第一篇：不等式與線性規劃（共）

第四講：不等式和線性規劃（一）不等式的性質 一、知識梳理：不等式的性質 性質 4：

a> b, c> 0?

________;a > b, c v 0?

________.以上是不等式的基本性質，以下是不等式的運算性質.性質 5: a>b, c>d?

_______________（加法法則）

.性質 6: a>b>0, c>d>0?

_____________（乘法法則）

.性質 7：

a>b>0, n€ N * ?

___________（乘方法則）.性質 8：

a>b>0, n€ N , n>2?

_____________（開方法則）.性質 9：

ab>0, a>b?

__________________（倒數法則）

.A.充分而不必要條件 C.充分必要條件 D.B.必要而不充分條件 既不充分也不必要條件(二)不等式的解法 一、分式不等式與一元二次不等式的關系 設 a0 等價于 __________ ； X — T <0 等價于(x— a)(x— b)<0;x— b x— b X — 7 > 0 等價于 ； 0 等價于 { x— a x— b w 0, x— b 豐 0.x— b x — b 二、基礎訓練 2 x —1.設全集 U = R，不等式

----< 1 的解集是 A，則 ? U A=()x A.(0,3] B.(―汽 0] U(3 ,+s)C.[3 ,+s)D.(— ^, 0)U [3 ,+^)2.不等式 log 2(— x 2

+ 3x)<1 的解集是（）A.{x|02} C.{x|0

a O b = ab+ 2a+ b，則滿足 x O(x — 2)<0 的實數 x 的取值范圍為（）二、基礎訓練：

1.若 a>b>0,則（）b B.—>1 a 2.A.a 2 c>b 2 c(c€ R)設 a, b, c€ R,且 a>b，貝U 1 1 ac>bc B.< a b 3.已知 A.4.5.[2011 C.2 ■ C.a >b a b，則下列不等式正確的是 1 b 2

b、R, lg(a — b)>0 3.3 D.a >b C.2 ab

D.1 a < 則下列不等式成立的是 a 2

浙江卷］ 右 a, a b C、丁 2— c 2c 21 b 為實數，則“ 0ab<1 ”是“ b

D、a|c| b|c|

A.(0,2)B.(— 2,1)C.(—s,— 2)U(1 ,+s)D.(— 1,2)5.不等式 x 1 x 2 3 的解集是

(三)二元一次不等式組和線性規劃 一、知識梳理：線性規劃問題 二元一次不等式表示的平面區域(1)一般地，二兀一次不等式 Ax + By+ C>0 在平面直角坐標系中表示直線 Ax+ By + C = 0 某一側的所有點組成的平面區域(半平面)，_______ 邊界直線.不等式 Ax + By+ C >0 所表示的平面區域(半平面)___________ 邊界直線.⑵ 直線 Ax+ By+ C= 0 同一側的所有點(x, y)，使得 Ax+ By+ C 的值符號相同，也就是 位于直線 Ax+ By+ C = 0 某一側的所有點，其坐標適合 Ax+ By + C>0(Ax + By+ C<0);而位 于直線 Ax+ By + C = 0 另一側所有點，其坐標適合 __________________.(3)可在直線 Ax+ By+ C= 0 的某一側任取一點，一般取特殊點(x o , y o),從 Ax o + By o + C 的符號來判斷 Ax + By+ C>0(或 Ax + By + C<0)所表示的區域.二、基礎訓練: 121 B.C.24 4 36 — 3，已知△ ABC 中, y 2x, 4.若變量 x , y 滿足約束條件 x+ y 1, 則 x + 2 y 的最大值是

____________________

y — 1

5?某公司生產甲，乙兩種桶裝產品，已知生產甲產品 1 桶需耗 A 原料 1 千克，B 原料 2 千 克；生產乙產品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克.每桶甲產品的利潤是 300 元，每桶 乙產品的利潤是 400 元?公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗 A, B 原料都不超 過 12 千克?通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲，乙兩種產品中，公司可獲得的最大 利潤是()A.2200 元 B.2400 元 C.2600 元 D.2800 元

2x y 2 0

6.設實數 x, y 滿足 y 2x 2 ,則 x 2

y 2 的取值范圍是()

y 2

A.-,8 B.5 1,2、2 C.1,8 D.U2.2 5

2x 3y 6 0 A(3 ,-1)、B(— 1,1)、qi,3)，則△ ABC 區域所表示的二元 3.如圖 一次不等式組為 D.32 121 A.2

7.在平面直角坐標系 xOy 中，M 為不等式組 x y 2 0 所表示的區域上一動點，則|OM|

y 0 的最小值是 _________

三、課后作業:

x 1, x+ y 3, 若 z = 2 x + y 的最小值為 1, 則 a 等于 y a(x—3),(四)基本不等式、知識梳理: a + b 1.基本不等式.ab w —廠(1)基本不等式成立的條件：

________________________________.(2)等號成立的條件：當且僅當

________ 時取等號.(3)算術平均數與幾何平均數：設 a>0 , b>0,則 a, b 的算術平均數為 為 ________ , 故基本不等式也可敘述為：兩個正數的算術平均數

___________________

2.幾個重要的不等式 (1)a 2 + b 2 > 3.利用基本不等式求最值問題 已知 x、y€ R + , x+ y= P, xy= S,有下列命題：

如果 S 是定值，那么當且僅當

______________________ 時，x+ y 有最小值 — 如果 P 是定值，那么當且僅當

_______ 時，xy 有最大值

____

?問題 1 當 x<0 時，函數 y= x+ 1 的最大值為一 2.()X ? 問題 2 若 x>0 , y>0，且 x+ y= 2，貝 U 2xy 的最大值為 1.()二、基礎訓練 1.若 2 x + 2 y

= =1,則 x + y 的取值范圍是（）.A.[0,2] B [—2,0] C.[一 2 ,+g)D.(—-oo — 2]

2.若 x 2 , 則 x 1

----的最小值為

x 2

3.已知 a >0, b >0,且 2 a + b = 4,則 的最小值為

ab

2x a 16b

x —

----

4.不等式

b a 對任意 a, b€(0 , + g)恒成則實數 x 的取值范圍是(A.(-2,0)B.(-g ,-2)U(0 , + g)C.(-4 , 2)D.(-oo ,-4)U(2 , + o)5.已知 2 8

1(x 0,y 0)，則 x y 的最小值為()

x y

A.12 B.14 C.16 D.18

1.x 1, 已知變量 x , y 滿足 y 2, x— y 則 x + y 的最小值是 0, 2.x 已知 x, y 滿足約束條件 x y 2 y 2，且 x 2y a 恒成立，則 a 的取值范圍為 1 3.x+ y 1, 若實數 x , y 滿足 x— y+1 y o, 0 ,則 x 2 +(y + 1)2 的最大值與最小值的差為 4.已知 a >0, x ,y 滿足約束條件，幾何平均數(2)a + —(a, b 同號);(3)ab w 號 2(a, b €

R)；(a, b € R)；

（五）含絕對 值的不等式 |a| |b||a b||a| |b| 結論：一、基礎訓練 1.關于 x 的不等式 x 1 x 3 m 在 R 上恒成立，則實數 m 的取值范圍是

_____________________

2.____________________________________________________________________________

關于 x 的不等式|x — 1| + |x — 2| w a 的解集為空集，則實數 a 的取值范圍是

________________

3.對任意 x€ R,不等式|2 — x| + |3 + x| >a 2 — 4a 恒成立，則 a 的取值范圍是

_____________

4?函數 y | x 2| | x 2 | 的最大值是 __________________。

5?如果關于 x 的不等式 |x 10 | | x 20| a 的解集不是空集，則實數 a 的取值范圍為 二、課后作業：

1?對任意實數 兇，若不等式 ||x 2| |x 1| k| 恒成立，則實數 ［k］ 的取值范圍是（）

A k > 1 B k >1 C k w 1 D k <1 2 2.不等式 |x 3 |x 1 a 2

3a 對任意實數岡恒成立，則實數岡的取值范圍為（）

A.(,1]U[4,)B.（,2]U[5,)C.[1,2] D.（,1]U[2,)3.函數 y x 4| x 6 的最小值為（）

A.— B.4—

C.園 D.6

6.已知正數 x, y 滿足 x 2y 1,則丄 x 的最小值為 y A 2..一 2 B、4.2 C 3 2 2 D 3 4.2

3x y 6 0

7.設 x, y 滿足約束條件 x y 2 0，若目標函數 z=ax+by

x 0,y 0值為 12,則— —的最小值（）

a b

A.25 r 8

cD.4 B.—

C.—3

三、、課后作業：

1.已知 a > 0, b > 0,且 ln(a + b)= 0,則 丄 + 1 的最小值是

a b 2.已知不等式 ax 2

bx 1 0 的解集是 x|3 x 4 ,則 a b 3.若實數 a、b 滿足 a b 2，則3 3的最小值是 若對任意 x >0, w a 恒成立，求 a 的取值范圍.4.（a>0, b>0）的值是最大 x x 2

3x 1

第二篇：均值不等式及線性規劃問題

均值不等式及線性規劃問題

學習目標：

1．理解均值不等式，能用均值不等式解決簡單的最值問題；

2．能運用不等式的性質和均值不等式證明簡單的不等式．

學習重點：

均值不等式的理解．

學習難點：

均值不等式的應用．

內容解析：

一、均值不等式

如果是正數，那么（當且僅當時取“=”）．

我們稱的算術平均數，稱的幾何平均數，因而，此定理又可敘述為：兩個正數的算術平均值不小于它們的幾何平均值．

注：[1] 定理適用的范圍：；

[2]“當且僅當”的含義：等價條件．

推廣：1．如果，那么（當且僅當時取等號）．

均值不等式的應用：不等式的證明、求最值．

注：[1] 可以使用均值不等式的條件：正，定，等；

[2] 積為定值時，和有最小值；和為定值時，積有最大值．

二、不等式證明

1． 證明不等式的方法

(1)比較法：作差法和作商法兩種．

作商法應在兩個數的符號相同時使用．

(2)綜合法．

從題目的條件出發，尋找證明的中間結論．

(3)分析法．

從要證的結論出發，尋找可以推得此結論的條件．

2． 幾個常用的重要不等式

①．

②，．

③，．

例1.下列函數中，最小值是2的是（）

A.y?x?1

xB.y?3x?3?x

lgx(1?x?10)D.y?sinx?1

sinxC.y?lgx?(0?x??

2)

例2.設x,y?R，且x?y?5，則3?3的最小值是（）xy

A

.B

.C

.D

.?x?2y?4

?例3.在約束條件?x?y?1下，目標函數z?3x?y（）

?x?2?0?

A.有最大值3，最小值?3B.有最大值5，最小值?3

C.有最大值5，最小值?9D.有最大值3，最小值?9

?x?y?4,?例4.已知點P(x,y)的坐標滿足條件?y?x,點O為坐標原點，那么z?x2?y2的最小

?x?1,?

值等于____________,最大值等于_____________

例5.已知，求證：．

例6.已知，求證：．

例7.已知，且，求的最小值．

例8.求證：．

例9.求證：

例10.求下列函數的最值． ．

(1)；

(2)；

(3)

練習

1.如果a?0,b?0，那么，下列不等式中正確的是（）

A.1

a?1

2.不等式bx?1B

?C.a2?b2D.|a|?|b|

2?x?0的解集為（）

A.{x|?1?x?2}B.{x|?1?x?2}

C.{x|x??1或x?2}D.{x|x??1或x?2}

3.當x>1時，不等式x+

A．(－∞,2]

1x?1≥a恒成立，則實數a的取值范圍是 C．[3,+∞)D．(－∞,3]B．[2,+∞)

4.已知點（3，1）和（?4，6）在直線3x?2y?a?0的兩側，則實數a的取值范圍是（）A.a??7或a?24B.a?7或a?24 C.?7?a?24D.?24?a?7

325.如果a?0且a?1，M?loga(a?1),N?loga(a?1)，則（）

A.M?NB.M?N C.M?ND.M,N的大小與a值有關

6.已知不等式x2?2x?k2?1?0對一切實數x恒成立，則實數k的取值范圍是（）A

.(B

.(??,???)C

.??)D.(?2,2)

7.正數a,b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是__________.8.已知正整數a,b滿足4a＋b＝30，使得

2231a?1b取最小值時，則a=_______,b=_______ 9.解關于x的不等式x?(m?m)x?m?0.10.建造一個容積為4800m,深為3m的長方體無蓋水池,如果池底和池壁的造價每平方米分別為150元和120元,那么怎樣設計水池能使總造最低，最低總造價為多少元？3

第三篇：高考二輪復習數學理配套講義3 不等式與線性規劃

微專題3　不等式與線性規劃

命

題

者

說

考

題

統

計

考

情

點

擊

2018·全國卷Ⅰ·T13·線性規劃求最值

2018·全國卷Ⅱ·T14·線性規劃求最值

2018·北京高考·T8·線性規劃區域問題

2018·浙江高考·T15·不等式的解法

2017·全國卷Ⅰ·T14·線性規劃求最值

1.不等式作為高考命題熱點內容之一，多年來命題較穩定，多以選擇、填空題的形式進行考查，題目多出現在第5～9或第13～15題的位置上，難度中等，直接考查時主要是簡單的線性規劃問題，關于不等式性質的應用、不等式的解法以及基本不等式的應用，主要體現在其工具作用上。

2.若不等式與函數、導數、數列等其他知識交匯綜合命題，難度較大。

考向一

不等式的性質與解法

【例1】(1)已知a>b>0，則下列不等式中恒成立的是()

A．a＋>b＋

B．a＋>b＋

C.>

D.>ab

(2)已知函數f

(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f

(x)>0的解集是(－1,3)，則不等式f

(－2x)<0的解集是()

A.∪

B.C.∪

D.解析(1)因為a>b>0，所以<，根據不等式的性質可得a＋>b＋，故A正確；對于B，取a＝1，b＝，則a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋>b＋不成立，故B錯誤；根據不等式的性質可得<，故C錯誤；取a＝2，b＝1，可知D錯誤。故選A。

(2)由f

(x)>0的解集是(－1,3)，所以a<0，且方程f

(x)＝(ax－1)(x＋b)＝0的兩根為－1和3，所以所以a＝－1，b＝－3，所以f

(x)＝－x2＋2x＋3，所以f

(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－。故選A。

答案(1)A(2)A

解不等式的策略

(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數圖象確定一元二次不等式的解集。

(2)含指數、對數的不等式：利用指數、對數函數的單調性將其轉化為整式不等式求解。

變|式|訓|練

1．(2018·北京高考)能說明“若a>b，則<”為假命題的一組a，b的值依次為________。(答案不唯一)

解析　由題意知，當a＝1，b＝－1時，滿足a>b，但是>，故答案可以為1，－1。(答案不唯一，滿足a>0，b<0即可)

答案　1，－1(答案不唯一)

2．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函數f

(x)＝當λ＝2時，不等式f

(x)<0的解集是________。若函數f

(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是________。

解析　若λ＝2，則當x≥2時，令x－4<0，得2≤x<4；當x<2時，令x2－4x＋3<0，得1

(x)<0的解集為(1,4)。令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3。因為函數f

(x)恰有2個零點，結合函數的圖象(圖略)可知1<λ≤3或λ>4。

答案(1,4)(1,3]∪(4，＋∞)

考向二

基本不等式及其應用

【例2】(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________。

(2)已知a>b，且ab＝1，則的最小值是______。

解析(1)由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，當且僅當23b－6＝，即b＝1時等號成立。

(2)＝＝a－b＋≥2，當且僅當a－b＝時取得等號。

答案(1)(2)2

在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號成立)的條件，否則會出現錯誤。

變|式|訓|練

1．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為()

A．4

B．16

C．9

D．3

解析　因為a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得，m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立。因為＋≥2＝6，當且僅當a＝b時等號成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值為16。故選B。

答案　B

2．已知函數f

(x)＝ln(x＋)，若正實數a，b滿足f

(2a)＋f

(b－1)＝0，則＋的最小值是________。

解析　因為f

(x)＝ln(x＋)，f

(－x)＝ln(－x＋)，所以f

(x)＋f

(－x)＝ln[(x＋)·(－x＋)]＝ln1＝0，所以函數f

(x)＝ln(x＋)為R上的奇函數，又y＝x＋在其定義域上是增函數，故f

(x)＝ln(x＋)在其定義域上是增函數，因為f

(2a)＋f

(b－1)＝0，f

(2a)＝－f

(b－1)，f

(2a)＝f

(1－b)，所以2a＝1－b，故2a＋b＝1。故＋＝＋＝2＋＋＋1＝＋＋3≥2＋3。(當且僅當＝且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1時，等號成立。)

答案　2＋3

考向三

線性規劃及其應用

微考向1：求線性目標函數的最值

【例3】(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________。

解析　作可行域，則直線z＝x＋y過點A(5,4)時取最大值9。

答案　9

線性目標函數z＝ax＋by最值的確定方法

(1)將目標函數z＝ax＋by化成直線的斜截式方程(z看成常數)。

(2)根據的幾何意義，確定的最值。

(3)得出z的最值。

變|式|訓|練

(2018·天津高考)設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝3x＋5y的最大值為()

A．6

B．19

C．21

D．45

解析　不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，平移該直線，當經過點C時，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21。故選C。

答案　C

微考向2：線性規劃中的參數問題

【例4】(2018·山西八校聯考)若實數x，y滿足不等式組且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值為5，則a＝________。

解析　設z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直線y＝－x，平移該直線，易知當直線過點A(1,3)時，z取得最大值，又目標函數的最大值為5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2。

答案　2

解決這類問題時，首先要注意對參數取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優解，從而確定參數的值。

變|式|訓|練

已知x，y滿足約束條件目標函數z＝2x－3y的最大值是2，則實數a＝()

A．

B．1

C．

D．4

解析　作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為目標函數z＝2x－3y的最大值是2，由圖象知z＝2x－3y經過平面區域的點A時目標函數取得最大值2。由解得A(4,2)，同時A(4,2)也在直線ax＋y－4＝0上，所以4a＝2，則a＝。故選A。

答案　A

1．(考向一)(2018·福建聯考)已知函數f

(x)＝

若f

(2－x2)>f

(x)，則實數x的取值范圍是()

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1,2)

D．(－2,1)

解析　易知f

(x)在R上是增函數，因為f

(2－x2)>f

(x)，所以2－x2>x，解得－2

答案　D

2．(考向一)(2018·南昌聯考)若a>1,0

A．loga2

018>logb2

018

B．logba

C．(c－b)ca>(c－b)ba

D．(a－c)ac>(a－c)ab

解析　因為a>1,0

018>0，logb2

018<0，所以loga2

018>logb2

018，所以A正確；因為0>logab>logac，所以<，所以logba(c－b)ba，所以C正確；因為ac0，所以(a－c)ac<(a－c)ab，所以D錯誤。故選D。

答案　D

3．(考向二)(2018·河南聯考)已知直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為________。

解析　圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心坐標為(2，－1)。由于直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，故有a＋b＝1。所以＋＝(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，當且僅當a＝2b＝時，取等號，故＋的最小值為。

答案

4．(考向三)(2018·南昌聯考)設不等式組表示的平面區域為M，若直線y＝kx經過區域M內的點，則實數k的取值范圍為()

A.B.C.D.解析　作出不等式組表示的平面區域，如圖陰影部分所示，易知當直線y＝kx經過點A(2,1)時，k取得最小值，當直線y＝kx經過點C(1,2)時，k取得最大值2，可得實數k的取值范圍為。故選C。

答案　C

5．(考向三)(2018·廣州測試)若x，y滿足約束條件

則z＝x2＋2x＋y2的最小值為()

A．

B．

C．－

D．－

解析　畫出約束條件對應的平面區域，如圖中陰影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其幾何意義是平面區域內的點(x，y)到定點(－1,0)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區域內的點到定點(－1，0)的距離的最小值為，故z＝x2＋2x＋y2的最小值為zmin＝－1＝－。故選D。

答案　D

第四篇：簡單線性規劃教案

簡單線性規劃教案

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教學設計

3．5.2 簡單線性規劃

整體設計

教學分析

本節內容在教材中有著重要的地位與作用．線性規劃是利用數學為工具，來研究一定的人、財、物等資源在一定條件下，如何精打細算巧安排，用最少的資源，取得最大的經濟效益．它是數學規劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，并能解決科學研究、工程設計、經濟管理等許多方面的實際問題．中學所學的線性規劃只是規劃論中的極小一部分，但這部分內容體現了數學的工具性、應用性，同時也滲透了化歸、數形結合的數學思想，為學生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法——數學建模法．通過這部分內容的學習，可使學生進一步了解數學在解決實際問題中的應用，培養學生學習數學的興趣、應用數學的意識和解決實際問題的能力．

把實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是本節的重點也是難點．對許多學生來說，解數學應用題的最常見的困難是不會將實際問題轉化成數學問題，即不會建模，所以把實際問題轉化為線性規劃問題作為本節的難點．對學生而言，解決應用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關系；②不能分清問題的主次關系，因而抓不住問題的本質，無法建立數學模型；③孤立地考慮單個的問題情境，不能多方面聯想，形成正遷移．針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本節設計為計算機輔助教學，充分利用現代化教學工具，從而將實際問題鮮活直觀地展現在學生面前，以利于理解．

實際教學中注意以下幾個問題：①用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵．可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組尋求約束條件，并就題目所述找到目標函數．②可行域就是二元一次不等式組所表示的平面區域，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的無限大的平面區域．③如果可行域是一個凸多邊形，那么一般在其頂點處使目標函數取得最大值或最小值，最優解一般就是多邊形的某個頂點．到底哪個頂點為最優解，可有兩種確定方法：一是將目標函數的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是；另一種方法可利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．④若實際問題要求的最優解是整數解，而我們利用圖解法得到的解為非整數解，應作適當的調整．其方法應以與線性目標函數的直線的距離為依據，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找．如果可行域中的整點數目很少，采用逐個試驗法也是很有效的辦法．⑤在線性規劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務，問怎樣統籌安排，能使完成的這項任務耗費的人力、物力資源最小．

如果條件允許，可將本節的思考與討論融入課堂．

三維目標

．使學生了解線性規劃的意義以及約束條件、目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概念；了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題．

2．通過本節內容的學習，培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力．

3．通過本節學習，理解線性規劃求最優解的原理，明確線性規劃在現實生活中的意義．

重點難點

教學重點：求線性目標函數的最值問題，培養學生“用數學”的意識，理解線性規劃最優解的原理．

教學難點：把實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答．

課時安排

2課時

教學過程

第1課時

導入新課

思路1.由身邊的線性規劃問題導入課題，同時闡明其重要意義．如6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價格之和大于24元．而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元．如果想買2枝玫瑰與3枝康乃馨，那么價格比較結果是怎樣的呢？可由學生列出不等關系，并畫出平面區域．由此導入新課．

思路2.在生產與營銷活動中，我們常常需要考慮：怎樣利用現在的資源取得最大的收益，或者怎樣以最少的資源投入去完成一項給定的任務．我們把這一類問題稱為“最優化”問題．線性規劃知識恰是解決這類問題的得力工具．由此展開新課．

推進新課

新知探究

提出問題

?1?回憶二元一次不等式Ax＋By＋c＞0在平面直角坐標系中的平面區域的確定方法.?2?怎樣從實際問題中抽象出不等式組，并畫出所確定的平面區域？

?3?閱讀教材，明確什么是目標函數，線性目標函數，約束條件，線性約束條件，線性規劃問題，最優解，可行域.,?4?你能給出解決線性規劃問題的一般步驟嗎？

活動：教師引導學生回顧二元一次不等式表示平面區域常用的方法是：直線定界、原點定域，即先畫出對應直線，再將原點坐標代入直線方程中，看其值比零大還是比零小；不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面點集的交集，是它們平面區域的公共部分．

教師引導學生探究教材本節開頭的問題．根據上節所學，學生很容易設出計劃生產甲種產品x工時，生產乙種產品y工時，且很容易地列出獲得利潤總額為f＝30x＋40y，①

及x，y滿足的條件

3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.②

教師引導學生畫出上述不等式組表示的區域，如下圖．

結合圖形，教師與學生一起探究，原問題就是在x，y滿足②的情況下，求f的最大值．也就是在圖中陰影部分內找一點，把它的坐標代入式子30x＋40y時，使該式值最大．若令30x＋40y＝0，則此方程表示通過原點的一條直線，記為l0，則在區域oABc內有30x＋40y≥0.設這個區域內任意一點P到l0的距離為d，則d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y302＋402，即30x＋40y＝302＋402?d.由此可發現，點P到直線l0的距離d越大，式子30x＋40y的值就越大．這樣問題又轉化為：在區域oABc內，找與直線l0距離最大的點．觀察圖象易發現，平移直線l0，最后經過的點為B，易知區域oABc內的點B即為所求．

解方程組3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得B，代入式子①，得fmax＝30×200＋40×300＝18000.即問題中，用200工時生產甲種產品，用300工時生產乙種產品，能獲得最大利潤18000元．

進一步探究上述問題，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z＝2x＋y是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標函數．由于z＝2x＋y又是關于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數．線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．[

一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題．例如：我們剛才研究的就是求線性目標函數z＝2x＋y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規劃問題．滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．其中，使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優解，接著讓學生說出上述問題中的目標函數，約束條件，可行域，最優解分別是什么．

根據以上探究，我們可以得出用圖解法解決線性規劃問題的一般步驟：

分析并將已知數據列出表格；

確定線性約束條件；

確定線性目標函數；

畫出可行域；

利用線性目標函數求出最優解．在可行域內平行移動目標函數，從圖中能判定問題有唯一最優解，或者是無窮最優解，或是無最優解；

實際問題需要整數解時，應適當調整確定最優解．

討論結果：

～略．

應用示例

例1已知x、y滿足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．

活動：可先找出可行域，平行移動直線l0：3x＋y＝0找出可行解，進而求出目標函數的最小值．

解：不等式x＋2y≥2表示直線x＋2y＝2上及其右上方的點的集合；

不等式2x＋y≥1表示直線2x＋y＝1上及其右上方的點的集合．

可行域如圖所示．

作直線l0：3x＋y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋y＝t．

∵x、y是上面不等式組表示的區域內的點的橫縱坐標，由圖可知，當直線l：3x＋y＝z通過點P時，z取到最小值1，即zmin＝1.點評：簡單線性規劃問題就是求線性目標函數在線性約束條件下的最優解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的．

尋找線性約束條件，線性目標函數；

由二元一次不等式表示的平面區域作出可行域；

在可行域內求目標函數的最優解.變式訓練

若變量x，y滿足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0，則z＝3x＋2y的最大值是________．

答案：70

解析：由不等式組2x＋y≤40y≥0畫出可行域如下圖．

結合圖形，由2x＋y＝40，x＋2y＝50x＝10，y＝20，于是zmax＝3×10＋2×20＝70.例2

活動：教材此例的數據以表格的形式給出．這樣可使量

x＋2y≤50

x≥0，與量之間的關系一目了然，非常有助于我們順利地找出約束條件和目標函數，特別是對于那些量比較多的問題．本例難度不大，可由學生自己完成，教師給予適當點撥．

點評：完成此例后，可讓學生對應用線性規劃解決實際問題作一簡單歸納．對較好的學生，教師可結合思考與討論進行歸納.變式訓練

某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準備加工成書桌和書櫥出售．已知生產每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生產每個書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產可使所得利潤最大？

解：設只生產書桌x張，可獲得利潤z元，則0.1x≤90，2x≤600x≤900，x≤300x≤300.z＝80x，∴當x＝300時，zmax＝80×300＝24000，即如果只安排生產書桌，最多可生產300張書桌，獲得利潤24000元．

設只生產書櫥y張，可獲利潤z元，則0.2y≤90，y≤600y≤450，y≤600y≤450.z＝120y，∴當y＝450時，zmax＝120×450＝54000，即如果只安排生產書櫥，最多可生產450個，獲得利潤54000元．

設生產書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元．

則0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0，z＝80x＋120y，可行域如圖．

由圖可知：當直線y＝－23x＋z120經過可行域上的點m時，截距z120最大，即z最大，解方程組x＋2y＝9002x＋y＝600，得m的坐標為．

∴zmax＝80x＋120y＝80×100＋120×400＝56000．

因此，生產書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大，最大利潤為56000元.例3某工廠生產甲、乙兩種產品．已知生產甲種產品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產乙種產品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t．每1t甲種產品的利潤是600元，每1t乙種產品的利潤是1000元．工廠在生產這兩種產品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過360t，甲、乙兩種產品應各生產多少，能使利潤總額達到最大？

活動：將已知數據列成下表，然后按線性規劃解決實際問題的步驟完成，本例可由學生自己完成．

解：設生產甲、乙兩種產品分別為xt、yt，利潤總額為z元，那么10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0；

目標函數為z＝600x＋1000y.作出以上不等式組所表示的平面區域，即可行域如圖．

作直線l：600x＋1000y＝0，即直線l：3x＋5y＝0.把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經過可行域上的點m，且與原點距離最大，此時z＝600x＋1000y取最大值．

解方程組5x＋4y＝200，4x＋9y＝360，得x＝36029≈12.4，y＝100029≈34.4.∴m的坐標為．

答：應生產甲產品約12.4t，乙產品34.4t，能使利潤總額達到最大．

知能訓練

．設變量x，y滿足約束條件：y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，則z＝x－3y的最小值為

A．－2

B．－4

c．－6

D．－8

2．醫院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配營養餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質和10單位鐵質，售價3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質和4單位鐵質，售價2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質和40單位鐵質．試問：應如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養，又使費用最省？

答案：

．D 解析：在坐標平面內畫出不等式組y≥x，x＋2y≤2，x≥－2所表示的平面區域，作出直線x－3y＝0，平移該直線，并結合圖形知點為最優解．所以目標函數的最小值為zmin＝－2－3×2＝－8，故選D.2．活動：將已知數據列成下表：

原料/10g

蛋白質/單位

鐵質/單位

甲

0

乙

費用

設甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，則需要的費用為z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35單位蛋白質，可表示為5x＋7y≥35；同理，對鐵質的要求可以表示為10x＋4y≥40，這樣，問題成為在約束條件5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0下，求目標函數z＝3x＋2y的最小值．

解：設甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費用為z，那么5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0；

目標函數為z＝3x＋2y，作出可行域如圖．

把z＝3x＋2y變形為y＝－32x＋z2，得到斜率為－32，在y軸上的截距為z2，隨z變化的一組平行直線．

由圖可知，當直線y＝－32x＋z2經過可行域上的點A時，截距z2最小，即z最小．

由10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A，∴zmin＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲種原料使用145×10＝28，乙種原料使用3×10＝30時，費用最省．

課堂小結

．讓學生自己歸納整合本節所學的知識方法及用線性規劃解決實際問題的方法步驟，自己在本節中的最大收獲有哪些？

2．教師強調，通過本節學習，需掌握如何用線性規劃解決實際問題的解題思路：首先，應準確建立數學模型，即根據題意找出約束條件，確定線性目標函數．然后，用圖解法求得數學模型的解，即畫出可行域，在可行域內求得使目標函數取得最值的解．最后，還要根據實際意義將數學模型的解轉化為實際問題的解，即結合實際情況求得最優解．

作業

習題3—5A組3、4、5；習題3—5B組3.設計感想

．本節內容與實際問題聯系緊密，有利于培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識以及解決實際問題的能力．本節內容滲透了多種數學思想，是向學生進行數學思想方法教學的典型教材，也是培養學生觀察、作圖能力的典型教材．

2．通過實例給出解題步驟，讓其更深入了解并掌握新知．這里強調的還有作圖的規范問題，這是學生容易忽視的，但這又是本節課很重要的一部分．

3．關于難度把握問題，依據《課程標準》及教材分析，二元一次不等式表示平面區域以及線性規劃的有關概念比較抽象，按高二學生現有的知識和認知水平難以透徹理解，再加上學生對代數問題等價轉化為幾何問題，以及數學建模方法解決實際問題有一個學習消化的過程，故本節知識內容定為了解層次．但這個了解不同于其他的了解，應注意讓學生切實學會從實際問題抽象出約束條件及目標函數，并注意規范書寫解答步驟．

第2課時

導入新課

思路1.上一節課我們探究了用線性規劃解決實際問題的一種類型，這節課我們進一步探究有關線性規劃的一些問題，看看用線性規劃還能解決哪些實際問題．教師出示多媒體，提出問題，由此引入新課．

思路2.關于線性規劃的整點問題是個難點，我們是用平移直線的辦法來解決的，需要畫圖精確，令學生很頭痛．下面我們探究調整最優值法來確定最優整數解的方法．教師用多媒體出示以下問題：

某人有樓房一座，室內面積共有180平方米，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元，小房間每間面積15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？

學生很容易設隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，則x，y滿足

8x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.作出可行域，作直線l：200x＋150y＝0，即l：4x＋3y＝0，把直線l向右上方平移，直線經過可行域上的點B時，與原點距離最大，此時z＝200x＋150y取得最大值，解方程組6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得點B的坐標為，由于B的坐標不是整數，而最優解中，x、y必須都是整數，所以可行域內的點B不是最優解．

以下教師與學生共同探究調整最優值法來確定最優整點的方法：

將B點坐標代入4x＋3y＝z，得z＝3717，所以令4x＋3y＝37.所以y＝37－4x3，x＝37－3y4，代入約束條件得y＝9，x無解；

再令4x＋3y＝36，所以y＝36－4x3，x＝36－3y4，代入約束條件得7≤y≤12,0≤x≤4.又因為4x＋3y＝36，所以得最優解為和，此時z的最大值是36，最大利潤是1800元．

用圖解法解決時，容易丟一組解，而選擇調整最優值法，即可避免丟解問題，只是需要一定的不等式及不定方程的知識．鼓勵學生課外進一步探究其他方法．

推進新課

新知探究

提出問題

??1?回憶上節課我們利用線性規劃解決實際問題的方法、步驟、格式，解題時應注意哪些問題？

?2?前面我們解決了可行域中整點問題，明確了求可行域中最優解問題，請思考最優解的個數有可能為無數個嗎？

活動：教師與學生一起回憶上節課利用線性規劃解決實際問題時應注意：①在尋求約束條件時，要注意挖掘隱含條件；②在確定最優解時，首先要賦予因變量的幾何意義，然后利用圖形的直觀來確定最優解；③在確定最優解時，用直線的斜率來定位．

關于可行域中的整點求法，是以與線性目標函數的直線的距離為依據，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點．如果可行域中的整點數目很少，采用逐個試驗法也是很有效的辦法．下面我們進一步探究最優解問題以及用線性規劃解決的另一類實際問題．

討論結果：略．

求最優解，若沒有特殊要求，一般為邊界交點．但取得最值的最優解可能有無窮多個．若通過圖形觀察不易分辨時，可把邊界交點代入驗證．

應用示例

例1某公司計劃XX年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？

活動：這是高考中繼江蘇卷線性規劃大題后第二個線性規劃大題，教師引導學生按前面的方法列出表格，則各量之間的關系即一目了然．本題難度不大，可由學生自己解決．列表如下：

甲

乙

合計

時間

x分鐘

y分鐘

300

收費

500元/分鐘

200元/分鐘

9萬元

解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元．

由題意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目標函數為z＝3000x＋XXy.二元一次不等式組等價于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域，如圖．

作直線l：3000x＋XXy＝0，即3x＋2y＝0.平移直線l，從圖中可知，當直線l過m點時，目標函數取得最大值．

聯立x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.∴點m的坐標為．

∴zmax＝3000x＋XXy＝700000．

答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

例2

活動：本例是整數線性規劃問題．整數線性規劃問題的可行域是由滿足不等式的整點組成的集合，所求的最優解必須是整數解．我們知道，最優解一般都為邊界的交點，若這個交點不是整數，則需要平移直線找到附近的最優解．本例可由教師與學生共同完成．

點評：找整數最優解是個難點，要求畫圖精確，要使學生明白如何找整數最優解的原理.變式訓練

某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y必須滿足約束條件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，則z＝10x＋10y的最大值是

A．80

B．85

c．90

D．95

答案：c

解析：畫出約束條件表示的平面區域，如圖所示．

由x＝112，5x－11y＝－22，解得A．

而由題意知x和y必須是正整數，直線y＝－x＋z10平移經過的整點為時，z＝10x＋10y取得最大值90.例3某人承攬一項業務，需做文字標牌2個，繪畫標牌3個，現有兩種規格的原料，甲種規格每張3m2，可做文字標牌1個，繪畫標牌2個，乙種規格每張2m2，可做文字標牌2個，繪畫標牌1個，求兩種規格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最小？

解：設用甲種規格原料x張，乙種規格原料y張，則可做文字標牌x＋2y個，繪畫標牌2x＋y個，由題意可得x＋2y≥2，2x＋y≥3，x≥0，y≥0.所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域，如圖陰影所示．作直線l0：3x＋2y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋2y＝t，當直線l通過2x＋y＝3與直線x＋2y＝2的交點A時，t取得最小值為133.因為43，13都不是整數，而最優解中，x、y必須都是整數，所以可行域內點不是最優解．經過可行域內整點，點B滿足3x＋2y＝5，使t最小．

所以最優解為B，即用甲種規格原料1張，乙種規格原料1張，可使所用原料總面積最小為5m2.知能訓練

．設變量x，y滿足約束條件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，則目標函數z＝5x＋y的最大值為

A．2

B．3

c．4

D．5

2．設x、y滿足約束條件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，分別求下列各式的最大值、最小值：

z＝6x＋10y；

z＝2x－y；

z＝2x－y．

答案：

．D 解析：如圖，由可行域知目標函數z＝5x＋y過點A時z取得最大值，zmax＝5.2．解：先作出可行域，如下圖所示的△ABc的區域，且求得A、B、c．

作出直線l0：6x＋10y＝0，再將直線l0平移，當l0的平行線l1過B點時，可使z＝6x＋10y達到最小值；

當l0的平行線l2過A點時，可使z＝6x＋10y達到最大值．

∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當l0的平行線l1過c點時，可使z＝2x－y達到最小值；

當l0的平行線l2過A點時，可使z＝2x－y達到最大值．∴zmax＝8，zmin＝－125.同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當l0的平行線l2過A點時，可使z＝2x－y達到最大值，∴zmax＝8.當l0的平行線l1過c點時，可使z＝2x－y達到最小值，但由于225不是整數，而最優解中，x、y必須都是整數，∴可行域內的點c不是最優解．

當l0的平行線經過可行域內的整點時，可使z＝2x－y達到最小值．

∴zmin＝2×1－4＝－2.課堂小結

．我們用線性規劃解決了哪些實際問題？

2．教師點撥學生：你能用精練的幾個字來說明利用線性規劃解決實際問題的方法與步驟嗎？

找：找出實際問題中的約束條件及目標函數；畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；移：在線性目標函數所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；求：通過解方程組求出最優解；答：作出答案．即可用5個字來概括：找、畫、移、求、答．

作業

一、習題3—5A組6；習題3—5B組4、5.二、閱讀本章小結

設計感想

．本課時設計注重學生的操作練習．通過學生積極參與，動手操作，培養創造性思維、增強創新意識，使認知在練習中加深，興趣在練習中勃發，情感在練習中陶冶，質量在練習中提高，目標在練習中實現．

2．本課時注重了學生的能力訓練．通過本節的學習，向學生滲透數形結合的思想，深化對知識的理解和掌握，體驗發現的快樂，增強創新意識，培養學生應用數學的意識．

3．本課時設計強化使用現代化教學手段．充分發揮多媒體教學的優勢，利用計算機作為輔助工具，更清楚地展示區域問題，有利于發現區域問題的異同點，將信息技術和數學有機地結合起來，有利于突出重點，突破難點，有利于教學目標的實現．

備課資料

一、備選例題

【例1】某糖果廠生產A、B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤40元，B種糖果每箱獲利潤50元，其生產過程分為混合、烹調、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產過程中所需平均時間：

混合 烹調

包裝

A

B

每種糖果的生產過程中，混合的設備至多能用12小時，烹調的設備至多能用30小時，包裝的設備至多能用15小時，試求每種糖果各生產多少箱可獲得最大利潤？

活動：找約束條件，建立目標函數．

解：設生產A種糖果x箱，B種糖果y箱，可獲得利潤z元，則此問題的約束條件x＋2y≤720，5x＋4y≤1800，3x＋y≤900，x≥0，y≥0下，求目標函數z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如圖，其邊界oA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，Bc：5x＋4y－1800＝0，cD：x＋2y－720＝0，Do：x＝0.由z＝40x＋50y，得y＝－45x＋z50，它表示斜率為－45，截距為z50的平行直線系，z50越大，z越大，從而可知過c點時截距最大，z取得了最大值．

解方程組x＋2y＝7205x＋4y＝1800c．

∴zmax＝40×120＋50×300＝19800，即生產A種糖果120箱，生產B種糖果300箱，可得最大利潤19800元．

點評：由于生產A種糖果120箱，生產B種糖果300箱，就使得兩種糖果共計使用的混合時間為120＋2×300＝720，烹調時間5×120＋4×300＝1800，包裝時間3×120＋300＝660，這說明該計劃已完全利用了混合設備與烹調設備的可用時間，但對包裝設備卻有240分鐘的包裝時間未加利用，這種“過剩”問題構成了該問題的“松弛”部分，有待于改進研究．

【例2】要將甲、乙兩種大小不同的鋼板截成A、B兩種規格，每張鋼板可同時截得A、B兩種規格的小鋼板的塊數如下表所示：

已知庫房中現有甲、乙兩種鋼板的數量分別為5張和10張，市場急需A、B兩種規格的成品數分別為15塊和27塊．

問各截這兩種鋼板多少張可得到所需的成品數，且使所用的鋼板張數最少？

若某人對線性規劃知識了解不多，而在可行域的整點中隨意取出一解，求其恰好取到最優解的概率．

解：設需截甲、乙兩種鋼板的張數分別為x、y，則2x＋y≥15，x＋3y≥27，0≤x≤5，0≤y≤10，作出可行域如圖．

因為目標函數為z＝x＋y，所以在一組平行直線x＋y＝t中，經過可行域內的整點且與原點距離最近的直線是x＋y＝12，其經過的整點是和，它們都是最優解．

因為可行域內的整點個數為8，而最優解有兩個，所以所求的概率為p＝28＝0.25.答：兩種鋼板的張數分別為3、9或4、8，概率為0.25.二、利潤的線性預測

問題：某企業1999年的利潤為5萬元，XX年的利潤為7萬元，XX年的利潤為8萬元．請你根據以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預測XX年企業的利潤，請問你幫該企業預測的利潤是多少萬元？

解：建立平面直角坐標系，1999年的利潤為5萬元，對應的點為A，XX年的利潤為7萬元，XX年的利潤為8萬元分別對應點B和c，那么

過A、B兩點的直線作為預測直線l1，其方程為y＝2x＋5，這樣預測XX年的利潤為13萬元．

過A、c兩點的直線作為預測直線l2，其方程為y＝32x＋5，這樣預測XX年的利潤為11萬元．

過B、c兩點的直線作為預測直線l3，其方程為y＝x＋6，這樣預測XX年的利潤為10萬元．

過A及線段Bc的中點E的直線作為預測直線l4，其方程為y＝53x＋5，這樣預測XX年的利潤約為11.667萬元．

過A及△ABc的重心F的直線作為預測直線l5，其方程為y＝53x＋5，這樣預測XX年的利潤為11.667萬元．

過c及△ABc的重心F的直線作為預測直線l6，其方程為y＝43x＋163，這樣預測XX年的利潤為10.667萬元．

過A及以線段Bc的斜率kBc＝1作為預測直線斜率，則預測直線l7的方程為y＝x＋5，這樣預測XX年的利潤為9萬元．

過B及以線段Ac的斜率kAc＝32作為預測直線斜率，則預測直線l8的方程為y＝32x＋112，這樣預測XX年的利潤為11.5萬元．

過c及以線段AB的斜率kAB＝2作為預測直線斜率，則預測直線l9的方程為y＝2x＋4，這樣預測XX年的利潤為12萬元．

過A及以線段AB的斜率kAB與線段Ac的斜率kAc的平均數作為預測直線斜率，則預測直線l10的方程為y＝74x＋5，這樣預測XX年的利潤為12萬元．

還有其他方案，在此不一一列舉．

點評：讀完以上的各種預測方案后，請你先思考兩個問題：

①第種方案與第種方案的結果完全一致，這是為什么？

②第種方案中，kBc的現實意義是什么？

本題可從以下兩個方面進一步拓展，其一是根據以上的基本解題思路，提出新的方案，如方案過△ABc的重心F，找出以m為斜率的直線中與A、c兩點距離的平方和最小的直線作為預測直線；其二是根據以上結論及你自己的答案估計利潤的范圍，你預測的利潤頻率出現最多的是哪一個值？你認為將你預測的結論作怎樣的處理，使之得到的利潤預測更有效？如果不要求用線性預測，你能得出什么結果？

第五篇：《線性規劃》在線作業題目與答案

《線性規劃》在線作業題目與答案

填空題

第1題(5)分

第2題(5)分

第3題(5)分

第4題(5)分

第5題(5)分

第6題(5)分

第7題(5)分

分析題

第8題(10)分

第9題(10)分

第10題(10)分

第11題(5)分

計算題

第12題(15)分

第13題(15)分

答案： 填空題 第1題

第2題

第3題 2?k?3

CN?CBB?1N或CBB?1N?CN

第4題：

minf?9(y1?y2)?7x2?0?x3?0?x4

?4(y1?y2)?5x2?x3?5?s.t.?(y1?y2)?3x2?x4?4?x,x,x?0,y,y?0.12?234第5題：

maxz?bTY,ATY?C

第6題：

XB?Bb，XN?0

第7題： ?1maxW?18y1?10y2?14y3

?7y1?2y3?1??2y?6y?8y?5123??s.t.?8y1?y3??4??y?5y?9

12???y1?0,y2?0分析題 第8題

解：圖形的陰影部分為此問題的可行區域，將目標函數的等值線4x1?6x2?c（c為常數）沿它的法線方向移動，于是就得到線性規劃的解。有無窮多個最優解。

第9題：

解：設x1,x2,x3分別表示生產書桌，餐桌和椅子三種產品的數量，則最大利潤為

S?70x1?50x2?25x3

木料，漆工和木工的工時約束分別是：

9x1?5x2?2x3?50;5x1?2x2?1.5x3?20;2x1?1.5x2?0.5x3?10.餐桌的生產約束是x2

?4，該問題的數學模型即為：

maxS?70x1?50x2?25x3

?9x1?5x2?2x3?50?5x?2x?1.5x?20123??s.t.?2x1?1.5x2?0.5x3?10??x2?4 ??x1,x2,x3?0第10題：

解：原問題的對偶問題為：minW?16y1?25y2

??y1?7y2?4s.t.??y1?5y2?5?2y1?3y2?9 ??y1,y2?0因為，原問題有可行解，如（5,0,0）；對偶問題也有可行解，如（所以，由對偶理論有最優解。

第11題

第12題第13題：

4,0），