第一篇：淺談初中數學中分類討論的劃分標準

淺談初中數學中分類討論的劃分標準

華育中學黃喆

在數學研究中，當被研究的對象包含多種可能的情況，導致我們不能對他們一概而論的時候，迫使我們必須按所有情況來分類討論，得出各種情況下相應的結論，這種解決問題的思想方法，我們叫做分類討論思想。

分類的根據是現代數學中集合分類的概念與邏輯學中概念劃分的方法。所謂概念的劃分，就是根據它的屬性來區分它的對象。即根據它的內涵來對它的外延實行分類。使同一類的對象具有相同的屬性，不同類的對象具有不同的屬性。這些分類構成若干個新概念的外延，這些新概念就被稱為從屬于原來那個概念的種概念。

用來劃分概念的那些屬性，稱為劃分的標準。然而根據分類的含義，無論是單層次還是多層次的分類，每一次的劃分必須按同一標準進行，劃分標準不同，劃分的結果也不同。對于初中數學而言，我大致總結了以下幾種可以作為分類討論的劃分標準，供大家討論。

1、數學概念和定義

例

1、若|a|=3，|b|=5，則|a+b|=

分析：與絕對值相關的問題，一般要去掉絕對值號，這就要根據絕對值的概念進行分類。解：當a、b同號時，|a+b|=8；當a、b異號時，|a+b|=2。

例

2、矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分別以A、C為圓心的兩圓相切，點D在圓C內，點B在圓C外，那么圓A的半徑r的取值范圍是03上海中考第14題）分析：“兩圓相切”的問題在近兩年（03、04）上海中考連續出現，考察的就是“兩圓相切”包含內切和外切兩種情況，然而得分率均低于50％，說明學生對于“兩圓相切”這一概念掌握不深。

解：兩圓外切時r的取值范圍是：1

例

3、已知abc≠0，且a?bb?cc?a???p，那么直線y=px＋p一定通過第象限； cab

分析：等比性質的適用范圍是a＋b＋c≠0，題目中并沒有交代a＋b＋c的具體性質，須按照適用否等比性質進行討論。

解：當a＋b＋c≠0，p＝2，y＝2x＋2，經過第一、二、三象限；

當a＋b＋c＝0，p＝－1，y＝-x-1，經過第二、三、四象限；

∴直線y=px＋p一定通過第二、三象限

3、問題中待定參數的變化

例

4、關于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0，當m為何值時，方程有實根？

分析：方程有實根，即方程有兩個實根或一個實根，相應的方程為一元二次方程或一元一次方程，所以對未知數最高次系數須分類討論。

解：Ⅰ）當m-4＝0，即m＝4時，原方程化為-7x+4=0，此時方程有且只有一個實數根；

Ⅱ）當m-4≠0，即m≠4時，原方程為一元二次方程，其中??[?(2m?1)]2?4(m?4)?m?0，即m≥?綜上所述，方程有實數根的條件是m≥?

且m≠4時，方程有兩個實根。1124、幾何量之間的位置關系

例

5、平面上A、B兩點到直線k距離分別是2?3與2?3，則線段中點C到直線k的距離是；

分析：點A、點B與直線k的位置關系有兩種情形：A、B點在直線k的同側或異側。解：Ⅰ）如圖，當點A、B兩點在直線k的同側時，設AM⊥k于M，BN⊥k于N，且AM＝2?3，BM＝2?3，C是AB的中點，CP

AM?BN

?2 ⊥k于P，則CP是梯形AMNB的中位線，∴CP?

Ⅱ）如圖，當A、B兩點在直線k的異側時，過B作BR⊥AM線交于R，延長PC交BR于Q，則AM∥CQ∥BN。∵AC＝BC，∴RQ＝BQ，∴PQ＝BN＝2?3，CQ=

1AR?(AM?BN)?2，∴CP=PQ-CQ=3 2

2∴線段中點C到直線k的距離是2或

35、特殊三角形和四邊形的特殊邊角

例

6、已知拋物線y?mx?(3m?)x?4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點。如

3果△ABC是等腰三角形，求m的值

分析：題目告知了△ABC是等腰三角形，但并沒有說明哪兩條邊對應相等時，就應該考慮到AB=AC、AB=BC、AC=BC三種情況，并分別給予討論。類似的情況還有告知是直角三角形但沒有說明哪個是直角；告知是平行四邊形但沒有說明哪一組是對邊等等 解：令mx?(3m?

444)x?4?0，則(mx-)(x-3)=0，x1=x2=

3333m

可知A(3,0)、B（442

42,0)、C(0,4)，得AC＝

5、AB＝3?、BC＝4?()3m3m3m

9Ⅰ）當AC＝BC，A、B兩點關于y軸對稱，即二次函數關于y軸對稱，∴m＝?Ⅱ）當AC＝AB，則3?

4＝5，m＝或?

633m

8424，m＝?)＝3?

73m3m

Ⅲ）當BC＝AB，則4?(綜上所述：m等于?

4128

.or..or.?.or.?。

69376、全等三角形和相似三角形的對應邊

例

7、如圖，直線y?

x?2分別交x、y軸于點A、C，P是該直線上在第一象限內的一2

點，PB⊥x軸，B為垂足，S△ABP＝9（02上海中考）（1）求點P的坐標；

（2）設點R與點P在同一個反比例函數的圖像上，且點R在直線PB的右側。作RT⊥x軸，T為垂足，當△BRT與△AOC相似時，求點R的坐標。解：（1）點P的坐標為（2,3）

分析：求△BRT與△AOC相似，就要首先觀察這兩個三角形的性質，都是直角三角形，但哪兩條邊為對應邊并沒有說明，所以就應按對應邊的不同進行討論。解：（2）可知點R的坐標為（b,RT

AORT

② 當△RTB∽△COA時，CO

① 當△RTB∽△AOC時，6）bBT?，解方程，得b＝3或b＝－1（舍去）COBT?，解方程，得b＝?1或b＝1?（舍去）AO

綜上所述，點R坐標為（3,2）或(1?,?1)2

學習數學，很重要的一個方面，就是掌握一系列的數學方法，而分類討論的思想就是其中一枝，也是近幾年中考的一個熱點。學生應該在學中思考，在思考中總結，這樣才能真正地做到融會貫通。

參考書目：《生活 數學 社會—初中數學應用問題集》

2004-7-10

第二篇：加油站ABC分類劃分標準

加油站安全監管分類標準

（一）加油站分類

根據加油站安全條件及安全風險程度，將全市加油站分為A、B、C三類，分別表示為“優秀”、“良好”、“一般”。

（二）加油站分類標準

根據《汽車加油加氣站設計與施工規范》（GB50156，2006版，以下簡稱GB50156）、《危險化學品從業單位安全標準化通用規范》（AQ3013-2008）和全市加油站現場安全情況，劃分以下分類標準。

1、A類加油站(同時具備下列條件)：

（1）取得危險化學品安全生產標準化三級證書，持續運行2年（含）以上，申請安全生產標準化三級達標企業評審得分在90分（含）以上的加油站。

（2）加油站重要設施（油罐、加油機和通氣管管口）與站外建、構筑物的防火安全距離符合GB50156要求的，或已安裝HAN阻隔防爆裝置的加油站。

（3）安全生產管理基礎扎實，安全管理體系健全（包括：安全生產責任制、安全管理機構和專職安全管理人員、安全管理制度、安全操作規程、事故應急救援預案、人員培訓及持證上崗、安全檢查及隱患排查、設置摩托車加油點、安全警示標志等），現場安全設施設備完好，安全事故風險控制能力較強的加油站。

（4）經營2年（含）以上，未發生生產安全事故，未被檢查發現有安全生產不良行為，未受安全生產行政處罰的加油站。本次A類加油站分類以第（2）、（3）、（4）三項內容為劃分依據，第（1）項內容待企業申請晉級和下一輪劃分時實行。

2、B類加油站(同時具備下列條件)：

（1）取得危險化學品安全生產標準化三級證書。（2）加油站重要設施（油罐、加油機和通氣管管口）與站外建、構筑物的防火安全距離符合GB50156要求的。（3）加油站所處區域人員流動較多但未達到人員密集場所條件的。

（4）經營1年（含）以上，現場安全管理規范，未發生生產安全事故、未被檢查發現有安全生產不良行為、未受安全生產行政處罰的加油站。

3、C類加油站(具備下列條件之一)：

（1）加油站重要設施（油罐、加油機和通氣管管口）與站外建、構筑物的防火安全距離不符合GB50156要求。

（2）人員密集區加油站未安裝HAN阻隔防爆材料。（3）油罐未埋地或埋地不規范。

（4）未通過安全生產標準化三級達標。

（5）加油站已建成使用達10年以上，現場安全設施設備存在一定的缺陷。

第三篇：分類討論思想在初中數學中的幾點應用

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分類討論思想在初中數學中的幾點應用 作者：楊欣

來源：《中學教學參考·理科版》2013年第06期

分類討論是一種重要的數學思想方法，同時也是一種解題策略.數學中有許多問題由于已知條件籠統，所以需要對可能的情形進行分類討論，因此，我們在思考問題的解法時，需要認真審題，全面考慮，分類要做到不重不漏，從而獲得完整的答案.以下是分類討論思想在初中數學中的幾點應用，一、在實數中的應用

【例6】 若直線y=kx+6與兩坐標軸所圍成的三角形的面積是24，求常數k的值.分析：與坐標軸的圍法分兩種情形：所圍三角形在第一象限或在第二象限.解：如圖2，圖像與縱坐標交于點（0，6）.設與橫坐標交于（a，0）.（1）若與坐標軸圍成的三角形在第一象限，則有12a×6=24，得a=8.將（8，0）代入一次函數y=kx+6，此時k的值為-34.（2）若與坐標軸圍成的三角形在第二象限，同理可得k的值為34.綜上，k的值為-34或34.（責任編輯 金 鈴）

第四篇：淺談初中幾何中分類討論的教學策略

淺談初中幾何中分類討論的教學策略

摘 要：在中學數學教學中，分類討論的重要性十分突出。要提高學生對分類討論的重視，弄清楚引起分類的原因、明確分類討論的標準、遵循分類討論的步驟、掌握分類討論的方法。分類討論是解決數學問題的一種策略，也是訓練學生思維方法、培養思維能力的重要手段。

關鍵詞：分類討論；重合面積；例題

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）29-0041-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.29.022

數學學科十分重視不同解題思路和方法的探究和運用，根據不同題目的類型，采取最為合適的解題方法，同時探究其他解題思路，這有助于學生發散性思維的培養。分類討論思想在初中數學教學中的應用就驗證了這一種教學思路的滲透。

翻閱蘇州各市區近幾年一模卷和蘇州市中考卷，發現那些開放性、探索性較強的試題往往會作為壓軸題，而學生往往失分嚴重，究其原因，是由于考生邏輯推理能力不強，分類討論思想缺失，或者解題不嚴密所致，因此訓練這方面能力是非常必要的。

一、確立分?討論思想的重要性

分類討論是指在解決數學問題的過程中，根據問題中所出現的多種情況和可能性，分別進行研究的一種常用的數學思想方法。

分類討論思想一旦以壓軸題的形式出現，就會讓學生無從入手。因此中考復習要到位，分類討論這方面問題，必須在平時課上就加以鋪墊，化整為零，讓學生經常可以感受到分類思想，不要到臨考前才臨陣磨槍。

二、如何進行分類討論的教學

分類情況可分為：數學概念的內涵需要分類討論；問題中的條件需要分類討論； 問題中的變量需要分類討論；形狀、位置的變化需要分類討論。

教師必須能全面、熟練地掌握初中數學教材中的所有概念、性質、定理。只有這樣，在教學的過程中教師才能更好地運用自己所掌握的東西，使學生對分類討論思想有系統、全面的理解，讓學生能掌握直至熟練運用分類討論思想。

代數型分類討論，如絕對值化簡，方程根的個數，函數圖像性質，二次函數最值等；幾何型分類討論，如求等腰三角形第三邊，直角三角形的第三邊，相似三角形的分類討論等；以上問題通過例題、課后作業，可以有效解決，讓學生輕松上手。但是綜合起來以后，學生有時就很難理解，下面具體來談一下，如何有效地讓學生學會計算“幾何重合面積”的方法。

對于幾何類型的分類討論，在課堂教學中，要訓練學生，讓他們畫出幾何圖形，特別是訓練讀題畫圖，在做作業乃至考試的時候，涉及幾何的題目，如果原題沒有配圖，一定要培養他們畫圖的習慣，對圖形有很好的感覺，會對分類討論有著最直接的幫助。課堂上，教師也應該經常在學生面前畫圖，并介紹如何利用直尺、圓規等工具，把幾何圖形畫得盡量準確，不要為了省事，總放些課件，把很好的訓練機會白白浪費掉。訓練尋找題中的特殊角度、坐標、特殊的邊的比值等。有時解題的關鍵就是這些容易疏忽的條件。運動的圖形，必須從起點開始畫，要學會畫出分類情況的臨界狀況，這是求自變量取值范圍的關鍵，這種過度圖形都是很特殊的位置，對于計算是很有幫助的。

例1：已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C（0，-12）兩點，且對稱軸為直線x=4，設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B.（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；

（2）如圖1，在直線y=-2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N.將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN.在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒.問S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由。

分析：

（1）利用對稱軸，可求出B坐標，用A、B、C坐標求拋物線解析式。

（2）關鍵要判斷一組平行的對邊是什么，因此先求出直線PB的解析式，可知與直線y=-2x的k相等，所以直線PB//OD，所以只需OP=BD，用勾股定理列出OP和BD，解方程，最后檢驗是不是只有一組對邊平行，當x=2時，OD=PB，此時四邊形OPBD為平行四邊形，舍去。

（3）做這小題時，有一條運動的直線，經過自己動手探索，發現△PMN翻折后，有兩種情況，如圖3、4，即重合部分是三角形或者是四邊形。

有的學生畫不出圖，寸步難行，有的學生只會畫出圖，至于如何計算，無從下手。教師要先鼓勵學生根據原圖畫出翻折圖像，這樣的全等圖形，相信只要去嘗試，可以臨摹出一模一樣的翻折圖形，如果成功的話，接著可以讓全班同學一起參與畫出不一樣的圖像，并且一起分析這些“不同的圖像”的相同之處，從運動的起點到終點，整個運動過程可總結出有兩種重合部分的圖像。下面要討論出這兩種情況的分界點，也就是重合部分是三角形的最后時刻，通過剛才畫圖的過程，可知點P翻折后正好落在x軸上。

分析完后，進入計算階段，這條運動的直線，是以M為主體，畫出的與x軸平行的直線，由速度可得PM=t，下面又是學生碰到的難題，其實，題中包含著很多的特殊三角形（特殊三角形包括等腰直角三角形、含30°的直角三角形，或者邊的比值是定值的也算是特殊三角形），這是要告誡學生，必須根據條件，去探索題中是否有特殊三角形，經過（1）（2）題的計算，圖3、4中可以得出△POD，△POG是等腰直角三角形，△PDB中BD：PD=1：2的直角三角形。因為相似，可知△PMH是等腰直角三角形，△PHN的直角邊也是1：2，用t可以表示MN、PH，面積也就迎刃而解了。

這道題的分類思想根據畫圖得出，因此，讓學生從圖像變化的起點出發，尋找臨界狀態，進而畫出動起來后的不同形式，再經過分析完善分類，最后進行計算。計算過程一定要利用已知條件，尋找特殊圖像。幾乎所有類似的題目，都有可以利用的圖形。

三、學生如何掌握分類討論的思想

正確的分類必須是周全的，既不重復，也不遺漏。分類討論的原則：分類中的每一部分是相互獨立的；一次分類按一個分類標準；分類討論應該逐級進行。

分類的基本步驟為：明確分類主體；按條件合理展開分類；根據類型逐項進行討論；歸納分類結果得出答案。通過平時課內和課后對畫圖的訓練、壓軸題中給出的點坐標、特殊三角形的尋找，通過從動點起止狀態的分析的訓練，學生可以逐漸掌握幾何重合面積的解決方法。

四、教師要把主動權還給學生

學生之所以對分類討論問題懼怕，無非是因為不知道什么題目要進行分類討論，或分類不完全、漏解，只要突破這兩個難點，學生以后碰到此類問題，就會迎刃而解了。在課堂教學中，教師要把主動權還給學生，要產生真切的師生互動，使討論具有實效。這樣，在課堂上學生始終處于不斷發現問題、解決問題的過程中。學生一旦嘗到努力探索的成就感，久而久之，就會更加喜歡學習，愿意學習。

參考文獻：

[1] 顧仁岳.例談初中幾何教學中分類討論[J].中學數學研究（華南師范大學版），2015（18）：38-39.[2] 董佩珊.在初中數學教學中滲透分類討論思想的教學策略[J].中學數學研究（華南師范大學版），2015（24）：22-24.[3] 陸銀.初中數學課堂教學中分類討論法的應用[J].數理化解題研究（初中版），2015（4）：19.[4] 肖毓強.淺析分類討論思想在初中數學教學中的運用[J].新課程（中），2016（32）：45.[ 責任編輯 林 娜 ]

第五篇：分類討論思想與初中數學教學

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分類討論思想與初中數學教學

分類討論思想與初中數學教學

摘 要：數學中的分類討論思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。

關鍵詞：數學 ；分類討論

新課標指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能”。初中階段常見的數學思想包括：函數與方程思想，化歸思楊，分類討論思想、數形結合思想等。其中分類討論思想是初中數學中最常見、最重要的一種數學思想，它貫穿于整個初中數學，它有利于考查學生的綜合數學基礎知識和靈活運用能力。

一個數學問題是否要分類及如何分類，這種經驗的積累是十分重要的。一般情況下，分類討論一般應遵循以下的原則：

1、同一性原則。分類應按同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據。例如：有些同學把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、不等邊三角形、等腰三角形。這個分類就不正確了，因為這個分類同時使用了按邊和按角兩個分類標準。

2、相稱性原則。分類應當相稱，即劃分后子項外延的總和，應當與母項的外延相等。

3、互斥性原則。分類后的每個子項應當互不相容，即做到各子項相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項，又屬于另一個子項。

4、層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對被討論對象只分類一次；多次分類是把分類后所得的子項作為母項，再進行分類，直至滿足需要為止。

一般來說，教師在教學活動中可按以下三個步驟引導學生建立分類討論的思想，學會分類方法，揭示分類討論思想的本質，自覺合理的運用分類討論的思想解決相應數學問題，形成能力。

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專業論文 有意識地分階段滲透分類討論思想

啟發誘導，適時揭示分類討論思想的本質

這道題勢必要考慮圖像的開口方向，又要考慮對稱軸和頂點的位置。要對字母a和m分類。怎么分，則應由學生討論，互相補充，互相評價，逐步完善。

例3 初中課本第四冊證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

在幾何中，常常由于圖形的的形狀、位置的不同而要進行分類討論。這是課本第一次正式的采用分類的方法證明幾何定理的。為什么要根據圓心相對于圓周角的位置分成三種情況（如上圖）去證，要在學生畫圖、測量、分析、討論后形成思路。決不能在這些活動之前給出分類證明，否則就失去了從一般到特殊，從特殊到一般的思維過程，無法體會分類證明的目的和優點。創設情境，深化提高，使學生自覺應用分類討論思想

在初中數學中，若涉及到以下幾個方面，往往需要進行分類討論：

分析：該題是含有字母的方程，根據題目的要求，以下三種情況可使方程只有一個實數根：

化得的整式方程為一次方程，則只有一解（且這個根不能是增根）；

2）化得的整式方程為一元二次方程且判別式為零，則只有一解（且這個根不能是增根）

3）化得的整式方程為一元二次方程且判別式大于零，解得的兩根中需有一根 為增根。

在幾何中由于圖形的形狀、位置的不同，條件的不確定，常常需要分類討論。如這道例題。在實際教學中可以碰到很多這種習題。如：

等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？

總之，數學中的分類討論思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。

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