第一篇：高中立體幾何初步小結（定稿）

立體幾何證明初步總結

①、三個公理和三個推論：

這是判斷幾點共線（證這幾點是兩個平面的公共點）和三條直線共點（證其中兩條直線的交點在第三條直線上）的方法之一。②、證明線線平行的方法

1．平行于同一直線的兩條直線平行； 2．垂直于同一平面的兩條直線平行；

3．如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和這條直線平行；

4．如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。5．在同一平面內的的兩條直線，可依據平面幾何的定理證明（如三角形中位線定理；平行四邊形對邊平行；平行線分線段成比例定理的逆定理等）③、證明線面平行的方法

1．由定義：一條直線和平面無公共點；

2．如果不在一個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行；

3．兩平面平行，則其中一個平面內的一條直線必平行于另一個平面； ④、證明面面平行的方法

1．由定義：沒有公共點的兩個平面平行；

2．如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行； ⑤、證明線線垂直的方法

1．定義：兩直線相交成90?角，或經過平移后相交成90?角（異面垂直）； 2．直線和平面垂直，則該直線和平面內的任一直線垂直； 3．一條直線和兩平行線中的一條垂直，也和另一條垂直；

4．平面幾何中常用的定理：菱形、正方形的對角線互相垂直；等腰三角形“三線合一”；圓的直徑所對的圓周角是直角；勾股定理。⑥、證明線面垂直的方法

1．定義：如果一條直線和平面內的任意一條直線都垂直，則這條直線和平面垂直； 2．如果一條直線和平面內的兩條相交直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直； 3．如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面；

4．如果兩個平面垂直，那么在第一個平面內垂直于它們交線的直線，也垂直于另一個平面；

⑦、證明面面垂直的方法

1．證明兩個平面的二面角為90?角。

2．一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這個平面垂直于另一個平面。大策略 空間平面平行關系垂直關系 小策略平行轉化 線線平行 線面平行面面平行 垂直轉化 線線垂直 線面垂直面面垂直

二、有“心”的三角形

1．內心：內切圓圓心，是各角平分線的交點； 2．外心：外接圓圓心，是各邊垂直平分線交點；

3．重心：各邊中線交點，重心將所在中線分成兩段比值為2:1； 4．垂心：高的交點。

第二篇：高中立體幾何

高中立體幾何的學習

高中立體幾何的學習主要在于培養空間抽象能力的基礎上，發展學生的邏輯思維能力和空間想象能力。立體幾何是中學數學的一個難點，學生普遍反映“幾何比代數難學”。但很多學好這部分的同學，又覺得這部分很簡單。那么,怎樣才能學好立體幾何呢?我這里談談自己的認識。

一．空間想象能力的提高。

開始學習的時候，首先要多看簡單的立體幾何題目，不能從難題入手。自己動手畫一些立體幾何的圖形，比如教材上的習題，輔導書上的練習題，不看原圖，自己先畫。畫出來的圖形很可能和給出的圖不一樣，這是好事，再對比一下，那個圖更容易解題。

二．邏輯思維能力的培養。

培養邏輯思維能力，首先是牢固掌握數學的基礎知識，其次掌握必要的邏輯知識和邏輯思維。

1.加強對基本概念理解。

數學概念是數學知識體系的兩大組成部分之一，理解與掌握數學概念是學好數學，提高數學能力的關鍵。

對于基本概念的理解，首先要多想。比如對異面直線的理解，兩條直線不在同一個平面是簡單的定義，如何才能不在同一個平面呢，第一是把同一個[平面上的直線離開這個平面，或者用兩支筆來比劃，這樣直觀上有了異面直線的概念，然后想在數學上怎么才能保證兩條直

線不在一個平面，那些條件能保證兩條直線不在一個平面。我們多去想想，就可以知道，只要直線不平行，并且不相交，那么就異面，對于不平行的條件，在平面幾何中我們已經知道，如何能保證不相交呢，想象延長線等手段能不能得到證明呢，如果不能，那么把其中一條直線放在一個平面，看另外一條直線和這個平面是否平行，這樣我們對異面直線的概念就比較容易掌握。

這在立體幾何“簡單幾何體”部分的學習中顯得尤為突出，本章節中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，嚴謹性，辨析相近易混的概念。如：正四面體與正三棱錐、長方體與直平行六面體、軸截面與直截面、球面與球等概念的區別和聯系。

2.加強對數學命題理解，學會靈活運用數學命題解決問題。

對數學的公理，定理的理解和應用，突出反映在題目的證明和計算上。需要避免證明中出現邏輯推理不嚴密，運用定理、公理、法則時言非有據，或以主觀臆斷代替嚴密的科學論證，書寫格式不合理，層次不清，數學符號語言使用不當，不合乎習慣等。

（1）重視定理本身的證明。我們知道，定理本身的證明思路具有示范性，典型性，它體現了基本的邏輯推理知識和基本的證明思想的培養,以及規范的書寫格式的養成。做到不僅會分析定理的條件和結論,而且能掌握定理的內容,證明的思想方法,適用范圍和表達形式.特別是進入高中學習以后所涉及到的一些新的證題的思想方法,如新教材上的立體幾何例題:“過平面外一點與平面內一點的直線,和平面內不經過該點的直線是異面直線.”此定理的證明就采用了反證法,那么反

證法的證題思想就需要去體會,一般步驟,書寫格式,注意要點等.并配以適當的訓練,以初步掌握應用反證法證明立體幾何題.(2)提高應用定理分析問題和解決問題的能力.這常常體現在遇到一個幾何題以后,不知從何下手.對于習題，我們首先需要知道：要干什么（要求的結論是什么），那些條件能滿足要求，這樣一步一步往前找條件。當然這要根據具體情況，需要多看習題，我反對題海，但必要的練習是不可以缺少的。

第三篇：高中數學立體幾何初步知識點

高中數學立體幾何初步知識點

高中幾何是高中的一個難點。大家只要記住下面這幾點相信你成績一定會突飛猛進的！立體幾何初步:①柱、錐、臺、球及其簡單組合體等內容是立體幾何的基礎，也是研究空間問題的基本載體，是高考考查的重要方面，在學習中應注意這些幾何體的概念、性質以及對面積、體積公式的理解和運用。②三視圖和直觀圖是認知幾何體的基本內容，在高考中，對這兩個知識點的考查集中在兩個方面，一是考查三視圖與直觀圖的基本知識和基本的視圖能力，二是根據三視圖與直觀圖進行簡單的計算，常以選擇題、填空題的形式出現。③幾何體的表面積和體積，在高考中有所加強，一般以選擇題、填空、簡答等形式出現，難度不大，但是常與其他問題一起考查④平面的基本性質與推理主要包括平面的有關概念，四個公理，等角定理以及異面直線的有關知識，是整個立體幾何的基礎，學習時應加強對有關概念、定理的理解。⑤平行關系和垂直關系是立體幾何中的兩種重要關系，也是解決立體幾何的重要關系，要重點掌握。跟幾何說886吧，只要用心去學，相信成績上不會再因為幾何而丟大量的分數！

第四篇：第二章立體幾何小結

第二章小結

-----本章主要問題方法總結

1、證線在面上：

⑴公理1 數學符號

⑵面面垂直的性質2 數學符號

2、確定一個平面的方法：公理2及其三個推論

公理2： 推論1 推論2 推論3

3、證點在線上的方法：公理3 數學符號

4、空間兩直線平行的證明方法：

⑴公理4 數學符號

⑵線面平行的性質定理 數學符號

⑶面面平行的性質定理 數學符號 ⑷線面垂直的性質定理 數學符號

5、證明線面平行的方法：

⑴線面平行的定義

⑵線面平行的判定理 數學符號

⑶面面平行的性質定理補充定理：兩平面平行，其中一個平面內的任意直線平行與另一個平面。

數學符號 6:、證線面相交得方法：

⑴定義法：

⑵反證法：

7、證面面平行的方法：

⑴面面平行的定義即兩個平面沒有公共點。

⑵面面平行的判定定理

數學符號

⑶面面平行的判定定理推論：一個平面內的兩相交直線分別平行于另一個平面內的兩 1 相交直線那么著兩個平面平行。

數學符號 ⑷垂直于同一條直線的兩平面平行。

數學符號

⑸平行于同一個平面兩平面平行。

數學符號

８、線面垂直的判定方法：

⑴定義法

⑵線面垂直的判定定理

數學符號

⑶兩直線平行，其中一條直線垂直一個平面另一條直線也垂直于這個平面。

數學符號 ⑷面面垂直的性質定理

數學符號

9、求空間角的問題：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角。

一般步驟： A、找出或作出有角的圖形 B、證明它符合定義

C、計算角的大小（解三角形）

⑴求異面直線所成角兩條思維途徑：

第一條：以兩條異面直線四個頂點中的一個端點為頂點作角。

第二條：以兩條異面直線所在的兩個平面的交線上的一點為頂點作角 說明：第一條是本質，第二條是第一條的特殊情況。

⑵直線與平面所成的角

作角的關鍵：通常取斜線上某個特殊點作平面的垂線段，連接垂足和斜足，是產生線面所成角的關鍵。作垂線時常在這個面的垂面內作垂線。⑶二面角的求法： 定義法

垂面法 垂線法

回顧性練習：

練習1 如圖，三棱錐S-ABC四個面都是正三角形，已知E、F分別是棱SC、AB的中點，試求異面直線EF和SA所成的角。

SECFA

B

練習2 已知ABCD-A1B1C1D1是長方體，且ABCD是邊長為a的正方形，E是D D1的中點，O是正方形ABCD的中心，直線EO與B1D1所成的角是45度，如圖，求直線EO與BC1所成的角。

D1A1EB1C1DOA

CB

練習3 如圖 ,∠BAD＝90度的等腰三角形⊿ABD與底面正⊿CBD所在平面互相垂直，E是BC的中點，則AE與平面BCD所成的角是多少？

ABEC

練習4 如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E兩點，又SA＝AB,SB＝BC.求二面角E-BD-C的大小.D

SEADBC

第五篇：《立體幾何初步》教材分析——楊帆

數學必修2第一章立體幾何初步章節分析

（楊帆 陜西師范大學 710062）

幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小和位置關系的學科，而三維空間是人們生存的現實空間．本章將按照由整體到局部的研究方法，研究“簡單幾何體、直觀圖、三視圖、空間圖形的基本關系和公理、平行關系、垂直關系以及簡單幾何體的面積和體積”，對三維空間的幾何對象進行直觀感知、操作確認、思辨論證．

1.教材內容的變化

新課標新增了三視圖與三視圖和實物圖的轉換，這些內容與初中階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜接，而《舊大綱》中 “直線、平面、簡單幾何體”沒有這部分內容．增加這部分內容的主要目的是通過三視圖以及空間幾何體與其三視圖的互相轉化，對空間圖形進行整體上的認識，培養和發展學生的空間想象能力、幾何直觀能力，更全面地把握空間幾何體．

新課標也減少了一些內容：如異面直線所成的角，異面直線的公垂線，異面直線的距離，點到平面的距離，直線和平面所成的角，三垂線定理及其逆定理，平行平面間的距離，多面體，正多面體．

2.教學目標

2.1知識目標

基礎知識：

（1）理解柱、錐、臺、球的結構特征；

（2）了解二面角及其平面角的概念；

（3）掌握空間點、直線、與平面之間的位置關系分類（重點）．

基本技能：

（1）理解三視圖畫法的規則，能畫簡單幾何體的三視圖；

（2）掌握斜二測畫法，能作簡單幾何體的直觀圖；

（3）了解柱、錐、臺、球表面積和體積的計算公式，并能計算一些簡單組合體的表面積和體積；

（4）理解并掌握平行關系和垂直關系的判斷和性質（重點）；

（5）能利用公理和基本定理證明簡單的幾何命題（重點）．

2.2過程目標

（1）培養和發展學生的空間想象力與幾何直觀能力．

新課程立體幾何初步新增加了三視圖以及與實物圖之間的轉換．新增這些內容的目的就是為了讓學生更好的認識我們所生活的這個三維空間，能夠準確地描述現實世界與圖形之間的關系，能從課本還原到現實，來解決生活、生產中的各種問題，發展學生對數學知識的應用意識．例如，平行關系和垂直關系中都是從生活中的平行或垂直關系出發，引入新課，進而進行探究，最后回到生活中來解決實際問題．此外，教師也應注重學生畫圖能力的培養，特別是立體圖形直觀圖的畫法．良好的空間想象能力是學生應該具備的基本數學素養，對于學生更好的生存與發展具有重要意義．

（2）培養學生自主的合情推理與演繹推理能力．

《標準》在立體幾何初步部分，要求學生首先通過觀察實物模型，空間幾何體等，直觀認識和理解空間圖形的性質以及點、線、面的位置關系，并用數學語言進行表述．這種由一般到特殊，從具體到抽象的推理、歸納、并抽象的過程更易于學生的理論創新．而以往的教材只注重知識的強化和變式應用來鍛煉學生的邏輯推理能力，卻忽略了知識的發現過程和呈現方式．新課程強調數學的本質，強調數學思維品質的培養．我們可以適當弱化演繹推理，更多地強調從具體情境或前提出發，進行合情推理，轉向更全面的教育價值．

2.3情感目標

舊教材將內容去頭去尾燒中段呈現給學生，學生既不知道知識“從哪里來，又不知道到哪里去？”，新課程通過直觀感知、操作確認，獲得幾何圖形的性質，這需要學生從身邊的幾何實體出發，動手做一做去猜想和驗證一些命題．體驗定理完整的探究過程，讓學生感受到了概念的發是自然形成的，而不是數學家發明出來強加于人的、無用的．

3．知識結構與教學安排

3.1知識結構

3.2課時安排

§1.1簡單旋轉體

§1.2簡單多面體

§2直觀圖約1課時

§3.1簡單組合體的三視圖約1課時

§3.2由三視圖還原成實物圖約1課時

§4.1空間圖形的基本關系的認識約1課時

§4.2空間圖形的公理約2課時

§5.1平行關系的判定約1課時

§5.2平行關系的性質約2課時

§6.1垂直關系的判定約2課時

§6.2垂直關系的性質約1課時

§7.1簡單幾何體的側面積約1課時

§7.2棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積約1課時

§7.3球的表面積和體積約1課時共1課時

4．教學重難點

4.1教學重點

（1）空間中點、線、面的位置關系

立體幾何初步要求借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，以空間幾何的上述定義和公理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中平行和垂直關系的判定和性質．

（2）三種數學語言：自然語言、圖形語言、和符號語言的轉化

數學擁有多種語言，這是區別于其他學科的典型特征．學生要學會從圖形入手，有序地建立圖形、文字、和符號這三種語言之間的聯系．特別是在公理或定理教學中，要同時使用三種語言進行描述．培養符號語言的圖象化事實上培養了直覺思維的發展，使文字語言符號化培養了思維的邏輯性，文字語言數學化培養了學生的數學應用意識．

4.2教學難點

（1）三視圖的認識

三視圖屬于新課程新增內容，在三視圖的教學中，組合體的三視圖和依據三視圖判別幾何體是教學的難點．特別是對于三視圖還原為實物圖，教師可以實物為對象，如先畫出一幅主視圖，讓學生用蘿卜切出滿足主視圖的幾何體，滿足條件的幾何體可能有很多，教師可以繼續限制幾何體的左視圖，學生繼續修改幾何體，循序漸進，最后發展通過三視圖來切幾何體的能力，這個過程對培養學生的空間想象能力至關重要．本節課的教學需要學生動手操作，教師可借此節課培養學生對立體幾何的興趣．

（2）立體幾何的證明

標準對立體幾何內容是分層設計的．因此，立體幾何中的證明也要分層，不能一步到位．本章學習了4條公理，4條判定定理，四條性質定理和1條從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理，標準只要求對于四個性質定理用綜合幾何的方法加以證明．對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明．所以利用幾何直觀證明是我們培養的重點，要相應弱化形式證明．我們所要求的證明應該是較為簡單的命題，即能用定理進行簡單推理，而非強調技巧的證明．此處所應用的反證法又是一難點，教師可以逐步引導學生去理解應用．

（3）培養學生形成空間想象能力和幾何直觀能力（重難點）

5.教學建議

（1）站在全局的角度了解學生，把握新課的定位．

新課改已經由義務教育到高中教育全面推行，很多高中老師卻只關心高中的課標變化，而忽略了學生在初中的幾何基礎，學生學習最重要的因素就是學生已經知道了什么，這樣才能了解學生的最近發展區，對學生提出適度的要求，以免造成學生過重的負擔或浪費他們的能力．只有立足整體，通過聯系初中平面幾何中的知識，將其在三維空間中進行推廣或演變，將前后知識連結為整體，增強學生知識的系統性．

（2）主次分明，對于課標不要求的點到為止．

本章的重點在第三節到第六節，簡單幾何體的體積、球的體積和表面積，根據課標要求只需了解公式．在教這一節時，我們只要求學生初步了解公式導出過程中所隱含的數學思想方法，并不要求理解其證明過程．

（3）書中有的旁白是對定義的補充，有的是方法指導，教師不得忽略，要做適當的講解．