第一篇：概率論發展史

17世紀，正當研究必然性事件的數理關系獲得較大發展的時候，一個研究偶然事件數量關系的數學分支開始出現，這就是概率論．

早在16世紀，賭博中的偶然現象就開始引起人們的注意．數學家卡丹諾(Cardano)首先覺察到，賭博輸贏雖然是偶然的，但較大的賭博次數會呈現一定的規律性, 卡丹諾為此還寫了一本《論賭博》的小冊子，書中計算了擲兩顆骰子或三顆骰子時，在一切可能的方法中有多少方法得到某一點數．據說，曾與卡丹諾在三次方程發明權上發生爭論的塔爾塔里亞，也曾做過類似的實驗．

促使概率論產生的強大動力來自社會實踐．首先是保險事業．文藝復興后，隨著航海事業的發展，意大利開始出現海上保險業務．16世紀末，在歐洲不少國家已把保險業務擴大到其它工商業上，保險的對象都是偶然性事件．為了保證保險公司贏利，又使參加保險的人愿意參加保險，就需要根據對大量偶然現象規律性的分析，去創立保險的一般理論．于是，一種專門適用于分析偶然現象的數學工具也就成為十分必要了．

不過，作為數學科學之一的概率論，其基礎并不是在上述實際問題的材料上形成的．因為這些問題的大量隨機現象，常被許多錯綜復雜的因素所干擾，它使難以呈“自然的隨機狀態”．因此必須從簡單的材料來研究隨機現象的規律性，這種材料就是所謂的“隨機博弈”．在近代概率論創立之前，人們正是通過對這種隨機博弈現象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次實驗中的頻率穩定性”等，然后經加工提煉而形成了概率論.荷蘭數學家、物理學家惠更斯（Huygens）于1657年發表了關于概率論的早期著作《論賭博中的計算》．在此期間，法國的費爾馬（Fermat）與帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探討了隨機博弈現象中所出現的概率論的基本定理和法則．惠更斯等人的工作建立了概率和數學期望等主要概念，找出了它們的基本性質和演算方法，從而塑造了概率論的雛形．

18世紀是概率論的正式形成和發展時期．1713年，貝努利（Bernoulli）的名著《推想的藝術》發表．在這部著作中，貝努利明確指出了概率論最重要的定律之一――“大數定律”，并且給出了證明，這使以往建立在經驗之上的頻率穩定性推測理論化了，從此概率論從對特殊問題的求解，發展到了一般的理論概括．

繼貝努利之后，法國數學家棣謨佛（Abraham de Moiver）于1781年發表了《機遇原理》．書中提出了概率乘法法則，以及“正態分”和“正態分布律”的概念，為概率論的“中心極限定理”的建立奠定了基礎．

1706年法國數學家蒲豐（Comte de Buffon）的《偶然性的算術試驗》完成，他把概率和幾何結合起來，開始了幾何概率的研究，他提出的“蒲豐問題”就是采取概率的方法來求圓周率π的嘗試．

通過貝努利和棣謨佛的努力，使數學方法有效地應用于概率研究之中，這就把概率論的特殊發展同數學的一般發展聯系起來，使概率論一開始就成為數學的一個分支．

概率論問世不久，就在應用方面發揮了重要的作用．牛痘在歐洲大規模接種之后，曾因副作用引起爭議．這時貝努利的侄子丹尼爾·貝努利（Daniel Bernoulli）根據大量的統計資料，作出了種牛痘能延長人類平均壽命三年的結論，消除了一些人的恐懼和懷疑；歐拉（Euler）將概率論應用于人口統計和保險，寫出了《關于死亡率和人口增長率問題的研究》，《關于孤兒保險》等文章；泊松（Poisson）又將概率應用于射擊的各種問題的研究，提出了《打靶概率研究報告》．總之，概率論在18世紀確立后，就充分地反映了其廣泛的實踐意義．

19世紀概率論朝著建立完整的理論體系和更廣泛的應用方向發展．其中為之作出較大貢獻的有：法國數學家拉普拉斯（Laplace），德國數學家高斯（Gauss），英國物理學家、數學家麥克斯韋（Maxwell），美國數學家、物理學家吉布斯（Gibbs）等．概率論的廣泛應用，使它于18和19兩個世紀成為熱門學科，幾乎所有的科學領域，包括神學等社會科學都企圖借助于概率論去解決問題，這在一定程度上造成了“濫用”的情況，因此到19世紀后半期時，人們不得不重新對概率進行檢查，為它奠定牢固的邏輯基礎，使它成為一門強有力的學科．

1917年蘇聯科學家伯恩斯坦首先給出了概率論的公理體系．1933年柯爾莫哥洛夫又以更完整的形式提出了概率論的公理結構，從此，更現代意義上的完整的概率論臻于完成．

相對于其它許多數學分支而言，數理統計是一個比較年輕的數學分支．多數人認為它的形成是在20世紀40年代克拉美（H.Carmer）的著作《統計學的數學方法》問世之時，它使得1945年以前的25年間英、美統計學家在統計學方面的工作與法、俄數學家在概率論方面的工作結合起來，從而形成數理統計這門學科．它是以對隨機現象觀測所取得的資料為出發點，以概率論為基礎來研究隨機現象的一門學科，它有很多分支，但其基本內容為采集樣本和統計推斷兩大部分．發展到今天的現代數理統計學，又經歷了各種歷史變遷．

統計的早期開端大約是在公元前１世紀初的人口普查計算中，這是統計性質的工作，但還不能算作是現代意義下的統計學．到了18世紀，統計才開始向一門獨立的學科發展，用于描述表征一個狀態的條件的一些特征，這是由于受到概率論的影響．

高斯從描述天文觀測的誤差而引進正態分布，并使用最小二乘法作為估計方法，是近代數理統計學發展初期的重大事件，18世紀到19世紀初期的這些貢獻，對社會發展有很大的影響．例如，用正態分布描述觀測數據后來被廣泛地用到生物學中，其應用是如此普遍，以至在19世紀相當長的時期內，包括高爾頓（Galton）在內的一些學者，認為這個分布可用于描述幾乎是一切常見的數據．直到現在，有關正態分布的統計方法，仍占據著常用統計方法中很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在20世紀初以來，又經過了一些學者的發展，如今成了數理統計學中的主要方法．

從高斯到20世紀初這一段時間，統計學理論發展不快，但仍有若干工作對后世產生了很大的影響．其中，如貝葉斯（Bayes）在1763年發表的《論有關機遇問題的求解》，提出了進行統計推斷的方XX方面的一種見解，在這個時期中逐步發展成統計學中的貝葉斯學派（如今，這個學派的影響愈來愈大）．現在我們所理解的統計推斷程序，最早的是貝葉斯方法，高斯和拉普拉斯應用貝葉斯定理討論了參數的估計法，那時使用的符號和術語，至今仍然沿用．再如前面提到的高爾頓在回歸方面的先驅性工作，也是這個時期中的主要發展，他在遺傳研究中為了弄清父子兩輩特征的相關關系，揭示了統計方法在生物學研究中的應用，他引進回歸直線、相關系數的概念，創始了回歸分析．

數理統計學發展史上極重要的一個時期是從19世紀到二次大戰結束．現在，多數人傾向于把現代數理統計學的起點和達到成熟定為這個時期的始末．這確是數理統計學蓬勃發展的一個時期，許多重要的基本觀點、方法，統計學中主要的分支學科，都是在這個時期建立和發展起來的．以費歇爾（R.A.Fisher）和皮爾遜（K.Pearson）為首的英國統計學派，在這個時期起了主導作用，特別是費歇爾．

繼高爾頓之后，皮爾遜進一步發展了回歸與相關的理論，成功地創建了生物統計學，并得到了“總體”的概念，1891年之后，皮爾遜潛心研究區分物種時用的數據的分布理論，提出了“概率”和“相關”的概念．接著，又提出標準差、正態曲線、平均變差、均方根誤差等一系列數理統計基本術語．皮爾遜致力于大樣本理論的研究，他發現不少生物方面的數據有顯著的偏態，不適合用正態分布去刻畫，為此他提出了后來以他的名字命名的分布族，為估計這個分布族中的參數，他提出了“矩法”．為考察實際數據與這族分布的擬合分布優劣問題，他引進了著名“χ２檢驗法”，并在理論上研究了其性質．這個檢驗法是假設檢驗最早、最典型的方法，他在理論分布完全給定的情況下求出了檢驗統計量的極限分布．1901年，他創辦了《生物統計學》，使數理統計有了自己的陣地，這是２０世紀初葉數學的重大收獲之一．

1908年皮爾遜的學生戈賽特（Gosset）發現了Z的精確分布，創始了“精確樣本理論”．他署名“Student”在《生物統計學》上發表文章，改進了皮爾遜的方法．他的發現不僅不再依靠近似計算，而且能用所謂小樣本進行統計推斷，并使統計學的對象由集團現象轉變為隨機現象．現“Student分布”已成為數理統計學中的常用工具，“Student氏”也是一個常見的術語．

英國實驗遺傳學家兼統計學家費歇爾，是將數理統計作為一門數學學科的奠基者，他開創的試驗設計法，憑借隨機化的手段成功地把概率模型帶進了實驗領域，并建立了方差分析法來分析這種模型．費歇爾的試驗設計，既把實踐帶入理論的視野內，又促進了實踐的進展，從而大量地節省了人力、物力，試驗設計這個主題，后來為眾多數學家所發展．費歇爾還引進了顯著性檢驗的概念，成為假設檢驗理論的先驅．他考察了估計的精度與樣本所具有的信息之間的關系而得到信息量概念，他對測量數據中的信息，壓縮數據而不損失信息，以及對一個模型的參數估計等貢獻了完善的理論概念，他把一致性、有效性和充分性作為參數估計量應具備的基本性質．同時還在1912年提出了極大似然法，這是應用上最廣的一種估計法．他在２０年代的工作，奠定了參數估計的理論基礎．關于χ２檢驗，費歇爾1924 年解決了理論分布包含有限個參數情況，基于此方法的列表檢驗，在應用上有重要意義．費歇爾在一般的統計思想方面也作出過重要的貢獻，他提出的“信任推斷法”，在統計學界引起了相當大的興趣和爭論，費歇爾給出了許多現代統計學的基礎概念，思考方法十分直觀，他造就了一個學派，在純粹數學和應用數學方面都建樹卓越．

這個時期作出重要貢獻的統計學家中，還應提到奈曼（J.Neyman）和皮爾遜（E.Pearson）．他們在從1928年開始的一系列重要工作中，發展了假設檢驗的系列理論．奈曼－皮爾遜假設檢驗理論提出和精確化了一些重要概念．該理論對后世也產生了巨大影響，它是現今統計教科書中不可缺少的一個組成部分，奈曼還創立了系統的置信區間估計理論，早在奈曼工作之前，區間估計就已是一種常用形式，奈曼從1934年開始的一系列工作，把區間估計理論置于柯爾莫哥洛夫概率論公理體系的基礎之上，因而奠定了嚴格的理論基礎，而且他還把求區間估計的問題表達為一種數學上的最優解問題，這個理論與奈曼－皮爾遜假設檢驗理論，對于數理統計形成為一門嚴格的數學分支起了重大作用．

以費歇爾為代表人物的英國成為數理統計研究的中心時，美國在二戰中發展亦快，有三個統計研究組在投彈問題上進行了9項研究，其中最有成效的哥倫比亞大學研究小組在理論和實踐上都有重大建樹，而最為著名的是首先系統地研究了“序貫分析”，它被稱為“30年代最有威力”的統計思想．“序貫分析”系統理論的創始人是著名統計學家沃德（Wald）．他是原籍羅馬尼亞的英國統計學家，他于1934年系統發展了早在20年代就受到注意的序貫分析法．沃德在統計方法中引進的“停止規則”的數學描述，是序貫分析的概念基礎，并已證明是現代概率論與數理統計學中最富于成果的概念之一．

從二戰后到現在，是統計學發展的第三個時期，這是一個在前一段發展的基礎上，隨著生產和科技的普遍進步，而使這個學科得到飛速發展的一個時期，同時，也出現了不少有待解決的大問題．這一時期的發展可總結如下：

一是在應用上愈來愈廣泛，統計學的發展一開始就是應實際的要求，并與實際密切結合的．在二戰前，已在生物、農業、醫學、社會、經濟等方面有不少應用，在工業和科技方面也有一些應用，而后一方面在戰后得到了特別引人注目的進展．例如，歸納“統計質量管理”名目下的眾多的統計方法，在大規模工業生產中的應用得到了很大的成功，目前已被認為是不可缺少的．統計學應用的廣泛性，也可以從下述情況得到印證：統計學已成為高等學校中許多專業必修的內容；統計學專業的畢業生的人數，以及從事統計學的應用、教學和研究工作的人數的大幅度的增長；有關統計學的著作和期刊雜志的數量的顯著增長．

二是統計學理論也取得重大進展．理論上的成就，綜合起來大致有兩個主要方面：一個方面與沃德提出的“統計決策理論”，另一方面就是大樣本理論．

沃德是20世紀對統計學面貌的改觀有重大影響的少數幾個統計學家之一．1950年，他發表了題為《統計決策函數》的著作，正式提出了“統計決策理論”．沃德本來的想法，是要把統計學的各分支都統一在“人與大自然的博奕”這個模式下，以便作出統一處理．不過，往后的發展表明，他最初的設想并未取得很大的成功，但卻有著兩方面的重要影響：一是沃德把統計推斷的后果與經濟上的得失聯系起來，這使統計方法更直接用到經濟性決策的領域；二是沃德理論中所引進的許多概念和問題的新提法，豐富了以往的統計理論．

貝葉斯統計學派的基本思想，源出于英國學者貝葉斯的一項工作，發表于他去世后的1763年后世的學者把它發展為一整套關于統計推斷的系統理論．信奉這種理論的統計學者，就組成了貝葉斯學派．這個理論在兩個方面與傳統理論（即基于概率的頻率解釋的那個理論）有根本的區別：一是否定概率的頻率的解釋，這涉及到與此有關的大量統計概念，而提倡給概率以“主觀上的相信程度”這樣的解釋；二是“先驗分布”的使用，先驗分布被理解為在抽樣前對推斷對象的知識的概括．按照貝葉斯學派的觀點，樣本的作用在于且僅在于對先驗分布作修改，而過渡到“后驗分布”――其中綜合了先驗分布中的信息與樣本中包含的信息．近幾十年來其信奉者愈來愈多，二者之間的爭論，是戰后時期統計學的一個重要特點．在這種爭論中，提出了不少問題促使人們進行研究，其中有的是很根本性的．貝葉斯學派與沃德統計決策理論的聯系在于：這二者的結合，產生“貝葉斯決策理論”，它構成了統計決策理論在實際應用上的主要內容．

三是電子計算機的應用對統計學的影響．這主要在以下幾個方面．首先，一些需要大量計算的統計方法，過去因計算工具不行而無法使用，有了計算機，這一切都不成問題．在戰后，統計學應用愈來愈廣泛，這在相當程度上要歸公功于計算機，特別是對高維數據的情況．

計算機的使用對統計學另一方面的影響是：按傳統數理統計學理論，一個統計方法效果如何，甚至一個統計方法如何付諸實施，都有賴于決定某些統計量的分布，而這常常是極困難的．有了計算機，就提供了一個新的途徑：模擬．為了把一個統計方法與其它方法比較，可以選擇若干組在應用上有代表性的條件，在這些條件下，通過模擬去比較兩個方法的性能如何，然后作出綜合分析，這避開了理論上難以解決的難題，有極大的實用意義．

第二篇：概率論教案

西南大學本科課程備課教案 2015 —2016 學年第 1 學期

（理論課程類）

課 程 名 稱 概率論

授課專業年級班級 統計專業 2014 級 教 教

師 師

姓 職

名 稱

凌成秀 講師

I

數學與統計學院

課程性質

?專業必修

□專業選修

□公共必修

□通識教育選修

概率論是統計專業本科生的一門建立在微積分、基本代數知識基礎上的重要

課程簡介

專業課程，是繼續學習、研究統計學及其應用的一門重要課程。該課程旨在 如何刻畫隨機現象的統計規律性，包括隨機事件及其概率，隨機變量及其分 布，隨機變量的數字特征、特征函數、極限定理等。本課程總學時 5*18=90 節。

教材

孫榮恒《應用概率論》第二版，2005，科學出版社

（總學時）

教學方式 講授式、啟發式、研究型、收集網絡小論文探究式

使用教具 黑板、粉筆

[1] 《概率論基礎》第三版，李賢平著，高等教育出版社，2010.[2] 《概率論與數理統計》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育出 版社，2010.[3] 《概率論與數理統計習題全解指南》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育額出版社，2010.[4] Probability Essentials(Second edition), Jean Jacod and Philip Protter, Springer,2004.[5]《概率論與數理統計教程》第二版,茆詩松 程依明、濮曉龍，高等教育出 版社，2000.參考書目及文獻（或互聯網網址）

考核方式 閉卷筆試

II

隨機事件及其概率

第一章 隨機事件及其概率

概率論與數理統計是從數量化的角度來研究現實世界中一類不確定現象（隨機現 象）規律性的一門應用數學學科，20 世紀以來，廣泛應用于工程技術、經濟及 醫學技術等各個領域.本章介紹的隨機事件與概率是概率論中最基本、最重要的 概念之一.第一、二節 隨機事件及其關系與運算

教學內容： 隨機事件是本課程的最基礎的概念，主要涉及到包括確定性現象、隨機現象、樣本空間、樣本點、隨機事件等定義；以及事件的包含、相等、互不 相容（互斥）、互為對立等關系；事件的和、積、差、逆等運算的定義；事件的 運算律、文氏圖等；事件序列的極限。會用簡單事件通過其關系與運算將復雜事 件表示出來。重點難點：

隨機事件的定義；互不相容、互為對立、互逆事件的判別；用簡單事件通過其運 算將復雜事件表示出來；事件的恒等式證明；事件序列的極限關系 教學目標：

會判斷給出的現象是否為隨機現象；會寫隨機試驗的樣本空間；會判別隨機事件 的類型；熟悉事件關系與運算的定義；熟悉事件的運算律、會作文氏圖；能判別 事件的互不相容、互為對立、互逆等關系；能用事件的運算關系將復雜事件表示 出來；掌握事件的不等式、恒等式證明 教學過程：

1、確定性現象與隨機現象。確定性現象：在一定的條件下必然發生某種結果的現象。例如：（1）重物在高處必然下落；（2）在標準大氣壓下純水加熱到 100 攝氏度時必然會沸騰；

（3）異性電荷必相互吸引。隨機現象（偶然性現象）：在一定的條件下，有多種可能結果發生，事前人們不 能預言將有哪個結果會出現的現象，但大量重復觀察時具有某種規律性。如：（1）從一大批產品中任取一個產品，它可能是合格品，也可能是不合格品；（2）一門炮向一目標射擊，每次射擊的彈落點一般是不同的，事前無法預料。2、隨機試驗與樣本空間。

試驗：我們把對自然現象的一次觀察或一次科學試驗統稱為試驗。隨機試驗：一個試驗若滿足條件

（1）在相同的條件下可以重復進行；

（2）每次試驗的結果不止一個，并能事先明確試驗的所有可能結果；

1隨機事件及其概率

（3）試驗前不知道哪一個結果會出現。

則稱這樣的試驗為隨機試驗，用 表示。

樣本空間：隨機試驗所有可能出現的基本結果的集合稱為樣本空間。用? 表 示。

樣本點：隨機試驗的每一個可能出現的基本結果稱為樣本點，常用 表示。

3、隨機事件

隨機事件：由隨機試驗的某些樣本點做成的集合稱為隨機事件，簡稱事件。用大寫英文字母、、、…表示。在隨機試驗中隨機事件可能發生，也 可能不發生。稱某個事件發生當且僅當它所包含的某個樣本點出現。1）基本事件：只包含一個樣本點的事件，記為{w}。

2）不可能事件：一個樣本點都不包含的集合，記為?。不可能事件在試驗中 一定不會發生。

3）必然事件：包含所有樣本點的集合，記為?。必然事件在試驗中一定會發 生。

一般事件（復合事件）：由不止一個樣本點做成的事件。例 1 以下哪些試驗是隨機試驗？

（1）拋擲一枚硬幣，觀察出現的是正面在上還是反面在上；（2）記錄某電話機在一天內接到的呼叫次數；

（3）從一大批元件中任意取出一個，測試它的壽命；（4）觀察一桶汽油遇到明火時的情形；

（5）記錄一門炮向某一目標射擊的彈著點位置；

解：（1）（2）（3）（5）是隨機試驗，（4）不是隨機試驗 例 2：寫出下列隨機試驗的樣本空間。

（1）拋擲一顆骰子，觀察出現的點數；（2）拋擲二次硬幣，觀察出現的結果；

（3）記錄某汽車站在 5 分鐘內到達的乘客數；（4）從一批燈泡中任取一只，測試其壽命；（5）記錄一門炮向其目標射擊的彈落點；（6）觀察一次地震的震源； 解：（1）1 ? ?1，2，3，4，5，6?

? ；

（2）? ? ?（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）? ；（3）? ? 01 2 3...?；

?，（4）? 0?

?4 ? x x ? ,其中 x 表示燈泡的壽命；（5）

? ,?

（x，y x y ,其中 x、y 分別表示彈著

? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? 5 ? ?)，點的橫坐標、縱坐標；

2? ? ?

（6）?

? ?（，,)? , 0 ,其中 x、y、z 分別表 5 x y z ? ? x ? ?,? ? y ? z ?

? 2

?

示震源的經度、緯度、離地面的深度。

例 3 拋擲一個骰子，觀察出現的點數。用 A 表示“出現的點數為奇數”，B 表示“出現的點數大于 4”，C 表示“出現的點數為 3”,D 表示“出現的點 數大于 6”，E 表示“出現的點數不為負數”，（1）寫出實驗的樣本空間；（2）用樣本點表示事件 A、B、C、D、E；（3）指出事件 A、B、C、D、E 何 為基本事件，何為必然事件，何為不可能事件。解：

（1）? ? ?1，2，3，4，5，6?；（2）A ? ?1，3，5?，B ? ? 5,6 ?，C ? ? 3 ?，D ? ?，E ? ?1，2，3，4，5，6?（3）C 為基本事件，E 為必然事件，D 為不可能事件 討論題：請給出現實生活中隨機現象的一個例子。

4、事件的關系與運算

因為事件是樣本空間的一個集合, 故事件之間的關系與運算可按集合之間 的關系和運算來處理.1）事件之間的關系與簡單運算

設 A、B 為試驗 E 的二事件，（1）子事件（事件的包含）：若 A 中的每一個樣本點都包含在 B 中，則記為，也稱事件 A 是事件 B 的子事件，或事件 B 包含了事件 A。此時事件 A 發生必然導致事件 B 發生。顯然，對任意事件 A，有（2）事件的相等：若 等價的，記為。

且，則稱事件 A 與事件 B 是相等的，或稱

（3）事件的和（并）：用 A ? B 表示屬于 A 或屬于 的樣本點的集合，稱之 為 與 的和（并）事件。事件

表示事件 與事件 B 至少有一個發生。

（4）事件的積（交）：用 A ? B（或 AB）表示同時屬于 A 與 B 的樣本點的 集合，稱為 A 與 的積（交）事件。事件 AB 表示事件 A 與事件 B 同時發生 的事件。

（5）事件的互不相容（互斥）：若 AB ? ?，則稱為事件 A 與事件 B 互不相 容。即 A 與 B 不能同時發生。

當 與 B 互不相容時，記為。

（6）事件的差：用 A ? B 表示包含在 A 中而不包含在 B 中的樣本點的全體，稱為事件 與事件 的差。事件 A ? B 表示 A 發生而 B 不發生的事件。

第三篇：概率論課外作業（范文）

大數定律與中心極限定理在實際中的應用

大數定律闡明了大量隨機現象平均結果具有穩定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算術平均值法則"的基本理論，在現實生活中，經常可見這一類型的數學模型。例如：在分析天平上秤重量為a的物品，若以x1,x2,x3,...,xn表示n次重復稱

1n量的結果，經驗告訴我們，當n充分大時，它們的算術平均值?xi與

ni?1a的偏差就越小。

中心極限定理比大數定律更為詳細具體，它以嚴格的數學形式闡明了在大樣本條件下，不論總體分布如何，樣本均值總是服從或是近似的服從正態分布。正是這個結論使得正態分布在數理統計和誤差分析中占用特殊的地位，是正態分布得以廣泛應用的理論基礎。概率論中用來闡明大量隨機現象平均結果的穩定性的一系列定理，稱為大數定律。

切比雪夫不等式：設隨機變量X具有有限數學期望?和方差?2，?2則對于任意正數?，如下不等式成立 P????????2。

?切比雪夫不等式的應用：在隨機變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對X的概率分布進行估值。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白細胞數的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細胞數在5200～9400之間的概率。

?(X)= 解 設X表示每毫升血液中含白細胞個數，則E（X）=7300，D(X)=700 則P{ 5200?X?9400}=P{ X?7300?2100}=1-P{ X?7300>2100}

70021??? 而P ?X?7300?2100221009所以P ?5200?X?9400??

概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態分布的一系列定理稱為中心極限定理。

獨立同分布的中心極限定理：設隨機變量X1,X2,...,Xn相互獨立，服從同一分布，且有有限的數學期望?和方差?2，則隨機變量

89Y??Xi?1ni?n?n?的分布函數Fn(x)滿足如下極限式

?n?Xt2?i???x1??limFn(x)?limP?i?1?x???e2dt ??2??n??????定理的應用：對于獨立的隨機變量序列{Xn }，不管Xi(i=1，2，?，n)服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數學期望和方差，那么，當n充分大時，這些隨機變量之和?Xi近似地服從正態分

i?1n布N(n?,n?2)。

二項分布的極限分布是正態分布即如果X～B(n，p)則

t???n?np??b1?2P?a??b???edt??(b)??(a)anp(1?p)2?????2例2 現有一大批種子，其中良種占1／6，今在其中任選60O0粒，試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子中

良種所占的比例與1／6之差小于l％的概率是多少? 解

設取出的種子中的良種粒數為X，則 X～B(6000，)于是

E(X)?np?6000?1?1000616155D(X)?np(1?p)?6000????1000

666(1)要估計的規律為P??X11?????P?X?1000?60?，相當60006100??于在切比雪夫不等式中取?=60，于是

?X11?D(X)??P????PX?1000?60?1??26000610060??由題意得1?D(X)51?1??1000??1?0.2315?0.7685 26063600即用切比雪夫不等式估計此概率不小于0.7685(2)由中心極限定理，對于二項分布(6000，)可用正態分布N(1000，5?1000)近似，于是所求概率為 616?X?1???(1060?1000)??(940?1000)P???0.01??P?940?X?10601000?5/61000?5/6?60006?從本例看出．用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于0.7685．而用中心極限定理可得出要求的概率近似等于0.9625．從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的．但由于它的要求比較低，只要知道X的期望和方差，因而在理論上有許多運用．

當Xi獨立同分布(可以是任何分布)，計算P(a?X1?X2?...?Xn?b)的概率時，利用中心極限定理往往能得到相當精確的近似概率，在實際問題上廣泛運用．

例3某單位有200臺電話分機，每臺有5％的時間要使用外線通話，假定每臺分機是否使用外線是相互獨立的，問該單位總機要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機用外線時不等待？

解

設有X部分機同時使用外線，則有X～B(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，np(1?p)?3.08 設有N條外線．由題意有P{X?N}?0．9 有

P?X?N??P???X?np???np(1?p)N?np?N?npN?10???()??()?3.08np(1?p)?np(1?p)?N?10?1.28 3.08查表得?(1.28)=0．90，故N應滿足條件即N?13.94，取N=14，即至少要安裝14條外線．

參考文獻：

[1]莊楚強.吳亞森．應用數理統計基礎[M]．廣州：華南理工大學出版社，2002．

[2]黃清龍.阮宏順．概率論與數理統計[M]．北京：北京大學出版社，2005．

[3]賈兆麗．概率方法在數學證明中的應用[J]．安徽工業大學學報，2002，19(1)：75—76．

[4]周少強．大數定律與中心極限定理之問的關系[J]．高等數學研究，2001(1)：15—17．

[5]劉建忠．中心極限定理的一個推廣及其應用[J]．華東師范大學學報(自然科學版)．2001，18(03)：8-12．

[6]楊桂元．中心極限定理及其在統計分析中的應用[J]．統計與信息論壇，2000(03)：13—15．

[7]鐘鎮權．關于大數定律與中心極限定理的若干注記[J]．玉林師范學院學報．2001(03)：8一10．

[8]周概容．概率論與數理統計[M]．北京：高等教育出版社，1984．

第四篇：概率論簡答題

概率論簡答題

1． 互不相容事件與等可能事件、對立事件及其相互獨立事件有什么區別

2． 概率為1的事件的積概率是1么？

3． 直接計算古典概型有哪些計算方法？并舉簡單例子說明

4． 古典概型有哪些基本問題？舉例說明。

5． 幾何概型有什么特點又如何計算。

6． 如何正確計算條件概率和應用乘法公式。

7． 如何應用全概率公式和貝葉斯公式。

8． 如何理解“獨立事件”

9． 如何證明幾個事件相互獨立

10．比賽雙方實力相當，問9場比賽中贏5場和5場比賽中贏3場，哪一個可能性大？

11．引入隨機變量的分布函數有什么作用？如何確定與判斷？

12．離散型隨機變量的概率分布或連續型隨機變量的概率密度函數如何確定及判斷？

13.離散型隨機變量有哪些常見分布？其概率分布是什么？其分布函數是什么？

14.隨機變量X服從參數λ的泊松分布，當k取何值時概率最大？

15.連續型隨機變量有哪些常見分布？其密度函數是什么？其分布函數是什么？

16.求連續型隨機變量有哪些常見方法？舉例說明

17.二元函數為聯合概率密度函數應如何判斷？

18.離散型隨機變量應（X,Y）的聯合分布列與邊緣分布列有什么關系？如何計算？舉例說明。

19.連續型隨機變量（X,Y）的聯合密度函數與邊緣密度函數有什么關系？如何計算？舉例說明。

20.如何判斷隨機變量的獨立性？（包括離散與連續）

21.如何計算離散型隨機變量常見分布的期望與方差

22．如何計算連續型型隨機變量常見分布的期望與方差

23.對于一些復雜的隨機變量，求他們的期望和方差用什么簡易方法，并舉例。

24.準確定義協方差、相關系數？

25.兩個隨機變量獨立和不相關有何關系？舉例說明。

26.什么是中心極限定理？如何應用？舉例說明

第五篇：概率論復習

概率論復習要點

第一章

1、隨機事件的關系與運算,概率的性質(差并對立事件概率的計算公式),條件概率公式公式，事件的獨立性。

2、古典概型的計算：例P28T9,11,12,203、全概率公式和貝葉斯公式的應用:例P48-49 T14,15,16,18,20

第二章

1、分布函數的定義及性質：例P74 T7,13，2、連續型隨機變量的密度函數的性質: 例P74 T11，12,14, P143 T6,83、隨機變量及隨機變量函數的數學期望和方差的性質及計算：例P83 T10,13, P88 T3,54、切比雪夫不等式及其應用

5、常用離散型隨機變量的概率分布列、常用連續型隨機變量的概率密度及數學期望和方差

如P114表2.5.1，P115T11,12,196、隨機變量函數的分布：P123 T7,8,1

1第三章

1、二維隨機變量的分布函數定義及性質，邊際分布函數的求解p145 例3.2.12、離散型二維隨機變量的聯合分布列和邊際分布列的求解，及離散型二維隨機變量函數分布列的求解：P136 例3.1.2，P143 T2,3；P155 例3.3.1；P163T13、連續型二維隨機變量的聯合密度函數的性質，邊際密度函數的求解，隨機變量獨立性的判斷：P147 例3.2.3，P152例3.2.8；P153T5，6，134、二維隨機變量函數的數學期望和方差的計算，協方差的性質及計算，相關系數的定義及性質:P183T21,24,25

D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y), D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)

5、獨立和不相關之間的關系

第四章

1、特征函數的定義及性質P2012、常用分布的特征函數的計算P202 例4.1.23、證明隨機變量序列是否服從大數定律：P216 T1,2,34、中心極限定理的應用:P237 T1,2,8,9,10