第一篇：6-6第六節(jié) 直接證明與間接證明練習(xí)題(2015年高考總復(fù)習(xí))

第六節(jié) 直接證明與間接證明

時(shí)間：45分鐘 分值：75分

一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)

1．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的是()

A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)

B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)

C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)

D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)

解析 “至少有一個(gè)”的否定為“都不是”．故選B.答案 B

2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()

A．2ab－1－a2b2≤0

?a＋b?2C.2－1－a2b2≤044a＋bB．a(chǎn)2＋b2－1－2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 解析 a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.答案 D

3．(2014·臨沂模擬)若P＝aa＋7，Qa＋3＋a＋4(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系()

A．P>Q

C．P

解析 假設(shè)P

答案 C

4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()

A．恒為負(fù)值

C．恒為正值B．恒等于零 D．無法確定正負(fù)

解析 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)

5．不相等的三個(gè)正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項(xiàng)，y是b，c的等比中項(xiàng)，則x2，b2，y2三數(shù)()

A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列

B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列

C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列

D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列

a＋c＝2b，①??2由已知條件，可得?x＝ab，②

??y2＝bc，③解析

2x??a＝b，由②③得?y2??c＝b 代入①，x2y2得b＋b2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差數(shù)列，故選B.答案 B

yyzzxx6．(2014·濟(jì)南模擬)設(shè)x，y，z>0，則三個(gè)數(shù)xzxyzy()

A．都大于2

C．至少有一個(gè)不小于2B．至少有一個(gè)大于2 D．至少有一個(gè)不大于2

yyz解析 假設(shè)這三個(gè)數(shù)都小于2，則三個(gè)數(shù)之和小于6，又x＋zx

zxx?yx??yz??zx?＋y＋zy＝?x＋y＋?zy＋?x＋z≥2＋2＋2＝6，與假設(shè)矛盾，故這??????

三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.另取x＝y(tǒng)＝z＝1，可排除A、B.答案 C

二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

cd7．已知三個(gè)不等式①ab>0；a>b③bc>ad.以其中兩個(gè)作條件，余下一個(gè)作結(jié)論，則可組成________個(gè)正確命題．

解析 ①②?③，①③?②；②③?①.答案 3

8．在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，則a5和b5的大小關(guān)系為________．

解析 方法1：設(shè)公比為q，公差為d，則a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d，故由a3＝b3，得2d＝a1(q2－1)．

又∵a1≠a3，∴q2≠1.∴a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)

＝a1q4－[a1＋2a1(q2－1)]

＝a1(q2－1)2＞0.∴a5＞b5.方法2：∵在等比數(shù)列{an}中，a1≠a3，∴公比不為1.∴a1≠a5.又∵a1＝b1，a3＝b3，a5＝a3q2＞0(q為公比)，b1＋b5a1＋a5b1＋a5∴b3＝2a3a1a5＜22.∴a5＞b5.答案 a5＞b5

9．已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝x＋1的圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為__________．

解析 an＝n＋1，bn＝n.方法1：cn＝n＋1－n＝

數(shù)，∴cn＋1＜cn.方法2：cn＋1?n＋1?＋1－(n＋1)，cn＝n＋1－n，n＋1－n?n＋1?＋1＋n＋1c∴＝＞1.cn＋1?n＋1?＋1－?n＋1?n＋1＋n

∴cn＞cn＋1.答案 cn＞cn＋1

三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，共30分)10．已知a>0證明 221隨n的增大而減小，為減函n＋1＋n11aa－2≥a＋a2.211a＋a2≥aa－2.1a＋a＋2≥a＋a2.?2?1?2??，?a＋2a＋a2≥a???2?∵a>0，故只要證? ?

1即a2＋a從而只要證1??11a2＋a＋4≥a2＋2＋a＋22?a＋a＋2，??1??1?a＋a2a＋a?，??21??21??212只要證4?aa?≥2?a＋2＋a?，即a＋a≥2，????

而上述不等式顯然成立，故原不等式成立．

11．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)＝0，且00.1(1)證明：af(x)的一個(gè)零點(diǎn)；

1(2)試用反證法證明ac.證明(1)∵f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2.∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c11又x1x2＝ax2＝a(ac)，11∴af(x)＝0的一個(gè)根，即a是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)．

11(2)假設(shè)ac，又a，由00，?1?知f?a?>0與???1?1?fa＝0矛盾，∴ac，??

11又∵ac，∴a>c.12112．(1)求證：當(dāng)a>1時(shí)，不等式a＋aa＋a成立； 3

(2)要使上述不等式成立，能否將條件“a>1”適當(dāng)放寬？若能，請

放寬條件，并簡述理由；若不能，請說明理由；

(3)請你根據(jù)(1)(2)的結(jié)果，寫出一個(gè)更為一般的結(jié)論，且予以證明．

111解(1)證明：a3＋a－a2－a＝aa－1)(a5－1)，1∵a>1，∴a(a－1)(a5－1)>0，故原不等式成立．

(2)能將條件“a>1”適當(dāng)放寬．理由如下：當(dāng)a≠1時(shí)，(a－1)與(a5

1－1)同符號，所以(a－1)(a－1)>0，只需a>0且a≠1就能使a(a－1)(a55

－1)>0，故條件可以放寬為a>0且a≠1.(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)果，可推知：

1n1若a>0且a≠1，m>n>0，則有a＋a>a＋a.m

證明如下：

111am－an＋aaan(am－n－1)－a(am－n－1)

1m－n＝a(a－1)(am＋n－1)，若a>1，則由m>n>0得am－n－1>0，am＋n－1>0，知不等式成立，若0n>0得am＋n－1<0，am＋n－1<0知不等式成立．

第二篇：直接證明與間接證明

鄉(xiāng)寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學(xué)堂學(xué)案數(shù)學(xué)選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數(shù)學(xué)組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數(shù)，并且a?b.求證:a?ma?.學(xué)習(xí)任務(wù)：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會用直接法證明一般的數(shù)

學(xué)問題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)；會用反證

法證明一般的數(shù)學(xué)問題 3.求證?7?25

自學(xué)導(dǎo)讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問題反饋：

思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?/p>

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點(diǎn)：執(zhí)果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點(diǎn)：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設(shè)a為實(shí)數(shù)，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個(gè)不小于12.

第三篇：6.6 直接證明與間接證明修改版

高三導(dǎo)學(xué)案學(xué)科 數(shù)學(xué) 編號 6.6編寫人 陳佑清審核人使用時(shí)間

班級：小組：姓名：小組評價(jià)：教師評價(jià)：課題：（直接證明與間接證明）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn) ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點(diǎn)。

難點(diǎn) ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點(diǎn)。

【使用說明及學(xué)法指導(dǎo)】①要求學(xué)生完成知識梳理和基礎(chǔ)自測題；限時(shí)完成預(yù)習(xí)案，識記基礎(chǔ)知識；②課前只獨(dú)立完成預(yù)習(xí)案，探究案和訓(xùn)練案留在課中完成預(yù)習(xí)案

一、知識梳理

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論，這種證明方法叫做綜合法．

②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論)．

(2)分析法

①定義：從出發(fā)，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個(gè)明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設(shè)原命題，經(jīng)過正確的推理，最后得出，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命

題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

二、基礎(chǔ)自測

1.下列表述：①綜合法是由因?qū)Чǎ虎诰C合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

2.?）

A．綜合法

B．分析法C．反證法D

．歸納法

3.用反證法證明“如果a?

b?）

A

?

?D4．定義一種運(yùn)算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．

5.下列條件：①ab?0，②ab?0，③a?0,b?0，④a?0,b?0，其中能使

是。ba??2成立的條件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2???a?b?c。例

1、設(shè)a,b,c?0，證明bca

例

2、已知函數(shù)f(x)?tanx,x?(0,?x?x2?1)，)。若x1,x2?(0,)，且x1?x2，[f(x1)?f(x2)]?f(1 222

2例

3、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求證：數(shù)列{an}中不存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列。

二、總結(jié)整理

訓(xùn)練案

一、課中訓(xùn)練與檢測

1.設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)．現(xiàn)有下列命題：

11①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若1，則a－b<1；③若|a－b|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則ba

|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

2.已知a?

01?a??2。a

二、課后鞏固促提升

已知a?0,b?0，且a?b?2，求證1?b1?a,中至少有一個(gè)小于2.ab

第四篇：5直接證明與間接證明

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5直接證明與間接證明

作者：

來源：《數(shù)學(xué)金刊·高考版》2014年第03期

直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時(shí)以解答題的壓軸題的形式呈現(xiàn)，此時(shí)難度為高檔，分值約為4～8分.對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個(gè)別地區(qū)的高考卷中出現(xiàn)，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關(guān)鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實(shí)質(zhì)上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關(guān)鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實(shí)際上是尋找結(jié)論的充分條件.因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據(jù)什么去推導(dǎo)（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，常考慮用反證法來證明.一般地，可在假設(shè)原命題不成立的前提下，經(jīng)過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設(shè)錯(cuò)誤，從反面證明原命題成立.

第五篇：直接證明和間接證明復(fù)習(xí)教案

高三數(shù)學(xué)教案

【課題】直接證明和間接證明能力要求:A

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識與技能：了解直接證明的方法——綜合法和分析法；了解間接證明的方法——反證法 過程與方法：通過師生互動，讓學(xué)生掌握三種證明方法。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

能應(yīng)用綜合法和分析法解決一些簡單的證明題。

一、知識回顧

1、綜合法：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的方法。其特點(diǎn)是由因?qū)Ч?/p>

2、分析法：一般的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推理過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）的方法。其特點(diǎn)是執(zhí)果索因

3、反證法：其證明步驟是

（1）提出假設(shè)——假設(shè)命題的 結(jié)論不成立。

（2）推出矛盾——從 已知條件和事實(shí)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理。得出 矛盾的結(jié)果。

（3）得出結(jié)論——由 矛盾結(jié)果，斷定 假設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。

二、預(yù)習(xí)作業(yè)

1、比較大小：

2??

2、下列表述：（1）綜合法是執(zhí)因?qū)Чā＃?）綜合法是順推法。（3）分析法是執(zhí)因?qū)Чā＃?）分析法是間接證明法。（5）反證法是逆推法。正確的語句有 3個(gè)。

3、在用反證法證明命題時(shí)，“若x?0,y?0且x?y?2，則1?y1?x和中至少有一個(gè)xy

小于2”時(shí)，假設(shè)則1?y1?x和都不小于2xy4、已知?ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5，-2），（1，2），（10，3），則?ABC的形狀是直角三角形

5、若a?b?0，則下列不等式中總成立的是

11bb?1?b?（2）?baaa?

1112a?ba?（3）a??b?（4）aba?2bb（1）a?

6、方程lnx－6+2x=0的解x0，則滿足x?x0的最大整數(shù)解是

三、例題

例

1、在數(shù)列?an?中，a1?2,an?1?4an?3n?1,n?N*.(1)證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列。

(2)求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和sn

(3)證明不等式

例

2、?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊。求證：

sn?1?4sn對任意n?N*都成立。113?? a?bb?ca?b?c

例

3、若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2y?

證明：a,b,c中至少有一個(gè)大于0.2?3，b?y?2z?2?3,c?z2?2x??3，22變題：若下列三個(gè)方程：x?4ax?4a?3?0，x?(a?1)x?a?0，2x2?2ax?2a?0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四、學(xué)教小結(jié)

五、當(dāng)堂反饋

1、“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是多有一個(gè)鈍角。

?ABC的外接圓的圓心為O，2、兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OH?m(OA?OB?OC), 則實(shí)數(shù)m的值是

1直接證明和間接證明作業(yè)卷

1、函數(shù)y?f(x)是R上的偶函數(shù)，周期為2，當(dāng)2

22、若函數(shù)f(x)的圖像可由函數(shù)y?lg(1?x)的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到，則 0

f(x)x3、在Rt?ABC中，?A?90，AB=1,則??0

b?1（2）a?b?0?a?2?b?2 a

ab（3）a?b,c?d,abcd?0??cd（1）a?b?0?

4、給出下列命題：

（4）a?b?0,c?d?0?a?db其中真命題的序號是d5、若a,b,c,d,x,y是正實(shí)數(shù)，且P?的大小關(guān)系為ab?cd，Q?ax?cy?bd?，則P、Qxy6、p?2x4?1,q?2x3?x2,x?R，則p和q得大小關(guān)系是p?q7、設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為2，前n項(xiàng)的和為sn,sn?1,sn,sn?2成等差數(shù)列，則q的值為-

28、若a?b?0，求證：a??

9、已知為a非零常數(shù)，f(x?a)?a?b1?f(x)(x?R,f(x)?1)，試判斷f(x)是否1?f(x)

為周期函數(shù),證明你的結(jié)論。

（0，1）（1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不能同時(shí)大于

10、已知a,b,c?,求證1。4