第一篇：高中立體幾何證明平行的專題

高中立體幾何證明平行的專題(基本方法)

一、利用三角形及一邊的平行線?a.利用中位線?

?b.利用對應線段成比例

（a）、利用中位線

例

1、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中點。求證： PA ∥平面BDE

例

2、如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，D為AC的中點.求證AB1//平面BC1D

例

3、在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=

練習

1、ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中點。求證：BD1//平面C1DE1DC，E為PD中點.求證：AE∥平面PBC；

2練習

2、在三棱柱ABC?A1B//平面ADC1； 1B1C1中，D為BC中點.求證：A

B

1B

C1

練習

3、如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形, BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E為PC的中點,證明: EB//平面PAD;

練習

4、如圖所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中點，試判斷A1B與平面ADC1的位置關系，并證明你的結論.（b)、利用對應線段成比例

例

4、如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點，M、N分別是SA、BD上的點，且

SDC

AMBN

=，求證：MN∥平面SMND

例

5、在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分別是AD1、BD上的點，且AP=BQ，求證：PQ∥平面DCC1D1。

1A

A

二、利用平行四邊形的性質

例6．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F 分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面PCE；

例

7、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，求證：FG∥面BCD；

例

8、正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證： D1O//平面A1BC1;

例

9、在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=

DC，E為PD中點.求證：AE∥平面PBC

2練習

5、四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點，求證：MN∥平面

PAD；

練習

6、如圖，在正方體ABCD——A1B1C1D1中，O是底面ABCD對角線的交點.求證：C1O//平面AD1B1.練習

7、已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F分別是

AB、PD的中點．求證：AF//平面PEC

P

A

E

B

C

練習

8、在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是CC1，AB的中點．求證：CN //平面AB1M．

C

1A1

M

B1

C

A

B

3利用平行線的傳遞性

例

10、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點，M為BE的中點, AC⊥BE.求證：C1D∥平面B1FM.F

A

1D

A

練習

9、三棱柱ABC—A1B1C1中，若D為BB1上一點，M為AB的中點，N為BC的中點.求證：MN∥平面A1C1D；

4利用面面平行

例

11、如圖，三棱錐P?ABC中，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF?2FP.求證：CM//平面BEF；

第二篇：高中立體幾何證明平行的專題訓練

1． 如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面PCE；

2、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（1）求證：求證：FG∥面BCD；

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點，M為BE的中點, AC⊥BE.求證： C1D∥平面B1FM.4、如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形,FAD

A

1BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E為PC的中點, 證明:

EB//平面PAD;

5、如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中點。求證： PA ∥平面BDE

6．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，D為AC的中點.求證：AB1//面BDC1；

7．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證： D1O//平面A1BC1;

8、在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=求證：AE∥平面PBC；

9、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

10、S是平行四邊形ABCD平面外一點，M、N分別是SA、BD上的點，且MN∥平面SDC11、如圖，三棱錐P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90，PB=BC=CA，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且

?

DC，E為PD中點.AMSM

=

BNND，求證：

AF?2F

P

.求證：CM//平面BEF；

第三篇：高中立體幾何證明平行的專題訓練)

高中立體幾何證明平行的專題訓練

深圳市龍崗區東升學校——羅虎勝

立體幾何中證明線面平行或面面平行都可轉化為 線線平行，而證明線線平行一般有以下的一些方法：（1）通過“平移”。

（2）利用三角形中位線的性質。（3）利用平行四邊形的性質。（4）利用對應線段成比例。（5）利用面面平行，等等。

(1)通過“平移”再利用平行四邊形的性質

1．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中點G，連EG.，FG，則易證AEGF是平行四邊形

（第1題圖）

2、如圖，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求證：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求證：FG∥面BCD；

分析：取DB的中點H，連GH,HC則易證FGHC是平行四邊形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分別為AA1, CC1, AB的中點，M為BE的中點, AC⊥BE.求證：

（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM.分析：連EA，易證C1EAD是平行四邊形，于是MF//EA

AD

BA14、如圖所示, 四棱錐P?ABCD底面是直角梯形, BA?AD,CD?AD,CD=2AB, E為PC的中點, 證明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中點F，連EF,AF則易證ABEF是

平行四邊形

(2)利用三角形中位線的性質

5、如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱AD、CD、BD、BC的中點，求證：

AM∥平面EFG。

分析：連

MD交GF于H，易證EH是△AMD的中位線

6、如圖，ABCD是正方形，O

是正方形的中心，E是

PC的中點。求證： PA ∥平面BDE

7．如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，D為AC的中點.求證：AB1//面BDC1；

分析：連B1C交BC1于點E，易證ED是

△B1AC的中位線

2128、如圖，平面ABEF?平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，?BAD??FAB?90,BC

//?

AD，BE

//?

AF，G,H分別為FA,FD的中點

（Ⅰ）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（Ⅱ）C,D,F,E四點是否共面？為什么？

（.3）

利用平行四邊形的性質

9．正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證： D1O//平面A1BC1;

分析：連D1B1交A1C1于O1點，易證四邊形OBB1O1 是平行四邊形

10、在四棱錐P-ABCD

中，AB∥CD，AB=求證：AE∥平面PBC；

DC，E為PD

2分析：取PC的中點F，連EF則易證ABFE 是平行四邊形

11、在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是線段ＡＤ的中點，求證：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）證法一：

因為EF//AB，FG//BC，EG//AC，?ACB?90?，所以?EGF?90?,?ABC∽?EFG.由于AB=2EF，因此，BC=2FC，連接AF，由于FG//BC，FG?

12BC

在?ABCD中，M是線段AD的中點，則AM//BC，且AM?BC

因此FG//AM且FG=AM，所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM//FA。又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用對應線段成比例

12、如圖：S是平行四邊形ABCD平面外一點，M、N分別是SA、BD上的點，且求證：MN∥平面SDC

分析：過M作ME//AD，過N作NF//AD 利用相似比易證MNFE是平行四邊形

13、如圖正方形ABCD與ABEF交于AB，M，N證：MN∥平面BEC

AMSM

=

BNND，分析：過M作MG//AB，過N作NH/AB 利用相似比易證MNHG是平行四邊形

（6）利用面面平行

14、如圖，三棱錐P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90?，PB=BC=CA，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF?2FP.（1）求證：BE?平面PAC；（2）求證：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中點N，連CN、MN，易證平面

CMN//EFB

第四篇：高中立體幾何證明方法

高中立體幾何

一、平行與垂直關系的論證

由判定定理和性質定理構成一套完整的定理體系，在應用中：低一級位置關系判定高一級位置關系；高一級位置關系推出低一級位置關系，前者是判定定理，后者是性質定理。1.線線、線面、面面平行關系的轉化：

面面平行性質

?//?

????a,???

???a?b?

//b)

線面平行性質

?//???//??

??

a???

????b??

a//??a//b

?//??

a???

?

?

??//?

?a//?

2.線線、線面、面面垂直關系的轉化：

在?內射影a??

則a?OA?a?POa?PO?a?AO

l??

線面垂直定義

???

?

?a?

??

?l?a

??

????b??a?? a??,a?b??

?????????

?

?

??a?? ?a??

面面垂直定義

????l，且二面角??l???

成直二面角

?????

?

3.平行與垂直關系的轉化：

a//b?a??

a???

a

??b???

a???

???

//?

面面平行判定2 面面平行性質

3a???b???

??a//b

?//??a??

?a???

4.應用以上“轉化”的基本思路——“由求證想判定，由已知想性質。”5.唯一性結論：

二、三類角

1.三類角的定義：

（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°（??0?時，b∥?或b

??）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2.三類角的求法：轉化為平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有關的角；（2）證明其符合定義；（3）指出所求作的角；（4）計算大小。

（三）空間距離：求點到直線的距離，經常應用三垂線定理作出點到直線的垂線，然后在相關三角形中求解。求點到面的距離，一般找出（或作出）過此點與已知平面垂直的平面利用面面垂直的性質求之也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離，直線與平面的距離，面面距離都可轉化為點到面的距離。

第五篇：立體幾何的平行與證明問題

立體幾何

1．知識網絡

一、經典例題剖析

考點一 點線面的位置關系

1、設l是直線,a,β是兩個不同的平面（）

A．若l∥a,l∥β,則a∥β B．若l∥a,l⊥β,則a⊥β

C．若a⊥β,l⊥a,則l⊥β D．若a⊥β, l∥a,則l⊥β

2、下列命題正確的是（）

A．若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行

B．若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行

C．若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行

D．若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行

3、已知空間三條直線l、m、n.若l與m異面,且l與n異面,則（）

A．m與n異面.B．m與n相交.C．m與n平行.D．m與n異面、相交、平行均有可能.4、（2013年高考江西卷（文15））如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB//CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數為

_____________.D

1CB

考點二證明平行關系

5、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，D C

BDE。求證： AC1//平面

6、（2013年高考陜西卷（文））如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O

為底面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?

A

(Ⅰ)證明: A1BD //平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.考點三證明垂直問題

7、（2013年高考遼寧卷（文））

如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點.(I)求證:BC?平面PAC；

(II)設Q為PA的中點，G為?AOC的重心，求證：QG//平面PBC.8、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對角線的交點.D1AD

BBC

1求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1．1

C

綜合練習：

9、（2013年高考廣東卷（文））如圖4,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC

邊上的點,AD?AE,F是BC的中點,AF與DE交于點G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐A?BCF,其中BC?

.(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;

圖

410、如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=證明：PQ⊥平面DCQ；

PD．

2AC?平面B'D'DB；BD'

?平面ACB'.11、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）（2）