龍文教育浦東分校張楊路校區(qū)學生個性化教案 教育是一項良心工程

課題：動態(tài)幾何

學生：

教師：吳大旺

時間：

學生評價

◇特別滿意

◇滿意

◇一般

◇不滿意

【回顧與思考】

?動點問題?

類別?動線問題?動形問題?

【例題經(jīng)典】

會“靜”中求動

例

1（2004年吉林?。┤鐖D，已知拋物線y=x2-ax+a+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點C．運點P以每秒2?個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿C→D運動．同時，點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿A→B運動．連結(jié)PQ，CB設點P的運動時間為t秒．

（1）求a的值；

（2）當t為何值時，PQ平行于y軸；

（3）當四邊形PQBC的面積等于14時，求t的值．

【分析】由PQ∥y軸和DC∥x軸這一靜態(tài)，得OQ=PD，求t的值．

會由“特殊”推出“一般”

例

2（2005年南京市）如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，?形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，?在運動過程中，點D，E始終在直線BC上，設運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC?的左側(cè)，OC=8cm．

（1）當t為何值時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直徑DE?圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積．

【會用“類比的思想”探究圖形的變化】

例

3（2006年臨沂市）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，設P、Q分別為BD、?BC上的動點，在點P自點D沿DB方向作勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C?作勻速移動，移動的速度都為1cm/s，設P、Q移動的時間為t（0

2（1）寫出△PBQ的面積S（cm）與時間t（s）之間的函數(shù)表達式，當t為何值時，S?有最大值？最大值是多少？

（2）當t為何值時，△PBQ為等腰三角形？

（3）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說明理由．

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【考點精練】 1．（2005年西寧市）如圖1，將正方形ABCD中的△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)能與△CBP重合，若BP=4，則點P所走過的路徑長為_________．

(1)

(2)

(3)2．（2005年福州市）如圖2，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的（）

A．111B．

C．

D． 543103．（2005年北京市）如圖3，在ABCD中，∠DAB=60°，BC=3，點P從起點O出發(fā)，?沿DC、CB向終點B勻速運動．設點P所走過的路程為x，點P經(jīng)過的線段與線段AD、AP所圍成圖形的面積為y，y隨x的變化而變化．在下列圖像中，能正確反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）

?

4．（2006年臨沂市）如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時針滾動，小正方形的邊長是大正六邊形邊長的一半，當小正六邊形由圖①位置滾動到圖②位置時，線段OA繞點O順時針轉(zhuǎn)過的角度為_______度．

5．如圖直角坐標系中，已知點A（2，4），B（5，0），動點P從B點出發(fā)，沿BO向終點O?運動，動點Q從A點出發(fā)向點B運動，兩點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位，設從出發(fā)起運動了xs．

（1）點Q坐標為______（用含x的式子表示）

（2）當x為何值時，△APQ為一個以AP為腰的等腰三角形？

（3）設PQ的中點為G，請你探求點G隨點P、Q運動所形成的圖形并說明理由．

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6．（2006年杭州市）在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿射線AB向點B方向運動；動點Q從點C出發(fā)，沿射線CB也向點B方向運動，?如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，求：

（1）幾秒鐘以后，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半？

（2）在第（1）問的前提下，P、Q兩點之間的距離是多少？

7．（2006年濟南市）已知半徑為R的⊙O′經(jīng)過半徑為r的⊙O的圓心，⊙O與⊙O?′交于E、F兩點．

（1）如圖甲，連結(jié)⊙O′交于⊙O于點C，并延長交⊙O′于點D，過點C作⊙O?的切線交⊙O′于A、B兩點，求OA．OB的值；

（2）若點C為⊙O上一動點，．．

①當點C運動到⊙O′內(nèi)時，如圖乙，過點C作⊙O′的切線交⊙O于A、B兩點，則OA·OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無變化？請說明理由．

②當點C運動到⊙O′外時，過點C作⊙O的切線，若能交⊙O′于A、B兩點，如圖丙，則OA·OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無變化？請說明理由．

8．（2005年黃岡市）如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形．點P、Q同時從原點出發(fā)，?分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC，CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．

（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式．

（2）試在（1）中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與△AOC全等，請直接寫出點D的坐標．

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（3）設從出發(fā)起，運動了t秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，?并寫出此時t的取值范圍．

（4）設從出發(fā)起，運動了t秒，當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t?的值；如不可能，請說明理由．

9．（2005年呼和浩特市）如圖（1），AB是⊙O直徑，直線L交⊙O于C1，C2，AD⊥L，垂足為D．

（1）求證：AC1·AC2=AB·AD；

（2）若將直線L向上平移（如圖（2）），交⊙O于C1，C2，使弦C1C2與直徑AB相交（交點不與A，B重合），其他條件不變，請你猜想，AC1，AC2，AB，AD之間的關(guān)系，并說明理由．

（3）若將直線L平移到與⊙O相切時，切點為C，其他條件不變，請你在圖（3）上畫出變化后的圖形，標好相應字母并猜想AC，AB，AD的關(guān)系是什么？（只寫出關(guān)系，不加以說明）．

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第五篇：初中幾何動態(tài)教學初探[原創(chuàng)]

初中幾何動態(tài)教學初探

“九年義務教育全日制初級中學《數(shù)學教學大綱》（試用）”中提出，初中數(shù)學的教學目的之一：培養(yǎng)學生良好的個性品質(zhì)和初步辨證唯物主義觀點。良好的個性品質(zhì)是指：正確的學習目的，濃厚的學習興趣，頑強的學習毅力，實事求是的科學態(tài)度，獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學習習慣；而初中數(shù)學中的辨證唯物主義教育因素之一是：數(shù)學內(nèi)容中，普遍存在的運動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點。本文想就初中幾何教學中如何通過幾何動態(tài)教學對學生進行辨證唯物主義思想教育，談談我的粗淺認識。

我們經(jīng)常會聽到老師和學生有這樣的反映，幾何難教，幾何難學?！半y”的原因之一就是圖形關(guān)系復雜，變化多樣。老師在幾何教學中演示的圖形都是靜態(tài)的，不能將圖形的任意位置展示給學生，在給出一個或有限的幾個圖形之后，就將一些重要的幾何規(guī)律簡單地介紹給了學生。而學生在作題時，由于圖形位置變化，或位置關(guān)系復雜，就變得茫然不知所措了，這時老師也開始變得急燥了，覺得概念已講得很清楚了，怎么還不會，幾何難教難學的矛盾就產(chǎn)生了。

如何解決這個矛盾呢？我想還是要從幾何的精髓問題入手。“幾何就是在不斷變化的幾何圖形中，研究不變的幾何規(guī)律”。比如 圖1

1．不論三角形的位置、大小、形狀和方向如何變化，三角形的3條高線都交于一點（如圖1）； 圖2

2．不論四邊形如何變化，四邊形的四邊中點順序連接成的圖形永遠是平行四邊形（如圖2）等等，不勝枚舉。對于第一個問題，傳統(tǒng)教學中都是利用尺子作圖，各種情況只作一個圖形，很有限，不能說明問題；對于第二個問題，在以往的教學中絕大多數(shù)老師都是以例題形式給讓學生證明。我現(xiàn)在想辦法讓三角形或四邊形任意動起來，讓學生觀察：三角形的3條高線交于一點；四邊中點順序連接成的圖形永遠是平行四邊形。有了這樣一個感性認識，再深入研究就成為自覺自愿的了。學生從運動的幾何圖形中找出的幾何規(guī)律，印象會很深，而且?guī)缀螆D形有這樣的動態(tài)效果，很容易吸引這些初中學生，讓他們覺得幾何課有意思，從而愿意上幾何課。

我的這些想法是有理論根據(jù)的，因為運動的觀點是現(xiàn)代數(shù)學思想的一個重要方面，在中學幾何教學中應加強運動觀點的建立。現(xiàn)代教育理論認為：數(shù)學知識不是老師教會的，而是學生必須經(jīng)過頭腦想象和理解椉唇ü箺才能真正學會的。老師傳遞給學生的只是知識信息，學生通過接收這些信息，聯(lián)系他們頭腦中舊有的知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出他所能理解掌握的新知識，在幾何教學中，對于那些相對于學生來說復雜而又抽象的圖形，需要在老師的引導下，從不斷運動變化的圖形中，從不同的角度反復觀察、探索、發(fā)現(xiàn)，找出規(guī)律，“從而建立起學生自己的‘經(jīng)驗體系’棗即猜想可能的結(jié)論，最后再在老師和書本的幫助下證明猜想的結(jié)論，從而建立起學生自己的‘邏輯思維體系’。即完成‘在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律’”。

對于一個幾何圖形來說，各種元素之間的位置關(guān)系實際上是處于變化的相互依存的狀態(tài)，動是絕對的，靜是相對的，這就產(chǎn)生了幾何變換。在初中平面幾何中，常見的幾何變換有：全等變換、相似變換和等積變換等。在實際教學中，要想辦法創(chuàng)造有變有不變的狀態(tài)，讓有利于解題的條件保持不變，而將不利于解題的條件變?yōu)橛欣模@就是利用運動變化中不變的規(guī)律解題的主要思想。

如何實現(xiàn)讓幾何圖形動起來，讓學生在“動中找靜”，以往的幾何教學很難做到，因為在傳統(tǒng)的幾何教學中，用常規(guī)作圖工具（紙、筆、尺）手工繪制的圖形都是靜態(tài)的，雖然它能教給學生規(guī)范作圖，但這樣很容易掩蓋極其重要的幾何規(guī)律。有的老師可以制作很精制的投影抽拉片，使部分圖形動起來，卻很難體現(xiàn)圖形的任意性，以及圖形各部分之間的密切聯(lián)系。針對這個問題，我們可利用計算機輔助數(shù)學教學，利用一個軟件工具棗“幾何畫板”制作我們需要的幾何圖形，并使之任意運動和動畫，在圖形不停地變化過程中，讓學生觀察，發(fā)現(xiàn)不變的幾何規(guī)律，讓學生認識到幾何規(guī)律是實實在在的科學，不是憑空任意造出來的，要用科學的頭腦，去分析動態(tài)的幾何圖形，從而得到“靜態(tài)”的幾何規(guī)律。

下面結(jié)合例子來說明如何對初中幾何進行動態(tài)教學。（主要設計思路）

例1．初中幾何教材P125 *7.12 和圓有關(guān)的比例線段，這一節(jié)的內(nèi)容是相交弦定理，切割線定理及其推論（即圓冪定理）一.相交弦定理：

1．弦AB、CD相交于圓內(nèi)一點P，幾何畫板測算PA、PB、PC、PD，并計算PA*PB, PA*PC, PA*PD, PB*PC, PB*PD, PC*PD, 圖形運動，讓學生觀察6個乘積，反復幾次，學生得出結(jié)論：只有PA*PB=PC*PD(如圖3)圖3：

教師給出相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦, 被交點分成的兩條線段的長的積相等。

要引導學生證明（略）

2·將D點向B點運動,C、A、B固定，學生觀察，PD逐漸變短，當測算值PD＝0時，同時PB＝0，此時P、B、D三點重合。問學生結(jié)論是否成立。(如圖4)

圖4：

3．讓AB運動至過圓心時停住，AB為直徑，讓CD任意與AB垂直，此時觀察四個測算值，總有PC＝PD，讓學生修改結(jié)論PC2 ＝PA*PB。引導學生用語言敘述：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。(如圖5)圖5：

二．割線定理：

圖6：

將P點運動，在P點從圓內(nèi)到圓外之間反復運動的過程中，讓學生觀察6個乘積，發(fā)現(xiàn)依然有PA*PB=PC*PD。引導學生敘述：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。（注：此處與教材講解順序不一樣，有待探討）。

通過觀察分析，比較圖形，引導學生歸納出相交弦定理與割線定理的相同點：0 ①定理中的條件都是兩條相交直線分別與圓相交

②定理中的結(jié)論都是兩條直線的交點到各弦兩端的距離之積相等。于是，可以把相交弦定理和割線定理統(tǒng)一如下形式：

兩條相交直線分別與圓相交，則兩直線的交點到各弦兩端的距離之積相等

3、切割線定理

1．將PA繞P點運動，讓學生觀察A、B重合時，有 ⑴PA＝PB ⑵PA*PB=PC*PD 由學生修改結(jié)論:PA2 =PC*PD（注：教材上是PT2 ＝PA*PB）(如圖7)圖7：

引導學生用語言敘述:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

2．將PD繞P點運動,C、D重合時觀察時：（1）PC＝PD=PA=PB PA*PB=PC*PD(如圖8)圖8： 由學生修改 PA2 =PC2 ∴PA=PC

正是前面學過的切線長定理 四．深入討論

進一步引導學生：點P到各弦兩端的距離之積相等，等于什么？有沒有一般規(guī)律？（這是課本P134習題T 7.4 B組4）

引導學生分析當點P固定，∵過P點的弦有無數(shù)條，選一條過圓心的弦，即直徑：1．當P點在圓內(nèi)時，引導學生: ∵PA*PB=PC*PD 又PB=R-OP PA=R+OP ∴PA.PB=(R+OP)(R-OP)= R2 －OP2

當P為定點時, OP和R均為定值(如圖9)圖9：

當P點在圓外時, 學生獨立完成。

圖10：

3．歸納總結(jié):

一直線與半徑為R的⊙0相交, 在直線上取一不在圓周上的點P, 則該點到弦兩端的距離之積是定值│R2-OP2│

告訴學生:你們和我一起討論并驗證的這個問題實際上是直線與圓這一節(jié)中一個重要定理。一方面不僅使學生數(shù)學思維得到發(fā)展，也使他們從中 獲得成功的喜悅；另一方面，可以使學生從不斷變化的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不變的幾何規(guī)律。

例2．①同底等高的一組三角形，底BC固定不動，頂點A在平行于底邊的直線上滑動，觀察重心的位置及重心軌跡（計算機動畫演示）圖：11 觀察發(fā)現(xiàn)：

⑴不論三角形如何變化，重心永遠在三角形內(nèi)。

⑵同底等高的一組三角形的重心軌跡是一條直線（證明略）。

②同底等高的一組三角形，底BC固定不動，頂點A在平行于底邊的直線上滑動，觀察垂心的位置及垂心軌跡（計算機動畫演示）

觀察發(fā)現(xiàn)：

⑴銳角三角形的垂心在銳角三角形的內(nèi)部；直角三角形 的垂心在直角三角形的直角頂點處；鈍角三角形的垂心在鈍角三角形的外部。

⑵ 同底等高的一組三角形垂心的軌跡是一條拋物線。（證明略）等等。

盡管在初中幾何中不涉及軌跡問題，我們也可以不提它，但它確是計算機演示實驗的結(jié)果，可以給學生看，引起學生的興趣。

以上是我對初中幾何進行動態(tài)教學的粗淺看法，得到多名老師的一致認可，同時我也給親戚朋友的孩子（初三學生）進行了課余輔導，效果不錯，這些學生在做習題時，大部分首先回憶的是計算機演示的圖形。然后是定理，并很快結(jié)合已知條件做出了習題。我想這就達到了目的，學生知道從變化的圖形中找出不變的規(guī)律為自己所用。在介紹知識的同時，滲透了辯證唯物主義思想。文中出現(xiàn)不妥之處，請專家和同行批評指正。