第一篇：[名校聯盟]江蘇省淮安中學高三數學《第44課數列通項與求和》基礎教案

第44課數列通項與求和（1）

考點解說：

會求數列的通項公式以及前n項的和。

一、基礎自測1、12?32?52??(2n?1)2?

2、等比數列?an?中,Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an,若T1?1,T2?4,則Tn?

3、等比數列?an?中，a1?1，數列?bn?滿足b1?a,（a為常數），且bn?an?an?1 則an??bn?的前n項和sn4、設等差數列?an?的公差d不為0，a1?9d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k?

455、已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且An?7n?

Bn，則使得n?3anbn

為整數的正整數n的個數是

6、已知函數f(x)?x 2,等差數列{ax}的公差為2.若,則log2[f(a1)?f(a2)f(a3)??f(a10)]?

2snn7、已知sn為等差數列{an}的前n項和，Tn為等差數列{bn}的前n項和,若?,則Tnm(m?1)

a5?b108、一個等差數列?an?中，al=-5，它的前11項的平均值是5，若從中抽取一項，余下項的平均值是4，則它抽取的是

二、例題講解

例

1、數列?an?滿足遞推關系：an?an?2?2,且a1?1,a2?4.（1）、求an；（2）求數列?an?的前n項的和.f(a2?a4?a6?a8?a10)?4

例

2、根據下列條件求數列的通項

（1）、已知數列?an?中，a1?2,an?1?2an?3?2n?1,求數列?an?的通項公式；（2）、已知數列?an?中，a1?2,an?1?1?（3）、已知數列?an?中，a1?3,an?1?，求數列?an?的通項公式； an

n?13

an(n?1)，求數列?an?的通項公式； 3n

（4）、已知數列?an?的前n項和sn滿足sn?2an?(?1)n,n?1,求數列?an?的通項公式；

例

3、已知等比數列的公比為q，前n項和sn>0,對n?N恒成立。（1）求q的取值范圍；（2）設bn=an?2?

例

4、(選講)在數列?an?中，其中??0a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，（1）求數列?an?的通項公式（2）求數列?an?的前n項和

*

an?1,數列{bn}的前n項和為Tn,試比較sn與Tn,的大小。

2三、課后作業

班級姓名學號等第1、數列?an?的通項公式an?(?1)n?1?(4n?3),則它的前100項之和s100等于

2、等比數列?an?的前n項和為Sn，若S1，2S2，3S3成等差數列，則?an?的公比為

3、已知?an?是等比數列，a2?2，a5?，則a1a2?a2a3???anan?144、數列?an?滿足a1?1,an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan(n?2)，則數列的通項公式an?

5、數列?

6、數列

?2n?1?

?的前n項和snn

?2?

1111，,??,的前n項和sn12?222?432?642?87、Sn是等差數列{an}的前n項和，已知s6=36,sn=324,sn-6=144(n>6)，則n的值為

8、設公比為q的無窮等比數列{an}前n項的和為sn,給出下列命題：（1）sn中至多有有限項為0；（2）不存在an=0的項；（3）當q>1時數列{an}為遞增數列；（4）當q=1時該數列一定是等差數列。其中所有錯誤命題的序號為

?n?1,n為奇數，??2，則{an}前100項和等于

9、數列{an}的通項公式an=?

n??,n為偶數??210、把數列{2n?1}依次按第一個括號一個數，第二個括號兩個數，第三個括號三個數，第四個括號四個數，第五個括號一個數，…，循環分為：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，則第104個括號內各數之和為__________

11、已知數列｛an｝滿足：a1＝

33nan－1

n?2，n?N?），且an＝求數列｛an｝

22an－1＋n－

1的通項公式

12、設等差數列?an?的公差為d1，前n項和為Sn，等差數列?bn?的公差為d2，前n項和為Tn,且

13、設數列?an?的前n項的和Sn?

Snaad7n?1，求：(1)11;(2)11;(3)1 ?

Tn4n?27b11b7d2

412

an??2n?1?，333

n

32n

（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設Tn?，證明：?Ti?

2Sni?

114、(選做題)在數列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N．

*

（Ⅰ）證明數列?an?n?是等比數列；（Ⅱ）求數列?an?的前n項和Sn；（Ⅲ）證明不等式Sn?1≤4Sn，對任意n?N皆成立．

*

錯因分析：

第二篇：[名校聯盟]江蘇省淮安中學高三數學《第78課 垂直問題的證明》基礎教案

第78課時垂直問題的證明

考點解說

了解線線垂直、線面垂直、面面垂直的概念;能正確利用有關定理解決垂直問題的證明題和探索性問題.一、基礎自測

1.若???,???a,P?a,Q??,Q?a,則PQ?a是PQ??的條件.2.已知?,?表示兩個不同的平面,m為平面?內的一條直線,則“?⊥?”是“m⊥?”的條件

3.如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是.4.平面?的斜線AB交?于點B,過定點A的動直線與AB垂直,且交?于點C,則動點C的軌跡是5.?,?是兩個不同的平面,m,n是平面?及?外的兩條不同的直線,給出四個論斷:(1)m?n;(2)???;(3)m??;(4)n??

以其中三個論斷作條件,余下的一個論斷作結論,寫出你認為正確的一個命題:.6.設?、?、?為平面,m、n、l為直線,則m??的一個充分條件是.(1)???,????l,m?l

(3)???,???,m??(2)????m,???,???(4)n??,n??,m??

7.三個平面兩兩互相垂直,它們的交線交于一點O,且點P到三個平面的距離分別是3,4,5,則OP?.二、例題講解 例1.如圖,已知棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形,且AA1?面ABCD,F為棱AA1的中點,M為線段BD1的中點.(1)求證:MF//面ABCD;(2)求證:MF?面BDD1B1.例2.多面體ABCDE中,AB?BC?AC?AE?1,CD?2,AE?面ABC,AE//CD.(1)求證:AE//面BCD;(2)求證:面BED?面BCD

例3.如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB//DC,?BAD?90?,PA?平面ABCD,AB?1,AD?2,CD?4.(1)求證:BD?PC;(2)求證:面PAC?面PBD

.例4.四棱錐P?ABCD中,底面ABCD是?DAB?60的菱形,側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證:AD?PB;

(2)若E為BC邊的中點,能否在棱PC上找一點F,使平面DEF?平面ABCD,并證明你的結論.板書設計

教后感

?

三、課后作業

班級姓名學號等第1.關于不同直線a,b,l及不同平面?,?,下列命題中

(1)若a//?,b//?,則a//b;

(2)若a//?,b?a,則b??;

(3)若a??,b??,l?a,l?b,則l??;

(4)若a??,a//?,則???.假命題的序號是.2.在四面體P?ABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點,下面四個命題中

(1)BC//平面PDF;

(2)DF?平面PAE;

(3)平面PDF?平面ABC;

(4)平面PAE?平面ABC.真命題的序號是.3.設a,b是兩條不同的直線,?,?是兩個不同的平面,則下列四個命題中

(1)若a?b,a??,則b//?;

(2)若a//?,???,則a??;

(3)若a??,???,則a//?;

(4)若a?b,a??,b??,則???.其中真命題的個數是.4.已知PA?正方形ABCD所在的平面,垂足為A,連結PB,PC,PD,AC,BD,則互相垂直的平面有對.5.設a,b是兩條直線,?,?是兩個平面,則a?b的一個充分條件是.(1)a??,b//?,???;(2)a??,b??,?//?;

(3)a??,b??,?//?;(4)a??,b//?,???.6.如圖,PA?平面ABCD,則當PC?時AC?BD;當

DC?時,PD?DC.7.對于直線m,n和平面?,?,???的一個充分條件是.(1)m?n,m//?,n//?;(2)m?n,???m,n??

(3)m//n,n??,m??;(4)m//n,m??,n??.8.已知平面?,?和直線m,給出條件:

(1)m//?;(2)m??;(3)m??;(4)???;(5)?//?.當滿足條件時,有m//?;當滿足條件時,有m??.9.如圖,M,N,K分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中點.(1)求證:AN//平面A1MK;(2)求證:平面A1B1C?平面A1MK

.10.正三棱柱ABC?A1B1C1中,點D是BC的中點,BC?1,設B1D BC1?

F.(1)求證:AC1//平面AB1D;(2)求證:BC1?平面AB1D

.11.已知三棱錐P?ABC中,PC?平面ABC,AB?BC,D,F分別為AC,PC的中點,DE?AP于點E.(1)求證:AP?BE;(2)求證:平面BDE?平面BDF

.12.如圖,在直三棱柱ABC?A的中點,點D在B1C11B1C1中,E,F分別是A1B,AC1

上,A1D?B1C.求證:(1)EF//平面ABC;(2)面A1FD?面BB1C1C

.13.（選做題）將?ABE沿AE折起,使二面角B?AE?C成直二面角,連結BC,BD,F是CD的中點,P是棱BC的中點.(1)求證:AE?BD;(2)求證:平面PEF?平面AECD;

(3)判斷DE能否垂直于平面ABC?并說明理由.

第三篇：[名校聯盟]江蘇省淮安中學高三數學《第77課平行問題的證明》基礎教案

第77課時平行問題的證明

考點解說

了解空間線線平行、線面平行、面面平行的概念;能正確利用有關定理解決平行問題的證明題和探索性問題.一、基礎自測 1.已知直線a//平面?,平面?//平面?,則a,?的位置關系為.2.已知m,n是兩條不同的直線,?,?是兩個不同的平面,有下列4個命題:

(1)若m//n,n??,則m//?;(2)若m?n,m??,n??,則n//?;

(3)若???,m??,n??,則m?n;(4)若m,n是異面直線,m??,n??,m//?,則n//?.其中正確的命題的序號是.3.已知m,n是兩條不同的直線,?,?,?是三個不同的平面.給出下列四個命題:

(1)若m??,m??,則?//?;(2)若???,???,則?//?;

(3)若m??,n??,m//n,則?//?;

(4)若m,n是異面直線,m??,m//?,n??,n//?,則?//?.其中真命題是.4.設x,y,z表示空間不同的直線或平面,且直線不在平面內,給出下列五個命題:

(1)x為直線y,z為平面;(2)x,y,z為平面;(3)x,y為直線,z為平面;

(4)x,y為平面,z為直線;(5)x,y,z為直線.則其中能保證“若x?z且y?z,則x//y”.其中真命題是.5.對于不重合的兩個平面?與?,給定下列條件:

①存在平面?,使得?、?都垂直于?;②存在平面?,使得?、?都平行于?;③?內有不共線的三點到?的距離相等;

④存在異面直線l,m,使得l//?,l//?,m//?,m//?.其中可使?//?的有個.6.給出下列關于互不相同的直線m,n,l和平面?,?的四個命題:

(1)m??,l???A,點A?m,則l與m不共面;

(2)l、m是異面直線,l//?,m//?,且n?l,n?m,則n??;

(3)若l//?,m//?,?//?,則l//m;

(4)若l??,m??,l?m?點A,l//?,m//?,則?//?.其中為假命題的是.7.已知m,n是不同的直線,?,?是不重合的平面,給出下列命題:

(1)若m//?,則m平行于?內的任一條直線;(2)若?//?,m??,n??,則m//n;

(3)若m??,n??,m//n,則?//?;(4)若?//?,m??,則m//?;

(5)若???,m??,n//?,則m?n.其中,真命題的序號是.8.下列命題中,是假命題的是.(1)三角形的兩條邊平行于一個平面,則第三邊也平行于這個平面;

(2)?//?,a??,過?內的一點B有唯一的一條直線b,使b//a;(3)?//?,?//?,?,?分別與?,?的交線為a,b,c,d,則a//b//c//d;

(4)一條直線與兩個平面成等角是這兩個平面平行的充要條件.二、例題講解

例1.如圖,四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為菱形,?BAD?

60,AB?PB?

?, PC?PA?,E為CD的中點.(1)證明:BE?PA;(2)在PC上找一點F,使得PA//平面BEF.例2.如圖,四棱錐P?ABCD中,PA?底面ABCD,AC?CD,?DAC?60?, AB?BC?AC,E是PD的中點,F為ED的中點.(1)求證:平面PAC?平面PCD;(2)求證:CF//平面BAE

.AB,BC?PC.2(1)求證:PA?BC;(2)試在線段PB上找一點M,使CM//平面PAD,并說明理由.例3.如圖,在四棱錐P?ABCD中,CD//AB,AD?AB,AD?DC?

例4.如圖,在多面體ABEDC中,AB?平面ACD,AC?AD?CD?DE?2,AB?1,F為CE的中點,DE?平面ACD.求證:BF//平面ACD.板書設計

教后感

三、課后作業

班級姓名學號等第1.已知?,?,?是三個不同的平面,a,b是兩條不同的直線,有下列三個條件:

(1)a//?,b??;(2)a//?,b//?;(3)b//?,a??.如果命題“???a,b??,且,則a//b”為真命題,則可以在橫線上填入的條件為.(正確的序號)

2.已知m、n是不同的直線,?、?是不重合的平面,給出下列命題:

①若?//?,m??,n??,則m//n;②若m,n??,m//?,n//?則?//?;

③若m??,n??,m//n，則?//?;

④m,n是兩條異面直線,若m//?,m//?,n//?,n//?，則?//?.上面的命題中,真命題的序號是.3.設?,?,?為兩兩不重合的平面,l,m,n為兩兩不重合的直線,給出下列四個命題:①若???,???,則?||?;②若m??,n??,m||?,n||?,則?||?,③若?||?,l??,則l||?;④若????l,????m,????n,l||?,則m||n.其中真命題的個數是.4.已知a,b,c是直線,?是平面，給出下列命題:

①若a?b,b?c,則a//c;②若a//b,b?c,則a?c;

③若a//?,b??,則a//b;④若a與b異面,且a//?,則b與?相交;

⑤若a與b異面,則至多有一條直線與a,b都垂直.其中真命題的個數是.5.?,?為平面,m為直線,如果?//?,那么“m//?”是“m//?”的條件.6.已知m,n是兩條不同直線,?,?,?是三個不同平面,下列命題中正確的是.(1)若m‖?,n‖?,則m‖n;

(3)若m‖?,m‖?,則?‖?;(2)若???,???,則?‖?;(4)若m??,n??,則m‖n.7.設有直線m,n和平面?,?.下列四個命題中,正確的是.(1)若m//?,n//?,則m//n;(2)若m??,n??,m//?,n//?,則?∥?;

(3)若???,m??,則m??;(4)若???,m??,m??,則m//?.8.下列命題中正確的是.(1)直線a,b與直線l所成角相等,則a//b;

(2)直線a,b與平面?所成角相等,則a//b;

(3)平面?,?與平面?所成角均為直二面角,則?//?;

(4)直線a,b在平面?外,且a??,a?b,則b//?.9.如圖,在長方體ABCD?A1B1C1D1中,AB?AD?2.(1)證明:面BDD1B1?面ACD1;

(2)若E是BC1的中點,P是AC的中點,F是

AC11上的點,C1F?mFA1,試求m的值,使得

EF//D1P.10.在菱形ABCD中,?DAB?60,PA?面ABCD,且PA?AB?2,E是AB的中點.(1)求證PC?BD;(2)設F是PD上一點,試確定F的位置,使AF//平面PEC.?

11.直棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,?BAD??ADC?90, ?AB?2AD?2CD?2.(1)求證:AC?面BB1C1C;

(2)在A1B1上是否存在點P,使DP與面BCB1和面ACB1都平行?

12.如圖,在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,已知DC?DD1?2AD?2AB,AD?DC,AB//DC.(1)求證:DC?AC1;(2)設E是DC上一點,試確定E的位置,使D1E//面A1BD.1

?13.（選做題）如圖,ABCD為直角梯形,?C??CDA?90,AD?2BC?2CD,P為平

面ABCD外一點,且PB?BD.(1)求證:PA?BD;

(2)若直線l過點P,且l//BC,試在直線l上找一點E,使得PC//

面EBD.

第四篇：學案31 數列的通項與求和

4數列的通項與求和

導學目標： 1.能利用等差、等比數列前n項和公式及其性質求一些特殊數列的和.2.能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．

自主梳理

1．求數列的通項?S1，n＝1，(1)數列前n項和Sn與通項an的關系：an＝? ?Sn－Sn－1，n≥2.(2)當已知數列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋?＋f(n)可求，則可用________求數列的通項an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(an－an－1)．

an＋1(3)當已知數列{an}中，滿足a＝f(n)，且f(1)·f(2)·?·f(n)可求，則可用__________求數列的通項an，n

aaa常利用恒等式an＝a1?a1a2an－1.(4)作新數列法：對由遞推公式給出的數列，經過變形后化歸成等差數列或等比數列來求通項．

(5)歸納、猜想、數學歸納法證明．

2．求數列的前n項的和

(1)公式法

①等差數列前n項和Sn＝____________＝________________，推導方法：____________；

?，q＝1，②等比數列前n項和Sn＝?＝，q≠1.?

推導方法：乘公比，錯位相減法．

③常見數列的前n項和：

a．1＋2＋3＋?＋n＝__________；b．2＋4＋6＋?＋2n＝__________；

c．1＋3＋5＋?＋(2n－1)＝______； d．12＋22＋32＋?＋n2＝__________；

e．13＋23＋33＋?＋n3＝__________________.(2)分組求和：把一個數列分成幾個可以直接求和的數列．

(3)裂項(相消)法：有時把一個數列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和．常見的裂項公式有：

111111?11①n22n－12n＋1； ③n＋1n.n?n＋1?n＋1?2n－1??2n＋1???n＋n＋

1(4)錯位相減：適用于一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和．

(5)倒序相加：例如，等差數列前n項和公式的推導．

自我檢測

1．(原創題)已知數列{an}的前n項的乘積為Tn＝3n2(n∈N*)，則數列{an}的前n項的()

3939A.2n－1)B.2(3n－1)C.8n－1)D.8n－1)

2．(2011·邯鄲月考)設{an}是公比為q的等比數列，Sn是其前n項和，若{Sn}是等差數列，則q為()

A．－1B．1C．±1D．0

3．已知等比數列{an}的公比為4，且a1＋a2＝20，設bn＝log2an，則b2＋b4＋b6＋?＋b2n等于()

A．n2＋nB．2(n2＋n)C．2n2＋nD．4(n2＋n)

n＋14．(2010·天津高三十校聯考)已知數列{an}的通項公式an＝log2(n∈N*)，設{an}的前n項的和為Sn，n＋

2則使Sn<－5成立的自然數n()

A．有最大值63B．有最小值63C．有最大值31D．有最小值31

5．(2011·北京海淀區期末)設關于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整數的個數為an，數列{an}的前n項和為Sn，則S100的值為________．

探究點一 求通項公式

2n＋1·an

例1 已知數列{an}滿足an＋1＝a＝2，求數列{an}的通項公式．

an＋2＋1

變式遷移1 設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設bn＝an＋1－2an，證明數列{bn}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式．

探究點二 裂項相消法求和

例2 已知數列{an}，Sn是其前n項和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.(1)求數列{an}的通項公式；

1m

(2)設bn＝Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn20對所有n∈N*都成立的最小正整

log2an·log2an＋1

數m.111

變式遷移2 求數列1，n項和．

1＋21＋2＋31＋2＋3＋?＋n

探究點三 錯位相減法求和 例3(2011·荊門月考)已知數列{an}是首項、公比都為q(q>0且q≠1)的等比數列，bn＝anlog4an(n∈N*)．

(1)當q＝5時，求數列{bn}的前n項和Sn；

4(2)當q＝15時，若bn

123n

變式遷移3 求和Sn＝a＋a＋a＋?＋a.分類討論思想的應用

例(5分)二次函數f(x)＝x2＋x，當x∈[n，n＋1](n∈N*)時，f(x)的函數值中所有整數值的個數為g(n)，2n3＋3n2an＝(n∈N*)，則Sn＝a1－a2＋a3－a4＋?＋(－1)n－1an＝()

g?n?

n?n＋1?n?n＋1?n－1n?n＋1?nn?n＋1?A．(－1)B．(－1)C.2 D．－

222

【答題模板】答案 A

解析 本題考查二次函數的性質以及并項轉化法求和．

當x∈[n，n＋1](n∈N*)時，函數f(x)＝x2＋x的值隨x的增大而增大，則f(x)的值域為[n2＋n，n2＋3n

322n＋3n

＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝＝n2.g?n?

方法一 當n為偶數時，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋?＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋?＋[(n－1)2－n2]

3＋?2n－1?nn?n＋1?

＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－＝－

222；

n?n－1?n?n＋1?2

當n為奇數時，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋?＋(an－2－an－1)＋an＝Sn－1＋an＝－2n＝2n?n＋1?

∴Sn＝(－1)n－12

方法二 a1＝1，a2＝4，S1＝a1＝1，S2＝a1－a2＝－3，檢驗選擇項，可確定A正確． 【突破思維障礙】

在利用并項轉化求和時，由于數列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數n進行分類討論，但最終的結果卻往往可以用一個公式來表示．

1．求數列的通項：(1)公式法：例如等差數列、等比數列的通項；(2)觀察法：例如由數列的前幾項來求通項；(3)可化歸為使用累加法、累積法；

(4)可化歸為等差數列或等比數列，然后利用公式法；(5)求出數列的前幾項，然后歸納、猜想、證明． 2．數列求和的方法：

一般的數列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉化為與特殊數列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和．

3．求和時應注意的問題：

(1)直接用公式求和時，注意公式的應用范圍和公式的推導過程．

(2)注意觀察數列的特點和規律，在分析數列通項的基礎上或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和．

(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2010·廣東)已知數列{an}為等比數列，Sn是它的前n項和，若a2·a3＝2a1且a4與2a7的等差中項

5為4，則S5等于()

A．35

B．3

3C．3

1D．29

S7n＋2a2．(2011·黃岡調研)有兩個等差數列{an}，{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn，若T則b()

n＋3n5

6537729A.12B.8C.13D.4an－1－anan－an＋1

3．如果數列{an}滿足a1＝2，a2＝1且＝(n≥2)，則此數列的第10項()

anan－1anan＋1

1111A.2B.2C.10D.51

4．數列{an}的前n項和為Sn，若anS5等于()

n?n＋1?

511

A．1B.6C.6D.305．數列1,1＋2,1＋2＋4，?，1＋2＋22＋?＋2n－1，?的前n項和Sn>1 020，那么n的最小值是()A．7B．8C．9D．10

二、填空題(每小題4分，共12分)6．(2010·東北師大附中高三月考)數列{an}的前n項和為Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，?)，則log4S10＝__________.7．(原創題)已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－a，則該數列前26項的和為________．

n

8．對于數列{an}，定義數列{an＋1－an}為數列{an}的“差數列”，若a1＝2，{an}的“差數列”的 通項為2n，則數列{an}的前n項和Sn＝____________.三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·河源月考)已知函數f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．

(1)若函數f(x)的圖象的頂點的橫坐標構成數列{an}，試證明數列{an}是等差數列；(2)設函數f(x)的圖象的頂點到x軸的距離構成數列{bn}，試求數列{bn}的前n項和Sn.10．(12分)(2011·三門峽月考)設等差數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n＋an－c(c是常數，n∈N*)，a2＝6.(1)求c的值及數列{an}的通項公式；

1(2)證明aaaa8anan＋1122

311．(14分)(2010·北京宣武高三期中)已知數列{an}的前n項和為Sn＝3n，數列{bn}滿足b1＝－1，bn

*

＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N)．

(1)求數列{an}的通項公式an；(2)求數列{bn}的通項公式bn；

a·b(3)若cn＝n，求數列{cn}的前n項和Tn.答案自主梳理

n(a1＋an)n(n－1)a1(1－qn)

1．(2)累加法(3)累積法 2.(1)① na1＋2d 倒序相加法 ②na1 21－q

a1－anqn(n＋1)n(n＋1)(2n＋1)?n(n＋1)?

2? ③2 n2＋n n261－q?2?

自我檢測

1．C 2.B 3.B 4.B5．10 100課堂活動區

例1 解題導引 已知遞推關系求通項公式這類問題要求不高，主要掌握由a1和遞推關系先求出前幾項，再歸納、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1；累乘：an

aan－1a＝·?·a等方法． an－1an－2a11

***

解 已知遞推可化為a＋∴aa2，a－a＝2，a－a＝2，?，a－＝2.an＋1n2213243nan－1

1?1?

?1－2?

?11111112?12n

將以上(n－1)個式子相加得aa＝2＋2＋2＋?＋2，∴a＝

1＝1－2.∴an＝2－1n1n

1－2

變式遷移1(1)證明 由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an；于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數列{bn}是首項為3，公比為2的等比數列．

an＋1an3

(2)解 由(1)知等比數列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是＋2＝4，?a?13an1331

因此數列?2?是首項為2422(n－1)×44－4an＝(3n－1)·2n－2.??

例2 解題導引 1.利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也

有可能前面剩兩項，后面也剩兩項．再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項公式相等．

1111?111?1.2．一般情況如下，若{an}是等差數列，則，anan＋1d?anan＋1?anan＋22d?anan＋2?

此外根式在分母上時可考慮利用有理化因式相消求和．

解(1)∵n≥2時，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，兩式相減，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)． 又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，∴an＋1＝8an(n∈N*)． ∴{an}是一個以2為首項，8為公比的等比數列，∴an＝2·8n－1＝23n－2.11111

(2)∵bn＝＝3，log2an·log2an＋1(3n－2)(3n＋1)3n－23n＋1111111111m1∴Tn＝3－4＋4－7＋?＋＝3(1－3∴20≥3，∴最小正整數m＝7.3n－23n＋13n＋1

12?1－變式遷移2 解 an＝2?nn＋1，n(n＋1)??

11?1?112n?1??1－1－?????∴Sn＝2·[2?＋?23?＋?＋?nn＋1?]＝2·n＋1?＝n＋1.??

例3 解題導引 1.一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法．

2．用乘公比錯位相減法求和時，應注意：

(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；

(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．

解(1)由題意得an＝qn，∴bn＝an·log4an＝qn·log4qn＝n·5n·log45，∴Sn＝(1×5＋2×52＋?＋n×5n)log45，設Tn＝1×5＋2×52＋?＋n×5n，①則5Tn＝1×52＋2×53＋?＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②

n

23nn＋15(5－1)① －②得－4Tn＝5＋5＋5＋?＋5－n×5＝4－n×5n＋1，55

∴Tn＝16n×5n－5n＋1)，Sn＝16(4n×5n－5n＋1)log45.141414?14?14??14?

(2)∵bn＝anlog4an＝n?15nlog415，∴bn＋1－bn＝(n＋1)?15?n＋1log415－n?15?nlog415

??????141414n?14n?14n??14?n

＝?15?15－15?log415>0，∵?15?>0，log415，∴1515，∴n>14，即n≥15時，bn

變式遷移3解當a＝1時，Sn＝1＋2＋3＋?＋n＝2a≠1時，Sn＝aaa＋?＋a，①

1?1123n1111n?

∴an＝a＋a＋a＋?＋＋，②①－②，得?1－a?·Sn＝aaa?＋a＋

??aa

1?1?11???1－a?1－1－?aa?aa??1??nnn?

?1－aSn＝－－＋＝＋，∴Sn＝－1??aa－1a(a－1)(a－1)·a1－a

??∴S＝??1?

a?1a???n，a≠1.??(a－1)(a－1)·a

n

n(n＋1)

2，a＝1，課后練習區1．C 2.A 3.D 4.B 5.D 6．9解析 ∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．

an＋1

兩式相減得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，即a＝4.∴{an}為以a2為首項，公比為4的n

n－2

等比數列．當n＝1時，a2＝3S1＝3，∴n≥2時，an＝3·4，S10＝a1＋a2＋?＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42

49－1

＋?＋3×4＝1＋3×(1＋4＋?＋4)＝1＋3×1＋49－1＝49.∴log4S10＝log449＝9.4－1

7．－10解析 依題意得，a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝2，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝21

所以數列周期為4，S26＝6×(1－2－1＋2)＋1－2＝－10.8．2n＋1－2解析 依題意，有a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，?，an－an－1＝2n－1，所有的代數式相加得an－a1＝2n－2，即an＝2n，所以Sn＝2n＋1－2.9．解 f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8.……(3分)(1)由題意，an＝n＋1，故an＋1－an＝(n＋1)＋1－(n＋1)＝1，故數列{an}是以1為公差，2為首項的等差數列．…………(5分)

(2)由題意，bn＝|3n－8|……(7分)當1≤n≤2時，bn＝－3n＋8，數列{bn}為等差數列，b1＝5，n(5－3n＋8)－3n2＋13n∴Sn＝；…(9分)當n≥3時，bn＝3n－8，數列{bn}是等差數列，b3＝1.22

－3n2＋13n

22，1≤n≤2，(n－2)(1＋3n－8)3n－13n＋28

∴Sn＝S2＋分)∴Sn＝?2

223n－13n＋28

n≥3.2

(12分)

10．(1)解 因為Sn＝2nan＋an－c，所以當n＝1時，S1＝2a1＋a1－c，解得a1＝2c，(2分)當n＝2時，S2＝a2＋a2－c，即a1＋a2＝2a2－c，解得a2＝3c，……(3分)所以3c＝6，解得c＝2；……(4分)

則a1＝4，數列{an}的公差d＝a2－a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.……(6分)

111111

(2)證明 因為aaaa?＋?＋anan＋14×66×8(2n＋2)(2n＋4)1223

***1＝24－6)＋268＋?＋2(＝246＋(68＋?＋(……(8分)

2n＋22n＋42n＋22n＋4

111111111＝24－)＝8……(10分)因為n∈N*，所以aa＋aa＋?＋<8.…(12分)

2n＋44(n＋2)anan＋11223

－－

11．解(1)∵Sn＝3n，∴Sn－1＝3n1(n≥2)．∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n1＝2×3n－1(n≥2)．…(3分)

?3，n＝1，1－1

當n＝1時，2×3＝2≠S1＝a1＝3，…(4分)∴an＝?n－1*…(5分)

?2×3，n≥2，n∈N

(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，?，bn－bn－1＝2n－3.(n－1)(1＋2n－3)2

以上各式相加得bn－b1＝1＋3＋5＋?＋(2n－3)＝＝(n－1).∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.……(7分)

?－3，n＝1，(3)由題意得cn＝?n－1*………(9分)

?2(n－2)×3，n≥2，n∈N.當n≥2時，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋?＋2(n－2)×3n－1，∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋?＋2(n－2)×3n，相減得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋?＋2×3n－1－2(n－2)×3n.3n－3(2n－5)3n＋3n23n－1n

∴Tn＝(n－2)×3－(3＋3＋3＋?＋3)＝(n－2)×3－2……(13分)

(2n－5)3n＋3*

T1＝－3也適合． ∴Tn＝(n∈N)．……(14分)

第五篇：高中數學難點解析教案13 數列的通項與求和

高中數學輔導網 http://www.tmdps.cn}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，都有

c1b1?c1b2???cncn=an+1成立，求limn??S2n?1S2n.命題意圖：本題主要考查等差、等比數列的通項公式及前n項和公式、數列的極限，以及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.知識依托：本題利用函數思想把題設條件轉化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數列前n項和，實質上是該數列前n項和與數列{an}的關系，借助通項與前n項和的關系求解cn是該條件轉化的突破口.錯解分析：本題兩問環環相扣，(1)問是基礎，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計算不準易出錯；(2)問中對條件的正確認識和轉化是關鍵.技巧與方法：本題(1)問運用函數思想轉化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構造新數列{dn}，運用和與通項的關系求出dn，絲絲入扣.解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d－(d－2)=2d，∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴b3b1?(q?2)q2222=q，由q∈R，且q≠1，得q=－2，2∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1

京翰教育http://www.tmdps.cnbn=dn，則d1+d2+?+dn=an+1,(n∈N*), ∴dn=an+1－an=2, ∴cnbn=2,即cn=2·bn=8·(－2)

1212n－

1；∴Sn=

83［1－(－2)］.n∴S2n?1S2n?1?(?2)2n?12n(??(?))2n?2,lim?1n??S2n?1S2n321?(?2)??2

2n［例2］設An為數列{an}的前n項和，An=(1)求數列{an}的通項公式；

(an－1)，數列{bn}的通項公式為bn=4n+3;(2)把數列{an}與{bn}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數列，證明：數列{dn}的通項公式為dn=32n+1;(3)設數列{dn}的第n項是數列{bn}中的第r項，Br為數列{bn}的前r項的和；Dn為數列{dn}的前n項和，Tn=Br－Dn，求limn??Tn(an)4.命題意圖：本題考查數列的通項公式及前n項和公式及其相互關系；集合的相關概念，數列極限，以及邏輯推理能力.知識依托：利用項與和的關系求an是本題的先決；(2)問中探尋{an}與{bn}的相通之處，須借助于二項式定理；而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識點.錯解分析：待證通項dn=32n+1與an的共同點易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關系，使Tn中既含有n，又含有r，會使所求的極限模糊不清.技巧與方法：(1)問中項與和的關系為常規方法，(2)問中把3拆解為4－1，再利用二項式定理，尋找數列通項在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)問中挖掘出n與r的關系，正確表示Br，問題便可迎刃而解.解：(1)由An=3232(an－1)，可知An+1=

an?1an32(an+1－1)，32∴an+1－an=(an+1－an)，即=3，而a1=A1=(a1－1)，得a1=3，所以數列是以3為首項，公比為3的等比數列，數列{an}的通項公式an=3n.2n－1n?1(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C1(－1)+?+C2·4·(－1)+(－1)2n］2n2n·4=4n+3，∴3+1∈{bn}.而數3=(4－1)=4+C142n·2n

2n

2n

2n

2n－1

n?1·(－1)+?+C2·4·(－1)+(－1)=(4k+1)，2n2n∴32n?{bn}，而數列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3，可知r=

32n?1?34，京翰教育http://www.tmdps.cnn?1?1n?1n?1r,n?n!?(n?1)!?n!,1?1n!?11sin2?等?ctgα?ctg2α，?Cnr?1?Cn,(n?1)!(n?1)!④錯項相消法 ⑤并項求和法

數列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.●殲滅難點訓練

一、填空題

1.(★★★★★)設zn=(則limSn=_________.n??1?i2)，(n∈N)，記Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+?+｜zn+1－zn｜，n*2.(★★★★★)作邊長為a的正三角形的內切圓，在這個圓內作新的內接正三角形，在京翰教育http://www.tmdps.cn=bn－1，則cn=(2122n?12n?1132n?12n?11an?1an?anan?11?2)

?[(?1)?(?1)]?2n?11?12n?1,b1?b2???bn?n?c1?c2???cn?(1?)?(13?15)???(12n?1?2n?1)?1?12n?1，?lim(b1?b2???bn?n)?lim(1?n??n??12n?1)?1.殲滅難點訓練

京翰教育http://www.tmdps.cn?|zn?1?zn|?|(1?Sn?c1?c2???cn?2[1?(1?1?i2)nn?1?(1?i2)|?(nn22)n?1，2222)]?1?(2?22)2

?limSn?n??12?222?2?22?1?22

答案：1+

a2n?12.解析：由題意所有正三角形的邊長構成等比數列{an}，可得an=

31，正三角形的內切圓構成等比數列{rn}，可得rn=

62n?1a,

33?2∴這些圓的周長之和c=lim2π(r1+r2+?+rn)=

n?? a2，面積之和S=limπ(n2+r22+?+rn2)=n???9a2

?9答案：周長之和332πa，面積之和

an?1annn?1a

2二、3.解：(1）可解得

?，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n－1.(3)Tn－Sn=2n－n2－1，驗證可知，n=1時，T1=S1，n=2時T2＜S2；n=3時，T3＜S3;n=4時，T4＜S4；n=5時，T5＞S5；n=6時T6＞S6.猜想當n≥5時，Tn＞Sn，即2n＞n2+1 可用數學歸納法證明(略）.4.解：(1）由an+2=2an+1－an?an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數列，

d=a4?a14?1=－2,∴an=10－2n.(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當n≤5時，Sn=－n2+9n，當n＞5時，Sn=n2－9n+40，2???n?9n 1?n?5故Sn=?2

??n?9n?40 n?5(3)bn=1n(12?an)?1n(2n?2)12?111(?)2nn?112)?(12?13)???(1n?1n?1)]?n2(n?1)?Tn?b1?b2???bn?[(1?；要使Tn＞

m32總成立，需m32＜T1=14成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7.5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－

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高中數學輔導網 http://www.tmdps.cn man+1，即(m+1)an+1=man對任意正整數n都成立.∵m為常數，且m＜－1 ∴an?1an?mm?1，即{

anan?1}為等比數列.13(2)當n=1時，a1=m+1－ma1，∴a1=1，從而b1=mm?1.由(1)知q=f(m)=，∴bn=f(bn－1)=

bn?1bn?1?11bn(n∈N*,且n≥2)∴1bn?1?11bn?1，即

1bn?1bn?1?1，∴{}為等差數列.∴

1bn=3+(n－1)=n+2，?bn?n?2m(n∈N*).)n?1?an?(m?1,?lim(bn?lgan)?lim[n??n??n?1n?213?109lg?mm?114?]?lgmm?11,?1n?2)?1 而lim3(b1b2?b2b3???bn?1bn)?lim3(n??n??1415???n?1由題意知lgmm?1?1,?mm?1?10,?m???b1?1?6.解：(1)設數列{bn}的公差為d，由題意得：?解得b1=1,d=3, 10(10?1)d?145?10b1?2?∴bn=3n－2.(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+1414)+?+loga(1+

13n?2))?(1+1313n?2)］，13logabn+1=loga33n?1.14因此要比較Sn與小，logabn+1的大小，可先比較(1+1)(1+)?(1+

13n?2)與33n?1的大取n=1時，有(1+1)＞33?1?1 取n=2時，有(1+1)(1+ 由此推測(1+1)(1+1414)＞33?2?1?

13n?2)?(1+)＞33n?1

①

若①式成立，則由對數函數性質可判定： 當a＞1時，Sn＞13logabn+1，13

② ③ 當0＜a＜1時，Sn＜logabn+1，京翰教育http://www.tmdps.cn/

高中數學輔導網 http://www.tmdps.cn 下面用數學歸納法證明①式.(ⅰ)當n=1時，已驗證①式成立.(ⅱ)假設當n=k時(k≥1），①式成立，即：

(1?1)(1?1414)?(1?13k?213k?223)?33k?1.那么當n=k+1時，13(k?1)?23(1?1)(1?3)?(1?)(1?)?233k?1(1?13k?13)?23k?13k?1(3k?2).?[3k?13k?1(3k?2)]?[3k?4]?3(3k?2)?(3k?4)(3k?1)(3k?1)32

?9k?4(3k?1)2?0,?143k?13k?1(3k?2)?1)(1?3k?4?1)?333(k?1)?1因而(1?1)(1?)?(1?3k?23k?13(k?1)?1這就是說①式當n=k+1時也成立.由(ⅰ）(ⅱ）可知①式對任何正整數n都成立.由此證得： 當a＞1時，Sn＞1313logabn+1；當0＜a＜1時，Sn＜logabn+1.7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.∴a2=2t?3a22t?3.,?3ta13t又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t

① ②

①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.∴anan?1?2t?33t,n=2,3,4?,所以{an}是一個首項為1公比為

2t?33t的等比數列；

(2)由f(t)= 2t?33t=

23?1t,得bn=f（1bn?123)=

23+bn－1.可見{bn}是一個首項為1，公差為于是bn=1+(3)由bn=是b2n=4n?13233的等差數列.(n－1)=

2n?13;

532n?1,可知{b2n－1}和{b2n}是首項分別為1和，公差均為

43的等差數列，于, ∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+?+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+?+b2n(b2n－1－b2n+1)=－434312534n?13492(b2+b4+?+b2n)=－

·n(+)=－(2n+3n)

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