第一篇：動手操作,體驗過程

動手操作,體驗過程

數形結合是數學學習的重要思想方法，動手操作是小學生實現數形結合的重要學習方式之一，在動手操作的過程中充分體驗數形結合的數學思想，它對學生理解數學概念、體會數學計算中的算理、解決數學問題在思維上有很好的支撐作用，并能幫助學生建立數學模型，提高數學學習的效率.動手操作讓學生的思維、語言、肢體經歷一次次“磨合”，在多種感觀的參與下學習數學知識，提高課堂教學的有效性.下面結合自身教學實踐和聽課時的感受談幾點學生自己動手操作下數學數形結合思想在課堂上的具體應用.一、以“形”為依托，理解概念

數學概念是小學數學中重要的學習內容，是客觀世界中數量關系和空間圖形的本質屬性在人腦中的反映.新課標指出，我們要讓學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步演繹推理能力.學習數學知識的過程就是一個不斷地運用已有數學概念進行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過程.我們離開了概念，就無法對客觀事物進行有根有據的思考，有條有理的分析、綜合、判斷、推理，也就談不上推理能力的培養.只有加強概念教學，才能使學生在獲取數學知識的同時，進一步培養各種數學能力.但對于小學生來說，數學概念抽象且難于理解，在概念教學中引導學生動手畫一畫，以形為依托，使抽象概念直觀化，從本質上理解概念，會有事半功倍的效果.[案例片段] 義務教育課程標準實驗教科書人教版五年級下冊“質數與合數”教學.通過畫小正方形理解質數與合數的概念.師：用2個小正方形拼長方形（或正方形），有幾種不同的拼法？（通過旋轉能重合的算一種）用3個、4 個、5個……你能用算式表示這些拼法嗎？（學生操作）

師：我們得出2，3，5，…只有一種拼法，而4，6，8，…有2種或是2種以上拼法，你有什么想法，與全班交流.生1：有些數只有一種拼法，只有2個因數.生2：有些數有兩種及以上拼法.生3：有幾種拼法就有幾種算式，就有超過2個因數.師：你能否自己再找些數來驗證這些想法？你的猜想是否正確？你還有什么發現？

學生繼續畫正方形，寫算式，寫因數，如12，20等.師：請你數一數因數的個數，你有什么發現？能給這些數分類嗎？

師：像這樣2，3，5，7，11，…只有1和本身兩個因數的數叫作質數，像4，6，8，9，…這樣除了1和本身外還有別的因數的數叫作合數.質數與合數是初等數論中的最基本概念之一，對五年級的學生來說比較抽象，在理解上有一定的困難.在這個教學片段中，教師創設了學生自己動手操作的機會，將靜態的找因數活動變為動態的實踐活動.通過畫小正方形激活學生思維，積極投入到活動中去.利用數形結合，從具體操作中抽象出質數、合數概念，學生易于理解，印象深刻.二、以“形”說理，讓學生深刻體會算理

計算教學不僅要進行算法的教學，而且要加強學生對算理的理解.算理不清，知識遷移的范圍就極為有限，無法適應計算中多變的各種具體情況.算法沒有掌握，計算時就無從下手.因而學生理解算理，掌握算法，是能算、會算、算好的基礎.正所謂“知其然，還要知其所以然”.現在許多學生存在會算但不明算理的情況，導致新知識不會遷移，而且缺乏靈活計算的能力.所以計算教學的關鍵就是教師要指導學生在領悟算理的基礎上掌握算法，動手操作，讓形“說”算理，可以讓計算教學在算法和算理中得到平衡.[案例片段] 義務教育課程標準實驗教科書人教版三年級下冊P19“筆算除法”教學.師：三年級平均每班種多少棵樹？42 ÷ 2等于多少？

生：等于21（全班46名同學，有37名都能得正確答案）.師：你是怎么得到結果是21的？

生：等于21就是21（絕大多數學生說不出所以然）.師：你能用小棒分一分，來說明為什么是21嗎？同桌合作，分一分，并相互說一說.學生操作.生：先把4捆平均分成兩份，每班分得兩捆.再分2枝，每班得1枝.每班平均分到21枝.師：借助操作你能說說算式嗎？

先用十位上的4除以2，十位上就是2，再用個位上的2除以2等于1，所以42 ÷ 2 = 21.師：十位上的4除以2，這個4表示4個……

生：4個十.生：4個十除以2等于2個十.生：2除以2等于1，再用20 + 1 = 21.師：明白了嗎？

生：明白了.通過動手操作為學生的思維提供了支撐，凸突現了對算理的理解，加強了算理和算法的溝通，通過算理的理解來催生豎式計算的框架.讓抽象的豎式計算順序與分小棒過程建立聯系，讓學生經歷豎式的形成過程，接下來出現筆算除法就水到渠成了.三、以“形”為橋梁，幫助學生解決問題

運用數形結合有時能使數量之間的內在聯系變得比較直觀，成為解決問題的有效方法之一.在分析問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，把圖形的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，能調動學生積極主動參與學習，能提高學生的思維能力.學生畫線段圖能使題目中的數量關系更形象、更直觀，是數形結合在解決問題時最常用的方式.引導學生用線段圖表示題中數量，能使它們之間的數量關系更直觀、更形象，使應用題化難為易，簡單易學.如：魚缸里有10條紅金魚，8條黑金魚，紅金魚比黑金魚多幾條？提問：這道題中的兩種魚哪種多，哪種少？紅金魚多我們可用長線段表示，黑金魚少，線段要怎樣畫？

誰能指出圖上哪部分表示紅金魚比黑金魚多幾條？多了幾條怎樣計算呢？通過作圖，原題中文字敘述的數量形象化了，符合小學生的思維特點，學生一看就明白，從而也就能進行正確的解題.在畫的過程中就理解數量關系，讓圖幫助學生解決問題.動手操作讓數與形結合的過程，是學生由直觀操作的感性認識向抽象概括的理性認識過渡的過程.在這一過程中，學生的心理、知識、能力各方面會發生積極的變化.數形結合作為一種重要的數學思想，需要教師經常有意識地去滲透，并讓它更好地服務于課堂教學.

第二篇：體驗學習過程

體驗學習過程，提高課堂教學效率

《數學課程標準》提出：“要讓學生在參與特定的數學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗”。所謂體驗，就是個體主動親歷或虛擬地親歷某件事并獲得相應的認知和情感的直接經驗的活動。讓學生親歷經驗，不但有助于通過多種活動探究和獲取數學知識，更重要的是學生在體驗中能夠逐步掌握數學學習的一般規律和方法。教師要以“課標”精神為指導，用活用好教材，進行創造性地教，讓學生經歷學習過程，充分體驗數學學習，感受成功的喜悅，增強信心，從而達到學會學習的目的。

一、自主探索——讓學生體驗“再創造”。

荷蘭數學家弗賴登塔爾說過：“學習數學的唯一正確方法是實行再創造，也就是由學生把本人要學習的東西自己去發現或創造出來；教師的任務是引導和幫助學生去進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。”《數學課程標準》指出：“學生的數學學習過程應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。在這個過程中，教師要采取多種策略來調動學生的積極性主動性和創造性，使全體學生積極主動地參與到數學活動中，讓學生大膽地去嘗試、去探索，使學生在探索的過程中學會探索，掌握探索的方法，在解決問題的過程中體驗到成功的樂趣。”實踐證明，學習者不實行“再創造”，他對學習的內容就難以真正理解，更談不上靈活運用了。

教師作為教學內容的加工者，應站在發展學生思維的高度，相信學生的認知潛能，對于難度不大的例題，盡量不講或精講，要讓學生“跳一跳就摘到果子”，像科學家一樣去自己研究、發現，在自主探究中體驗，在體驗中主動建構知識。

二、動手實踐——讓學生體驗“做數學”。

美國華盛頓國立圖書館的墻上寫有三句話：“我聽見了，但可能忘掉；我看見了，就可能記住；我做過了，便真正理解了。”這里的“做過”，我認為應該就是在特定的情境中親身體驗的意思。《數學課程標準》也特別強調體驗學習。強調讓學生在實際的生活情境中去感受、去驗證、去應用——實踐，從而發現知識，理解知識，掌握知識，解決實際問題。如果說“在體驗中學習”學到的是知識，那么“在學習中體驗”就是形成了技能。

1、提供“玩”的機會，讓學生在玩耍中體驗。

“愛玩”是小學生的天性，是他們的興趣所在。心理學研究結果表明：促進人們素質、個性發展的最主要途徑是人們的實踐活動，而“玩”正是兒童這一年齡階段特有的實踐活動形式。正如愛因斯坦告戒人們：“教育應該使提供的東西，讓學生作為寶貴的禮物來享受，而不是作為一種艱苦的任務來負擔”。“玩”的教學理念的實質是讓孩子在“玩”中去體驗和感悟抽象的數學概念、建立起數學概念的表象支撐，或者進行大密度、高速度的邏輯思維活動，以達到訓練其思維品質的目的。因此，在設計“玩法”時，應明確的指向數學知識或數學問題，讓學生很容易就能建立起“玩”與所學數學知識或要解決的數學問題之間的聯系，讓“玩”起到點燃學生思維的火花的作用。

2、提供“做”的機會，讓學生在實踐中體驗。

教與學都要以“做”為中心。陶行知先生早就提出“教學做合一”的觀點，讓學生找找、量量、拼拼??因為“你做了你才能學會”。“做”就是讓學生動手操作，通過操作，理解新知的來源與發展，體驗到參與之樂，思維之趣，成功之愉。因此，多讓學生動手操作，創造一個愉悅的學習氛圍，是提高教學效果的重要環節，也是學生體驗學習的一種方式。在學習“時分秒的認識”之前，讓學生先自制一個鐘面模型供上課用，遠比帶上現成的鐘好，因為學生在制作鐘面的過程中，通過自己思考或詢問家長，已經認真地自學了一次，課堂效果能不好嗎？

三、合作交流——讓學生體驗“說數學”。

有人說過：如果兩個人各有一個蘋果，交換后每人還是一個蘋果；如果兩人各有一種思想，交流后每人至少擁有兩種思想。同樣，在數學教學中，由于每位學生的知識基礎和生活經驗各不相同，在各種能力方面也存在著差異，而這種差異正是一種可利用的資源，通過合作交流就能促使學生不斷反思不斷探索，達到資源共享目的。“說數學”指的是數學交流，課堂上師生互動、生生互動的合作交流，能夠構建平等自由的對話平臺，使學生處于積極、活躍、自由的狀態，能出現始料未及的體驗和思維火花的碰撞，使不同的學生得到不同的發展。因為“個人創造的數學必須取決于數學共同體的‘裁決’，只有為數學共同體所一致接受的數學概念、方法、問題等，才能真正成為數學的成分。”因此，個體的經驗需要與同伴和教師交流，才能順利地共同建構。

四、回歸生活，讓學生體驗“用數學”。

《數學課程標準》指出：“數學教學要體現生活性。人人學有價值的數學。”教師要創設條件，重視從學生的生活經驗和已有知識出發，學習和理解數學；要善于引導學生把課堂中所學的數學知識和方法應用于生活實際，既可加深對知識的理解，又能讓學生切實體驗到生活中處處有數學，體驗到數學的價值。

學生背著書包踏入學校時，他們具備的生活基礎知識和生活經驗雖然不多，但這是他們學習的寶貴資源，我們應重視和珍惜。我們要敢于擯棄傳統的教室、黑板、粉筆的教學格局，課堂可以是一家“超市”，可以是一艘“游艇”，還可以是“電視臺的播音室”??要以開放的新課程理念為指導，在學生已有的學習基礎上尋找教學的最佳著力點，走出教室、走出學校、走向生活、走向陽光和大自然，為學生的學習開創一片綠洲。

總之，重視從學生的生活經驗和已有知識出發學習和理解數學，聯系生活，在體驗中學習，通過實踐活動，讓學生觀察、分析、推理、估計、想象、整理。在探索中體驗，學生對知識就會有較深刻的理解，也會提高抽象概括的能力。而加強合作交流，重視應用，在學習中體驗，留給學生充分發展的時間和空間，能使學生在主動獲取知識的過程中，思維得到鍛煉，情感得到體驗，創新能力和實踐能力得到培養。我們的學生也許會相信老師告訴他的，但是他更愿意相信自己體驗過的事，也很難忘記體驗過的事，所以讓學生在體驗中學習，是扎實有效的。教師應該深入到學生的心里去，和他們一起經歷知識獲取的過程，經歷企盼、等待、焦慮、興奮等心理體驗，與學生共同分享獲得知識的快樂，與孩子們共同“體驗學習”，使我們的課堂充滿智慧，充滿生命的活力,提高課堂教學效率。

第三篇：動手操作與創新思維

動手操作與創新思維

------初中數學實驗教學之體驗

關鍵詞：實驗操作創新應用

摘要： 數學實驗教學是數學教學的一條全新的思路，是一種十分有效的再創造式數學教學方法。數學實驗教學是再現數學發現過程的有效途徑，它為學生提供了主體參與、積極探索、大膽實踐、勇于創新的學習環境，提供了一條解決數學問題的全新思路。

實驗是科學研究的基本方法之一，數學也不例外。《數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的，有意義的，富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。”由于學生所學的數學知識都是前人發現并經過嚴格論證的真理，因此，過去學生的數學活動大多表現為以歸納和演繹為特征的思維活動，簡約了數學的發現過程。傳統數學教學常常把數學過分形式化，忽視探索重要數學知識形成過程的實踐活動，制約了學生的發展。數學實驗教學是再現數學發現過程的有效途徑，它為學生提供了主體參與、積極探索、大膽實踐、勇于創新的學習環境，提供了一條解決數學問題的全新思路。

根據初中生的心理特征，他們喜歡動手操作，喜歡把新的數學知識跟現實生活、自己的經驗聯系起來，喜歡富有挑戰性、新穎性、開放性的問題，筆者在教學實踐中發現：在初中數學教學中恰當地引入數學實驗是引導學生發現問題、提出猜想、驗證猜想和創造性地解決問題的有效途徑。在數學教學中讓學生動手做數學實驗，激發學生用數學的眼光探索數學的新知識，是調動學生熱愛數學，學好數學，用好數學，的十分有效的數學教學方法。下面舉幾個例子，談談自己的一些做法。

一、借助數學實驗，引導學生加深對概念的理解。

數學概念、性質、定理等具有高度的抽象性和概括性，在傳統教學中，數學概念、性質、定理等教學通常是教師直接給出，學生加以記憶，因此讓學生對其本質屬性加以理解將存在很大的困難。新理念就要求教師在概念教學中注重知識的生成,引導學生從已有的知識背景和活動經驗出發，提供大量操作、思考與交流的機會，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流與反思等過程，在增加感性認識的基礎上，形成數學概念。

在《等腰三角形》一課中，主要陳述了等腰三角形的三線合一的性質。我先讓學生剪出一個一般三角形紙片（△ABC）中，通過折疊找出過點A的角平分線、中線、高，之后，再通過變換紙片△ABC頂點A的位置進行試驗，讓學生觀察上述三條折痕的變化情況，當學生獲得了一定的活動經驗后，提出問題：當AC=BC時，會產生怎樣的現象?

首先，學生根據上述的活動經驗得出了“該三條線段互相重合”這一猜想，為了驗證，有的學生通過作圖去探索，有的動手折疊去發現，經過學生的動手實驗，發現它們真的是互相重合，然后再引導學生找出腰上的角平分線、中線、高，通過類比，這樣學生提出了較為完善的猜想“等腰三角形底邊上的高線、中線、頂角的平分線互相重合。”學生借助了觀察試驗、歸納、類比以及概括經驗事實并使之一般化和抽象化，形成猜想或假設。我又不失時機地進一步提出問題:“為什么等腰三角形的這三條線段會重合在一起?”這樣又再次激發了學生的探索意識，從而把感性認識上升為理性判斷。

讓學生在一定的問題情景中，通過實驗，觀察對未知現象及數學規律積極探尋，并根據已有的數學經驗加以分析、歸納和推理，再運用數學符號進行恰當的表達和交流。從而在動手操作實驗和展示結果的過程，充分的增強了學生感性認識、同時也培養了學生的合作精神與交流意識，并從中體驗成功的喜悅，加深了對概念的理解。

二、數學實驗教學，有助于培養學生發現數學規律

傳統數學課堂教學壓縮了學習知識的生成過程,這樣往往就造成感知與概括之間的思維斷層,既無法保證教學質量,更不可能發展學生的學習策略。新理念提倡重視過程教學，在揭示知識生成規律上，讓學生自己動手實驗，自己去發現數學規律，在這一主動建構過程中，通過動手操作，把學生推到思維的前沿，把課堂交給了學生，給學生參與實驗、自主探索、合作交流的機會，讓學生在自主的思維活動中去構建新的認知結構，這樣既加強了數學交流，又培養了合作精神．。

在《有理數的乘方》內容中有這樣的一個“探究活動”：

1、一張紙的厚度為0.1mm，那么你的身高是紙的厚度的多少倍？

2、將這張紙按如圖所示的方法（圖略）連續對折2次，這時它的厚度是多少？

3、那么對折20次，它的厚度是多少？

4、假設連續對折始終是可能的，那么對折多少次后，所得的厚度可以超過你的身高？先猜一猜，然后計算出實際答案。你的猜想符合實際問題嗎？

實驗準備：全班每四人一組，每人準備一張A4型號白紙。

實驗要求：讓學生將手中的紙安要求對折，并記錄每一次對折后紙張的層數，計算出它的高度，尋找出數據變化的規律，并解決上述問題。

實驗結果：問題1學生很快就解決了。解決問題2時，有的小組列出了這樣一份表格：

學生動手操作，找到規律，很快就解決了問題3與問題4。

三、通過數學實驗，培養學生的創新思維能力。

學生的創新思維往往來自與學習過程中的思維“偏差”和好奇心。學生在傳統的教學模式中，往往 表現為隨著時間的推移，好奇心越來越弱，越來越順著老師講課的思維想問題，思維中的“偏差”越來越少，思維的亮點也越來越少。而實驗教學恰恰是提供學生探索發現、猜想檢驗的機會與時空。

有一次，在《三角形的分類》這一課的教學中，我運用了教材中的一個片段：用紙遮住一個三角形，只露出它的一個角，讓學生判斷這個三角形按角分類會是什么三角形。正當我暗自慶幸其效果，想順理成章地得出結論時，忽然有一個聲音冒出來：“老師，我有不同的看法！”我眉頭一皺，但又馬上舒展開，難到你還有什么“高見”？不妨再聽聽看。那位學生自信地說：“如果這是一個等腰三角形的話，那么它一定是銳角三角形。”追問到：“為什么？”“因為等腰三角形的兩個底角相等，而任何一個三角形不可能有兩個直角或鈍角，因而底角只能是銳角。現在它的頂角是銳角，所以可以確定它是銳角三角形。”他的敘述贏得了陣陣喝彩。

在課堂教學中，只要教師善于發現學生的閃光點，善于捕捉學生思維“偏差”的契機，恰當引導，有時會收到意想不到的效果。

四、利用數學實驗，強化學生的數學應用意識

應用數學知識分析、解決實際問題,是數學教學的出發點和歸宿。發展學生的應用意識是數學教學的重要目標之一。通過數學教學，幫助學生樹立數學應用意識是素質教育的一項重要任務。這就要求教師必須創設一種問題情景，使學生能受到必要的數學應用的實際訓練，否則強調應用意識就成為一句空話。

因此，有時我們的教學，還應突破課堂和教室這狹窄的時間和空間，更多地融入社會，這是數學教學教育性的重要體現，也是培養學生解決實際問題能力的有效途徑。因此，在教學實踐中，我不斷向學生提出一些專題調查任務，或為課堂教學收集材料，或作為課堂教學的一種補充。例如：我向學生布置下列一些研究課題：

1、某商店某一類商品每天毛利潤的增減情況；

2、銀行存款中年利率、利息、本息、本金之間的關系；

3、如何利用估算某建筑物的高度？

學生圍繞某一個課題開展調查，讓學生多了解利息利率、市場經營、住房建筑等實際知識，在教師的啟發下，將某一實際問題化歸為數學問題，再選擇適當的方法加以解決。此時教學的重點，不再停留在自變量的選取，等量關系的尋找上，而是通過學生的實踐、分析、討論，引導學生將實際問題化歸為數學問題，然后運用數學知識去解決它。通過這些問題的解決，一方面增加了學生解決實際問題的社會經驗；另一方面培養學生主動解決問題的習慣。

學生在實驗情境中的“做”中學，對知識形成過程，對問題發現、解決、引伸、變換等過程的實驗模擬和探索，這種教學方式在拓寬了學生的思維活動空間的同時，也使他們的思維更有深刻性和批判性。它追求的不僅僅是解決了數學問題，更重要的是理解、發現和創造，以及解決問題的精神和樂趣。

合理運用實驗教學，充分發揮其作用。倡導學生主動參與、交流、合作、探究等多種學習活動，把思維的空間與時間交給學生，更好的改進學習方式，讓學生積極主動參與到課堂教學，在動手操作中培養學生的創新思維能力。

第四篇：體驗動手實踐 收獲快樂成長

體驗動手實踐 收獲快樂成長

明媚的五月生機盎然，正是孩子們愉悅身心、努力綻放的時節。5月21日至23日，我們六年級三個班的學生來到濰坊市實驗學校，進行了為期三天的實踐活動。

在本期綜合實踐活動培訓中，實踐基地為學生設置了十門活動實踐課程，這些活動項目有奇妙陀螺、機器人、獵狐、巧板家族、果凍DIY、快樂布藝、創意金屬絲等。鮮活有趣的課堂、新奇好玩的課程讓孩子們興奮不已，同時也受益匪淺。三天實踐培訓下來，孩子們學到了很多課堂上學不到的知識，完成了很多手工作品。當他們拿著自己制作的作品互相展示時，臉上洋溢出的笑容是那么的快樂。

在實踐基地，我校的學生們展現出了極高的素質。一日三餐，學生整齊有序地進入餐廳，文明用餐；午休和晚休安靜而有秩序，宿舍整理得整潔衛生、井井有條；不論課上還是課下，學生們都勤于鉆研，團結合作，路上見到每位老師都會有禮貌地打招呼問好；在拓展訓練項目和滾輪胎比賽中，學生們發揮了團隊合作精神，很好地完成了老師教給的任務??北大學子的文明言行，獲得了其他學校師生的一致好評。

三天的培訓時間很短暫，可是帶給學生的影響卻非常深遠。學生通過活動實踐，既收獲了知識，也收獲了快樂；既增進了同學間的友情，也培養了團結合作的精神。正如陶行知所說：“要解放孩子的頭腦、雙手、腳、空間、時間，使他們充分得到自由的生活，從自由的生活中得到真正的教育。”三天里，大家體驗了動手實踐，收獲了快樂成長，這樣的活動教育有利于小學生的身心發展，會讓他們更加陽光自信！

第五篇：中考沖刺三：動手操作型專題

中考沖刺三：動手操作型專題

一、熱點分析中考動向

撰稿：劉志全

審稿：趙亞莉

責編：張楊

在近幾年的中考試題中，為了體現教育部關于中考命題改革的精神，出現了動手操作題.動手操作題是讓學生在通過實際操作的基礎上設計有關的問題.這類題對學生的能力有更高的要求，有利于培養學生的創新能力和實踐能力，體現新課程理念.操作型問題是指通過動手測量、作圖(象)、取值、計算等實驗，猜想獲得數學結論的探索研究性活動，這類活動完全模擬以動手為基礎的手腦結合的科學研究形式，需要動手操作、合情猜想和驗證，不但有助于實踐能力和創新能力的培養，更有助于養成實驗研究的習慣，符合新課程標準特別強調的發現式學習、探究式學習和研究式學習，鼓勵學生進行“微科研”活動，提倡要積極引導學生從事實驗活動和實踐活動，培養學生樂于動手、勤于實踐的意識和習慣，切實提高學生的動手能力、實踐能力的指導思想.因此.實驗操作問題將成為今后中考的熱點題型.知識升華

題型1：動手問題

此類題目考查學生動手操作能力，它包括裁剪、折疊、拼圖，它既考查學生的動手能力，又考查學生的想象能力，往往與面積、對稱性質聯系在一起.題型2：證明問題

動手操作的證明問題，既體現此類題型的動手能力，又能利用幾何圖形的性質進行全等、相似等證明.題型3：探索性問題

此類題目常涉及到畫圖、測量、猜想證明、歸納等問題，它與初中代數、幾何均有聯系.此類題目對于考查學生注重知識形成的過程，領會研究問題的方法有一定的作用，也符合新課改的教育理念.二、經典例題透析類型一：動手問題

1．將正方形紙片兩次對折，并剪出一個菱形小洞后展開鋪平，?得到的圖形是()

思路點撥：兩次折疊后所剪菱形小洞應在正方形紙片中心處，并且所得四個菱形小洞關于正方形對角線對稱，菱形小洞銳角頂點在對角線交點.答案：C.2．把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊，EM、FM為折痕，折疊后的C點落在B′M或B′M的延長線上，那么∠EMF的度數是()

A.85°

B.90°

C.95°

D.100°

思路點撥：如圖方式折疊，所得四邊形FMC′D′與四邊形FMCD關于FM成軸對稱，所得△EMB′與△EMB關于EM成軸對稱，所以有，答案：B..3．(廣州市)如圖(1)，將一塊正方形木板用虛線劃分成36個全等的小正方形，然后，按其中的實線切成七塊形狀不完全相同的小木片，制成一副七巧板.用這副七巧板拼成圖(2)的圖案，則圖(2)中陰影部分的面積是整個圖案面積的()

A.B.C.D.思路點撥：題目中的圖(2)是對思維的干擾，如果直接提問“圖(1)中小正方形的面積是大正方形面積的幾分之幾”，問題就變得簡單明了．在圖(1)中可以體會到，小正方形的面積等于兩個斜邊為3的等腰直角三角形的面積之和，計算得小正方形的面積等于，因此小正方形的面積是大正方形面積的答案：D．

． 4．如圖，一寬為2cm的刻度尺在圓上移動，當刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓兩個交點處的讀數恰好為“2”和“8”(單位：cm)，則該圓的半徑為___________cm.思路點撥：如圖，AB=6cm，CD=2cm，有圓半徑為，得.由勾股定理，OD平分AB，AC=3cm，設該，代數解之可

答案：.類型二：證明問題

5．(浙江省)如圖1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片(如圖2)，量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，使點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合(在圖3至圖6中統一用F表示)

(圖1)

(圖2)

(圖3)

小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決.(1)將圖3中的△ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點B與點F重合，請你求出平移的距離；

(2)將圖3中的△ABF繞點F順時針方向旋轉30°到圖5的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度；

(3)將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH=DH.(圖4)

(圖5)

(圖6)

解：

(1)圖形平移的距離就是線段BC的長

又∵在Rt△ABC中，斜邊長為10cm，∠BAC=30°，∴BC=5cm，∴平移的距離為5cm.(2)∵，∴，∠D=30°.∴.，在Rt△EFD中，ED=10 cm，∵FD=

∴

(3)△AHE與△

∵

∴

又∵

∴ cm.中，∵，即，∴△.，.≌△

(AAS).，類型三：探索性問題

6．(青島)提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？

探究發現：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

(1)當AP=AD時(如圖②)：

∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD.∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=

∴S△PBC=SS△CDA.四邊形ABCD

-S△ABP-S△CDP

=S

四邊形ABCD

-S△ABD-S△CDA

=S

四邊形ABCD

-(S

四邊形ABCD

-S△DBC)-(S

四邊形ABCD

-S△ABC)

=

S△DBC＋S△ABC.(2)當AP=AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，寫出求解過程；

(3)當AP=AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：________________；

(4)一般地，當AP=寫出求解過程；

AD(n表示正整數)時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系，問題解決：當AP=___________.AD(0≤

≤1)時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：

解：⑵ ∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD.又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=

∴S△PBC=S

S△CDA.四邊形ABCD

-S△ABP-S△CDP

=S四邊形ABCD

-S△ABD-S△CDA

=S四邊形ABCD

-(S

四邊形ABCD

-S△DBC)-(S

四邊形ABCD

-S△ABC)

=S△DBC＋S△ABC.∴S△PBC=S△DBC＋S△ABC.⑶ S△PBC=S△DBC＋S△ABC ；

⑷ S△PBC=S△DBC＋S△ABC ；

∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD.又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=

∴S△PBC=S

S△CDA.四邊形ABCD

-S△ABP-S△CDP

=S四邊形ABCD

-S△ABD-S△CDA

=S四邊形ABCD

-(S

四邊形ABCD

-S△DBC)-(S

四邊形ABCD

-S△ABC)

=

S△DBC＋S△ABC.∴S△PBC=S△DBC＋S△ABC.問題解決： S△PBC=

S△DBC＋S△ABC.7．(孝感)在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：

第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開(如圖1)；

第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN(如圖2).(圖1)

(圖2)請解答以下問題：

(1)如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論.(2)在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合(1)中結論的三角形

紙片BMP ？

(3)設矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標系.設直線，當

=60°時，求k的值.此時，將△ABM′沿BM′折疊，點A是否落在EF

為上(E、F分別為AB、CD中

點)？為什么？

(圖3)

解：(1)△BMP是等邊三角形.證明：連結AN

∵EF垂直平分AB ∴AN=BN

由折疊知 AB=BN

∴AN=AB=BN ∴△ABN為等邊三角形

∴∠ABN=60° ∴∠PBN=30°

又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°

∴∠BPN=60°

∠MBP=∠MBN ＋∠PBN=60° ∴∠BMP=60°

∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°

∴△BMP為等邊三角形.(2)要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC ≥BP

在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°

∴BP= ∴b≥ ∴a≤b.∴當a≤b時，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP.(3)∵∠M′BC=60° ∴∠ABM′=90°-60°=30°

在Rt△ABM′中，tan∠ABM′= ∴tan30°= ∴AM′=

∴M′(，2).代入y=kx中，得

設△ABM′沿BM′折疊后，點A落在矩形ABCD內的點為

過

∵△

∴作

交BC于H.，.BM′≌△ABM′ ∴

在 ∴

∴

中，落在EF上.(圖2)

(圖3)