第一篇：第五章定理小結

第五章定理小結

平行公理（即平行線的基本性質）

經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。由平行公理還可以得到一個推論——即平行線的基本性質二：

定理：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

平行線的判定

1．平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩條直線平行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。

2．平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么兩條直線平行。簡單說成：內錯角相等，兩直線平行。

3．平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。

簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行。

4．在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。平行線的性質

重點：平行線的三個性質定理。難點：性質定理的應用。熱點：應用平行線性質定理進行角度大小的換算。

1．平行線的性質

（1）公理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。可以簡述為：兩直線平行，同位角相等。

（2）定理：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。可以簡述為：兩直線平行，內錯角相等。

（3）定理：兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補。可以簡述為：兩直線平行，同旁內角互補。

2．平行線的性質小結：

（1）兩直線平行，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補。（2）垂直于兩平行線之一的直線，必垂直于另一條直線。（2）對頂角和鄰補角的概念

1′對頂角的概念有兩個：

① 兩條直線相交成四個角，其中有公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角；

② 一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角.實際上，兩條直線相交，其中不相鄰的兩個角就是對頂角，相鄰的角就是鄰補角.2 對頂角的性質：對頂角相等.3 互為鄰補角的兩個角一定互補，但兩個角互補不一定是互為鄰補角； 對頂角有一個公共頂點，沒有公共邊；鄰補角有一個公共頂點，有一個公共邊.垂線的性質：

1過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

2直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短，簡單說成：垂線段最短.5點到直線的距離定義：從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.

第二篇：七年級下冊定理小結

七年級下冊定理小結 過兩點有且只有一條直線兩點之間線段最短同角或等角的補角相等同角或等角的余角相等 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短 平行公理 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行同位角相等，兩直線平行內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內錯角相等兩直線平行，同旁內角互補 定理 三角形兩邊的和大于第三邊推論 三角形兩邊的差小于第三邊 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于180°推論1 直角三角形的兩個銳角互余 推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角全等三角形的對應邊、對應角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等邊邊邊公理(SSS)有三邊對應相等的兩個三角形全等 斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角）

推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）

推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合42 定理1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

定理 2 如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對

第一章：三角形的初步認識 主要性質：

（1）三角形任何兩邊的和大于第三邊。

（2）三角形三個內角的和等于180°。三角形的一個外角等于的它不相鄰的兩個內角的和。

（3）全等三角形的對應邊相等，對應角相等。

（4）有三邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；有一個角和夾這個角的兩邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；有兩個角和這兩個角的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“角邊角”或“ASA”）；有兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“角角邊”或“AAS”）

（5）線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

第二章：圖形和變換

主要性質

（1）對稱軸垂直平分連結兩個對稱點之間的線段，軸對稱變換不改變圖形的形狀和大小。

（2）平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向，并且連接對應點的線段平行而且相等。

（3）旋轉變換不改變圖形的大小和形狀，并且對應點到旋轉中心的距離都相等，對應點與旋轉中心連線所成的角度都等于旋轉的角度。

（4）相似變換不改變圖形中每一個角的大小；圖形中的每條線段都擴大（或縮小）相同的倍數。

第三章：事件的可能性

（1）在一定條件下必然發生的事件叫做必然事件；在一定條件下必然不會發生的事件叫做不可能事件；在一定條件下，可能發生也可能不發生的的事件稱為不確定事件（或隨機事件）

（2）在數學上，事件發生的可能性的大小也稱為事件發生的概率.必然事件發生的概率為1或100％，不可能事件發生的概率為0，若用P表示不確定事件發生的概率，則0＜P＜1 第四章：二元一次方程 含有兩個未知數，且含有未知數的項的次數都是一次的方程叫做二元一次方程，使二元一次方程兩邊的值相等的一對未知數的值，叫做二元一次方程的一個解。

由兩個一次方程組成，且含有兩個未知數的方程組，叫做二元一次方程組。同時滿足二元一次方程組中各個方程的解，叫做二元一次方程組的解。

基本思路

二元一次方程 消元 一元一次方程

應用方程組解決實際問題的步驟

理解問題（審題，搞清已知和未知，分析數量關系）

制訂計劃（考慮如何根據等量關系設元，列出方程組）

執行計劃（列出方程組并求解，得出答案）

回顧（檢查和反思解題過秤，檢驗答案的正確性以及是否符合題意）

主要方法和技能

用代入法和加減法解二元一次方程組

應用二元一次方程組解決簡單的實際問題

第五章 整數指數冪及其運算的基本法則

整式的乘法法則

單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式

單項式和多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每項，再把所得的積相加。

多項式和多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加

整式的除法法則 單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。

第六章

1.分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變。即

其中M是不等于零的整式。

2.分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

3.同分母的分式相加減，把分子相加減，分母不變。

4.同分母不相同的幾個分式，化成分母相同的分式，叫做通分。經過通分，異分母分式的加減就轉化成同分母分式的加減。

5.解分式方程必須驗根.把求得的根代入原方程，或代入原方程兩邊所乘的公分母，使分式為零的根，叫做增根，增根必須舍去。

第三篇：初中定理

初中幾何證明的依據

1.兩點連線中線段最短.2.同角（或等角）的余角相等.同角(或等角)的補角相等.對頂角相等.3.平面內經過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.4．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等,到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上．

5.兩直線平行，同位角相等．同位角相等，兩直線平行．

6.兩直線平行，內錯角相等(同旁內角互補)．內錯角相等(同旁內角互補)，兩直線平行．

7.經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行．

8.三角形的任意兩邊之和大于第三邊．三角形任意兩邊之差小于第三邊．

9.三角形的內角之和等于180°．三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和．三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角.10.三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半.11.全等三角形的對應邊、對應角分別相等.12.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等.兩角夾邊對應相等的兩個三角形全等.三邊對應相等的兩個三角形全等.有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.13.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.14.等腰三角形的兩底角相等(等邊對等角）.底邊上的高、中線及頂角的平分線三線合一.15.有兩個角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊）.等邊三角形的每個角都等于60°.三個角都相等的三角形是等邊三角形.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.16.有兩個角互余的三角形是直角三角形.如果三角形的一邊的平方等于另外兩邊的平方和,那么這個三角形是直角三角形.17.直角三角形的兩銳角互余,斜邊上的中線等于斜邊的一半.直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.18.n邊形的內角和等于(n-2)·180°;任意多邊形的外角和等于360°.19.平行四邊形的對邊相等、對角相等、兩對角線互相平分.20.一組對邊平行且相等,或兩條對角線互相平分,或兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.21.矩形的四個角都是直角,對角線相等.22.三個角是直角的四邊形,或對角線相等的平行四邊形是矩形.23.菱形的四邊相等,對角線互相垂直平分.24.四邊相等的四邊形,或對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.25.正方形具有菱形和矩形的性質.26.有一個角是直角的菱形是正方形.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.27.等腰梯形同一底邊上的兩底角相等,兩條對角線相等.28.在同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形.梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.

第四篇：成功定理

成功定理

定律十：成功的機會總是屬于那些擁有“永遠的正向思維”的人。

杯子里有半杯水。有人說：“還剩半杯水。”有人說：“只剩半杯水了。”一個是負向思維，一個是正向思維。沙子里混著金子。有人說：“金子里有沙子。”有人說：“沙子里有金子。” 一個是負向思維，一個是正向思維。

有些行業競爭無序。有人說：“競爭太混亂、太激烈，簡直沒法做。”有人說：“競爭無序說明大家的水平都不高，正是一統江山的大好時機。” 一個是負向思維，一個是正向思維。

所謂正向思維，就是當大家看到困難的時候，你一定要看到機會。抓住了機會，困難可能就消失了。因此，成功的機會總是屬于那些擁有“永遠的正向思維”的人。

成功者也有問題，但是他們的成功掩蓋了問題。我曾經問很多人：“好市場問題多還是差市場問題多？”有些人回答：“好市場銷量大，當然問題多。”我的回答是：“差市場的問題經常被拿來小題大做，以證明市場差是有原因。所以差市場不是問題本身多，而是提出的問題多。當你去做市場時，你是從抓機會入手還是從解決問題入手？”

定律十一：如果你是個幸運的“倒霉蛋”，那么你可能“被迫成功”。

生物學家的研究已經證明：動物在遇到危險時，才會做出超出極限的發揮。生物學家的結論是：成功屬于“倒霉蛋”。如果你總是遭遇“不幸”，比如總是分到最差的市場，享受的政策總是最差，那么，你在危急時刻超出正常能力的表現，可能使得你不得不成功。因此，面對不幸，不要總是抱怨，而要說：“讓我遇到不幸，真是太幸運了。”

定律十二：有效工作比勤奮工作更重要。

普通人說：“我盡力了，我沒閑著，我對得起這份薪水。”聰明的業務員每天這樣問自己：“我今天的工作對銷量持續增長有貢獻嗎？”如果一名業務員的工作對銷量持續增長沒貢獻，他的勤奮又有何用？很多人的勤奮只是因為做了太多無效的事。

我把人分為兩類：一類創造價值，另一類制造成本。勤奮工作也許只會制造成本，有效工作才會創造價值。對那些在市場風塵仆仆地跑市場的業務員，我經常評價他們只是“對中國交通事業做出了最偉大的貢獻”，對企業卻在是制造成本。

定律十三：擁有“常識”或許能讓你成為普羅大眾中的一員，擁有“常理”才能讓你脫穎而出。

常識就是“公共知識”，“1＋1＝2”就是常識。常識只是讓你成為正常人，不會產生競爭力。

產品賣不動怎么辦？降價、做廣告。只要是一個健全的正常人都會這么想，因為這是常識。如果營銷就是這么簡單，營銷還是一門學問嗎？

常識會讓你進入一個叫做“合成謬誤”的陷阱。下面這個故事就是“合成謬誤”：十個老翁相約喝酒，約定每人帶一壺酒，兌在一起喝。一個老翁想，如果其他人帶酒，我帶水，不就占便宜了嗎？那知大家把“酒”兌在一起時，他才知道其他老翁也是如法炮制。

最經典的合成謬誤就是“豐收悖論”：一個農民豐收了，收入會增加。當所有農民都豐收時，價格會下降，收入可能反而下降。合成謬誤反映在營銷上就是：率先做鋪貨的人成功了，大家都跟進時只是找齊了。率先做終端的人成功了，大家跟風時只是增加了成本而已……。你要成功，總得知道一點別人不知道的東西吧。有效的營銷辦法往往是“出乎意料之外，又在情理之中”，這要靠“常理”的推導。比如，一般人認為“消費者要買便宜的東西”，這是常識。而常理卻是“消費者要買占便宜的東西”。

定律十四：如果你不能獨立完成任務，一定要學會搬救兵。

搬救兵不丟人，完不成任務才丟人。我仔細琢磨《西游記》，發現一個驚人的現象：《西游記》中的妖怪，沒幾個是孫悟空打死的。每當孫悟空打不過妖怪時，他就騰云駕霧去搬救兵去了。現在，我不斷在各種場所傳播《西游記》告訴我們的一個道理：當員工，要學孫悟空會搬救兵。當領導，要學觀音在關鍵時刻出手當救兵。

誰是你的救兵？可以是你的上司、同事，也可以是你的朋友、恩師。

什么時候搬救兵？一定要到最關鍵的時候。救兵一出手，問題就解決了。

定律十五：如果你受過很多培訓仍然進步緩慢，不妨試試培訓別人。

接受培訓固然能讓你“站在巨人的肩膀上”，但培訓別人才能讓你成為巨人。接受培訓是效率最低的學習方式之一，而培訓別人才是效率最高的學習方式。

要讓別人聽明白，你必須比別人更明白。給聽眾一瓢，自己必須有一桶。為了在講臺上不出丑，你必須拼命查資料。還沒開講，你已經超越聽眾了。

順便提醒你一句：如果你想當領導的話，一定要先學會培訓別人。對于領導來說，培訓無處不在。開會是培訓，安排工作是培訓，檢查工作是培訓，總結是培訓……

定律十六：每隔三年，你就要全面一遍自己的知識系統。如果你覺得自己經驗越來越豐富，你就快完蛋了。在這樣一個快速變化的時代，當一種做法被總結成經驗時，就已經或正在過時。看一看幾年前營銷界的風云人物，還有幾個在風頭浪尖上？

隨時準備“清零”，快速更新自己的知識系統，是在營銷界混下去的不二法門。

定律十七：所謂職業生涯戰略，就是要做未來不后悔的事。

戰略不是不關心現在，而是讓現實的事具有未來意義。如果你不知道現在應該做什么，不妨采用倒推法，按照你對未來的期望，倒推現在應該做什么。

職場定律

定律十八：永遠不要說自己老東家和老上司的壞話，哪怕他們真的一無是處。

人們沒有心思關心你與老東家和老上司的恩怨，但會關心你對待老東家和老上司的態度。如果你不斷訴說著老東家和老上司的壞話，人們可能會在心里說：“他們怎么會瞎了眼找上你。”如果你對所有服務過的企業和上司都不滿意，人們可能還會想：“你怎么這么有眼無珠，總是找不到好企業？”

人性的弱點就是“高估自己，低估別人”，這是煩惱的根源。同時，人們還容易“低估自己服務的企業”，這是因為你更容易看到企業的陰暗面，而只看到其它企業的光明面。

定律十九：永遠不要給上司提問答題，要給上司提供選擇題。

上司之所以需要你，不是為了讓你給他出難題，而是為了讓你幫助解決難題。所以，千萬不要給上司提“怎么辦”之類的問答題，即使要征詢上司的意見，也要多提選擇題，表明你已經有選擇方案而不是不無所知。

定律二十：最好不要發牢騷，即使提意見也要保持“建設性心態”。

很多企業的銷售會都變成了業務員的牢騷會，常見的牢騷不外乎：“對手人質量比我們好，對手人價錢比我們低，對手的政策比我們優惠，對手的廣告力度比我們大。”遇到這種牢騷，如果上司回你一句“業務員的職責就是通過你的努力彌補產品的缺陷”，那已經夠寬容的了。把上司惹惱了，可能會這樣回答你：“如果我的產品、價格、廣告、政策都比對手好，還要你們干什么？”

老實說，牢騷是一種不健康心態，或者叫消極心態。上司通常喜歡建設性心態面對問題的人，建設性心態就是“正視現實，立足解決問題”。所以，遇到問題要多提建議，少發牢騷。

定律二十一：老板和上司是業務員最重要的資源。業務員要學會管理上司和總部職能部門。

沒有老板和上司的支持，你將一無所成。每個人的權限都是有限的，只有老板的權限是無限的。

很多業務員覺得老板最“摳門”，其實老板最大的困惑是錢花不出去。老板不怕花錢，就怕花出去的錢收不回來，投入沒有產出。所以，笨蛋的業務員向老板和上司申請政策時總是愛“哭窮”：“如果再不支持，市場就完了。”老板想的卻是：“支持？也許這是個無底洞。”聰明的業務員向老板和上司申請政策時總是說“該做的都做了，只要政策到位，市場立即啟動。”老板一看“萬事具備，只欠東風”，大筆一揮，政策立即就給了。

每次召開銷售會議，職能部門總是眾矢之的。業務員的批評似乎情有可原：“老子在前方打仗，你們在后方享福也就罷了，還不斷使絆子。”其實，越是這樣，職能部門越是不會支持。

定律二十二：要綜合評價自己的收入，并不斷創造收入增長空間。

GE前總裁曾經說過這樣的話：一個人的工作有兩項收入：一項是現在的收入，另一項是未來的收入。現在的收入是薪水，未來的收入是掙錢的本事。未來的收入比現實的收入更重要。

在基層崗位，收入的增長有極限。但當職務不斷提升時，收入的增長沒有極限。從這個意義上講，收入的增長比收入本身更重要。

業績定律

定律二十三：普通業務員把客戶視為上帝，優秀業務員讓客戶把他當財神供起來。

客戶之所以經銷或購買你的產品，是因為你能讓他的利益最大化。無論你如何小心飼候客戶，可能離客戶利益最大化的需求都相去甚遠。

你要讓客戶明白：讓你經銷我的產品，是給你賺錢的機會——我不是給你一個產品，而是送給你一個光明的未來。

你還要讓客戶明白：我們要么成為一個戰壕的戰友，要么成為同行對手——你愿意讓我成為你強勁的對手嗎？——如果你不經銷我的產品，你就去后悔吧。

如果你賣的是一枚雞蛋，那么雞蛋不值多少錢。但是，如果你賣的是一個“蛋生雞，雞生蛋”的養殖事業，一枚雞蛋就值錢了——值錢的不是那枚雞蛋，而是你對雞蛋的獨特認知。

定律二十四：只要幫助客戶把產品賣出去了，你的產品也隨之賣出去了。

業務員的任務不是解決你自己的問題，而是解決你的客戶的問題——因為客戶需要你，企業才需要你。如果不舉例說明，這句話好像沒說一樣，似乎有點繞舌。一名酒店老板正為生意不好發愁，一名酒店業務員恰好登門推銷，老板決定狠狠“宰一刀”，多收點進店費。哪知業務員根本不談推銷酒的事，話題一直圍繞著酒店的生意。老板聽后大受啟發，立即擺酒席請教業務員。當然，白酒進酒店的事不僅解決了，還因為酒店生意紅火擴大了白酒的銷量。

當業務員問我怎樣把產品賣給客戶時，我告訴他：“只要你幫助客戶把產品轉賣出去并賺了錢，你的產品就賣出去了。”當有人問我怎樣才能解決賒銷問題時，我同樣告訴他：“只要你幫助你的客戶解決了賒銷問題，客戶就會拿現金進你的貨。”

定律二十五：業績產生于機會，要做業績，先找機會。

在眾所周知的領域拼個你死我活，固然也有業績，但代價太大，不值得。我做業績，先要有足夠的洞察力發現別人沒有發現的機會，這就是所謂的藍海。

做業績就像打仗攻城一樣，打開一個缺口，整座城池都是你的了。而機會就是整座城池的缺口。

定律二十六：如果你的工作既能產生銷量，也能產生未來銷量，你的業績才會讓人追不上。

如果你的腦子里每天想的是如何完成當月的銷量任務，那么你的工作可能是透支未來銷量，你只會走下坡路。

如果你所做的是對銷量持續增長有貢獻的工作，每一項工作都能產生“增量”。每個月的銷量都會在上月基礎銷量基礎上不斷遞增。

最后的忠告：作為一名業務員，如果你不夠專業，你應該足夠聰明；如果你不夠聰明，應該足夠謙虛；如果你不夠謙虛，應該足夠勤奮；如果連勤奮也不夠，就不要干營銷。

第五篇：高中數學相關定理

2013年普通高等學校招生統一考試數學（文）復習資料2013.5.26

高中數學相關定理、公式及結論證明

（一）三角函數部分。

一、兩角和（差）的余弦公式證明。

內容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明：

①如圖（1），在單位圓中設P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）

②如圖（2），在單位圓中設P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）

二、兩角和（差）的正弦公式證明。

內容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?

證明：

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

三、兩角和（差）的正切公式證明。內容：tan(???)?

證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

四、半角公式證明。內容：sin

?2??

1?cos?,cos

?

2??

1?cos?,tan

?2

?

1?cos?1?cos?

?

2sin?1?cos?

?

1?cos?2sin?

??cos2??1?2sin?

證明：由二倍角公式? 2

??cos2??2cos??

1?2?cos??1?2sin???2

??用?代替2?，得?，得sin2

?cos??2cos2??1?2?

sin?cos

?cos?,cos

?2

??

?cos?

?2

tan

?2

sin?cos

?2

?2cos?2cos

?2

?2

?2

?2

?

2sin?1?cos?，tan

?2

sin?cos

?2

sin?cos

?2

?2sin?2sin

?2

?2

?2

?2

?

1?cos?2sin?

五、正弦定理證明。

內容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?

?

asinAbc,?

bsinB

?

csinC

.ac,sinB?

asinA

?

bsinB

?c，?C?90?,sinC?1.?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（3）

②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?

?C?bsinC??

?

2?B)?csinB,bsinB

?

csinC,同理

asinA

?

bsinB

?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（4）

③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，作AC??y軸于點C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?

?B?csinB?C?

?

?2)?bsinC,bsinBasinA

??

csinCbsinB,同理?

c

asinA

?

bsinB

?

sinC

.圖（5）

六、余弦定理證明。

?a2?b2?c2?2bccosA

?

2?ABC內容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則?b?a2?c2?2accosB

?222

c?a?b?2abcosC?

證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC

?(AC?AB)(AC?AB)

??2AC?AB?

?2

?2AC?ABcosA?2

?b?c?2bccosA圖（6）

222

??a?b?c?2bccosA

同理可證：?2 22

??c?a?b?2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

內容：如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任意一向量a，存在唯一一對 實數?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過平面內一點O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過點C分別作直 線OA和直線OB的平行線，交OA于點M，交OB于點N，有且只有一組實數，使

得OM??1OA,ON??2OB圖（7）

?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB

即a??1e1??2e2.二、共線向量定理。

內容：如圖（8），A,B,C為平面內的三點，且A,B不重合，點P為平面內任一點，若C在直線AB上，則有

PC??PA?(1??)PB

證明：由題意，BC與BA共線，?BC??BA

BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)

圖（8）

化簡為：PC??PA?(1??)PB

三、平行向量定理。

內容：若兩個向量（與坐標軸不平行）平行，則它們相應的坐標成比例；若兩個向量相對應的坐標成比例，則兩向量平行。

證明：設a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實數?使a??b，且由平面向量基本定理可知

x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②

①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0

若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標軸平行）則

x1y

1?x2y

2（三）立體幾何部分。

一、三垂線定理及其逆定理。

內容：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：如果平面內一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內的射影。

證明：已知：如圖（9），直線l與平面?相交與點A，l在?上的射影OA垂直于a,a??

求證：l⊥a

證明：過P作PO垂直于?

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l圖（9）

（四）解析幾何部分。

一、點到直線距離公式證明。

內容：已知直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).則其到直線l的距離為d?

Ax

?ByA

?C。

?B

證明：如圖（10），設直線l:Ax?By?C?0,直線外一點M(x0,y0).直線上一點P(x,y).可得直線的 一個方向向量為v?(?B,A),設其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?

?（AA

?B,A

B

?B)圖（10）

由題意，點M到直線的距離為PM在n0上的射影，所以，d???

A(x0?x)?B(y0?y)

A

?B

?

Ax

?By

0

2?(Ax?By)?B

②

A

因為點P(x,y)在直線上，所以C??(Ax?By)①

Ax

?ByA

所以，把①代入②中，得d?

00

?C

?B

（五）數列部分

一、等差數列前n項和公式證明。

內容：?an?是等差數列，公差為d，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過來可寫為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②

①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n

???????????

n個

n(n?1)

d?

n(a1?an)

所以，Sn?

n(a1?an)

③，把an?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?

二、等比數列前n項和公式證明。

n(n?1)

d?

n(a1?an)

?na1,(q?1)

?n

內容：?an?是等比數列，公比為q，首項為a1，Sn為其n前項和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS

n

2n?

1①

n

?a1q?a1q

?a1q

?.......?a1q②

n

①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當q?1時，Sn?

a1?a1q1?q

n

?

a1(1?q)1?q

n

③

把an?a1q

n?1

代入③中，得Sn?

a1?anq1?q

當q?1時。很明顯Sn?na1

?na1,(q?1)

?n

所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

（六）函數和導數部分

一、換底公式證明。內容：log

N?

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b?0;a,b?1)

證明：設log

a

N?X,log

a

b?Y，則b?a,N?a

YX

?log

b

N?log

a

Y

a

X

?

XY

log

a

a?

XY

?

loglog

aa

Nb