第一篇：學習概率論心得體會

學習概率論心得體會

在大二剛開學我接觸到了概率論與數理統計這門課程，雖然在高中時已經接觸到了許多跟概率相關的東西，比如隨機事件、古典概型以及一系列的計算方法但是在接觸到更加高深的層次后還是有許多不一樣的感受。

在課程開始之初老師就告訴我們這門課不是很難，關鍵還在于上課認真聽講。通過老師的簡單介紹，我了解到概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的一門數學學科，其理論與方法的應用非常廣泛，幾乎遍及所有科學技術領域、工農業生產、國民經濟以及我們的日常生活。對于作為信息管理與信息系統專業的我，其日后的幫助也是很大的，尤其是對于日后電腦方面的操作有著至關重要的輔助作用。

在這門課程中我們首先研究的是隨機事件及一維隨機變量二維隨機變量的分布和特點。而在第二部分的數理統計中，它是以概率論為理論基礎，根據試驗或者觀察得到的數據來研究隨機現象，對研究對象的客觀規律性做出種種估計和判斷。整本書就是重點圍繞這兩個部分來講述的。初學時，就算覺得理解了老師的講課內容，但是一聯系實際也會很難以應用上，簡化不出有關所學知識的模型。在期末復習中，自己重新對于整個書本的流程安排還有每個章節的重點重新復習一遍，才覺得有了點頭緒。

在長達一個學期的學習中，我增長了不少課程知識，同時也獲得了好多關于這門課程的心得體會。整個學期下來這門課程給我最深刻的體會就是這門課程很抽象，很難以理解，但是這門課程給我帶來了一種新的思維方式。前幾章的知識好多都是高中講過的，接觸下來覺得挺簡單，但是后面從第五章的大數定理及中心極限定理就開始是新的內容了。我覺得學習概率論與數理統計最重要的就是要學習書本中滲透的一種全新的思維方式。統計與概率的思維方式，和邏輯推理不一樣，它是不確定的，也就是隨機的思想。這也是一個人思維能力最主要的體現，整個學習過程中要緊緊圍繞這個思維方式進行。這些都為后面的數理統計還有參數估計、檢驗假設打下了基礎。其次，在所有數學學科中，概率論是一門具有廣泛應用的數學分支，是一門真正是把實際問題轉換成數學問題的學科。在最后一章中，假設檢驗就是一個很好的例子。由前面所講的伯努利大數定律知，小概率事件在N次重復試驗中出現的概率很小，因此我們認為在一次試驗中，小概率事件一般不會發生，如果發生了就該懷疑這件事件的真實性。正是根據這個思想去解決實際中的檢驗問題，總之概率與數理統計就是一門將現實中的問題建立模型然后應用理論知識解決掉的學科，具有很強的實際應用性。

在整個學期學習過程中，老師生動的講解讓我一直對這門課程保持著濃厚的興趣，課上總是會講解一些實際中的問題，比如抽獎先后中獎概率都一樣，扔硬幣為什么正反面的概率都是二分之一……一些問題還會讓我們更理性的對待實際中的一些問題，比如賭博贏的概率很小，彩票中獎概率也是微乎其微，所以不能迷戀那些，不能期望用投機取巧來賺取錢財?？傊?，概率論與數理統計給予我的幫助是很大的。不僅拓展了我的數學思維，而且還幫助我把課堂上的知識與生活中的例子聯系了起來。當然，這些與老師的辛勤勞動是分不開的，在此，十分感謝馬金鳳老師對我們一學期以來的諄諄教誨。

第二篇：學習概率論的小小感悟

學習概率論的小小感悟

時間過的真快，轉眼間半學期又要過去了，我們的概率論也在這周結課，現在是有喜又悲，喜的是我們的課又少了兩節，但同時讓我們心驚膽戰的概率論考試離我們越來越近。。這只是目前的一點小小感受，但話說回來還真有點舍不得我們的和藹可親的概率論老師，說實話，大學以來上這么多的課我覺得他是最認真的一個，當然并不是說其他的老師不負責，但相比之下總有一個高低之分，我也并不是借著這個機會恭維老師，我只是陳述一個實事，或我內心的一個真實感受。下面從幾方面具體談一下我學習概率論的感悟。

首先，就是我剛才上面提到的老師。我覺得像概率論這樣一個數學性質比較強的課，老師的作用會體現的更加突出，因為本來好多學生就對這種看似無聊的課沒有什么興趣，而如果加上一個不能調動其學生興趣的老師，那么我覺的這個課的缺課率一定會很高，或者學生的成績也不會很好，因為我深有感觸，在大一的時候叫我們工數的是一位六十多的大爺，一聽年齡肯定知道上課的氣氛不是很活躍，所以每次上工數，都覺得很無聊聽不懂不想聽，覺得還不如自己去學，但現在的概率論老師則不一樣，他一看上去就很有親和力，而且上課風趣幽默，真的很有意思，每節課都感覺過的很快，而且我覺的他的講課方法也很好，每講完一章總會做大量的不同類型的習題來鞏固，而且效率很高。在學習這門課之前還不停地問學姐學長們難不難，真的是心驚膽顫，但真正接觸了之后，又有這樣一位好老師，真的把我的興趣調動起來了，而且覺得學起來也不是很難了。

接著，就是對概率論本身的一些感悟了。首先最大的感覺就是它真的不是很難，比工數要簡單的多了，最起碼什么都能弄懂，不像工數大部分都是出于模糊狀態，考試之所以還可以是因為出了大部分的原題，而概率論如果不出原題應該也不會很慘吧，我們的概率論是考試課，可以看出它在我們專業的重要地位，以我個人的理解，如果說微積分、線性代數只是分析數學、或是說解題的工具，那么概率論才是真正把實際問題轉換為數學問題的學問，因為它解決的并非純數學問題，不是給你一個命題讓你去解決，而恰恰是讓你去構思命題，進而構建模型來想方設法解決實際問題。因此我們學習它不是要會算多少題，而是在我們做題的過程中培養我們的一種邏輯思維，我想學校之所以讓我們學習這門課程的初衷也應該包括這一方面，可以簡單的試想一下，當我們走出大學步入工作崗位的那一刻，面試官不會出一道概率題讓你算，而是通過其他的方式來驗證你某些方面的素質，學過概率論的和沒有學過的他們的思維應該是有很大差別的，所以我的一些親朋或者學姐學長們也經常叮囑我要好好學習它，但經過半年來的學習我覺得我應該不會讓他們失望。

概率論與數理統計這門課程在現實生活中有著廣泛的運用。要衡量一個班級期末成績的好壞，嚴格上來說僅看平均分是遠遠不夠的，因為從平均分中我們無法得知分數段、不知道分數的波動有多大；光拿平均分作為比較兩個班成績優劣的標準也是不夠完善的，也許A班的表現比較平均，都是中等偏上，而B班有好幾個不合格，但由于有幾個同學拿了很高的分數，結果反而平均分比A班還要高，難道我們能就此斷言B班要優秀一點嗎？再比如說像套圈、射擊這種只要命中目標就能拿到獎品的游戲，乍一看似乎簡單又劃算，但事實上由于游戲條件比較苛刻，要在有限的次數中擊中目標是個小概率事件，因此店主才能那么悠閑的任你玩。其他方面還可以舉出很多例子，比如國家作一次人口普查、企業做產品滿意程度調查、天氣質量檢測就需要充分地用到數理統計的方法，拿到一組原始的數據，用不同的模型、不同的分布函數去分析，可以得到許多不同角度的分析結果，進而能對總體進行更為立體的分析。通過學習這門課程，我還可以更理性的對待生活中的一些問題。比如通過計算某些賭博贏錢機會的概率可以發現，莊家和賭博者之間看似平等，但綜合對賭場的熟悉情況、出牌規定等因素，實際上莊家占有某種優勢。懂得這個道理,作為賭博者就應懷有平常心,押寶不能押太大，對輸贏也不要過于介懷。另外，概率論與其他課程之間的關系也是不容忽視的，對我們管理學院學經濟的來說是有很大關系的，比如我們學的經濟學，就是用經濟方法研究經濟數學模型的實用化或探索實證經濟規律，其目的在與理論檢驗和預測應用，從思路和方法上來看與數理統計都有著緊密的聯系。以及我們通過概率論學到的置信區間等等，對我們以后經濟業務的估計和測評有很大的幫助，尤其是和我們今年學習的統計學密切相關，如概率、區間估計、各類分布等等都有密切聯系，為我們學習統計學打下了很好的基礎，在聽統計課的時候不至于手忙腳亂，并在此基礎上有了更深的了解。以上是我這段時間以來學習概率論的一點小小感悟，雖然現在的概率論考試還沒開始，也不知道我最終的戰果到底如何，但我現在正在努力備考，憑借我平時的基礎和我的不懂就問的性格，相信我一定能拿到一個滿意的成績，而且我高興地是我遇到了一位負責的好老師，我盡最大努力去領悟每一節課，無論最終結果怎樣，我想說我真的是享受了這個過程，我對的起我自己。

2011年12月1日星期四

第三篇：學習概率論與數理統計感想

學習概率論與數理統計感想

作者：丁彥軍

學號：1130610816

班級：1306108 摘要：概率論與數理統計是一門與生活息息相關的學科，在生活中很多方面都有很廣泛的應用，通過本學期對于這門課程的學習，我更加深刻的體會到了這一點。同時，了解一些概率論的發展歷史和現狀有助于我們更好的理解和學習這門課程的研究對象和方法，也有助于我們掌握這門課程的精髓。

關鍵詞：概率論

起源

發展

應用

通過這學期對概率論與數理統計這門課的學習，我認識到，概率是研究隨機現象規律的學科，它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，同時為統計學的發展提供了理論基礎。同時，通過概率課還了解了概率的意義，概率是用來度量隨機事件發生可能性大小的一個量，而實際結果是事件發生或不發生這兩種情況中的一種。

了解這些后，我對概率論和數理統計的起源和發展歷史以及它目前的發展情況產生了濃厚的興趣。英國數學家格雷舍(Galisber,1848一1928)曾經說過“任何企圖將一種科目和它的歷史割裂開來:,我確信,沒有哪一種科目比數學的損失更大?！绷私夂脱芯扛怕收摪l展的歷史,有助于我們加深對這門課程研究對象、研究方法的了解;有利于總結成功經驗和失敗教訓,啟迪我們更好地學習這門課程。

下面介紹概率論的起源和發展歷史: 1.古典概率時期（十七世紀）

概率論的早期研究大約在十六世紀到十一七世紀之間。這段期間,歐洲進入文藝復興時期,工業革命已開始蔓延。伴隨工業發展提出的誤差問題,伴隨航海事業發展產生的天氣預報問題,伴隨商業發展而產生的貿易、股票、彩票和銀行、保險公司等,加之人們越來越需要了解的患病率、死亡率、災害規律等問題,急需創立一門分析研究隨機現象的數學學科。概率論應社會實踐的需要出現了。在這個時期,意大利著名物理學家伽俐略(GalileiGalileo,1564.2.18一1642.1.8)就曾對物理實驗中出現的誤差進行了科學的研究,把誤差作為一種隨機現象,并估計了他們產生的概率。十七世紀末,瑞士數學家伯努利對惠更斯沒有解決的問題給出了解答,并第一次用到了母函數概念。伯努利的成就主要是從理論上證明了大數定理。伯努利的另一重大貢獻是研究了獨立重復試驗概型。由于這種概型研究的是只有兩個可能結果的試驗,并經多次重復的結果。因此具有很普遍的意義。至今,在許多概率論專著中仍把獨立重復試驗概型稱為“伯努利概型”。2.初等概率時期(十八世紀)

十八世紀,概率論發展很快,幾乎初等概率的全部內容都在這個期間形成。法國杰出的數學家德莫哇佛爾(AbrahamDeMoiver,1667--1754)最早研究了隨機變量服從正態分布的情形,發現了正態概率分布曲線。接著,他又發現,許多分布的極限正態分布,并證明了二項分布當p=q=的情形。這種證明某一分布的極限是正態分布的各種定理,以后發展成概率論的一個重要組成部分—中心極限定理。英國數學家辛普松(TnomasSimpson,1710一1761)所研究的問題中有一個對產品剔12廢及檢查很重要的問題:設有n件等級不同的產品,n1件屬于第一級,n2屬于第二級,??,我們任意取其中的m件,試求其中取得m1件第一級, m2件第二級,??的概率。這就是現在常用到的多項分布的情形。法國博物學家蒲豐(CometDeBuffon,1707一1788)提出了用投擲小針計算?值的著名“蒲豐問題”:將一根長2l的小針投擲在距離為2a(a>l)的若干等距平行線上,可以證明針與任一直線相交的概率是p=用p≈（n為投擲次數,?為針與直線相交次數),則得??3.分析概率時期(十九世紀)

拉普拉斯1812年在巴黎出版了他的經典著作《分析概率論》，這部著作對十八世紀概率論的研究成果作了比較完美的總結,內容包括幾何概率、伯努利定理、最小二乘法等。他還明確了概率的古典定義,證明了中心極限定理中的德莫哇佛爾—拉普拉斯形式,發展了概率論在觀察和測量誤差方面的應用。法國數學家泊松通過研究,發現了在概率論中占重要地位的一個分布—泊松分布。他還推廣了大數定律,在1837年他的《關于民型審判的概率研究》著作中,第一次提出了“大數定律”這一名稱。泊松還是第一個把概率論用到解決射擊問題上的數學家。德國數學家高斯(CareFriedriehGauss）首次敘述了在統計學中十分重要的最小二乘法原理。切比雪夫(TellbllllBe）提出的不等式：p：｛|X-E(X)|??｝?D(X)2l,若a??n2nl。a??2。給出了在未知分布情況下,隨機變量與其期望之間差別概率的估計。同時,他作為基礎知識在概率論和數理統計中起著十分重要的作用。4.現代概率時期(二十世紀)

二十世紀以來,美籍南斯拉夫數學家費勒(WillamFeller,1906--1970)及法國數學家列維(P·Lvey,1886一1971)在極限理論方面開展了一系列有益的研究工作。1935年,費勒找到了滿足中心極限定理的充要條件,后來數學界稱這個條件（limmaxn???k=0）為費勒條件。英國數學Bn家費歇爾(R·A·Fihser.1890--)以醫學、生物實驗為背景,提出了似然方法;開創了試驗設計、方差分析;確立了統計推斷的基本方法（二、三十年代)。原籍波蘭的美國數學家奈曼(J·Nycmna)和皮爾遜,從1928年起,建立了嚴格的假設檢驗理論。四十年代末,美國數學家瓦爾德創立了統計判決理論。由于概率論中極限理論的發展,正態分布作為統計量的地位越來越明顯,統計中的大樣本理論由此而得到迅猛的發展,參數估計中的極大似然估計,穩健統計,自適應估計,隨機逼近、非參數統計等都發展較快。另外,貝葉斯(Bayes)統計學派在這個時期復興并發展。

通過對概率論的發展史的了解，我對概率論課程中學習的一些知識有了更深層次的理解，列如，對于n重伯努利的問題，它在平時的生活中也有著廣泛的應用價值。比如在購買股票問題中，設光顧的投資者數為n，n個人中購買股票的人數m，這就是一個n重貝努里概型。此外，概率論在各個學科和金融、保險、生物、醫學、經濟、運籌管理和工程技術等領域也得到了廣泛應用。主要包括：極限理論、隨機過程論、數理統計學、概率論方法應用、應用統計學等。概率論方法應用是一個涉及面十分廣泛的領域，包括隨機力學、統計物理學、保險學、隨機網絡、排隊論、可靠性理論、隨機信號處理等有關方面。熟練地掌握概率論中一些基本的方法，對于我們平時的工作和學習會有很大的幫助。同時，隨著科學技術的發展,概率論的理論與應用也將得到更大的發展，帶給我們的益處也將越來越多。

第四篇：概率論教案

西南大學本科課程備課教案 2015 —2016 學年第 1 學期

（理論課程類）

課 程 名 稱 概率論

授課專業年級班級 統計專業 2014 級 教 教

師 師

姓 職

名 稱

凌成秀 講師

I

數學與統計學院

課程性質

?專業必修

□專業選修

□公共必修

□通識教育選修

概率論是統計專業本科生的一門建立在微積分、基本代數知識基礎上的重要

課程簡介

專業課程，是繼續學習、研究統計學及其應用的一門重要課程。該課程旨在 如何刻畫隨機現象的統計規律性，包括隨機事件及其概率，隨機變量及其分 布，隨機變量的數字特征、特征函數、極限定理等。本課程總學時 5*18=90 節。

教材

孫榮恒《應用概率論》第二版，2005，科學出版社

（總學時）

教學方式 講授式、啟發式、研究型、收集網絡小論文探究式

使用教具 黑板、粉筆

[1] 《概率論基礎》第三版，李賢平著，高等教育出版社，2010.[2] 《概率論與數理統計》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育出 版社，2010.[3] 《概率論與數理統計習題全解指南》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育額出版社，2010.[4] Probability Essentials(Second edition), Jean Jacod and Philip Protter, Springer,2004.[5]《概率論與數理統計教程》第二版,茆詩松 程依明、濮曉龍，高等教育出 版社，2000.參考書目及文獻（或互聯網網址）

考核方式 閉卷筆試

II

隨機事件及其概率

第一章 隨機事件及其概率

概率論與數理統計是從數量化的角度來研究現實世界中一類不確定現象（隨機現 象）規律性的一門應用數學學科，20 世紀以來，廣泛應用于工程技術、經濟及 醫學技術等各個領域.本章介紹的隨機事件與概率是概率論中最基本、最重要的 概念之一.第一、二節 隨機事件及其關系與運算

教學內容： 隨機事件是本課程的最基礎的概念，主要涉及到包括確定性現象、隨機現象、樣本空間、樣本點、隨機事件等定義；以及事件的包含、相等、互不 相容（互斥）、互為對立等關系；事件的和、積、差、逆等運算的定義；事件的 運算律、文氏圖等；事件序列的極限。會用簡單事件通過其關系與運算將復雜事 件表示出來。重點難點：

隨機事件的定義；互不相容、互為對立、互逆事件的判別；用簡單事件通過其運 算將復雜事件表示出來；事件的恒等式證明；事件序列的極限關系 教學目標：

會判斷給出的現象是否為隨機現象；會寫隨機試驗的樣本空間；會判別隨機事件 的類型；熟悉事件關系與運算的定義；熟悉事件的運算律、會作文氏圖；能判別 事件的互不相容、互為對立、互逆等關系；能用事件的運算關系將復雜事件表示 出來；掌握事件的不等式、恒等式證明 教學過程：

1、確定性現象與隨機現象。確定性現象：在一定的條件下必然發生某種結果的現象。例如：（1）重物在高處必然下落；（2）在標準大氣壓下純水加熱到 100 攝氏度時必然會沸騰；

（3）異性電荷必相互吸引。隨機現象（偶然性現象）：在一定的條件下，有多種可能結果發生，事前人們不 能預言將有哪個結果會出現的現象，但大量重復觀察時具有某種規律性。如：（1）從一大批產品中任取一個產品，它可能是合格品，也可能是不合格品；（2）一門炮向一目標射擊，每次射擊的彈落點一般是不同的，事前無法預料。2、隨機試驗與樣本空間。

試驗：我們把對自然現象的一次觀察或一次科學試驗統稱為試驗。隨機試驗：一個試驗若滿足條件

（1）在相同的條件下可以重復進行；

（2）每次試驗的結果不止一個，并能事先明確試驗的所有可能結果；

1隨機事件及其概率

（3）試驗前不知道哪一個結果會出現。

則稱這樣的試驗為隨機試驗，用 表示。

樣本空間：隨機試驗所有可能出現的基本結果的集合稱為樣本空間。用? 表 示。

樣本點：隨機試驗的每一個可能出現的基本結果稱為樣本點，常用 表示。

3、隨機事件

隨機事件：由隨機試驗的某些樣本點做成的集合稱為隨機事件，簡稱事件。用大寫英文字母、、、…表示。在隨機試驗中隨機事件可能發生，也 可能不發生。稱某個事件發生當且僅當它所包含的某個樣本點出現。1）基本事件：只包含一個樣本點的事件，記為{w}。

2）不可能事件：一個樣本點都不包含的集合，記為?。不可能事件在試驗中 一定不會發生。

3）必然事件：包含所有樣本點的集合，記為?。必然事件在試驗中一定會發 生。

一般事件（復合事件）：由不止一個樣本點做成的事件。例 1 以下哪些試驗是隨機試驗？

（1）拋擲一枚硬幣，觀察出現的是正面在上還是反面在上；（2）記錄某電話機在一天內接到的呼叫次數；

（3）從一大批元件中任意取出一個，測試它的壽命；（4）觀察一桶汽油遇到明火時的情形；

（5）記錄一門炮向某一目標射擊的彈著點位置；

解：（1）（2）（3）（5）是隨機試驗，（4）不是隨機試驗 例 2：寫出下列隨機試驗的樣本空間。

（1）拋擲一顆骰子，觀察出現的點數；（2）拋擲二次硬幣，觀察出現的結果；

（3）記錄某汽車站在 5 分鐘內到達的乘客數；（4）從一批燈泡中任取一只，測試其壽命；（5）記錄一門炮向其目標射擊的彈落點；（6）觀察一次地震的震源； 解：（1）1 ? ?1，2，3，4，5，6?

? ；

（2）? ? ?（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）? ；（3）? ? 01 2 3...?；

?，（4）? 0?

?4 ? x x ? ,其中 x 表示燈泡的壽命；（5）

? ,?

（x，y x y ,其中 x、y 分別表示彈著

? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? 5 ? ?)，點的橫坐標、縱坐標；

2? ? ?

（6）?

? ?（，,)? , 0 ,其中 x、y、z 分別表 5 x y z ? ? x ? ?,? ? y ? z ?

? 2

?

示震源的經度、緯度、離地面的深度。

例 3 拋擲一個骰子，觀察出現的點數。用 A 表示“出現的點數為奇數”，B 表示“出現的點數大于 4”，C 表示“出現的點數為 3”,D 表示“出現的點 數大于 6”，E 表示“出現的點數不為負數”，（1）寫出實驗的樣本空間；（2）用樣本點表示事件 A、B、C、D、E；（3）指出事件 A、B、C、D、E 何 為基本事件，何為必然事件，何為不可能事件。解：

（1）? ? ?1，2，3，4，5，6?；（2）A ? ?1，3，5?，B ? ? 5,6 ?，C ? ? 3 ?，D ? ?，E ? ?1，2，3，4，5，6?（3）C 為基本事件，E 為必然事件，D 為不可能事件 討論題：請給出現實生活中隨機現象的一個例子。

4、事件的關系與運算

因為事件是樣本空間的一個集合, 故事件之間的關系與運算可按集合之間 的關系和運算來處理.1）事件之間的關系與簡單運算

設 A、B 為試驗 E 的二事件，（1）子事件（事件的包含）：若 A 中的每一個樣本點都包含在 B 中，則記為，也稱事件 A 是事件 B 的子事件，或事件 B 包含了事件 A。此時事件 A 發生必然導致事件 B 發生。顯然，對任意事件 A，有（2）事件的相等：若 等價的，記為。

且，則稱事件 A 與事件 B 是相等的，或稱

（3）事件的和（并）：用 A ? B 表示屬于 A 或屬于 的樣本點的集合，稱之 為 與 的和（并）事件。事件

表示事件 與事件 B 至少有一個發生。

（4）事件的積（交）：用 A ? B（或 AB）表示同時屬于 A 與 B 的樣本點的 集合，稱為 A 與 的積（交）事件。事件 AB 表示事件 A 與事件 B 同時發生 的事件。

（5）事件的互不相容（互斥）：若 AB ? ?，則稱為事件 A 與事件 B 互不相 容。即 A 與 B 不能同時發生。

當 與 B 互不相容時，記為。

（6）事件的差：用 A ? B 表示包含在 A 中而不包含在 B 中的樣本點的全體，稱為事件 與事件 的差。事件 A ? B 表示 A 發生而 B 不發生的事件。

第五篇：概率論課外作業（范文）

大數定律與中心極限定理在實際中的應用

大數定律闡明了大量隨機現象平均結果具有穩定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算術平均值法則"的基本理論，在現實生活中，經常可見這一類型的數學模型。例如：在分析天平上秤重量為a的物品，若以x1,x2,x3,...,xn表示n次重復稱

1n量的結果，經驗告訴我們，當n充分大時，它們的算術平均值?xi與

ni?1a的偏差就越小。

中心極限定理比大數定律更為詳細具體，它以嚴格的數學形式闡明了在大樣本條件下，不論總體分布如何，樣本均值總是服從或是近似的服從正態分布。正是這個結論使得正態分布在數理統計和誤差分析中占用特殊的地位，是正態分布得以廣泛應用的理論基礎。概率論中用來闡明大量隨機現象平均結果的穩定性的一系列定理，稱為大數定律。

切比雪夫不等式：設隨機變量X具有有限數學期望?和方差?2，?2則對于任意正數?，如下不等式成立 P????????2。

?切比雪夫不等式的應用：在隨機變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對X的概率分布進行估值。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白細胞數的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細胞數在5200～9400之間的概率。

?(X)= 解 設X表示每毫升血液中含白細胞個數，則E（X）=7300，D(X)=700 則P{ 5200?X?9400}=P{ X?7300?2100}=1-P{ X?7300>2100}

70021??? 而P ?X?7300?2100221009所以P ?5200?X?9400??

概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態分布的一系列定理稱為中心極限定理。

獨立同分布的中心極限定理：設隨機變量X1,X2,...,Xn相互獨立，服從同一分布，且有有限的數學期望?和方差?2，則隨機變量

89Y??Xi?1ni?n?n?的分布函數Fn(x)滿足如下極限式

?n?Xt2?i???x1??limFn(x)?limP?i?1?x???e2dt ??2??n??????定理的應用：對于獨立的隨機變量序列{Xn }，不管Xi(i=1，2，?，n)服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數學期望和方差，那么，當n充分大時，這些隨機變量之和?Xi近似地服從正態分

i?1n布N(n?,n?2)。

二項分布的極限分布是正態分布即如果X～B(n，p)則

t???n?np??b1?2P?a??b???edt??(b)??(a)anp(1?p)2?????2例2 現有一大批種子，其中良種占1／6，今在其中任選60O0粒，試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子中

良種所占的比例與1／6之差小于l％的概率是多少? 解

設取出的種子中的良種粒數為X，則 X～B(6000，)于是

E(X)?np?6000?1?1000616155D(X)?np(1?p)?6000????1000

666(1)要估計的規律為P??X11?????P?X?1000?60?，相當60006100??于在切比雪夫不等式中取?=60，于是

?X11?D(X)??P????PX?1000?60?1??26000610060??由題意得1?D(X)51?1??1000??1?0.2315?0.7685 26063600即用切比雪夫不等式估計此概率不小于0.7685(2)由中心極限定理，對于二項分布(6000，)可用正態分布N(1000，5?1000)近似，于是所求概率為 616?X?1???(1060?1000)??(940?1000)P???0.01??P?940?X?10601000?5/61000?5/6?60006?從本例看出．用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于0.7685．而用中心極限定理可得出要求的概率近似等于0.9625．從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的．但由于它的要求比較低，只要知道X的期望和方差，因而在理論上有許多運用．

當Xi獨立同分布(可以是任何分布)，計算P(a?X1?X2?...?Xn?b)的概率時，利用中心極限定理往往能得到相當精確的近似概率，在實際問題上廣泛運用．

例3某單位有200臺電話分機，每臺有5％的時間要使用外線通話，假定每臺分機是否使用外線是相互獨立的，問該單位總機要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機用外線時不等待？

解

設有X部分機同時使用外線，則有X～B(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，np(1?p)?3.08 設有N條外線．由題意有P{X?N}?0．9 有

P?X?N??P???X?np???np(1?p)N?np?N?npN?10???()??()?3.08np(1?p)?np(1?p)?N?10?1.28 3.08查表得?(1.28)=0．90，故N應滿足條件即N?13.94，取N=14，即至少要安裝14條外線．

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