第一篇：數學教學中的猜想論文

談“猜想”在數學教學中的滲透

德江縣合興中學冉茂文（565212）

摘要：

實施素質教育的一個重要方面就是要提高學生的創新意識和創新能力，在數學教學中，數學猜想是一個重要的組成部分。猜想驗證是一種重要的數學思想方法，在教學中重視猜想驗證思想方法的滲透，不但有利于學生迅速發現事物的規律，獲得探索知識的線索和方法，而且能增強學好數學的信心，激發學習數學的主動性和參與性，從而更好地發展創造性思維，提高學生自主學習與分析解決問題的能力。

關鍵字：探索數學猜想美化思維能力

科學家牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發明和發現。”在數學教學過程中，猜想驗證是一種重要的數學思想方法，將猜想引放到數學之中，將有助于學生開闊視野，活躍思維、培養創新意識，促進能力的整體提高。數學猜想是根據已知數學條件的數學原理對未知的量及其關系的似真推斷，它既有邏輯成份，又含有非邏輯的成分。因此它具有一定的科學性和很大程度的假定性，這樣的假定性命題是否正確，尚需通過驗證和論證，雖然數學猜想的結論不一定正確，但它作為一種創造性的思維活動，猜想是有一定根據的、科學的、合理的推測，它不是空想，更不是胡思亂想。猜想是瞬間的躍進，不僅能培養學生的想象能力，還能培養學生的估計判斷能力。在數學教學中正確引導學生猜想，培養猜想能力，不但有利于培養學生的創造性思維，而且還有利于培養學生將來在社會實踐中駕馭生活的能力。因此，在數學教學中，合理正確引發學生的猜想是教好數學這一門學科的最佳方式。那么在數學教學中如何引導學生展開猜想呢？這里我談一下我的認識。

一、營造寬松活潑的教學環境，激發學生的求知欲望。

在教學過程中，首先要營造一個和諧的氣氛，要以學生為主，教師為輔，讓學生在輕松的學習環境中吸收知識。從引入新課時，教師如能提出一些趣味性、探索性的問題，就會誘發學生對本節新課內容的好奇心和求知欲，例如，在教學中心對稱圖形時，教師向學生提出一些趣味性的問題：木匠師傅在設計花窗時是怎樣想的？怎樣才能畫一個標準的正六邊形呢？一組感性學習材料的提供和適當啟發，學生的思維有了一定的指向和集中。學生憑著對學習材料的直接反應，很有預見性地作出大膽的設想，這樣，在學生的大腦中就形成了一個凝問，想急于知道答案，課堂氣氛就活躍了，學生都也開始思考了，同時為引入新課作一個很好的鋪墊。

二、挖掘問題的源頭，誘發學生對問題的猜想。

在數學課堂教學中，如能提出探索性、挑戰性問題，并從這些問題的源頭著手，引發一個新的結論，這樣，很容易誘發學生的猜想。例如，在教學“圓面積計算公式”時，首先可以從長方形、正方形、三角形等面積公式導入。問：你們還記得這些平面圖形的面積公式的推導方法嗎？既然圓也是平面圖形，我們能否利用轉化方式，化圓為方，將它轉化為已學過的平面圖形來推導面積公式呢？學

生立即就活躍起來了，會有同學說把圓割成長方形再來求面積；也有的說，把它拼成三角形來求面積．．．．．．。最后老師來逐一總結每一種辦法的可能性，通過驗證讓學生感受到成功的喜悅。這樣即激發了學生的求知欲，又充分提高了學生的想象能力。

三、充分利用已知條件，為猜想提供捷徑。

學生的猜想是建立在對問題好奇的基礎上的，在對待一些探索型問題上，教師要做適當的引導和說明，根據題設的已知條件（包括有規律的算式、圖表、圖形等）從簡單情況或特殊情況入手，進行歸納、猜想、探索、得出結論。

例如：在講解（2003年福州）觀察下列各式：1×3=12 +2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3；．．．．．．；請你將猜想到的規律用自然數n（n≥1）表示出來。

分析：由于n≥1，從1開始，觀察等式左邊：第一項是1的依次遞增的自然數和比此自然數多2的數的積；右邊依次是從1開始的自然數的平方從1開始的自然數的2倍的積，這里向學生提出怎樣正確運用到自然數n（n≥1），對于得出的結論n(n+2)=n2+2n是否正確？怎樣來驗證這個猜想的正確性。通過這樣的引導，學生就會大膽地想象，從而得到正確的結論。從上例可以看出，學生獲取知識的過程是一種不斷進行數學猜想，幾番驗證，從而發現知識規律的過程是一種創造性的思維方式。

四、“美化”猜想，解決實際問題。

在對于解決一些實際問題時，往往會遇到不能用常規的辦法處理時，需要引入學生去觀察、去探索，這時要指引學生去大膽的猜想，去將自己猜想的結論進行“美化”，從而降低問題的難度，達到提高學生自主學習與分析解決問題的能力。如在分式這節內容中有這樣一道題：已知，112x?2y?xy??3，則的值x?2xy?yxy

為。

分析：從常規的處理辦法就是首先解出x、y的值，再把x、y的值代入式中計算。但在11??3中有兩個未知數x、y，無法得出具體的值,這時,可以假想xy

2x?2y?xy的結果是個常量,將想辦法去掉x、y。問:怎樣才能約掉式中的字母呢?x?2xy?y

能否把字母全部處理掉?已知條件起什么作用?這時學生就會想到首先要約掉式中的xy ,再利用已知條件就能解決問題了,這樣的猜想大大地降低了問題的難度,同時也讓學生對這類問題的處理方法有一種新的認識。

五、活用猜想，讓猜想在教學中用到恰當好處

數學知識的抽象性與青少年的思維性是緊密結合的，在教學過程中，要合理誘發學生的想象力，不能盲目地提出超越他們思維的問題，這樣既不能達到解決問題的目的，同時也創傷了他們求知欲的積極性，這會導致猜想質量不高，反而功虧一簣，所以要把“猜”與“想”有機地結合起來，在提升他們對思維分析能力的同時，把猜想在數學教學中發揮得淋漓盡致。

在國家《數學課程標準（實驗稿）》中提出：“數學學習應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的, 有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交

流等數學活動。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”。數學教學只有在學會猜想的基礎上才能發揮得更加完美，作為教育的執行者，要認真分析你所傳授的對象能否在你的引導下，進行合理的猜想，是否能通過你的引導來提升他們的思維想象能力。用科學的理念、大膽的猜想，富有邏輯的思維，把數學教學思想提上新的高度。

第二篇：數學猜想論文

論為什么數學三大猜想不是中國人提出的？

大名鼎鼎的數學界三大猜想，就像數學王冠上的璀璨明珠，吸引了無數大家耗盡一生究其奧秘。我并不是一個數學家，也可能是從小被逼著背定理做練習產生的免疫力，對這些美麗的猜想并無多大興趣，更讓我納悶的是為什么聰明的中國人不能提出這種偉大的猜想??下面是對三大猜想的簡單介紹。

（一）四色猜想

四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。”這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢？ ”成為困惑無數數學家的一大猜想。

（二）哥德巴赫猜想

世界近代三大數學難題之一。哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數學家，生于1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小于6的偶數都是兩個素數（只能被和它本身整除的數）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數學家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:

(a)任何一個>=6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。

(b)任何一個>=9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。

（三）費爾馬大定理及其證明

1637年，30來歲的費爾馬在讀丟番圖的名著《算術》的法文譯本時，他在書中關于不定方程 x^2＋ y^2 ＝z^2 的全部正整數解這頁的空白處用拉丁文寫道：“任何一個數的立方，不能分成兩個數的立方之和；任何一個數的四次方，不能分成兩個數的四次方之和，一般來說，不可能將一個高于二次的冪分成兩個同次的冪之和。我已發現了這個斷語的美妙證法，可惜這里的空白地方太小，寫不下。” 費爾馬去世后，人們在整理他的遺物時發現了這段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子發表了費爾馬的這一部分頁端筆記，大家才知道這一問題。后來，人們就把這一論斷稱為費爾馬大定理。用數學語言來表達就是：形如x^n ＋y^n ＝z^n 的方程，當n大于2時沒有正整數解。

從以上介紹中我們不難發現一些有意思的規律，他們都是從普通的現象中發現了詭異的現象，而提出了一些創造性的猜想。當我們看到這些猜想時，或許會覺得這種猜想太“弱智”了，但我們這么聰明的國人為什么就沒有提出一個稱得上偉大的猜想呢？一個調查顯示，黃種人的智商這是最高的，白種人次之。我們這么高的智商卻沒有給我們最大的創造力。我認為我們的教育負有不可推卸的責任。

創造性不是教出來的創造性只能在孩子成長的過程中培育，創造性教不出來，但不適當的教育足以把創造性扼殺在萌芽中。

中國傳統的基礎教育從幼兒園起，孩子就被要求聽話，“不聽話”的孩子被斥為調皮搗蛋。進入中小學盛行的“圈養教育”，學生們不需要思考，只需按照老師的講解領會，記住標準答案即可，課堂上不能有“奇思怪想”，發言時也不敢“隨心所欲”。

長大后，中國的青年們進入社會后往往會很順從，但每到需要他們決斷時，總是瞻前顧后，害怕承擔責任。于是，很難獨當一面。我認為這是教育的問題。中國的教師們把所有學生都用一種方法培養，一旦發現某個學生與眾不同，首先想到的是這個學生可能出了問題。要“聰明”還是要“智慧”

被稱作“聰明的孩子”，能知道答案，能理解別人的意思，能很快抓住要領、完成作業，樂于吸收知識，長于記憶??被稱為“智慧的孩子”，能提出問題，能概括抽象的東西，能演繹推理、尋找課題，運用知識，善于發明，長于猜想??

我們的基礎教育是怎樣把孩子們變成了一個個忙于練習題、記筆記，唯獨不善于提問的“知識桶”。我們的學校要求孩子帶著崇敬的心態去理解篇篇“范文”，而美國學校則要求孩子談自己的種種體驗；我們考的是“老師講什么”，美國考的是“學生想什么”??

“中國的學生太多考試，太多死記硬背。整體教育缺乏創造力。”在中國做過多年教育工作的奈斯比特夫婦這樣認為。哈佛大學的標志是三本書——兩本朝上打開，一本朝下蓋著。這個標志告訴師生：書本傳播了知識和真理，同時書本中也有謬誤。因此哈佛的師生都要不唯書、不唯上。哈佛所追求的就是師生的批判性思維。今年暑期，在南京召開的第四屆中外大學校長論壇上，來自西方的世界一流大學的校長們發出了同樣的聲音：中國的學生最缺乏挑戰權威的勇氣，不太愿意發表不同的看法，不太愿意自主地進行創造性思維。

批判性思維的根基在獨立思考

錢學森生前質疑中國教育“沒有自己獨特的創新的東西，老是‘冒’不出杰出的人才”，一個重要原因就是嚴重忽視對學生創造性思維的培養。所謂探索精神和創造能力，莫不以批判性思維作為“內功根基”。他說：“只有具備了批判性思維的人，才可能重新思考乃至推翻別人做過的事，開拓前人未涉的領域。”

幾個月前有媒體報道，華中師大一附中高三學生李紅豪，在一次期中考試的作文中措辭激烈地抨擊教育弊端，結果幾天后被班主任要求進行反思，且反思好之前不許上課。在這樣的教育環境中成長的學生，還有多少人敢堅持質疑？

現在比較流行的就是和老美比，美國的科學技術遠比我們發達，但在中小學沒有我們重視所謂科學之母的數學，最重要的原因，是他們沒有為數學而數學。數學教育的作用首先在于培養創新思維能力，其次才是直接運用數學公式。人生活在社會上，需要解題的機會少，需要動腦子的機會多。我的孩子，當初興沖沖地到美國讀小學，就是因為聽說美國作業少。真讀起來就發現，美國的作業少，但是題目都是發散的，需要動腦子；中國的作業多，可是簡單重復，會了題型，就是個花時間做上五十遍的問題。

我們應該更智慧的對待我們的創新教育問題，不要在孩子們接受完教育后，變成一個沒有創造力的機器。一個沒有創造里的國家是永遠不會站在世界的巔峰的，當然，我們要學習西方，但不能一味的崇拜西方教育，他們不是完美的，我們要保持傳統，但也不能否認我們的不足，我們也不是完美的。我們其實可以做的更好，為什么要維持現狀，維持現狀就是落后，我們現在最大的問題就是明明知道自己的問題所在，卻要諱疾忌醫，不能痛下決心醫治，還要硬挺著，但終有一天我們可能會倒下，我們應該改變，也可以改變，也必須改變。改變先從教育開始，教育要從娃娃抓起。

12級 研究生大隊王棟

學號：4192012144

第三篇：數學教學中的猜想,培養創新精神論文

《數學課程標準》中指出：數學學習應當是有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、推理與交流等數學活動。猜想是一種創造性思維的方式。在小學數學中的猜想，可以激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，使之記憶理解能力，分析判斷能力等各種智力因素得到充分發揮，從而使整個思維活動處于最積極、最活躍的狀態。因此小學數學教學中的猜想是發展學生個性，培養學生創新精神的一種有效的方法，運用猜想賦予日常的教學之中，正是引導學生掌握科學方法，養成良好習慣，提高創造力的途徑之一。那么在平時的教學實踐中，如何引導學生猜想，培養學生的創新精神，現就談談自己的方法和體會。

1引入知識點應用猜想，使學生靈活交換角度思考，從而創造性地找出解題策略

教學《口算兩位數加減法》時，板書課題后問學生：“看到這個課題后，你們想知道什么問題？”學生爭著說：“想知道用什么口算方法簡單，有幾種方法？”于是在教師的引導下，促使學生積極尋求解答口算題的簡單方法、途徑。

又如：當學生看到男生人數是女生人數的3/4時，可以從不同角度聯想到：男生人數是全班人數的3/7，女生人數是全班人數的4/7，女生人數是男生人數的4/3，女生人數比男生人數多1/3……男生人數和女生人數的比是3：4，男生人數占3份，女生人數占4份，全班人數是7份。

在猜想中及時把學生思路由某一方向引向另一方向，教師不失時機地克服學生思維的定式，潛心引導，多方啟迪學生善于思考，變方向，變角度地去聯想，去創新，誘發學生的創新靈感，培養了學生的創新意識。

2總結規律性，引導學生經歷猜想，從猜想走向發

現，引導學生多角度地探索問題，發現規律

如：教學“分數的基本性質”一課，在組織學生比較“分數與除法的聯系”及“商不變的性質”后，問學生：“通過剛才的復習，你有什么想法？”引發學生的猜想：分數的分子和分母同時擴大或縮小相同的倍數（0除外），分數值不變，最后引導學生歸納總結出分數的基本性質。

從上述例子可以看到，猜想是建立在類比、聯想的基礎上。根據兩事物相同方面，有同學推出與除法中的商很類似，除法中的被除數與除數同乘以或除以一個不為零的數，商不變，那么分數的分子與分母同乘以或除以一個不為零的數，分數值是否也不變呢？然后引導學生舉例，討論其他方面；或者聯系相似、相關的事物，從而產生遷移，尋求正確答案。

3借助審題，引導學生激發猜想，掌握猜想方法

教學中要在具體的審題、解題、驗證中，教給學生猜想方法，讓學生以已知條件為出發點，根據條件，來猜測結果的大致范圍。如：服裝廠原來做每套衣服用布2.2米，改進方法后每套節約0.2米，原來做600套衣服的布，現在可以做多少套？猜一猜這道題的答案大約是多少套？

根據所求問題讓學生思考后回答，教師引導學生從審題入手，仔細分析題中的條件，得出現在做的套數大于600套，因為現在每套比原來節省0.2米，而布的總米數不變，節省下來的布就可以多做一些，所以現在做的套數一定大于原來的套數。這樣，讓學生明白要猜測之強，必須認真審題，抓住關鍵句，進行初步推理、判斷，引出測出大約的結果，掌握猜測的方法，有利于不斷提高學生猜測能力，培養學生良好的學習習慣。

4課堂小結中，延伸猜想

一般認為，對新知識的探索結束了，猜想也告一段落。其實，課堂小結以后仍有猜想的存在，那將是猜想的延伸。如學習長方形和正方形面積之后，可以讓學生猜想自己住的小房間的面積，課桌的面積……這樣的猜想，有利于培養學生將所學知識運用與實際生活的能力。

牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發現。”因此要鼓勵學生有猜想的膽量，有不怕猜錯的勇氣，不斷開拓思維的空間。通過計算、觀察、猜想、驗證，激發學生的學習興趣，發展學生的數感和直覺思維能力，培養學生探索數學問題，比單純解答一道題有價值的多。

第四篇：數學猜想在數學教學中的作用

淺談中學教學中的數學猜想

摘要：通過史實的種種證明，猜想在整個數學教學過程中都起到非常重要的作用。本文從“數學猜想”的定義入手，到它的方法意義，然后到它在中學教學的指導作用，最后，深入分析它的四種分類。重在討論如何運用數學猜想解決數學問題。

關鍵詞：猜想，創新，中學教學，推理

一、數學猜想的定義及其特征

數學猜想是根據已經存在的數學知識和數學事實，對未知量及其關系作出的似真判斷，具有科學假說性。任何數學定理或結論的形成都人模糊到確立，也就是從猜想（假說）到結論。科學家牛頓曾說：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現。”數學教育家波利亞也認為一個好的數學家，首先必須是一個好的猜想家，并提出：“在數學教學中必須有猜想的地位。”

數學猜想既有邏輯的成份又含有非邏輯的成份，因此，它具有科學性的同時也有很大程度的假定性，我們需要推理和論證才能最好終確立這樣的猜想是否正確，而這樣的推理和論證過程剛是一種創造性的思維活動，是科學發現的一種重要手段。

數學猜想具有科學性，假定性和創新性三個基本特征。

（１）、科學性 數學猜想并不是憑空想像，而是以數學經驗事實為基礎，對未知量和相互關系作出的推測和判斷。因此，數學猜想具有一定的科學性。

（２）、假定性 任何猜想都需要以真實依據為先導，合情推理為手段進行論證或推翻，只要這個猜想還沒被證實，那么它就是假定的，似真的。

其實，數學猜想就是科學性和假定性的統一體。

（３）、創新性 創新是數學猜想的靈魂，沒有創新就無所謂數學猜想。有了猜想就要去推出它，證明你的猜想是個事實，而這個證明或推理的過程就是一個思維碰撞的過程，通過這樣的過程，產生了新的見解，事實或規律等。所以每個數學猜想的論證都有創新性。因此，數學猜想對于數學理論的發展和創新具有十分重要的作用。

二、數學猜想的方法論意義

數學猜想作為一種科學思維形式和數學研究方法，是數學發展的重要途徑，每個數學理論、分支的產生與發展無不烙下數學猜想的印跡［１］。而數學猜想作為一種研究方法，它本身就是數學方法論的研究對象。數學猜想的類型、特征、提出方法和解決途徑等，對于一些數學理論的證明都具有非凡的意義。

（1）、數學猜想對于許多的數學理論的形成起到很在的促進

作用，導致了今天 的數學對整個世界乃至宇宙都有著巨大的貢獻。數學猜想是數學發展史中最頻繁躍現的因素之一，是人類理發思維中的最好不安分卻最具創造性的部分。古今中外，我們不難發現，有無數的數學家被吸進數學理論研究的大熔爐里，甘愿與數學研究共生存共發展，甚至其他領域的科學家也被這樣神奇的猜想方法深深地吸引過來。也因此，很多的數學定理便應運而生。比如，“伯恩賽德猜想”：每一個非交換的單群都是偶數階的。1963年被湯普森和菲特證明，從此轉化為數學定理。當然，并不是每個數學猜想都會成為正確的數學定理，但在數學猜想的討論研究過程中總會有意外的驚喜，同樣豐富了數學理論。

（2）、數學猜想是創造數學思想方法的重要途徑。數學猜想的探討過程總有風雨和坎坷，但不得不被人們承認的一點就是在這個漫長的過程總是能創造出大量有效的數學思想方法。比如在研究“無窮小悖論”問題時，創立了“極限思想方法”史厄曼在研究哥德巴赫猜想過程中創造了“密率法”；陳景潤改進了古老的“篩法”。這些數學思想方法已滲透到數學的各個分支并在數學研究中發揮著重要作用。

（３）、數學猜想本身就是研究科學方法論的研究對象。數學猜想的類型、特征、提出方法和解決方法等，對總結一般科學方法尤其是對創造性思維方法研究具有特殊意義和價值。事實證明，關于數學猜想的條件變更法、逐級猜想法、判定數學猜想真偽命題轉化與反例否定法等，對后時代研究科學理論上都有舉足輕重的作用。

數學的發展要靠猜想，我們應學會習慣去猜想，并利用猜想滲透到數學領域里去。猜想－證明－猜想－證明，數學就是這樣一個歷程，雖然曲折但 總的還是在不斷地前進著。

三、數學猜想對中學數學教學的指導作用。

中學教育無論對于老師還是學生而言都是一項偉大的教與學的工程，因此教師作為指引者就顯得尤為關鍵。數學教學的目的是使學生掌握數學知識和數學技能，培養學生分析問題和解決問題的能力。［２］

為了讓學生牢記解題方法和獲得的基本知識，我們必須帶領學生“再創造”，雖然知識是前人證明和研究出來的，但我們更應該讓學生也像那些科學家們一樣學會自己發現，這就需要我們教師去引導和幫助。“再創造”實際上就是重視數學猜想，一般用已學過的舊知識進行歸納揄和類比推理，然后層層迭進經過推理－結論－修正－新結論－??如此往復地進行完善，最終獲得最后的結果。

四、數學猜想的分類（1）不完全歸納猜想

不完全歸納法（簡稱歸納法），是依據少量經驗事實，作出關于一般規律的猜想或假設的思維形式。它含有豐富的想象和直覺判斷，而想象和直覺判斷屬于思維的范疇，因此歸納法具有發現新知識和探索趔的創造功能，成為數學發現的重要方法之一。在中學教學中利用這種猜想，可發現和解決某些一般性的問題，其思維模式是試驗－歸納－猜想。例如：

化簡：

因為歸納推理與人們認識事物的進程較為一致，故而易為理解和接受。在許多命題的解題過程中，用歸納法猜出結果后，就可以確定具體的解題目標，從而避免漫無目標的盲目探索，同時，根據已知信息，制定出合理的解題方案。

（２）、類比猜想

類比法是根據兩個或兩類對象某些特點的相同或相似，然后判斷它們的其他特點也相同或相似的思維形式，也稱為類比揄。長期以來類比猜想有了很大的發展，它們的作用早就被眾多的科學家認識到。天文學家開普勒說過：“我最珍視類比，它是我最可靠的老師。”數學家拉普拉斯也指出：“甚至在數學里，發現真理的工具也是歸納和類比。”

在中學數學教學中，用類比猜想，可由兩命題中條件的相似，去猜想結論的相似，去猜想推理方法的相似；還可以由兩個概念的相似去猜想解題思路的相似。其思維的般方式是類比－聯想－猜想。例：

類比法在數學問題解決中有啟迪新思路和觸類旁通的作用。著名哲學家康德所說：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這種方法往往能指引我們前進。”恰到好處地運用好類比猜想，有時對教學也有意想不到的幫助。

在數學教學當中，許多公式、定理和法則，還有一些例題和習題等都可以適當地運用類比法提出猜想，然后引導學生獲得新知識，這對學生的創造性思維能力指導具有重要意義。

（３）、探索性猜想

探索性猜想是指依據思維里已經存在的知識經驗，獲得對于需要解決的問題作出逼近結論的方向性的猜想。此猜想多次重復試探和論證。通過多次探索和修改，逐步向結論靠近，最后獲得解題方向。其思維大致模式是：猜想－修正－猜想。

例：

（４）、審美性猜想

審美性猜想是運用數學美的思想－簡單性、對稱性、相似性、和諧性、奇異性等，對研究的對象或問題，結合已有知識與經驗所作研究的對象或問題，結合已有知識與經驗所作出的直覺性猜想。比如，復雜的問題可能存在簡單的解答；對稱的條件能導致對稱的結論；相似的對象具有相似的性質等等。我們中學教學中碰到很多問題用其它方法都解決不了，其實只要你細心觀察，會發現它們的某些部分的眼光去猜想最后的結論并加以論證。審美性猜想的思維模式是：觀察－審美－猜想。

例：

五、數學猜想在中學教學中的應用

《全日制義務教育數學課程標準》中指出，學生的“推理能力主要表現在：能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據，給證明或舉出反例。”顯然，數學猜想是思維能力的范疇，是義務教育的培養目標之一。

因此，數學教師必須在教學中重視學生猜想能力的培養。

以上幾種是中學數學中最常用的猜想，教學還必須讓學生明白：第一，這些猜想是不能分開使用的，例如，審美直覺在解題過程中往往起著調控和決策 作用，正是有了對美的追求才激發了人們對所研究的問題提出種種猜想，有時是類比，也會是歸納，或者兩者都有。第二，數學猜想的結果不一定是正確的，它的正確性要經過邏輯論證。

總之，掌握數學猜想的規律和方法是數學教學中應予以加強的一項重要工作，它不僅可以提高學生的理解能力，更有助于學生思維的發展和創造能力的提高。

第五篇：數學猜想

1、地圖的“四色猜想”

世界近代三大數學難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。”這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。

1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數學家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。

11年后，即1890年，數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數學大師們的努力，為后世的數學家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引進了一些新技巧，美國數學家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數學史上一系列新思維的起點。不過也有不少數學家并不滿足于計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。

3、敘拉古猜想

大家一起來做這樣一個游戲：每個人可以從任何一個正整數開始，連續進行如下運算，若是奇數，就把這個數乘以3再加1；若是偶數，就把這個數除以2。這樣演算下去，直到第一次得到1才算結束，首先得到1的獲勝。比如，要是從1開始，就可以得到1→4→2→1；要是從17開始，則可以得到17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。自然地，有人可能會問：是不是每一個正整數按這樣的規則演算下去都能得到1呢？這個問題就是敘拉古猜想，也叫科拉茲猜想或角谷猜想。

既然是猜想，當然至今還沒有得到證明，但也沒有發現反例。利用計算機，人們已經

50驗證了所有小于100*2=***400的正整數。這是葡萄牙阿弗羅(Aveiro)大

學的Tomas Oliveira e Silva的工作，用了很巧妙的編程方法。因此大家在做游戲時大可不必擔心會出問題。

4、漢諾塔問題

漢諾（Hanoi）塔問題：古代有一個梵塔，塔內有三個座A、B、C，A座上有64個盤子，盤子大小不等，大的在下，小的在上（如圖）。

有一個和尚想把這64個盤子從A座移到B座，但每次只能允許移動一個盤子，并且在移動過程中，3個座上的盤子始終保持大盤在下，小盤在上。在移動過程中可以利用B座，要求打印移動的步驟。

這個問題在盤子比較多的情況下，很難直接寫出移動步驟。我們可以先分析盤子比較少的情況。假定盤子從大向小依次為：盤子1，盤子2，...，盤子64。

如果只有一個盤子，則不需要利用B座，直接將盤子從A移動到C。

如果有2個盤子，可以先將盤子1上的盤子2移動到B；將盤子1移動到c；將盤子2移動到c。這說明了：可以借助B將2個盤子從A移動到C，當然，也可以借助C將2個盤子從A移動到B。

如果有3個盤子，那么根據2個盤子的結論，可以借助c將盤子1上的兩個盤子從A移動到B；將盤子1從A移動到C，A變成空座；借助A座，將B上的兩個盤子移動到C。這說明：可以借助一個空座，將3個盤子從一個座移動到另一個。

如果有4個盤子，那么首先借助空座C，將盤子1上的三個盤子從A移動到B；將盤子1移動到C，A變成空座；借助空座A，將B座上的三個盤子移動到C。

上述的思路可以一直擴展到64個盤子的情況：可以借助空座C將盤子1上的63個盤子從A移動到B；將盤子1移動到C，A變成空座；借助空座A，將B座上的63個盤子移動到C。

一、哥德巴赫猜想

1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：

一、任何不小于6的偶數，都是兩個奇質數之和；

二、任何不小于9的奇數，都是三個奇質數之和。

這就是數學史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需在兩個猜想中證明一個就足夠了。

同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中，明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是歐拉當時還無法給出證明。由于歐拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數學界。從那以后，許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都致力于證明哥德巴赫猜想。可是直到19世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超出了人們的想象。有的數學家把哥德巴赫猜想比喻為“數學王冠上的明珠”。

我們從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋

5、??、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、??這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗證了3300萬以內的所有偶數，竟然沒有一個不符合哥德巴赫猜想的。20世紀，隨著計算機技術的發展，數學家們發現哥德巴赫猜想對于更大的數依然成立。可是自然數是無限的，誰知道會不會在某一個足夠大的偶數上，突然出現哥德巴赫猜想的反例呢？于是人們逐步改變了探究問題的方式。

1900年，20世紀最偉大的數學家希爾伯特，在國際數學會議上把“哥德巴赫猜想”列為23個數學難題之一。此后，20世紀的數學家們在世界范圍內“聯手”進攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終于取得了輝煌的成果。

20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數學方法。解決這個猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最后的結果。

1920年，挪威數學家布朗證明了定理“9＋9”，由此劃定了進攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個“9＋9”是怎么回事呢？所謂“9＋9”，翻譯成數學語言就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成其它兩個數之和，而這兩個數中的每個數，都是9個奇質數之積。” 從這個“9＋9”開始，全世界的數學家集中力量“縮小包圍圈”，當然最后的目標就是“1＋1”了。

1924年，德國數學家雷德馬赫證明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4”和“3＋3”逐一被攻陷。1957年，我國數學家王元證明了“2＋3”。1962年，中國數學家潘承洞證明了“1＋5”，同年又和王元合作證明了“1＋4”。1965年，蘇聯數學家證明了“1＋3”。

1966年，我國著名數學家陳景潤攻克了“1＋2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是兩個奇質數的積。”這個定理被世界數學界稱為“陳氏定理”。

由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結果“1＋1”僅有一步之遙了。但為了實現這最后的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明“1＋1”，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。

費爾瑪猜想

法國數學家費爾瑪對數學的貢獻涉及各個領域。他與笛卡兒一起奠定了解析幾何的基礎；他和帕斯卡一起奠定了概率論的基礎；他從幾何角度，第一次給出了求函數極值的法則??但使他名垂千古、載入史冊的還他所提出的費爾瑪猜想，也被稱為“費爾瑪大定理。”

費爾瑪在丟番圖的《算術學》的書頁邊上寫道：

任何一個數的立方不能分解為兩個立方之和，任何一個有選舉權的四次方不能分解為兩個四次方之和；更一般的，除二次冪外，兩個數的任何次冪的和都不可能等于第三人矍有同次冪的數。我已經找到了這個斷語的絕妙證明，但是，這書的頁邊太窄，不容我把證明寫出來。

費爾瑪的這段筆記，用數學語言來表達，就是形如X^n+y^n=z^n的方程，當n大于2時，不可能有正整數解。

遺憾的是，人們找遍了他的文稿和筆記，都搜尋不到這個“絕妙”的證明。

費爾瑪的證明是什么樣的？誰也不清楚。他是否真的給出過證明也值得懷疑。不過，他用無窮遞降的方法證明了N=3的情形。

后來，歐拉也沿用此方法證明了n=3,4時，x^n+y^n=z^n無整數解。

19世紀有不少數學家對這個問題感興進取，勒讓德與克雷同時證明了n=5時的費爾瑪大定理；拉梅證明了n=7時的情形，后來德國數學家庫默爾將n推進到了100。

20世紀隨著電子計算機的飛速發展和廣泛應用，到1978年，已經證明了當n<12500的素數以及它們的倍數時，猜想都成立。

在300多年中，人們希望能找到它的一般證明，但又苦于無法；企圖否定，又舉不出反例。

1850年---1853年，法國科學院曾兩次以2000法郎的獎金懸賞，但都沒有收到正確答案。

1900年，德國數學家希爾伯特認為費爾瑪大定理是當時最難的23個數學問題之一。1908年，德國哥庭根科學院按照德國數學家俄爾夫斯開耳的遺囑，把他的10萬馬克作為費爾瑪大定理的證明獎金，向全世界征求解答，期限為100年，直到公元2007年仍有效。可見，費爾瑪確引起了不同尋常的反響。就定理本身而言，是一個中學生都能搞懂的問題。因此，不光是數學家、數學工作者，還有工程師、職員、政府官員都投身到了“費爾瑪猜想”的證明當中，證明的熱潮十分高漲。

第一次世界大戰的爆發，才使證明趨于冷落。

費爾瑪猜想雖然還沒有最終獲得證明，甚至還有人認為他是一道死題。但是在證明“費爾瑪猜想”的過程中，數學家們發現了許多新的概念、定理和。

費爾瑪僅憑少數事例而產生天才的猜想，推動了數學的發展。“理想數論”這一嶄新的數學分支，正是在這種探索中建立的。

對“費爾瑪猜想”的大規模探索表明，企圖用初等數學證明它，大概是不可能的，就像解決古希臘三大難題一樣，恐怕要依賴新的數學方誕生！。

歷史的新轉機發生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了:費爾馬大定理包含在“谷山豐—志村五朗猜想 ” 之中。童年就癡迷于此的懷爾斯，聞此立刻潛心于頂樓書房7年，曲折卓絕，匯集了20世紀數論所有的突破性成果。終于在1993年6月23日劍橋大學牛頓研究所的“世紀演講”最后，宣布證明了費爾馬大定理。立刻震動世界，普天同慶。不幸的是，數月后逐漸發現此證明有漏洞，一時更成世界焦點。這個證明體系是千萬個深奧數

學推理連接成千個最現代的定理、事實和計算所組成的千百回轉的邏輯網絡，任何一環節的問題都會導致前功盡棄。懷爾斯絕境搏斗，毫無出路。1994年9月19日，星期一的早晨，懷爾斯在思維的閃電中突然找到了迷失的鑰匙：解答原來就在廢墟中！他熱淚奪眶而出。懷爾斯的歷史性長文“模橢圓曲線和費爾馬大定理”1995年5月發表在美國《數學年刊》第142卷，實際占滿了全卷，共五章，130頁。1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬馬克懸賞大獎。離截止期10年，圓了歷史的夢。他還獲得沃爾夫獎(1996.3），美國國家科學家院獎（1996.6），費爾茲特別獎（1998.8）。

孿生素數猜想

1849年，波林那克提出孿生素數猜想（the conjecture of twin primes），即猜測存在無窮多對孿生素數。

孿生素數即相差2的一對素數。例如3和5，5和7，11和13，?，10016957和10016959等等都是孿生素數。

1900年希爾伯特在國際數學家大會上說有了素數公式，哥德巴赫猜想和孿生素數猜想都可以得到解決。剛剛去世的浙江大學沈康身教授也認為有了素數普遍公式，就可以解決大多數數論難題。

孿生素數是指一對素數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生素數。

孿生素數猜想，即是否存在無窮多對孿生素數，是數論中未解決的一個重要問題。哈代-李特爾伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）是孿生素數猜想的一個增強形式，猜測孿生素數的分布與素數定理中描述的素數分布規律相類似。

1966年，中國數學家陳景潤在這方面得到最好的結果：存在無窮多個素數p，使p+2是不超過兩個素數之積。

孿生素數猜想至今仍未解決，但一般人都 認為是正確的。