第一篇：高三數學《第82課 利用空間向量證明平行與垂直問題》基礎教案

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第82課時利用空間向量證明平行與垂直問題

考點解說

利用直線的方向向量和平面的法向量判定直線與直線,直線與平面,平面與平面的位置關系,掌握用向量方法處理空間中的平行與垂直問題.一、基礎自測

1.已知向量a?(2,4,5),b?(3,x,y)分別是直線l1,l2的方向向量,若l1∥l2,則x?y?2.已知m?(8,3,a),n?(2b,6,5),若m//n ,則a?b?.?????3.已知a,b,c分別為直線a,b,c的方向向量且a??b(??0),b?c?0,則a與c的位置關系是.4.在空間四邊形ABCD中,E、F是分別是AB、AD上的點,且AE:EB=AF:FD=1:4,又H,G分別是BC、CD的中點,則EFGH是形.5.正三棱柱ABC?A1B1C1中,底面邊長AB=1,且AB1?BC1,則側棱AA1的長為.06.已知平行六面體ABCD?A1BC11D1底面為菱形,?C1CB?60,BD?CA1,則?C1CD的大小為.7.正方體ABCD?A1BC11D1中,M、N、P分別是棱CC1、BC、CD的中點,則直線A1P與平面MND所成角為.8.空間四邊形ABCD中,AB?CD,BC?AD,則AC與BD的位置關系為.二、例題講解

例1.如圖,正方體ABCD－A1B1C1D1中,O是AC和BD的交點,M是CC1的中點,求證:A1O⊥平面

MBD.例2.正方體ABCD－A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點,求證:平面AED⊥平面A1FD

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例3.如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中,M,N,E,F分別是所在棱的中點,求證:平面AMN∥平面

EFBD.例4.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中,點E是棱BC的中點,點F是棱CD上的動點,試確定點F的位置,使得D1E?平面AB1

F.板書設計

教后感

三、課后作業

1.在直二面角??MN??中,AB??,CD??,AB?MN,CD?MN,B、C為垂足,AD?2,BC?1,求AD與BC所成的角.2.已知M為長方體AC1的棱BC的中點,則點P在長方體AC1的面CC1D1D內,且PM//面BB1D1D,則點P的位置應落在003.直三棱柱ABC?A,AA1B1C1中,?ACB?90,?BAC?30,BC?11M是CC

1的中點,則AB1與A1M所成的角為4.正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分別是正方體六個面得中心,則平面EFGB與平面平行.AED與面.5.正方體ABCD?A1BC11D1中,E,F分別是BB1,CD的中點,則面6.已知ABCD是平行四邊形,若A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3, 7,-5),則頂點D的坐標為___________.7.已知a?(8,?1,4),b?(2,2,1),則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為.8.過三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意兩條棱的中點作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共 有條.9.若三個平面?,?,?兩兩垂直,它們的法向量分別為?(1,?2,z),?(x,2,?4),?(?1,y,3),則x?y?z?

11.如圖在正方體ABCD－A1B1C1D1中,PQ與AC、C1D都垂直,試確定P在AC,Q在C1D上的位置

.12.已知空間四邊形OABC中,AB=OC,M為BC的中點,N為AC的中點,P為OA的中點,Q為OB的中點,求證:PM?

QN.13.如圖長方體ABCD－A1B1C1D1中,AD=AA1,AB=2AD,點E是線段C1D1的中點,求證:DE?面EBC.14.(選做題)如圖甲,在直角梯形PBCD中,PB//CD,CD?BC,BC?PB?2CD,A

是PB的中點.現沿AD把平面PAD折起,使得PA?AB(如圖乙所示),E、F分別為BC、AB邊的中點.(1)求證PA?平面ABCD;(2)求證平面PAE?平面PDE;(3)在PA上找一點G,使得FG//平面PDE.附件1：律師事務所反盜版維權聲明

附件2：獨家資源交換簽約學校名錄（放大查看）

學校名錄參見：

第二篇：2014年高考數學空間向量證明平行問題

4.2 直線的方向向量、平面的法向量及其應用

一、直線的方向向量及其應用

1、直線的方向向量

直線的方向向量就是指和這條直線所對應向量平行（或共線）的向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數個．

2、直線方向向量的應用

利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面．

?（1）若有直線l, 點A是直線l上一點，向量a是l的方向向量，在直線l

?????????????上取AB?a，則對于直線l上任意一點P，一定存在實數t，使得AP?tAB，這

?樣，點A和向量a不僅可以確定l的位置，還可具體表示出l上的任意點．

（2）空間中平面α的位置可以由α上兩條相交直線確定，若設這兩條直線

??交于點O,它們的方向向量分別是a和b，P為平面α上任意一點，由平面向量基

??????本定理可知，存在有序實數對（x，y），使得OP?xa?yb，這樣，點O與方向

??向量a、b不僅可以確定平面α的位置，還可以具體表示出α上的任意點．

1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()

A．(1,2,3)B．(1,3,2)

C．(2,1,3)D．(3,2,1)

2.從點A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取線段長AB＝34，則B點的坐標為()

A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)

C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)

二、平面的法向量

1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數個，它們是共線向量．

??

2、在空間中，給定一個點A和一個向量a，那么以向量a為法向量且經過點

A的平面是唯一確定的．

三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關系中的應用

????????????

1、若兩直線l1、l2的方向向量分別是u1、u2，則有l1// l2?u1//u2，l1⊥l2?u1???

⊥u2．

????????????

2、若兩平面α、β的法向量分別是v1、v2，則有α//β?v1//v2，α⊥β?v1???

⊥v2．

????若直線l的方向向量是u，平面的法向量是v，則有l//α?u⊥v，l⊥α

???u//v

b分別是直線l1、l2的方向向量，根據下列條件判斷l1與l2的位置關系。1.設a、?

?

（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）

?

?

?

?

??

四、平面法向量的求法

若要求出一個平面的法向量的坐標，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數法求解，一般步驟如下：

?

1、設出平面的法向量為n?(x,y,z)．

??

2、找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的坐標a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)

????n?a?0????n?b?0

3、根據法向量的定義建立關于x，y，z的方程組?

4、解方程組，取其中一個解，即得法向量

v分別是平面α、β的法向量，根據下列條件判斷α、β的位置關系： 1.設u、?

?

??

（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，?

?

?

2）；

（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。

?

?

2.已知點A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一個單位法向量。

??

3.若直線l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），試求直線l與平面α所成角的余弦值。

4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量能作為平面α的一個法向量的是()

A．(0，－3,1)B．(2,0,1)

C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)

5．已知平面α上的兩個向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的一個法向量為()

A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)

五、用向量方法證明空間中的平行關系和垂直關系

（一）用向量方法證明空間中的平行關系

空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．

1、線線平行

設直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，則

l∥m??_?_______.1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點，點Q為平面ABCD內

??????????

一點，線段D1Q與OP互相平分，則滿足MQ＝λMN的實數λ的值有()

A．0個C．2個

B．1個 D．3個

2、線面平行

設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則

l∥α??_______?1??

1．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為?1，2，2?，且l∥α，??

則m＝________.2．已知線段AB的兩端點的坐標為A(9，－3,4)，B(9,2,1)，則與線段AB平行的坐標平面是()

A．xOyB．xOz

C．yOzD．xOy或yOz

3．如圖所示，在空間圖形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求證：CM∥平面PAD

.4.如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論．

5.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；

3、面面平行(3)面面平行 設平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?

abc?__?________a＝bc(a2b2c2≠0)_______.22

21．如圖，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分別為棱AB、CD、BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；

③A1M∥面DCC1D1；

④A1M∥面D1PQB1.以上結論中正確的是________．(填寫正確的序號)

2.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點。

求證：（1）MN//平面A1BD；（2）平面A1BD//平面B1D1C。

第三篇：空間幾何——平行與垂直證明

三、“平行關系”常見證明方法

（一）直線與直線平行的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對邊互相平行

2)利用三角形中位線性質

3)利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：

平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

4)利用直線與平面平行的性質定理： a∥c?a∥bb∥c

如果一條直線與一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

a∥?

a??β a ?a∥

b

α b ????b

5)利用平面與平面平行的性質定理：

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．?//???????a??a//b

??

??b??

6)利用直線與平面垂直的性質定理：

垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。

ba?????a∥

b7)利用平面內直線與直線垂直的性質：

8)利用定義：在同一個平面內且兩條直線沒有公共點

（二）直線與平面平行的證明

1)利用直線與平面平行的判定定理：

平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

a??b??

?a∥?

b

a∥b

2)利用平面與平面平行的性質推論：

兩個平面互相平行，則其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面。

a??

?∥?

?a∥?

a

β

3)利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點

（二）平面與平面平行的證明

常見證明方法：

1)利用平面與平面平行的判定定理：

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

a??b??a∩b?Pa//?b//?

?//?

b

2)利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等 3)利用定義：兩個平面沒有公共點

三、“垂直關系”常見證明方法

（一）直線與直線垂直的證明

1)利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直等。2)看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。3)利用直線與平面垂直的性質：

如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內的所有直線。

a??

b??

?b?a

b

a

4)利用平面與平面垂直的性質推論：

如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。

???????l

a??b??a?lb?l

?a?

b

5)利用常用結論：

① 如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另

一條直線也垂直于第三條直線。

a∥b

a?c

?b?

c

② 如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么

這兩條直線互相垂直。

a??

b∥?

?a?b

b

（二）直線與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側棱垂直于底面等

2)看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂

直于此平面。

3)利用直線與平面垂直的判定定理：

a??b??a?b?Al?al?b

???

??l?????

l

b

A

a

4)利用平面與平面垂直的性質定理：

兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

???????l

a??a?l

?

????

a

l

5)利用常用結論：

①

a∥bb??

?a??

② 兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一

個平面。

?∥?

a??

?

a??

（三）平面與平面垂直的證明

1)利用某些空間幾何體的特性：如長方體側面垂直于底面等

2)看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。3)利用平面與平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

a??a??

???

?

?

a

?

第四篇：證明空間線面平行與垂直

證明空間平行與垂直

? 知識梳理

一、直線與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：直線與平面無公共點。

(2）判定定理： a??

b??a//ba//?

?//?

（3）其他方法：a//?a??

a//?

2.性質定理：a

?? a//b

????b

二、平面與平面平行

1.判定方法

（1）定義法：兩平面無公共點。

a//?

b//?

（2）判定定理：a?? ?//?

b??

a?b?P

（3）其他方法：a??a//? ?//?;?//? a???//?

?//?

2.性質定理：????a a//b

????b

三、直線與平面垂直

（1）定義：如果一條直線與一個平面內的所有直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直。

（2）判定方法

① 用定義.a?ba?c

② 判定定理:b?c?Aa??

b??

c??

a??

③ 推論: b??

a//b

（3）性質 ①

a??a??

a?b②a//bb??b??

四、平面與平面垂直

（1）定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直線二面角，就說這兩個平面互相垂直。

a??

（2）判定定理 ???

a??

（3）性質

???????l

①性質定理???

a??

a?l

???????l②A?l

P??

PA??垂足為A???????④PA??

P??PA??

? “轉化思想”

面面平行線面平行 線線平行 面面垂直線面垂直 線線垂直

例題1.如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點，（I）求證：AC⊥BC1；（II）求證：AC 1//平面CDB1；例

題2.如圖，在棱長為2的正方體

ABCD?A1B1C1D1中,O為BD1的中點,M為BC的中點,N為AB的中點，P為BB1的中點.（I）求證：BD1?B1C；（II）求證BD1?平面MNP；

例題3.如圖，在三棱錐V?ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC?BC?a，∠VDC???0???（I）求證：平面VAB⊥平面VCD；

??

π??． 2?

π

（II）試確定角?的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為．

Ｄ

例題4.（福建省福州三中2008屆高三第三次月考）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC1的中點，AE交A1D于點H.BB

（1）求證：AE?平面A1BD；

（2）求二面角D?BA1?A的大小（用反三角函數表示）；

A1

CHA

C

第五篇：第四節 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

第四節 利用空間向量求二面角及證明面面垂直一、二面角

二面角??l??，若?的一個法向量為m，?的一個法向量為n，則cos?,??，二面角的大小為?m,n?或???m,n?

例1．如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，E為BB1的中點，AA1?A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C1所成銳角的大小。

例2．（05年全國）如圖，在四棱錐V-ABCD

VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（1）證明AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD與面VBD所成的二面角的大小．

練習：如圖，棱長為1的正方體 ABCD?A1B1C1D1中，E是CC1的中點，求二面角B?B

1E?D的余弦值。

2二．證面面垂直

若平面?的一個法向量為，平面?的一個法向量為，且?，則???。

例3．在四棱錐P-ABCD中，側面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面是面積為23的菱形，?ADC?600，M是PB的中點。

（1）求證：PA?CD

（2）求二面角P?AB?D的度數；（3）求證：平面PAB?平面CDM。

練習：（04年遼寧）已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，?DAB?60?,PD?平面ABCD，PD=AD，點E為AB的中點，點F為 PD的中點。

（1）證明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.作業：

1．（04年廣東）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB?4,AD?3,AA1?2,E,F分別是線段AB,BC上的點，且EB?FB?1。（Ⅰ）求二面角C-DE-C1的正切值；

（Ⅱ）求直線EC1與FD1所成角的余弦值。

32．（05年全國）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=

AB=1，M是PB的中點。2

（1）證明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

3．已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，側棱PA?底面ABCD，PA＝2，M、N分別是AD、BC的中點，MQ?PD于Q

（1）求證：平面PMN?平面PAD；

（2）求PM與平面PCD所成角的正弦值；（3）求二面角P?MN?Q的余弦值。

4．（06年全國）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分別為BB1、AC1的中點．

（1）證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；（2）設AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．

C

B1 D

E

C

A

B

5．（04年浙江）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互

相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點。

（1）求證：AM//平面BDE；（2）求二面角A?DF?B的大小；

（3）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60?。

6．（05年湖南）如圖1，已知ABCD是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2.（1）證明：AC⊥BO1；

（2）求二面角O-AC-O1的大小。

7．（06年山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為 等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點O，且頂點 P在底面上的射影恰為點O，又BO=2,PO=,PB⊥PD.(1)求異面直線PD與BC所成角的余弦值；(2)求二面角P-AB-C的大小；(3)設點M在棱PC上，且PC⊥平面BMD.15

PM

??,問?為何值時，MC