多位數計算
教學目標
多位數的運算在奧數計算體系里面一般都扮演難題角色，因為多位數計算不僅能體現普通數字四則運算的一切考法，還有自身的“獨門秘籍”，那就是“數字多的數不出來”，只能依靠觀察數字結構發現數字規律的方式掌握多位數的整體結構，然后再確定方法進行解題。
多位數的主要考查方式有
1.用帶省略號的描述方式進行多位數的具體值四則計算
2.計算多位數的各個位數字之和
知識點撥
一、多位數運算求精確值的常見方法
1.利用，進行變形
2.“以退為進”法找規律遞推求解
二、多位數運算求數字之和的常見方法
M×的數字和為9×k．(其中M為自然數，且M≤)．可以利用上面性質較快的獲得結果．
例題精講
模塊一、多位數求精確值運算
【例
1】
計算：
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
這道題目，你會發現無規律可循.這時我們就要從找規律這個思想里走出來，將
乘以3湊出一個，然后在原式乘以3的基礎上除以3，所以
原式
【答案】
【鞏固】
計算：
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
這道題目，你會發現無規律可循.這時我們就要從找規律這個思想里走出來，將
乘以3湊出一個，然后在原式乘以3的基礎上除以3，所以
原式
【答案】
【鞏固】
計算
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
我們可以把轉化為，進而可以進行下一步變形，具體為：
原式
【答案】
【鞏固】
計算的乘積是多少？
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
我們可以將原題的多位數進行的變形：
原式==
=（）=×-
=.【答案】
【鞏固】
快來自己動手算算的結果看誰算得準？
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
本題是提取公因數和湊整的綜合。
原式
【答案】
【鞏固】
計算
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
本題著重是給大家一種湊的思想，除數是，所以需要我們的被除數也能湊出
這就需要我們根據乘法的性質來計算了。所以：
原式
【答案】
【例
2】
請你計算結果的末尾有多少個連續的零？
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
同學們觀察會發現，兩個乘數都非常大，不便直接相乘，可以引導學生按照兩種思路給學生展開
方法一：是學生喜歡的從簡單情況找規律
9×9=81；99×99=9801
；999×999=998001；9999×9999=99980001；……
所以：
原式
方法二：觀察一下你會發現，兩個乘數都非常大，不便直接相乘，其中
999
很接近
000，于是我們采用添項湊整，簡化運算。
原式
所以末尾有4016個0
【答案】4016個0
【例
3】
計算的積
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
我們先還是同上例來湊成；
＝＝
＝＝
＝、我們知道能被9整除，商為：049382716．又知1997個4，9個數一組，共221組，還剩下8個4，則這樣數字和為8×4=32,加上后面的3，則數字和為35，于是再加上2個5，數字和為45，可以被9整除．能被9整除，商為04938271595；我們知道能被9整除，商為：061728395；這樣9個數一組，共221組，剩下的1995個5還剩下6個5，而6個5和1個、6，數字和36，可以被9整除．能被9整除，商為0617284．于是，最終的商為：
【答案】
【例
4】
計算：
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】武漢，明心奧數
【解析】
原式
【答案】
【例
5】
求的末三位數字.【考點】多位數計算之求精確值
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
原式的末三位和每個數字的末三位有關系，有2007個3，2006個30，2005個300，則，原式末三位數字為701
【答案】
模塊二、多位數求數字之和
【例
6】
求乘積的各位數字之和.【考點】多位數計算之求數字和
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
方法一：本題可用找規律方法：
3×6=18；
×
=2178
；333
×
666
=221778；3333
×
6666
=22217778；……
所以：，則原式數字之和
原式
所以，各位數字之和為
【答案】
【鞏固】
求111
×
999
999
乘積的各位數字之和。
【考點】多位數計算之求數字和
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
觀察可以發現，兩個乘數都非常大，不便直接相乘，其中
999
999
很接近
000
000,于是我們采用添項湊整，簡化運算。
原式=111111×(1000000-1)
=111111×1000000-111111×1
=111111000000-111111
=111110888889
數字之和為
【答案】
【例
7】
如果，那么A的各位數字之和等于。
【考點】多位數計算之求數字和
【難度】3星
【題型】計算
【關鍵詞】學而思杯，5年級
【解析】，所以，數字和為.【答案】
【例
8】
若，則整數的所有數位上的數字和等于（）．
（）
（）
（）
（）
【考點】多位數計算之求數字和
【難度】3星
【題型】選擇
【關鍵詞】第十三屆，華杯賽
【解析】
所以整數的所有數位上的數字和．
【答案】（）
【鞏固】
計算的乘積數字和是多少?
【考點】多位數計算之求數字和
【難度】4星
【題型】計算
【解析】
我們還是利用，來簡便計算，但是不同于上式的是不易得出湊成，于是我們就創造條件使用：
×=[×（）]×[×（）+1]×25
=××[2×-2]×[2×（）+1]×25=×[4×-2×-2]
=×-×=100×-50×
==
所以原式的乘積為，那么原式乘積的數字和為1×2004+5×2004=12024．
【答案】
【例
9】
試求1993×123×999999乘積的數字和為多少?
【考點】多位數計算之求數字和
【難度】3星
【題型】計算
【解析】
我們可以先求出1993×123的乘積，再計算與(1000000—1)的乘積，但是1993×123還是有點繁瑣．
設1993×123=M，則(1000×123＝)123000 則M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M ＝- ＝+1－ ＝+1 ＝ 那么這個數的數字和為：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54．所以原式的計算結果的數字和為54． 【答案】 【鞏固】 下面是兩個1989位整數相乘：。那么乘積的各位數字之和是多少? 【考點】多位數計算之求數字和 【難度】4星 【題型】計算 【解析】 解法一： 在算式中乘以9，再除以9，則結果不變．因為能被9整除，所以將一個乘以9，另一個除以9，使原算式變成： = = = 得到的結果中有1980÷9=220個“123456790”和“987654320”及一個“12345678”和一個“987654321”，所以各位數之和為： + 解法二：，其中N＜ 所以的各個位數字之和為：9×1989=17901 【答案】 【鞏固】 試求乘積的數字和為多少? 【考點】多位數計算之求數字和 【難度】4星 【題型】計算 【解析】 設 則原式表示為。 注意到9×99×9999×99999999×…××＝M，則M<10×100×100013×100000000×…××＝ 其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023 即M<，即M最多為1023位數，所以滿足的使用條件，那么M與乘積的數字和為1024×9=10240—1024=9216．原式的乘積數字和為9216． 【答案】 【例 10】 計算：結果的各位數字之和是 【考點】多位數計算之求數字和 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 原式 各位數字之和是= 【答案】 模塊三、多位數運算中的公因式 【例 11】 （1） （2） 【考點】多位數計算之提取公因式 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 ⑴原式 ⑵原式 【答案】⑴ ⑵ 【鞏固】 計算（1） （2） 【考點】多位數計算之提取公因式 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 （1）原式 （2）原式 【答案】（1） （2） 【鞏固】 計算： 【考點】多位數計算之提取公因式 【難度】3星 【題型】計算 【關鍵詞】我愛數學夏令營 【解析】 原式 【答案】 【鞏固】 計算： 【考點】多位數計算之提取公因式 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 原式 【答案】 【鞏固】 計算：（1998+19981998+199819981998+…）÷（1999+19991999+199919991999…）×1999 【考點】多位數計算之提取公因式 【難度】3星 【題型】計算 【解析】 ＝1998× 原式＝1998（1+10001+100010001+…）÷［1999×（1+10001+100010001+…）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.【答案】 【鞏固】 計算： 【考點】多位數計算之提取公因式 【難度】3星 【題型】計算 【關鍵詞】小學奧林匹克 【解析】 原式 【答案】 【例 12】 計算：。 【考點】多位數計算之提取公因式 【難度】3星 【題型】計算 【關鍵詞】學而思杯，6年級 【解析】，，，即這個數都等于，原式 【答案】
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