第一篇：七年級數學猜想證明同步練習

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8.5～8.6 猜想 證明 同步練習

【基礎能力訓練】

1．將正數按下列的位置順序排列，根據圖中的規律，2 004應該排在（）

A．M位B．N位C．P位D．Q位

2．仔細觀察下面表格中圖形的變化規律，“？”處的圖是（）

3．下列語句中是命題的是（）

A．畫一個角等于已知角C．鈍角總大于銳角D∥CD

4．下列語句中不是命題的是（）

A．2008B．方程3x－6=0的解是x=2

CD．過P作直線AB的垂線

180°，那么這三個角中，至少有兩個為銳角．

A．0．C．2個D．3個

6．填空：

（1）判斷一件事情的句子叫_______．

（2）數學中每個命題都由_______和_______兩部分組成．正確的命題叫______，?不正確的稱為_________．

（3）被人們長期的實踐所證實，并作為推理依據的事實叫做_______．

（4）用邏輯的方法判斷為正確，并作為推理依據的真命題叫做________．

（5）下列命題：①所有的等腰三角形都相似②所有的等邊三角形都相似③所有的直角三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命題有______（填序）．

（6）等量公理：

①等量加等量，_______相等，即

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如果a=b，那么a+c______b+c；

②等量減等量，差_______，即

如果a=b，那么a－c______b－c；

③等量的同位量相等，即

如果a=b，那么ac________ac；

④等量的同分量________，即

如果a=b，c≠0，那么ab________； cc

⑤等量代換，即

如果a=b，b=c，那么a_______c．

【綜合創新訓練】

創新應用

7．觀察下列等式

12－02=1

22－12=3

32－22=5

42－32=7

?

8．如圖，是小明用火柴搭的1條，2條?“金魚”，按此規律搭n?條金魚需要火柴

數S=_______根．

多向思維

9．舉反例說明命題“大于90°的角是鈍角”是假命題．

10．?將“垂直于同一條直線的兩條直線平行”改寫成“如果??那么??”的形式．

開放探索

11．?七年級

（二）班的數學小組的幾位同學正在研究“對于所有正整數n2－3n+13”的值是否都是質數，他們認真驗算出n=1，2，3，?，10時，式子n2－3n+13?的值都是質數．部分成員還想繼續驗算下去，小明同學說：不必再驗算下去了，對于所有正整數，式子n2－3n+13的值都是質數．

你贊同小明的觀點嗎？并請驗證一下當n=12的情形．

探究學習

世界七大數學難題

2000年，美國克雷數學研究所懸賞：七大數學難題，每解破一題者，只要通過兩年驗證期，即頒發獎金100萬美元，這七道難題是：

龐加萊猜想：已被朱熹平和曹懷東證明．

霍奇猜想：進展不大．

納威厄一斯托克斯方程：離解決相差很大．

P與NP問題：沒什么進展．

楊─米爾理論：太難，幾乎沒人做

黎曼假設：還沒看到破解的希望．

答案:

【基礎能力訓練】

1．D

2．A解析：先豎切一刀，然后橫切．

3．C解析：A，D不是判斷語句，B是疑問句．

4．D解析：D不是判斷語句．

5．D解析：①反例30°+45°≠90°；②反例120°+30°=150°不是平角；? ③在三角形中符合，在多邊形中就不正確．

6．（1）命題（2）題設結論真命題假命題（3）公理（4）定理

（5）?②④（6）①和 =②相等 =③=④相等 =⑤=

【創新實踐】

7．n2－（n－1）2=2n－1

8．8+6（n－1）

9．反例：180°>90°，180°的角是平角不是鈍角；

360°>90°，360°的角是周角不是鈍角，所以大于90

11．不贊同．

當n=12時，n2－3n+13=122－3×12+13=144∵121=1×121=11×∴121不是質數．

第二篇：七年級數學證明同步練習

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8.5～8.6 猜想 證明 同步練習

【基礎能力訓練】

1．將正數按下列的位置順序排列，根據圖中的規律，2 004應該排在（）

A．M位B．N位C．P位D．Q位

2．仔細觀察下面表格中圖形的變化規律，“？”處的圖是（）

3．下列語句中是命題的是（）

A．畫一個角等于已知角B．你討厭數學嗎

C．鈍角總大于銳角D．過A點作AB∥CD

4．下列語句中不是命題的是（）

A．2008年奧運會的主辦城市是北京B．方程3x－6=0的解是x=2

C．石家莊是河北省的省會D．過P作直線AB的垂線

5．下列命題中假命題有（）

①兩個銳角的和等于直角②一個銳角與一個鈍角的和等于平角

③如果三個角的和等于180°，那么這三個角中，至少有兩個為銳角．

A．0個B．1個C．2個D．3個

6．填空：

（1）判斷一件事情的句子叫_______．

（2）數學中每個命題都由_______和_______兩部分組成．正確的命題叫______，確的稱為_________．

（3）被人們長期的實踐所證實，并作為推理依據的事實叫做_______．

（4）用邏輯的方法判斷為正確，并作為推理依據的真命題叫做________． 由蓮山課件提供http:///資源全部免費 不正?

（5）下列命題：①所有的等腰三角形都相似②所有的等邊三角形都相似③所有的直角三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命題有______（填序）．

（6）等量公理：

①等量加等量，_______相等，即

如果a=b，那么a+c______b+c；

②等量減等量，差_______，即

如果a=b，那么a－c______b－c；

③等量的同位量相等，即

如果a=b，那么ac________ac；

④等量的同分量________，即

如果a=b，c≠0，那么

⑤等量代換，即

如果a=b，b=c，那么a_______c．

【綜合創新訓練】

創新應用

7．觀察下列等式

12－02=1

2－1=3

32－22=5

42－32=7

?

根據以上計算，你發現了什么規律，請用含有n的式子表示該規律．

8．如圖，是小明用火柴搭的1條，2條，3條? “金魚”，按此規律搭n?條金魚需要火柴

數S=_______根．

22ac________bc；

多向思維

9．舉反例說明命題“大于90°的角是鈍角”是假命題．

10．?將“垂直于同一條直線的兩條直線平行”改寫成“如果??那么??”的形式．

開放探索

11．?七年級

（二）班的數學小組的幾位同學正在研究“對于所有正整數n2－3n+13”的值是否都是質數，他們認真驗算出n=1，2，3，?，10時，式子n2－3n+13?的值都是質數．部分成員還想繼續驗算下去，小明同學說：不必再驗算下去了，對于所有正整數，式子n2－3n+13的值都是質數．

你贊同小明的觀點嗎？并請驗證一下當n=12的情形．

探究學習

世界七大數學難題

2000年，美國克雷數學研究所懸賞：七大數學難題，每解破一題者，只要通過兩年驗證期，即頒發獎金100萬美元，這七道難題是：

龐加萊猜想：已被朱熹平和曹懷東證明．

霍奇猜想：進展不大．

納威厄一斯托克斯方程：離解決相差很大．

P與NP問題：沒什么進展．

楊─米爾理論：太難，幾乎沒人做

波奇和斯溫納頓─戴雅猜想：最有希望破解．

黎曼假設：還沒看到破解的希望．

答案:

【基礎能力訓練】

1．D

2．A解析：先豎切一刀，然后橫切．

3．C解析：A，D不是判斷語句，B是疑問句．

4．D解析：D不是判斷語句．

5．D解析：①反例30°+45°≠90°；②反例120°+30°=150°不是平角；? ③在三角形中符合，在多邊形中就不正確．

6．（1）命題（2）題設結論真命題假命題（3）公理（4）定理

（5）?②④（6）①和 =②相等 =③=④相等 =⑤=

【創新實踐】

7．n2－（n－1）2=2n－1

8．8+6（n－1）

9．反例：180°>90°，180°的角是平角不是鈍角；

360°>90°，360°的角是周角不是鈍角，所以大于90°的角是鈍角是假命題．

10．如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．

11．不贊同．

當n=12時，n－3n+13=12－3×12+13=144－36+13=121

∵121=1×121=11×11

∴121不是質數．

第三篇：數學猜想

1、地圖的“四色猜想”

世界近代三大數學難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。”這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經堆了一大疊，可是研究工作沒有進展。

1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數學家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。

11年后，即1890年，數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數學大師們的努力，為后世的數學家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引進了一些新技巧，美國數學家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數學史上一系列新思維的起點。不過也有不少數學家并不滿足于計算機取得的成就，他們還在尋找一種簡捷明快的書面證明方法。

3、敘拉古猜想

大家一起來做這樣一個游戲：每個人可以從任何一個正整數開始，連續進行如下運算，若是奇數，就把這個數乘以3再加1；若是偶數，就把這個數除以2。這樣演算下去，直到第一次得到1才算結束，首先得到1的獲勝。比如，要是從1開始，就可以得到1→4→2→1；要是從17開始，則可以得到17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。自然地，有人可能會問：是不是每一個正整數按這樣的規則演算下去都能得到1呢？這個問題就是敘拉古猜想，也叫科拉茲猜想或角谷猜想。

既然是猜想，當然至今還沒有得到證明，但也沒有發現反例。利用計算機，人們已經

50驗證了所有小于100*2=***400的正整數。這是葡萄牙阿弗羅(Aveiro)大

學的Tomas Oliveira e Silva的工作，用了很巧妙的編程方法。因此大家在做游戲時大可不必擔心會出問題。

4、漢諾塔問題

漢諾（Hanoi）塔問題：古代有一個梵塔，塔內有三個座A、B、C，A座上有64個盤子，盤子大小不等，大的在下，小的在上（如圖）。

有一個和尚想把這64個盤子從A座移到B座，但每次只能允許移動一個盤子，并且在移動過程中，3個座上的盤子始終保持大盤在下，小盤在上。在移動過程中可以利用B座，要求打印移動的步驟。

這個問題在盤子比較多的情況下，很難直接寫出移動步驟。我們可以先分析盤子比較少的情況。假定盤子從大向小依次為：盤子1，盤子2，...，盤子64。

如果只有一個盤子，則不需要利用B座，直接將盤子從A移動到C。

如果有2個盤子，可以先將盤子1上的盤子2移動到B；將盤子1移動到c；將盤子2移動到c。這說明了：可以借助B將2個盤子從A移動到C，當然，也可以借助C將2個盤子從A移動到B。

如果有3個盤子，那么根據2個盤子的結論，可以借助c將盤子1上的兩個盤子從A移動到B；將盤子1從A移動到C，A變成空座；借助A座，將B上的兩個盤子移動到C。這說明：可以借助一個空座，將3個盤子從一個座移動到另一個。

如果有4個盤子，那么首先借助空座C，將盤子1上的三個盤子從A移動到B；將盤子1移動到C，A變成空座；借助空座A，將B座上的三個盤子移動到C。

上述的思路可以一直擴展到64個盤子的情況：可以借助空座C將盤子1上的63個盤子從A移動到B；將盤子1移動到C，A變成空座；借助空座A，將B座上的63個盤子移動到C。

一、哥德巴赫猜想

1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：

一、任何不小于6的偶數，都是兩個奇質數之和；

二、任何不小于9的奇數，都是三個奇質數之和。

這就是數學史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需在兩個猜想中證明一個就足夠了。

同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中，明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是歐拉當時還無法給出證明。由于歐拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數學界。從那以后，許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都致力于證明哥德巴赫猜想。可是直到19世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超出了人們的想象。有的數學家把哥德巴赫猜想比喻為“數學王冠上的明珠”。

我們從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋

5、??、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83、??這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗證了3300萬以內的所有偶數，竟然沒有一個不符合哥德巴赫猜想的。20世紀，隨著計算機技術的發展，數學家們發現哥德巴赫猜想對于更大的數依然成立。可是自然數是無限的，誰知道會不會在某一個足夠大的偶數上，突然出現哥德巴赫猜想的反例呢？于是人們逐步改變了探究問題的方式。

1900年，20世紀最偉大的數學家希爾伯特，在國際數學會議上把“哥德巴赫猜想”列為23個數學難題之一。此后，20世紀的數學家們在世界范圍內“聯手”進攻“哥德巴赫猜想”堡壘，終于取得了輝煌的成果。

20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數學方法。解決這個猜想的思路，就像“縮小包圍圈”一樣，逐步逼近最后的結果。

1920年，挪威數學家布朗證明了定理“9＋9”，由此劃定了進攻“哥德巴赫猜想”的“大包圍圈”。這個“9＋9”是怎么回事呢？所謂“9＋9”，翻譯成數學語言就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成其它兩個數之和，而這兩個數中的每個數，都是9個奇質數之積。” 從這個“9＋9”開始，全世界的數學家集中力量“縮小包圍圈”，當然最后的目標就是“1＋1”了。

1924年，德國數學家雷德馬赫證明了定理“7＋7”。很快，“6＋6”、“5＋5”、“4＋4”和“3＋3”逐一被攻陷。1957年，我國數學家王元證明了“2＋3”。1962年，中國數學家潘承洞證明了“1＋5”，同年又和王元合作證明了“1＋4”。1965年，蘇聯數學家證明了“1＋3”。

1966年，我國著名數學家陳景潤攻克了“1＋2”，也就是：“任何一個足夠大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是兩個奇質數的積。”這個定理被世界數學界稱為“陳氏定理”。

由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結果“1＋1”僅有一步之遙了。但為了實現這最后的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明“1＋1”，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。

費爾瑪猜想

法國數學家費爾瑪對數學的貢獻涉及各個領域。他與笛卡兒一起奠定了解析幾何的基礎；他和帕斯卡一起奠定了概率論的基礎；他從幾何角度，第一次給出了求函數極值的法則??但使他名垂千古、載入史冊的還他所提出的費爾瑪猜想，也被稱為“費爾瑪大定理。”

費爾瑪在丟番圖的《算術學》的書頁邊上寫道：

任何一個數的立方不能分解為兩個立方之和，任何一個有選舉權的四次方不能分解為兩個四次方之和；更一般的，除二次冪外，兩個數的任何次冪的和都不可能等于第三人矍有同次冪的數。我已經找到了這個斷語的絕妙證明，但是，這書的頁邊太窄，不容我把證明寫出來。

費爾瑪的這段筆記，用數學語言來表達，就是形如X^n+y^n=z^n的方程，當n大于2時，不可能有正整數解。

遺憾的是，人們找遍了他的文稿和筆記，都搜尋不到這個“絕妙”的證明。

費爾瑪的證明是什么樣的？誰也不清楚。他是否真的給出過證明也值得懷疑。不過，他用無窮遞降的方法證明了N=3的情形。

后來，歐拉也沿用此方法證明了n=3,4時，x^n+y^n=z^n無整數解。

19世紀有不少數學家對這個問題感興進取，勒讓德與克雷同時證明了n=5時的費爾瑪大定理；拉梅證明了n=7時的情形，后來德國數學家庫默爾將n推進到了100。

20世紀隨著電子計算機的飛速發展和廣泛應用，到1978年，已經證明了當n<12500的素數以及它們的倍數時，猜想都成立。

在300多年中，人們希望能找到它的一般證明，但又苦于無法；企圖否定，又舉不出反例。

1850年---1853年，法國科學院曾兩次以2000法郎的獎金懸賞，但都沒有收到正確答案。

1900年，德國數學家希爾伯特認為費爾瑪大定理是當時最難的23個數學問題之一。1908年，德國哥庭根科學院按照德國數學家俄爾夫斯開耳的遺囑，把他的10萬馬克作為費爾瑪大定理的證明獎金，向全世界征求解答，期限為100年，直到公元2007年仍有效。可見，費爾瑪確引起了不同尋常的反響。就定理本身而言，是一個中學生都能搞懂的問題。因此，不光是數學家、數學工作者，還有工程師、職員、政府官員都投身到了“費爾瑪猜想”的證明當中，證明的熱潮十分高漲。

第一次世界大戰的爆發，才使證明趨于冷落。

費爾瑪猜想雖然還沒有最終獲得證明，甚至還有人認為他是一道死題。但是在證明“費爾瑪猜想”的過程中，數學家們發現了許多新的概念、定理和。

費爾瑪僅憑少數事例而產生天才的猜想，推動了數學的發展。“理想數論”這一嶄新的數學分支，正是在這種探索中建立的。

對“費爾瑪猜想”的大規模探索表明，企圖用初等數學證明它，大概是不可能的，就像解決古希臘三大難題一樣，恐怕要依賴新的數學方誕生！。

歷史的新轉機發生在1986年夏，貝克萊·瑞波特證明了:費爾馬大定理包含在“谷山豐—志村五朗猜想 ” 之中。童年就癡迷于此的懷爾斯，聞此立刻潛心于頂樓書房7年，曲折卓絕，匯集了20世紀數論所有的突破性成果。終于在1993年6月23日劍橋大學牛頓研究所的“世紀演講”最后，宣布證明了費爾馬大定理。立刻震動世界，普天同慶。不幸的是，數月后逐漸發現此證明有漏洞，一時更成世界焦點。這個證明體系是千萬個深奧數

學推理連接成千個最現代的定理、事實和計算所組成的千百回轉的邏輯網絡，任何一環節的問題都會導致前功盡棄。懷爾斯絕境搏斗，毫無出路。1994年9月19日，星期一的早晨，懷爾斯在思維的閃電中突然找到了迷失的鑰匙：解答原來就在廢墟中！他熱淚奪眶而出。懷爾斯的歷史性長文“模橢圓曲線和費爾馬大定理”1995年5月發表在美國《數學年刊》第142卷，實際占滿了全卷，共五章，130頁。1997年6月27日，懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬馬克懸賞大獎。離截止期10年，圓了歷史的夢。他還獲得沃爾夫獎(1996.3），美國國家科學家院獎（1996.6），費爾茲特別獎（1998.8）。

孿生素數猜想

1849年，波林那克提出孿生素數猜想（the conjecture of twin primes），即猜測存在無窮多對孿生素數。

孿生素數即相差2的一對素數。例如3和5，5和7，11和13，?，10016957和10016959等等都是孿生素數。

1900年希爾伯特在國際數學家大會上說有了素數公式，哥德巴赫猜想和孿生素數猜想都可以得到解決。剛剛去世的浙江大學沈康身教授也認為有了素數普遍公式，就可以解決大多數數論難題。

孿生素數是指一對素數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生素數。

孿生素數猜想，即是否存在無窮多對孿生素數，是數論中未解決的一個重要問題。哈代-李特爾伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）是孿生素數猜想的一個增強形式，猜測孿生素數的分布與素數定理中描述的素數分布規律相類似。

1966年，中國數學家陳景潤在這方面得到最好的結果：存在無窮多個素數p，使p+2是不超過兩個素數之積。

孿生素數猜想至今仍未解決，但一般人都 認為是正確的。

第四篇：數學猜想

數學猜想

是以一定的數學事實為根據，包含著以數學事實作為基礎的可貴的想象成分；沒有數學事實作根據，隨心所欲地胡猜亂想得到的命題不能稱之為“數學猜想”。數學猜想通常是應用類比、歸納的方法提出的，或者是在靈感中、直覺中閃現出來的。例如，中國數學家和語言學家周海中根據已知的梅森素數及其排列，巧妙地運用聯系觀察法和不完全歸納法，于1992年正式提出了梅森素數分布的猜想(即“周氏猜測”)。

相傳歐幾里德有個學生問他，學幾何有什么用，他說：給他個硬幣，因為他想從學習中獲得實利。

雖然我知道哥德巴赫猜想在密碼學中有直接應用；

雖然我記得在一些定理的證明中使用了假設為正確的哥德巴赫猜想； 雖然為了證明哥德巴赫猜想，人們提出了各種方法，大大推動了數論和整個數學的發展，并在博弈、工程、經濟等各個領域得到應用； 我還是愿意說，哥德巴赫猜想對人類社會沒有重大推動作用！數學總是花大量時間去嚴格證明一些顯而易見或者沒有用處的東西，哥德巴赫猜想是其中之一。數學是人類挑戰思維的極限，就像運動員挑戰人體的極限，證明哥德巴赫猜想就像運動員打破世界紀錄一樣沒用。數學是滿足人類的好奇心，就像藝術滿足人類對美的追求，證明哥德巴赫猜想就像創作出一副傳世之作一樣沒用。

如果你覺得打破世界紀錄或者創作一副藝術珍品是值得的，那哥德巴赫猜想的證明也是值得的。

第五篇：數學歸納法同步練習（定稿）

2.1 數學歸納法同步練習

1．滿足1·2+2·3+3·4+?+n（n+1）=3n-3n+2的自然數等于（）

A．1；B.1或2；C.1,2,3;D.1,2,3,4;

2.在數列｛an｝中, an=1-

A．ak+1

2k?11212k?2?13?14???12k?412n?1?12n2則ak+1=（）.D.ak+1

2k?1?1

2k?2；B.ak+? C.ak+

n12k?2.3.用數學歸納法證明“當n為正奇數時，x+y能被x+整除”的第二步是()

A.假使n=2k+1時正確,再推n=2k+3正確;B假使n=2k-時正確,再推n=2k+1正確;

C.假使n=k時正確,再推n=k+1正確;D假使n≤k(k≥1),再推n=k+2時正確(以上k∈Z)

4.在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為1

2nn(n-3)條時,第一步驗證n等于()

A.1.B.2;C.3;D.0;

5.已知Sn=1

1?3?1

3?5?1

5?7??????1

(2n?1)(2n?1)則S1=________S2=_______S3=______

S4=________猜想Sn=__________.6.用數學歸納法證明:1+2+3+?+n=2n?n

n42則n=k+1時左端在n=k時的左端加上_________ n7.用數學歸納法證明“當n為正偶數為x-y能被x+y整除”第一步應驗證n=__________時,命題成立;第二步歸納假設成立應寫成_____________________.8, 數學歸納法證明34n?2?52n?1能被14整除的過程中,當n=k+1時,34(K?1)?2?52(K?1)?1應變形為____________________.9.數學歸納法證明1+3+9+?+3n?1?1

2(3?1)n

10求證 n3?(n?1)3?(n?2)3能被9整除.參考答案

1.C用排除法,將4,3依次代入,所以選C.2.D.a1=1-1

2,a2?1?

2?1

3?121

4?13?14,???,an?1?12k?1?1

2k12?13?142n?12n11?ak?? 2k?12k?2?????1?1ak?1??????所以,ak?1

3.B因為n為正奇數,據數學歸納法證題步驟,第二步應先假設第k個正奇數也成立,本題即假設n=2k-1正確,再推第k+1個正奇數即n=2k+1正確.4.C.因為是證明凸n邊形,首先可先構成n邊形,故選才。5.1234nn，，.分別將1,2,3,4代入觀察猜想Sn? 35792n?12n?1

22226.(k+1)n=k左端為1+2+3+?kn=k+1時左端為1+2+3+?k+(k+1).7.2.x2k-y2k能被x+y整除

因為n為正偶數,故第一值n=2,第二步假設n取第k個正偶數成立,即n=2k,故應假設成x-y能被x+y整除.8.25(34k+2+52k+1)+56·32k+2當n=k+1時,34(k+1)+2+52(k+1)+1=81·34k+2+25·52k+1=25(34k2+52k+1)+56·33k+2

9.證明(1)當n=1時,左=1,右=

時,1+3+9+?+3k-1+3k=

3332k2k12(31-1)=1,命題成立.(2)假設n=k時,命題成立,即:1+3+9+?3k-1=1212(3k-1),則當n=k+112(3k-1)+3k=333(3k+1-1),即n=k+1命題成立.32333210.證明(1)當n=1時,1+(1+1)+(1+2)3=36能被9整除.(2)假設n=k時成立即:k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,當k=n+1時(k+1)+(k+2)+(k+3)= k+(k+1)+(k+2)+9k+9k+27= k+(k+1)+(k+2)+9(k+k+3)能被9整除.由(1),(2)可知原命題成立.3