第一篇：概率論試題

? 2006-2007學年《概率與數理統計》

一、填空題：

1、設隨機事件A的概率P(A)=0.5，隨機事件B的概率P(B)=0.6，條件概率P(B|A)=0.8，則P(A+B)=_____.2、設隨機變量X在[0，6]服從均勻分布，Y服從參數λ=1/2的指數分布，且X,Y相互獨立，則D（2X-Y）=_____.3、某射手向同一目標獨立進行3次射擊，若至少命中一次的概率為26/27，則該射手的命中率為_____.4、設連續隨機變量X的分布函數為，已知P(x=1/2)=1/4，則a=_____,b=_____,c=_____.5、設隨機變量X只取-1，0，1三個值，且相應的概率之比為1：2：3，則 _____.6、設X,Y為隨機變量，已知P(X≥0,Y≥0﹚=3/7,則P[min(X,Y)<0]=_____.7、從數1，2，3中任取一個數，記為X，再從1至X任取一個數，記為Y，則P(X=2,Y=2)=____

8、設隨機變量X的期望為E(X),方差D(X)＜+∞,則根據切比雪夫不等式，________

9、設總體X~N , 為取自總體X的樣本，則 _____

二、計算題：

1、某倉庫有同樣規格的產品12箱，其中有6箱、4箱、2箱一次是由甲、乙、丙廠生產的，而且三個廠的次品率分別為1/18,1/12,1/6，現從這12箱中任取一箱，再從取得的一箱中任取一件產品。

（1）求取出的一件是次品的概率；

（2）若已知取出的一件是次品，求這件次品是乙廠生產的概率。

2、設X~N(0,1)，求 的概率密度。

3、設二維隨機變量（X,Y）的聯合分布密度為

（1）求X,Y的邊緣分布密度 ,并判斷X和Y是否相互獨立；

（2）求X與Y的協方差。

4、設一個系統由100個相互獨立起作用的部件組成，每個部件正常工作的概率為0.9，為了使整個系統正常工作，必須有87個以上的部件正常工作，試利用中心極限定理，求整個系統正常的概率的近似值。

5、設總體X 的密度函數為 為取自總體X的樣本，θ>-1為未知參數，求θ的最大似然估計。

6、假設批量生產的某種配件的內徑服從正態分布N，隨機變量16個配件，測得平均內徑為 =3.05毫米，修正標準差為S=0.16毫米，求參數μ及 的置信度為90%的置信區間。

7、正常人的脈搏平均為72次/分，僅對某種疾病的患者16人測其脈搏（單位：次/分）。計算患者平均脈搏67次/分，樣本修正方差為36，設患者的脈搏次數服從正態分布，問在顯著水平α=0.05下，檢驗患者脈搏與正常人脈搏有無顯著差異？

8、設總體X的密度函數為 為取自總體X的簡單隨機樣本，是樣本均值，判斷 的無偏估計量，并說明理由。

第二篇：概率論教案

西南大學本科課程備課教案 2015 —2016 學年第 1 學期

（理論課程類）

課 程 名 稱 概率論

授課專業年級班級 統計專業 2014 級 教 教

師 師

姓 職

名 稱

凌成秀 講師

I

數學與統計學院

課程性質

?專業必修

□專業選修

□公共必修

□通識教育選修

概率論是統計專業本科生的一門建立在微積分、基本代數知識基礎上的重要

課程簡介

專業課程，是繼續學習、研究統計學及其應用的一門重要課程。該課程旨在 如何刻畫隨機現象的統計規律性，包括隨機事件及其概率，隨機變量及其分 布，隨機變量的數字特征、特征函數、極限定理等。本課程總學時 5*18=90 節。

教材

孫榮恒《應用概率論》第二版，2005，科學出版社

（總學時）

教學方式 講授式、啟發式、研究型、收集網絡小論文探究式

使用教具 黑板、粉筆

[1] 《概率論基礎》第三版，李賢平著，高等教育出版社，2010.[2] 《概率論與數理統計》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育出 版社，2010.[3] 《概率論與數理統計習題全解指南》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育額出版社，2010.[4] Probability Essentials(Second edition), Jean Jacod and Philip Protter, Springer,2004.[5]《概率論與數理統計教程》第二版,茆詩松 程依明、濮曉龍，高等教育出 版社，2000.參考書目及文獻（或互聯網網址）

考核方式 閉卷筆試

II

隨機事件及其概率

第一章 隨機事件及其概率

概率論與數理統計是從數量化的角度來研究現實世界中一類不確定現象（隨機現 象）規律性的一門應用數學學科，20 世紀以來，廣泛應用于工程技術、經濟及 醫學技術等各個領域.本章介紹的隨機事件與概率是概率論中最基本、最重要的 概念之一.第一、二節 隨機事件及其關系與運算

教學內容： 隨機事件是本課程的最基礎的概念，主要涉及到包括確定性現象、隨機現象、樣本空間、樣本點、隨機事件等定義；以及事件的包含、相等、互不 相容（互斥）、互為對立等關系；事件的和、積、差、逆等運算的定義；事件的 運算律、文氏圖等；事件序列的極限。會用簡單事件通過其關系與運算將復雜事 件表示出來。重點難點：

隨機事件的定義；互不相容、互為對立、互逆事件的判別；用簡單事件通過其運 算將復雜事件表示出來；事件的恒等式證明；事件序列的極限關系 教學目標：

會判斷給出的現象是否為隨機現象；會寫隨機試驗的樣本空間；會判別隨機事件 的類型；熟悉事件關系與運算的定義；熟悉事件的運算律、會作文氏圖；能判別 事件的互不相容、互為對立、互逆等關系；能用事件的運算關系將復雜事件表示 出來；掌握事件的不等式、恒等式證明 教學過程：

1、確定性現象與隨機現象。確定性現象：在一定的條件下必然發生某種結果的現象。例如：（1）重物在高處必然下落；（2）在標準大氣壓下純水加熱到 100 攝氏度時必然會沸騰；

（3）異性電荷必相互吸引。隨機現象（偶然性現象）：在一定的條件下，有多種可能結果發生，事前人們不 能預言將有哪個結果會出現的現象，但大量重復觀察時具有某種規律性。如：（1）從一大批產品中任取一個產品，它可能是合格品，也可能是不合格品；（2）一門炮向一目標射擊，每次射擊的彈落點一般是不同的，事前無法預料。2、隨機試驗與樣本空間。

試驗：我們把對自然現象的一次觀察或一次科學試驗統稱為試驗。隨機試驗：一個試驗若滿足條件

（1）在相同的條件下可以重復進行；

（2）每次試驗的結果不止一個，并能事先明確試驗的所有可能結果；

1隨機事件及其概率

（3）試驗前不知道哪一個結果會出現。

則稱這樣的試驗為隨機試驗，用 表示。

樣本空間：隨機試驗所有可能出現的基本結果的集合稱為樣本空間。用? 表 示。

樣本點：隨機試驗的每一個可能出現的基本結果稱為樣本點，常用 表示。

3、隨機事件

隨機事件：由隨機試驗的某些樣本點做成的集合稱為隨機事件，簡稱事件。用大寫英文字母、、、…表示。在隨機試驗中隨機事件可能發生，也 可能不發生。稱某個事件發生當且僅當它所包含的某個樣本點出現。1）基本事件：只包含一個樣本點的事件，記為{w}。

2）不可能事件：一個樣本點都不包含的集合，記為?。不可能事件在試驗中 一定不會發生。

3）必然事件：包含所有樣本點的集合，記為?。必然事件在試驗中一定會發 生。

一般事件（復合事件）：由不止一個樣本點做成的事件。例 1 以下哪些試驗是隨機試驗？

（1）拋擲一枚硬幣，觀察出現的是正面在上還是反面在上；（2）記錄某電話機在一天內接到的呼叫次數；

（3）從一大批元件中任意取出一個，測試它的壽命；（4）觀察一桶汽油遇到明火時的情形；

（5）記錄一門炮向某一目標射擊的彈著點位置；

解：（1）（2）（3）（5）是隨機試驗，（4）不是隨機試驗 例 2：寫出下列隨機試驗的樣本空間。

（1）拋擲一顆骰子，觀察出現的點數；（2）拋擲二次硬幣，觀察出現的結果；

（3）記錄某汽車站在 5 分鐘內到達的乘客數；（4）從一批燈泡中任取一只，測試其壽命；（5）記錄一門炮向其目標射擊的彈落點；（6）觀察一次地震的震源； 解：（1）1 ? ?1，2，3，4，5，6?

? ；

（2）? ? ?（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）? ；（3）? ? 01 2 3...?；

?，（4）? 0?

?4 ? x x ? ,其中 x 表示燈泡的壽命；（5）

? ,?

（x，y x y ,其中 x、y 分別表示彈著

? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? 5 ? ?)，點的橫坐標、縱坐標；

2? ? ?

（6）?

? ?（，,)? , 0 ,其中 x、y、z 分別表 5 x y z ? ? x ? ?,? ? y ? z ?

? 2

?

示震源的經度、緯度、離地面的深度。

例 3 拋擲一個骰子，觀察出現的點數。用 A 表示“出現的點數為奇數”，B 表示“出現的點數大于 4”，C 表示“出現的點數為 3”,D 表示“出現的點 數大于 6”，E 表示“出現的點數不為負數”，（1）寫出實驗的樣本空間；（2）用樣本點表示事件 A、B、C、D、E；（3）指出事件 A、B、C、D、E 何 為基本事件，何為必然事件，何為不可能事件。解：

（1）? ? ?1，2，3，4，5，6?；（2）A ? ?1，3，5?，B ? ? 5,6 ?，C ? ? 3 ?，D ? ?，E ? ?1，2，3，4，5，6?（3）C 為基本事件，E 為必然事件，D 為不可能事件 討論題：請給出現實生活中隨機現象的一個例子。

4、事件的關系與運算

因為事件是樣本空間的一個集合, 故事件之間的關系與運算可按集合之間 的關系和運算來處理.1）事件之間的關系與簡單運算

設 A、B 為試驗 E 的二事件，（1）子事件（事件的包含）：若 A 中的每一個樣本點都包含在 B 中，則記為，也稱事件 A 是事件 B 的子事件，或事件 B 包含了事件 A。此時事件 A 發生必然導致事件 B 發生。顯然，對任意事件 A，有（2）事件的相等：若 等價的，記為。

且，則稱事件 A 與事件 B 是相等的，或稱

（3）事件的和（并）：用 A ? B 表示屬于 A 或屬于 的樣本點的集合，稱之 為 與 的和（并）事件。事件

表示事件 與事件 B 至少有一個發生。

（4）事件的積（交）：用 A ? B（或 AB）表示同時屬于 A 與 B 的樣本點的 集合，稱為 A 與 的積（交）事件。事件 AB 表示事件 A 與事件 B 同時發生 的事件。

（5）事件的互不相容（互斥）：若 AB ? ?，則稱為事件 A 與事件 B 互不相 容。即 A 與 B 不能同時發生。

當 與 B 互不相容時，記為。

（6）事件的差：用 A ? B 表示包含在 A 中而不包含在 B 中的樣本點的全體，稱為事件 與事件 的差。事件 A ? B 表示 A 發生而 B 不發生的事件。

第三篇：概率論課外作業（范文）

大數定律與中心極限定理在實際中的應用

大數定律闡明了大量隨機現象平均結果具有穩定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算術平均值法則"的基本理論，在現實生活中，經常可見這一類型的數學模型。例如：在分析天平上秤重量為a的物品，若以x1,x2,x3,...,xn表示n次重復稱

1n量的結果，經驗告訴我們，當n充分大時，它們的算術平均值?xi與

ni?1a的偏差就越小。

中心極限定理比大數定律更為詳細具體，它以嚴格的數學形式闡明了在大樣本條件下，不論總體分布如何，樣本均值總是服從或是近似的服從正態分布。正是這個結論使得正態分布在數理統計和誤差分析中占用特殊的地位，是正態分布得以廣泛應用的理論基礎。概率論中用來闡明大量隨機現象平均結果的穩定性的一系列定理，稱為大數定律。

切比雪夫不等式：設隨機變量X具有有限數學期望?和方差?2，?2則對于任意正數?，如下不等式成立 P????????2。

?切比雪夫不等式的應用：在隨機變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對X的概率分布進行估值。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白細胞數的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細胞數在5200～9400之間的概率。

?(X)= 解 設X表示每毫升血液中含白細胞個數，則E（X）=7300，D(X)=700 則P{ 5200?X?9400}=P{ X?7300?2100}=1-P{ X?7300>2100}

70021??? 而P ?X?7300?2100221009所以P ?5200?X?9400??

概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態分布的一系列定理稱為中心極限定理。

獨立同分布的中心極限定理：設隨機變量X1,X2,...,Xn相互獨立，服從同一分布，且有有限的數學期望?和方差?2，則隨機變量

89Y??Xi?1ni?n?n?的分布函數Fn(x)滿足如下極限式

?n?Xt2?i???x1??limFn(x)?limP?i?1?x???e2dt ??2??n??????定理的應用：對于獨立的隨機變量序列{Xn }，不管Xi(i=1，2，?，n)服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數學期望和方差，那么，當n充分大時，這些隨機變量之和?Xi近似地服從正態分

i?1n布N(n?,n?2)。

二項分布的極限分布是正態分布即如果X～B(n，p)則

t???n?np??b1?2P?a??b???edt??(b)??(a)anp(1?p)2?????2例2 現有一大批種子，其中良種占1／6，今在其中任選60O0粒，試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子中

良種所占的比例與1／6之差小于l％的概率是多少? 解

設取出的種子中的良種粒數為X，則 X～B(6000，)于是

E(X)?np?6000?1?1000616155D(X)?np(1?p)?6000????1000

666(1)要估計的規律為P??X11?????P?X?1000?60?，相當60006100??于在切比雪夫不等式中取?=60，于是

?X11?D(X)??P????PX?1000?60?1??26000610060??由題意得1?D(X)51?1??1000??1?0.2315?0.7685 26063600即用切比雪夫不等式估計此概率不小于0.7685(2)由中心極限定理，對于二項分布(6000，)可用正態分布N(1000，5?1000)近似，于是所求概率為 616?X?1???(1060?1000)??(940?1000)P???0.01??P?940?X?10601000?5/61000?5/6?60006?從本例看出．用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于0.7685．而用中心極限定理可得出要求的概率近似等于0.9625．從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的．但由于它的要求比較低，只要知道X的期望和方差，因而在理論上有許多運用．

當Xi獨立同分布(可以是任何分布)，計算P(a?X1?X2?...?Xn?b)的概率時，利用中心極限定理往往能得到相當精確的近似概率，在實際問題上廣泛運用．

例3某單位有200臺電話分機，每臺有5％的時間要使用外線通話，假定每臺分機是否使用外線是相互獨立的，問該單位總機要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機用外線時不等待？

解

設有X部分機同時使用外線，則有X～B(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，np(1?p)?3.08 設有N條外線．由題意有P{X?N}?0．9 有

P?X?N??P???X?np???np(1?p)N?np?N?npN?10???()??()?3.08np(1?p)?np(1?p)?N?10?1.28 3.08查表得?(1.28)=0．90，故N應滿足條件即N?13.94，取N=14，即至少要安裝14條外線．

參考文獻：

[1]莊楚強.吳亞森．應用數理統計基礎[M]．廣州：華南理工大學出版社，2002．

[2]黃清龍.阮宏順．概率論與數理統計[M]．北京：北京大學出版社，2005．

[3]賈兆麗．概率方法在數學證明中的應用[J]．安徽工業大學學報，2002，19(1)：75—76．

[4]周少強．大數定律與中心極限定理之問的關系[J]．高等數學研究，2001(1)：15—17．

[5]劉建忠．中心極限定理的一個推廣及其應用[J]．華東師范大學學報(自然科學版)．2001，18(03)：8-12．

[6]楊桂元．中心極限定理及其在統計分析中的應用[J]．統計與信息論壇，2000(03)：13—15．

[7]鐘鎮權．關于大數定律與中心極限定理的若干注記[J]．玉林師范學院學報．2001(03)：8一10．

[8]周概容．概率論與數理統計[M]．北京：高等教育出版社，1984．

第四篇：概率論簡答題

概率論簡答題

1． 互不相容事件與等可能事件、對立事件及其相互獨立事件有什么區別

2． 概率為1的事件的積概率是1么？

3． 直接計算古典概型有哪些計算方法？并舉簡單例子說明

4． 古典概型有哪些基本問題？舉例說明。

5． 幾何概型有什么特點又如何計算。

6． 如何正確計算條件概率和應用乘法公式。

7． 如何應用全概率公式和貝葉斯公式。

8． 如何理解“獨立事件”

9． 如何證明幾個事件相互獨立

10．比賽雙方實力相當，問9場比賽中贏5場和5場比賽中贏3場，哪一個可能性大？

11．引入隨機變量的分布函數有什么作用？如何確定與判斷？

12．離散型隨機變量的概率分布或連續型隨機變量的概率密度函數如何確定及判斷？

13.離散型隨機變量有哪些常見分布？其概率分布是什么？其分布函數是什么？

14.隨機變量X服從參數λ的泊松分布，當k取何值時概率最大？

15.連續型隨機變量有哪些常見分布？其密度函數是什么？其分布函數是什么？

16.求連續型隨機變量有哪些常見方法？舉例說明

17.二元函數為聯合概率密度函數應如何判斷？

18.離散型隨機變量應（X,Y）的聯合分布列與邊緣分布列有什么關系？如何計算？舉例說明。

19.連續型隨機變量（X,Y）的聯合密度函數與邊緣密度函數有什么關系？如何計算？舉例說明。

20.如何判斷隨機變量的獨立性？（包括離散與連續）

21.如何計算離散型隨機變量常見分布的期望與方差

22．如何計算連續型型隨機變量常見分布的期望與方差

23.對于一些復雜的隨機變量，求他們的期望和方差用什么簡易方法，并舉例。

24.準確定義協方差、相關系數？

25.兩個隨機變量獨立和不相關有何關系？舉例說明。

26.什么是中心極限定理？如何應用？舉例說明

第五篇：概率論復習

概率論復習要點

第一章

1、隨機事件的關系與運算,概率的性質(差并對立事件概率的計算公式),條件概率公式公式，事件的獨立性。

2、古典概型的計算：例P28T9,11,12,203、全概率公式和貝葉斯公式的應用:例P48-49 T14,15,16,18,20

第二章

1、分布函數的定義及性質：例P74 T7,13，2、連續型隨機變量的密度函數的性質: 例P74 T11，12,14, P143 T6,83、隨機變量及隨機變量函數的數學期望和方差的性質及計算：例P83 T10,13, P88 T3,54、切比雪夫不等式及其應用

5、常用離散型隨機變量的概率分布列、常用連續型隨機變量的概率密度及數學期望和方差

如P114表2.5.1，P115T11,12,196、隨機變量函數的分布：P123 T7,8,1

1第三章

1、二維隨機變量的分布函數定義及性質，邊際分布函數的求解p145 例3.2.12、離散型二維隨機變量的聯合分布列和邊際分布列的求解，及離散型二維隨機變量函數分布列的求解：P136 例3.1.2，P143 T2,3；P155 例3.3.1；P163T13、連續型二維隨機變量的聯合密度函數的性質，邊際密度函數的求解，隨機變量獨立性的判斷：P147 例3.2.3，P152例3.2.8；P153T5，6，134、二維隨機變量函數的數學期望和方差的計算，協方差的性質及計算，相關系數的定義及性質:P183T21,24,25

D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y), D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)

5、獨立和不相關之間的關系

第四章

1、特征函數的定義及性質P2012、常用分布的特征函數的計算P202 例4.1.23、證明隨機變量序列是否服從大數定律：P216 T1,2,34、中心極限定理的應用:P237 T1,2,8,9,10