第一篇：李嘉圖等價定理論文

一、舉債與征稅：凱恩斯主義

凱恩斯主義認為，政府通過舉債或者征稅進行融資的效應是不同。舉債而不是減稅意味著消費者可支配收入的相對增加。一方面，國債購買者持有的國債可以作為支付手段使用，購買債券并不影響其生產或消費；另一方面，在舉債額與征稅額相等條件下，稅收負擔在即期完成，而因為舉債而增加稅收負擔分攤于債券存續期的若干年內。因此消費者可支配收入相對增加。于是增加消費，并產生擴張效應。稅收則直接減少消費者可支配收入，于是減少消費。因此對國民經濟有收縮作用。

理性預期學派利用李嘉圖關于通過舉債或征收一次性稅收籌措經費對生產或消費具有相同效應的闡述，企圖證明財政政策的無效性。

二、李嘉圖等價:初始思想

李嘉圖的有關理論來自當時關于如何償還英國債務的爭論。英國在英法戰爭中借了大量債務，戰后英國議會對如何償還債務發生了爭論。一派認為應該提高稅收，用稅收償還債務；另一派認為征收高稅對經濟發展不利，應該發行債券償還債務。李嘉圖認為，這兩種做法對經濟的影響是一樣的。李嘉圖在《政治經濟學及賦稅原理》第十七章《農產品以外的其他商品稅》中表述了如下思想：政府為籌措戰爭或其他經費，采用征稅還是發行公債的影響是等價的。這是“李嘉圖等價”思想的來源。

“一個國家為籌劃戰爭經費或政府一般開支而課征的稅，以及主要用來維持非生產性勞動者的稅，都是從該國的生產性勞動中取得的。這種開支每有節省，即使不是增加到納稅人的資本之中，一般也會增加到他們的收入當中。如果為了一年的戰費支出而以發行公債的辦法征集二千萬鎊，這就是從國家的生產資本中取去了二千萬鎊。每年為償付這種公債利息而征課的一百萬鎊，只不過是由付這一百萬鎊的人手中轉移到收這一百萬鎊的人手中，也就是由納稅人手中轉移到公債債權人手中。實際開支的是那二千萬鎊，而不是為那兩千萬必須支付的利息。付不付利息都不會使國家增富或變窮。政府可以通過賦稅的方式一次征收二千萬鎊；在這種情形下，就不必每年征課一百萬鎊。但這樣并不會改變這一唯一的性質。”

李嘉圖的表述包含以下內容：其一，在政府籌措財政經費中，無論征稅還是舉債，都使生產資本同樣減少2000萬英鎊；其二，為公債支付利息不會使國民財富增加或減少；“公債只是右手欠左手的債，不會損害身體。” 其三，無論征稅還是舉債，都減少了居民的消費支出。

其實，在征稅還是舉債以籌措政府經費的選擇上，李嘉圖明顯傾向于征稅而反對舉債。在他看來，舉債“這種辦法會使我們不知節儉，使我們不明白自己的真實處境。” 如果戰爭經費4000萬英鎊，征稅的話每人每年繳納100英鎊，他會從收入中節省下來。戰爭結束，課稅就結束。如果舉債，每年只付利息5鎊，人們會認為自己和以前一樣富足。本來可以節約4000萬鎊，現在只節約了200萬鎊。這樣，生產資本的損失就不僅僅是4000萬鎊，而是還要加上3800萬鎊。而且，在舉債的情況下，還會導致資金外流，“終至使攜資外遷、另覓可以免除這種負擔的國家的念頭變得難以抗拒。”

三、巴羅：一個闡述

巴羅（Robert Barro）在其1974年發表地《政府債券是凈財富嗎?》一文中，用現代經濟學理論對李嘉圖的上述思想進行重新闡述。

巴羅提出，在一個跨時新古典增長模型中，在特定假設（例如完備的資本市場、一次總付稅、代際利他和債券增長不能超越經濟增長）下，如果公眾是理性預期的，那么不管是債券融資還是稅收融資，政府所采用的融資方式并不會影響經濟中的消費、投資、產出和利率水平。原因是當政府為彌補赤字而發行債券時，具有理性預期的公眾明白債券變現最終還是要靠增稅來完成，即現期債券相當于未來稅收，政府債券融資只不過是移動了增稅的時間。而且，消費者具有“利他主義”的遺產動機，即他不僅從自己的消費中獲得效用，而且從子女的消費中獲得效用；他不僅關心自己的消費，也會間接關心子女的消費。盡管舉債具有的減稅效應使消費者收入增加，但在理性地預期到將來稅收將增加從而子女消費水平將收到不利影響時，消費者就不會因為現行收入的增加而增加消費。消費者不會將政府發行公債融資引起的財政擴張及收入增加看作是幸運的意外收獲，他們寧愿將一部分收入儲蓄起來以支付未來（甚至子女）的稅收負擔，因此消費需求不會上升，更不會出現消費支出的乘數效應。

巴羅提出“李嘉圖等價定理”實際上是為了證明財政政策的無效性。巴羅提出的這一命題激起了整整一代經濟學家持續的考察、攻擊和驗證，他在1974年那篇論文是迄今為止被引用最多的經濟學文獻之一。

四、莫迪利阿尼、托賓和曼昆：質疑和反對

巴羅假說一提出就遭到新古典綜合派和新凱恩斯主義的質疑和批評。對李嘉圖等價定理的疑問之一就是人們是否有動機為超出生命界限的未來增稅因素而儲蓄。莫迪利阿尼（Modiligani）在有限期界理論中提出，人們并不關心生命以外的事情，因此，由于發債帶來的減稅效應會帶來消費需求的增加，這樣，民間儲蓄在這種情況下的增加就不足以抵補政府儲蓄的減少，所以總儲蓄下降，即使消費需求增加能夠刺激短期經濟增長，但總儲蓄下降也會影響長期經濟增長。

托賓（Tobin）也認為李嘉圖等價定理限制條件太多，與現實不符。托賓認為國債發行引起的納稅相對減少會減輕人們的即期預算約束，相對增加的收入不會完全用于增加遺產形式的儲蓄，消費的增加是顯然的。與此同時，國債發行也能夠吸收私人儲蓄，也就能夠對總需求產生影響。特別是當經濟處于非充分就業狀態時，民間投資小于民間儲蓄，則產生民間儲蓄剩余，這時就有必要通過政府發債吸收民間儲蓄剩余，并通過政府投資的增加保持總投資率的穩定甚至上升。因此，以國債融資支持的政府支出對經濟的穩定增長是有利的。

曼昆（Gregory Mankiw）從消費者的短視、借債約束和代際財富在分配三個角度分析了李嘉圖等價定理不成立的原因。

1，短視。“李嘉圖等價”的贊成者認為，人們在作出消費和儲蓄決策時具有充分的知識和先見之明，即人們的決策行為是建立在理性基礎上的。因此，理性的消費者能夠預見現在政府舉債意味著將來要增加稅收。

曼昆認為，人的理性是有限的，甚至，人們在作出消費和儲蓄決策時是短視的。人們往往是依據將來稅收與現在稅收相同的假設采取行動，而不會考慮現在的財政政策會引起將來稅收的變化。因此，債務融資的減稅效應將導致人們誤以為永久收入增加（其實并沒有增加），從而導致其增加消費。

2，借債約束。“李嘉圖等價”的贊成者認為，消費不僅取決于當前收入，更重要的是取決于永久收入（包括當前收入和預期收入）。因此債務融資的減稅會增加當前收入，但永久收入不變，從而消費不變。

曼昆認為，永久收入假說是靠不住的，因為某些消費者面臨著借債約束，無法顧及永久收入問題。對這樣的消費者，當前收入具有重要意義。是當前收入而不是永久收入決定其消費。債務融資的減稅增加當前收入，從而增加消費。

3，代際財富在分配。“李嘉圖等價”的贊成者認為，消費者具有利他主義的行為傾向，不僅從自己消費中而且從子女消費中得到效用，不僅關心自己的消費而且關心子女的消費。對減稅后的增稅預期使消費者對增加儲蓄而不是消費以應對將來（甚至子女）的稅收負擔。

曼昆認為，人們所具有的是普遍的利己主義行為動機。舉債導致將來稅收的增加會落在下一代人身上。舉債代表一種財富的轉移，從下一代人向當代人的轉移。當代人會以下一代人消費減少為代價而增加自己的消費。

對“李嘉圖等價定理”有效性的爭論仍然在持續著，還看不到哪一方的觀點更具有說服力。對它的爭論就像“宏觀經濟政策是否有效”甚至“是否存在宏觀經濟學”一樣引人入勝。

第二篇：李嘉圖《政治經濟學及賦稅原理》讀書筆記

政治經濟學及賦稅原理讀書筆記

全書分為32章，每章都好像一篇篇獨立的論文并沒有嚴密的邏輯性，似乎大多沿襲了亞當.斯密的觀點，但也不乏作者自己獨特的見解。前兩章主要是對基本原理的闡述，后面的主要內容有分配理論、自由貿易理論、賦稅理論、經濟發展理論等。

李嘉圖最先明確的就是勞動價值論，認為商品的價值取決于生產必需的相對勞動量，這也是他全書的理論基礎。在詳細論述這個觀點時，勞動衡量的標準是勞動時間，同時根據勞動者的相對熟練程度和勞動強度來確定，可以分為簡單勞動和復雜勞動，附加在商品上的價值是由直接勞動和間接勞動共同作用的。認為商品價值的源泉有兩個，一個是稀缺性，另一個是勞動量，前者的商品價值大小由消費者的購買力和喜歡程度決定，后者與投入的勞動量成正比。

他的分配理論認為，地租、工資、利潤分別為地主、工人和資本家所獲得，三者共同瓜分勞動創造的價值，他們之間的關系是對立、此消彼長的。地租是由土地的有限性、肥沃程度和位置遠近產生的，決定于最差土地與最優土地產出量的差額（即級差地租）。因為隨著人口的增長，對農產品需求也增加，就會擴大對土地的需求，拉大土地等級獲得更多的地租，所以地租的趨勢是增長的。工資是對工人勞動的報酬，決定于工人必要的生活資料價值，通過區分自然價格和市場價格（由供給決定）來說明兩者在人口繁殖的自動調節下變動相一致的趨勢。工資的趨勢是上升的，因為隨著人口的增加，生活必需品的價格上升，導致工資上升。利潤是勞動創造價值中扣除地租和工資

剩下的那部分，由于后兩者的上升，利潤的趨勢是會下降的。

李嘉圖主張對外自由貿易，這樣能夠擴大利潤，保障整體的利益。其中的相對優勢原理打破了斯密的絕對優勢學說，通過對英國和葡萄牙制造的毛呢和葡萄酒的例子來論證了“兩利相權取其重，兩弊相權取其輕”的原理。

他的賦稅內容幾乎占了全書的1/3以上的篇幅，其中認為稅是一個國家和勞動的產品中由政府支配的部分，最終是由資本或收入中支出的。其中農產品稅是由消費者從提高的價格中支出的，地租稅完全又地主負擔，對土地稅、黃金稅、利潤稅等一一進行了論述。雖然承認稅收有存在的必要，但會對資本的積累和生產發展有阻礙作用，主張不要征收落在資本上的稅。

還有一些是關于經濟發展的理論，如承認局部性的生產過剩，但通過調節是不會有普遍生產過剩的可能性；資本積累是經濟發展的基本條件，可以通過增加利潤和減少非生產性消費來滿足；將國家收入分為了總收入和純收入，以純收入為標準來劃分工資；論機器中承認機器的使用會代替勞動，引起人口過剩，工人階段的生活狀況將會惡化等。李嘉圖作為資產階級的代表，其理論有很大一部分是維護資產階級利益的，所以在成就背后就有了一定的局限性。

有一個一直困擾我的問題是，為什么認為李嘉圖的資本與勞動的交換不符合他的價值規律呢？根據他創建的理論體系應該是符合的。因為一件產品出來，資本家定會有預先付出的成本（如工具、預付的租金、廠房等），不然勞動者定會選擇自己生產商品，不會甘心被雇

傭而沒法獲得其勞動應得的全部價值。這樣的話，產品的價值中不就有一部分是資本家的報酬了嗎？而不是新創造的價值都是由工人付出勞動得到的。如果撇開這個問題，馬克思給出的解決方法是區分了勞動和勞動力，勞動能力是由勞動這段時間內維持工人及其家人生活所必需的生活資料價值衡量的，勞動是工人一生的所需生活資料價值衡量的，但這又與解決上述問題有什么聯系呢？

第三篇：三角函數、極限、等價無窮小公式

三角函數公式整合：

兩角和公式

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB 

cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化積

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差

sinαsinβ =-1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]

誘導公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

萬能公式

1.極限的概念

（1）數列的極限：???0，?N（正整數），當n?N時，恒有xn?A??

n??limxn?A 或 xn?A(n??)

幾何意義：在(A??,A??)之外，?xn?至多有有限個點x1,x2,?,xN

（2）函數的極限

x??的極限：???0，?X?0，當x?X時，恒有f(x)?A??

limf(x)?A 或 f(x)?A(x??)

x??幾何意義：在（?X?x?X)之外，f(x)的值總在(A??,A??)之間。

x?x0的極限：???0，???0，當0?x?x0??時，恒有f(x)?A??

x?x0limf(x)?A 或 f(x)?A(x?x0)

幾何意義：在x?(x0??,x0)?(x0,x0??)鄰域內，f(x)的值總在(A??,A??)之間。

（3）左右極限

左極限：???0，???0，當x0???x?x0時，恒有f(x)?A??

?x?x0limf(x)?A 或 f?(x0)?f(x0?0)?A

右極限：???0，???0，當x0?x?x0??時，恒有f(x)?A??

?x?x0limf(x)?A 或 f?(x0)?f(x0?0)?A

x?x0f(x)?A?lim?f(x)極限存在的充要條件：lim?x?x0（4）極限的性質

唯一性：若limf(x)?A，則A唯一

x?x0保號性：若limf(x)?A，則在x0的某鄰域內

x?x0A?0(A?0)? f(x)?0(f(x)?0)；f(x)?0(f(x)?0)? A?0(A?0)

有界性：若limf(x)?A，則在x0的某鄰域內，f(x)有界

x?x02.無窮小與無窮大

（1）定義：以0為極限的變量稱無窮小量；以?為極限的變量稱無窮大量；同一極限 過程中，無窮小（除0外）的倒數為無窮大；無窮大的倒數為無窮小。

注意： 0是無窮小量；無窮大量必是無界變量，但無界變量未必是無窮大量。例如當x??時，xsinx是無界變量，但不是無窮大量。

（2）性質：有限個無窮小的和、積仍為無窮小；無窮小與有界量的積仍為無窮小；x?x0limf(x)?A成立的充要條件是f(x)?A??（x?(x0??,x0??)，lim??0）

（3）無窮小的比較（設 lim??0，lim??0）： 若lim?則稱?是比?高階的無窮小，記為o(?)；特別?稱為??????o(?)?0，?的主部

???，則稱?是比?低階的無窮小； ??若lim?C，則稱?與?是同階無窮小；

??若lim?1，則稱?與?是等價無窮小，記為?~?；

??若limk?C，（C?0,k?0）則稱?為?的k階無窮小；

?若lim（4）無窮大的比較： 若limu??，limv??，且lim無窮大，記為o1(v)；特別u稱為u?v?o1(v)?v的主部

3.等價無窮小的替換

u??，則稱u是比v高階的v若同一極限過程的無窮小量?~??，?~??，且lim??存在，則 ??lim?f(x)??f(x)?lim?g(x)??g(x)???121?cos?~???2???1?1???1~???2 ?~? ?1??1??(1??)n?1~?n????a??1~?lna????????常用等價無窮小??(lim??0)??????sin?tan?arcsin?arctan?ln(1??)e??11???1??注意：（1）無論極限過程，只要極限過程中方框內是相同的無窮小就可替換；

（2）無窮小的替換一般只用在乘除情形，不用在加減情形；

（3）等價無窮小的替換對復合函數的情形仍實用，即

若limf(?)?f(0)，?~??，則f(?)~f(??)

4.極限運算法則（設 limf(x)?A，limg(x)?B）（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B（2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B

特別地，lim?Cf(x)??Climf(x)，lim?f(x)???limf(x)??An

nn（3）limf(x)limf(x)A??(B?0)g(x)limg(x)B5.準則與公式（lim??0，lim??0）準則1：（夾逼定理）若?(x)?f(x)??(x)，則

lim?(x)?lim?(x)?A ? limf(x)?A

準則2：（單調有界數列必有極限）

若?xn?單調，且xn?M（M?0），則limxn存在（?xn?收斂）

n??準則3：（主部原則）

lim??o(?)o(?)??o(?)??lim； lim111?lim11

?2?o1(?2)o1(?2)??o(?)?公式1： limsin?sinx? 1?1

? limx?0x?1??xlim(1?x)???x?0?公式2： ???e

?

1?lim(1?)n??n??n????1???lim(??1?lim(?1???1??)????e

??)??公式3： lim(1??)??elim???，一般地，lim(1??)f?elim??f

?0?anxn?an?1xn?1???a0anxn?an公式4：lim?lim??m?1x??bxm?bx??bxmx???bmm?10m?bm???6.幾個常用極限(a?0,a?1)（1）limnn?mn?m n?mn??a?1，limnn?1；（2）lim?xx?1，limxx???；

n??x?0x???（3）limex???，limex?0；（4）lim?lnx???； ??x?0x?0x?011?0q?11??lim?arctan???q?1x????0x2n（5）?；（6）limq??

n??q?1?limarctan1????1??x2?x?0??不存在q??1

第四篇：【論文提綱】等價無窮小函數求極限

等價無窮小函數求極限

1.緒論

1.1研究背景和意義

1.2研究現狀

1.3文章結構

2.基礎知識

2.1等價無窮小相關概念

2.2等價無窮小代換定理及證明

2.3等價無窮小代換定理推廣及證明

3.等價無窮小求函數極限應用及推廣

4.總結

第五篇：大學高等數學等價無窮小

這個問題很多人都搞不明白，很多自認為明白的人也不負責任地說一句“乘除可以，加減不行”，包括不少高校教師。其實這種講法是不對的！關鍵是要知道其中的道理，而不是記住結論。

1.做乘除法的時候一定可以替換，這個大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x)= lim u(x)/v(x)。關鍵要記住道理 lim f(x)/g(x)= lim f(x)/u(x)* u(x)/v(x)* v(x)/g(x)其中兩項的極限是1，所以就順利替換掉了。2.加減法的時候也可以替換！但是注意保留余項。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，這個是很多人說不能替換的原因，但是如果你這樣看：

f(x)～u(x)等價于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意這里是等號，所以一定是成立的！

問題就出在u(x)+g(x)可能因為相消變成高階的無窮小量，此時余項o(f(x))成為主導，所以不能忽略掉。當u(x)+g(x)的階沒有提高時，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替換的，因為 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等價無窮小量。但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此時發生了相消，余項o(x)成為了主導項。此時這個式子仍然是成立的！只不過用它來作為分子或分母的極限問題可能得到不定型而無法直接求出來而已。

碰到這種情況也不是說就不能替換，如果你換一個高階近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么

ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)這個和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意義的結果，此時余項o(x^2)可以忽略。也就是說用x-x^2/2作為ln(1+x)的等價無窮小量得到的結果更好。從上面的例子就可以看出來，余項很重要，不能直接扔掉，因為余項當中包含了一定的信息。而且只要保留余項，那么所做的就是恒等變換(注意上面我寫的都是等式)而不是近似，這種方法永遠是可行的，即使得到不定型也不可能得出錯誤的結論。等你學過帶余項的Taylor公式之后對這一點就會有更好的認識。

高數教了一段時間了，對于等價無窮小量代換法求極限為什么只能在乘除中使用，而不能在加減的情況下使用的條件感到有些疑惑，于是找了一些資料，仔細的研究了這個問題，整理如下：

等價無窮小的定義及常用的等價無窮小

無窮小量是指某變化過程中極限為0的變量。而等價無窮小量是指在某變化過程中比值極限為1的兩個無窮小量。

常用的等價無窮小有：

sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln(1+x)～x(x→0)

sin?x～tan?x～arctan?x～arcsin?x～ln?(1+x)～x(x→0)1?cosx～x22,1+x?????√n?1～xn(x→0)1?cos?x～x22,1+xn?1～xn(x→0)等價無窮小量在求極限問題中非常重要。恰當的使用等價無窮小量代換常常使極限問題大大簡化。但是有時卻不能使用等價無窮小量代換。

等價無窮小替換原理

定理1：設α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一變化過程中的無窮小量，且α～α1,β～β1α～α1,β～β1，若limαβlimαβ存在，則limαβ=limα1β1limαβ=limα1β1。

例1： limx→0ln(1+3x)sin2x.limx→0ln?(1+3x)sin?2x.解：

limx→0ln(1+3x)sin2x=limx→03x2x=32.limx→0ln?(1+3x)sin?2x=lim

x→03x2x=32.例2：

limx→0tanx?sinxx3.limx→0tan?x?sin?xx3.錯誤解法：

limx→0tanx?sinxx3=limx→0x?xx3=0.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0x

?xx3=0.正確解法：

limx→0tanx?sinxx3=limx→0sinx(1?cosx)x3?cosx=limx→01?cosxx2?cosx=limx→012cosx=12.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0sin?x(1?cos?x)x3?cos?x=limx→01?cos?xx2?cos?x=limx→012cos?x=12.從上面的解法可以看出，該題分子不能直接用等價無窮小量替代來做，下面我們分析產生錯誤的原因：等價無窮小之間本身一般并不相等，它們之間一般相差一個較它們高階的無窮小，由函數f(x)f(x)在點x=0x=0處的泰勒公式，即麥克勞林公式：

f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!x2+?+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!

x2+?+f(n)(0)n!xn+o(xn)很容易有：

tanx=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)tan?x=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)sinx=x+x33!+x55!+x77!+?+(?1)m?1x2m?1(2m?1)!+o(x2m?1).(x→0)sin?x=x+x33!+x55!+x77!+?+(?1)m?1x2m?1(2m?1)!+o(x2m?1).(x→0)由此可知，sin{x}與tan{x}相差一個較xx的三階無窮小，此三階無窮小與分母x3x3相比不可忽略，因為把上述結論代入原式得

limx→0tanx?sinxx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.limx→0tan?x?sin?xx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.由此，我們可以得出：加減情況下不能隨便使用等價無窮小。

下面我們給出一個在加減情況下使用等價無窮小的定理并加以證明。在這里我們只討論減的情況，因為我們知道加上一個數可以看成減去這個數的負數。為方便，首先說明下面的定理及推論中的無窮小量其自變量都是xx，其趨近過程都相同：x→0x→0，在有關的極限中都省去了極限的趨近過程。

定理2：設α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一變化過程中的無窮小量，且α～α1,β～β1α～α1,β～β1，則α?β～α1?β1α?β～α1?β1的充分必要條件是limαβ=k≠1limαβ=k≠1。

證明：

1°1°充分性：

α～α1,β～β1?limαα1=limββ1=1α～α1,β～β1?limαα1=limββ1=1

又

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1

則 limα?βα1?β1=limαβ1?ββ1α1β1?1=k?1k?1=1limα?βα1?β1=limαβ1?ββ

1α1β1?1=k?1k?1=1

即

α?β～α1–β1.α?β～α1–β1.2°2°必要性：

α～β,α1～β1?limα?βα1?β1=1α～β,α1～β1?limα?βα1?β1=1

即

lim(α?βα1?β1?1)=0lim(α?βα1?β1?1)=0

通分得

limα?α1α1?β1?limβ?β1α1?β1=0limα?α1α1?β1?limβ?β1α1?β1=0

所以

limαα1?11?βα1?lim1?ββ1α1β1?1=0limαα1?11?βα1?lim1?ββ1α1β1?1=0

又

limαα1=1,limββ1=1limαα1=1,limββ1=1

所以

lim01?βα1?lim0α1β1?1=0lim01?βα1?lim0α1β1?1=0

所以

limβ1α1=k≠1?limα1β1=k≠1limβ1α1=k≠1?limα1β1=k≠1

又

limαβ=limα1β1.limαβ=limα1β1.所以

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.由1°,2°1°,2°得，原命題成立。證畢。

這樣一來，就得到了差形式無窮小量等價代換的充要條件。例3：

limx→01?cosx+2sinxarcsin2x?sinx.limx→01?cos?x+2sin?xarcsin?2x

?sin?x.解：

1?cosx～x22,?2sinx～?2x,2arcsinx～2x,sinx～x(x→0)1?cos?x～x22,?2sin?x～?2x,2arcsin?x～2x,sin?x～x(x→0)所以

limx→01?cosx?2sinx=0≠1,limx→02arcsinxsinx=2≠1limx→01?cos?x?2sin?x=0≠1,limx→02arcsin?xsin?x=2≠1

由定理2得

limx→01?cosx+2sinxarcsin2x?sinx=limx→x22+2xx=2.limx→01?cos?x+2sin?xarcsin?2x?sin?x=limx→x22+2xx=2.例4：

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x.limx→0arctan?2x+arcsin?5xsin?3x.解：

arctan2x～2x,arcsin5x～5x,sin3x～3x(x→0)arctan?2x～2x,arcsin?5x

～5x,sin?3x～3x(x→0)又

limarctan2x?arcsin5x=?25≠1limarctan?2x?arcsin?5x=?25≠1

由定理2得

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x=2x+5x3x=73.limx→0arctan?2x+ar

csin?5xsin?3x=2x+5x3x=73.總結

本文指出，在有加減的情況下不能隨便運用等價無窮小代換求極限，并且指出了在有加減的情況下能夠使用等價無窮小代換的充分必要條件。對于不滿足條件的情況，根據給出的泰勒展開公式，可以求出。