第一篇：3+1復習5.6數學歸納法歸納猜想證明

高三3+1復習——5.6數學歸納法歸納猜想證明

5．6歸納、猜想、證明（講義）

復習目標：1.掌握數學歸納法證明的書寫過程

2.掌握用數歸法證明恒等式及整除問題

3.培養觀察、歸納、猜想、證明的能力

例1.求證：2＋4?6????2n??22222n?n?1??2n?1? n?N* 3??

用數學歸納法證明命題的步驟：

1）證明

2）假設命題成立；證明 由1）2）得：命題對于都成立。

11111111??????例2.求證 ：1?????? 2342n?12nn?1n?2n?n

例3.設f?n??111＋＋?＋n?N*，那么f?n?1??f?n?＝__________ n?1n?22n

111111(A)；(B)；(C)＋；（D）－ 2n?12n?22n?12n?22n?12n?2??

例4.用數學歸納法證明12－22＋32－42＋?＋?2n－1???2n???n?2n?1? 時，當n?k?1時2

2比n?k時，等式左邊增加的項是____________________

例5.在數列?an?中，9Sn?10an?7n n?N*

（1）求出a1,a2,a3，并猜想?an?的通項公式；

（2）用數歸法證明你的結論.??

高三3+1復習——5.6數學歸納法歸納猜想證明

5．6歸納、猜想、證明（學生版）

1.某個與自然數有關的命題，如果n?kn?N*時該命題成立，可推得n?k?1時命題成立，現

為了推得n?5時該命題不成立，則有（）

(A)n?6時命題不成立；(B)n?6時命題成立；

(C)n?4時命題不成立；(D)n?4時命題成立；

2.用數學歸納法證明1?a?a???a

____________________________

2n?1??1?an?2??a?1?，在驗證n?1時，左端計算所得項為1?a

n?n?1? ?n?N*?時，在假設2

n?k等式成立后.要證明n?k?1時也成立，這時要證明的等式為_____________________________________________

111111114.數學歸納法證明：1????????????n?N*時，當n從k到2342n?12nn?1n?2n?n

k?1時等式左邊增加的項為____________________________________；等式右邊增加的項為______________________________________

3.用數學歸納法證明等式12－22＋32－42＋?＋?－1?n?1n2???1?n?1??

5.用數學歸納法證明：3?5????2n?1??222n4n2?12n?11 3??

6.已知正數列?an?n?N*中前n項和為Sn，且2Sn?an?

然后用數歸法證明.??1，求a1,a2,a3，并猜測通項an，an

第二篇：§5.6幾何證明舉例

年級八年級學科數學第五 單元第 8課時總計課時2013年 11月 4日

§5.6幾何證明舉例（2）

課程標準：掌握等腰三角形的性質和判定定理，了解等邊三角形的概念并探索其性質。學習目標：

1.學生會根據三角形全等推導等腰三角形的性質。

2.熟練掌握應用等腰三角形的性質定理。

3.掌握等邊三角形的性質，并會運用判定等邊三角形。

學習重點難點：

等腰三角形的性質定理和判定定理。

我的目標以及突破重難點的設想：

學前準備：

學情分析：

學案使用說明以及學法指導：

預習案

一、教材助讀

1、等腰三角形的性質是什么？判定是什么？

2、等邊三角形的性質和判定是什么？

探究案

探究一：等腰三角形的性質

（1）“等腰三角形的兩個底角相等”是真命題嗎？怎樣證明。

（2）在右圖等腰△ABC中，AB=AC.AD為BC邊上的高

∠1與∠2有什么關系？BD與CD有什么關系？

你能得出什么結論？試著總結一下。

探究二：等腰三角形的判定（合作交流）

（3）說出命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題？

（4）這個逆命題是真命題嗎？怎樣證明它的正確性？

課型：新授執筆：馬海麗審核： 滕廣福韓增美

（5）求證：如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形

已知：

求證：

點撥：注意條件中為什么是兩個“角”，不是兩個“底角”。

三、精講點撥：

1、等腰三角形的性質：

性質1：

性質2：

2、數學語言敘述：

性質1：性質2：

∵AB=AC∵AB=AC

∴∠B= ∠C① AD平分∠BAC

（等邊對等角）

(①,② ,③均可作為一個條件，推出其他兩項)

（三線合一）

3、總結等邊三角形的性質以及判定（學生小組討論，寫出他們的證明過程）

四、應用新知

例

2、已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，DE⊥BC，交BC于點E，交CA的延長線于點F。

求證：AD=AF。

點撥：以后證明線段相等或角相等時，除利用三角形全等外，還可以利用等腰三角形的性質和判定。

五、課堂小結：

訓練案

課本180頁 練習1,2題

我的反思：

第三篇：5.6幾何的證明舉例

5.6幾何證明舉例

（二）諸馮學校 備課組

學習目標：

1、進一步學習幾何證明的思路和步驟；

2、牢固掌握等腰三角形的性質及判定，等邊三角形的性質及判定，并

能夠熟練地應用它們進行相關的證明與計算。

重點：等腰三角形的性質及判定

難點：等腰三角形的性質地應用。

學習過程：

一、溫故知新：等腰三角形的對稱軸是，由軸對稱的性質，你認為等腰三角形兩個底角大小有什么關系？

二、創設情境：你會用所學的知識證明你的結論嗎？自主學習課本P177——179內容，獨立完成課后練習1、2后，與小組同學交流.通過學習等腰三角形的性質，請思考以下問題：

1、等腰三角形的頂角是45゜，則底角是（）。

2、三角形的一個外角平分線平行于三角形的一邊，則這個三角形一定是（）。

三、挑戰自我：自學課本180頁挑戰自我，小組討論，展示。

四、鞏固提升：

1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為（）

（A）60°（B）120°（C）60°或150°（D）60°或120

2.已知等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（）

（A）12或9（B）12（C）9（D）7

3.如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，CD⊥AB于D，則∠DCB等于（）

（A）44°（B）68°（C）46°（D）22°

4、如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，則圖中等腰三角形共有個.（第4題）

四、課堂小結：同學們本節課的學習，你收獲嗎？

五、達標檢測

1、如圖，△ABC是等邊三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分線，則下列結論正確的是（）

（A）△ABC≌△AED（B）△AED是等邊三角形（C）∠EAB＝60°（D）AD＞DE2、如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE＝CD，則下列結論正確的是（）

（A）△CDE是等邊三角形（B）DE＝AB（C）點D在線段BE的垂直平分線上（D）點D在AB的垂直平分線上

3、已知：如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E。

求證：△ADE是等邊三角形。

六、布置作業

七、教學反思

C

D（第1題）

（第2題）E E

第四篇：哥德巴赫猜想的證明

《哥德巴赫猜想的嚴謹定性證明》 作者姓名：崔坤

作者單位：即墨市瑞達包裝輔料廠 E-mail:cwkzq@126.com 關鍵詞：CK表格，陳氏定理，瑞尼定理，哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想：哥德巴赫1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：

任一大于2的偶數都可寫成兩個質數之和。

由于近代數學規定1不是素數，那么除2以外所有的素數都是奇素數，據此哥猜等價：

定理A:每個≥6的偶數都是2個奇素數之和。推論B: 每個≥9的奇數O都是3個奇素數之和；

證明：首先我們設計一個表格---CK表格：

第一頁 在這個表格中通項N=An=2n+4,它是有2層等差數列構成的閉合系統，即上層是：首項為3，公差為2，末項是奇數（2n+1）的遞增等差數列。

下層是：首項為奇數（2n+1），公差為-2，末項是3的遞減等差數列。

由于偶數是無限的，故這個表格是個無限的，由此組成的系統就是一個非閉合系統。表中D(N)表示奇素數對的個數，H(N)表示奇合數對的個數，M(N)表示奇素數與奇合數成對的個數。不超過2n+1的奇素數個數為 π(2n+1)-1有CK表格可知：D(N)= π(2n+1)-1-M(N)根據CK表格、陳氏定理1+

1、瑞尼定理1+2，第一層篩得：

N1=P1+H1,偶數N1≥12，奇素數P1≥3，奇數H1≥9，即： N1=P1+H1=P1+P3=P5+H3,篩得：N1=P1+P3，其中奇素數P1≥3，奇素數P3≥3，奇素數P5≥3，奇合數H3≥9 偶數N1的最小值是3+3=6，故每個N1≥6的偶數都是2個奇素數之和 故命題得證

同理：第二層篩得：

N2=P2+H2,偶數N2≥12，奇素數P2≥3，奇數H2≥9，第二頁 即：

N2=P2+H2=P2+P4=P6+H4,篩得：N2=P2+P4，其中奇素數P2≥3，奇素數P4≥3，奇素數P6≥3，奇合數H4≥9 偶數N2的最小值是3+3=6，故每個N2≥6的偶數都是2個奇素數之和 故命題得證

第三層篩得： N3=N1+N2, N4=H3+H4 則N3=P5+P6+ H3+H4= P5+P6+ N4 那么N3-N4=P5+P6 設N=N3-N4, 則N=P5+P6，其中奇素數P5≥3，奇素數P6≥3 故每個N1≥6的偶數都是2個奇素數之和 故命題得證 綜上所述：

故定理A得證:每個≥6的偶數都是2個奇素數之和。

第三頁

推論B: 每一個大于等于9的奇數O都可以表示成三個奇素數之和。簡言：O=P1+P2+P3 證明：設P1、P2、P3均為≥3的奇素數，那么根據定理A可知：P3+N=P3+P1+P2, 因為P3為≥3，N≥6,所以奇數O=（P3+N）≥9，即奇數O=P1+P2+P3 故：每一個大于等于9的奇數O都可以表示成三個奇素數之和。

簡言：O=P1+P2+P3,故推論B得證 至此我們成功的證明了哥德巴赫猜想。作者：崔坤

即墨市瑞達包裝輔料廠 2016-09-14-14-38

第四頁

第五篇：哥德巴赫猜想證明方法

哥德巴赫猜想的證明方法

探索者：王志成人們不是說：證明哥德巴赫猜想，必須證明“充分大”的偶數有“1+1”的素數對，才能說明哥德巴赫猜想成立嗎？今天，我們就來談如何尋找“充分大”的偶數素數對的方法。

“充分大”的偶數指10的500次方，即500位數以上的偶數。因為，我沒有學過電腦，也不知道大數的電腦計算方法，所以，我只有將“充分大”的偶數素數對的尋找方法告訴大家，請電腦高手幫助進行實施。又因為，人們已經能夠尋找1000位數以上的素數，對于500位數以內的素數的尋找應該不是問題，所以，“充分大”的偶數應該難不住當今的學術界。

“充分大”的偶數雖然大，我認為：我們只須要尋找一個特定的等差數列后，再取該數列的1000項到2000項，在這2000個數之內必然能夠尋找到組成偶數素數對的素數。下面，我們進行簡單的探索，從中尋找到具體方法。

我們以偶數39366為例，進行探索，按照本人的定理：在偶數內，既不能被素因子整除，也不與偶數除以素因子的余數相同的數（自然數1除外），必然能夠組成偶數的素數對。

這里所說的素因子，指小于偶數平方根的素數，√39366≈198，即小于198的素數為偶數39366的素因子。

一、初步探索，1、素因子2，39366/2余0，當然，任何偶數除以2都余0，素數2把自然數分為：1+2N和2+2N，除以2余0的數和與偶數除以素因子2的余數相同的數都是2+2N數列中的數，剩余1+2N數列中的數為哥德巴赫數的形成線路；

2、素因子3，39366/3余0，素數3把1+2N數列分為：1+6N，3+6N，5+6N，除以3余0的數和與偶數除以素因子3的余數相同的數都是3+6N數列中的數，剩余1+6N，5+6N，兩個數列中的數為哥德巴赫數的形成線路；

3、素因子5，39366/5余1，我們對上面剩余的兩個數列任意取一個數列1+6N，取與素因子相同的項，5個項有：1，7，13，19，25。在這5個項中，必然有一個項除以5余0，必然有一個項除以素因子的余數與偶數除以素因子的余數相同，必然剩余素因子5減去2（不能被素因子整除的，為素因子減去1）個項，即5-2=3個項既不能被素因子整除，也不與偶數除以素因子的余數相同的數。剩余7，13，19，以前面的素因子乘積2*3*5為公差，組成3個哥德巴赫數的形成線路：7+30N，13+30N，19+30N。后面只取3個項，至少有一個項。

4、素因子7，39366/7余5，我們任意取7+30N的3個項有：7，37，67，這3個數中37，67，既不能被素因子整除，也不與偶數除以素因子的余數相同的數。即37+210N和67+210N兩條線路都可以，5、素因子11，39366/11余8，我們取37+210N的3個項：37，247，457，這3個數，既不能被素因子整除，也不與偶數除以素因子的余數相同的數。組成3個數列：37+2310N，247+2310N，457+2310N。

7、素因子13，39366/13余2，因為，下一個公差為2*3*5*7*11*13=30030，39366/30030≈1，不能組成與素因子13相同的13個項，尋找組成偶數的素數對的素數，在取最后一個公差的等差數列時，不能取與素因子相同項數時，最少必須取素因子1/2以上的項。我們取247+2310N數列在偶數1/2之內的數有：247，2557，4867，7177，9487，11797，14107，16417，18727。

從素因子13到197，雖然還有40個素因子進行刪除，但是，大家不要怕，它們的刪除率是相當低的，所以，在這些數中必然有能夠組成偶數素數對的素數存在。

素因子13，刪除能被13整除的數247，刪除除以13與39366除以13余數相同的數14107； 素因子19，刪除除以19與39366除以19余數相同的數11797；

素因子31，刪除能被31整除的數4867；

素因子53，刪除能被53整除的數9487，刪除除以53與39366除以53余數相同的數16417；

素因子61，刪除能被61整除的數18727。

最后，剩余2557和7177兩個數，必然能組成偶數39366的素數對。

探索方法

二、1、尋找等差數列的公差，令偶數為M、公差為B，我們已知該題的公差為2310，2310=2*3*5*7*11，大于11的下一個素數為13，用13/2=6.5，那么，公差的要件為： M/B＞6.5，即大于7個項，主要是既要取最大的公差，又要確保不低于下一個素因子的1/2個項。我們就選擇2310為該偶數的公差。

2、尋找等差數列的首項，令首項為A，A的條件為：既不能被組成公差的素數2，3，5，7，11整除，也不與偶數除以2，3，5，7，11的余數相同，還必須在公差2310之內；

（1）、不能被2，3，5，7，11整除的數有：在2310之內，大于或等于13的素數；自然數1；由大于或等于13的素因子與大于或等于13的素因子所組成的合數。為了方便起見，我們在這里取大于或等于13的素因子。

（2）、A除以2，3，5，7，11的余數不與偶數39366除以2，3，5，7，11的余數相同。因39366-13=39353，39353分別除以2，3，5，7，11不能整除，故13除以2，3，5，7，11的余數不與偶數39366除以2，3，5，7，11的余數相同，可以定為首項，得該等差數列為13+2310N。

取等差數列13在M/2的項有：13，2323，4633，6943，9253，11563，13873，16183，18493。當然，你也可以取該數列在偶數內的所有項，但是，當你全盤計算該偶數素數對時，取所有項必然形成與對稱數列的計算重復，該數列的對稱數列：因2310-13=2297，13不能被2，3，5，7，11整除，除以2，3，5，7，11的余數不與偶數39366除以2，3，5，7，11的余數相同，那么，對稱數2297也必然滿足這些條件，2297+2310N同樣是產生素數對的等差數列。

3、在上面的9上項中，去掉合數：2323，4633，6943，9253，11563，4、再去掉除以后面40個素因子余數與偶數除以這40個素因子余數相同的數，也就是對稱數是合數的數：13，13873，16183，剩余18493必然能夠組成偶數39366的素數對。

簡單地談一下素數生成線路與哥德巴赫數的生成線路的區別：

1、素數生成線路，我們仍然以2310為公差，在2310之內不能被2，3，5，7，11整除的數有：2310*（1/2）*（2/3）*（4/5）*（6/7）*（10/11）=480個，我們可以用這480個數為首項，以2310為公差組成480個等差數列，為偶數39366內的素數生成線路。對于相鄰的偶數39364和39368來說，素數的生成線路是一樣的。

2、我們把能夠組成偶數素數對的素數稱為哥德巴赫數，偶數39366的哥德巴赫數生成線路，以2310為公差，在2310之內，既不能被2，3，5，7，11整除，也不與偶數39366除以2，3，5，7，11的余數相同的數有：2310*（1/2）*（2/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）=270個，即偶數39366以2310為公差的哥德巴赫數生成線路為270條，在2310內的這270個數又是與2310/2=1155完全對稱的，如果全盤進行計算必然重復，故，也可以看成是270/2=135條完整的哥德巴赫數形成線路，而素數生成線路是不會重復的。

而偶數39364的哥德巴赫數生成線路，在2310之內既不能被2，3，5，7，11整除，也不與偶數除以2，3，5，7，11的余數相同的數有：2310*（1/2）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）=135，為135條線路，只有偶數39366的1/2。區別在于偶數39366能夠被素因子3整除，為乘以2/3，偶數39364不能夠被素因子3整除，為乘以1/3，即能夠整除的素因子X，為乘以（X-1）/X，不能夠整除的素因子Y，為乘以（Y-2）/Y，所以，偶數39366的素數對相當于偶數39364的素數對的2倍。

對于“充分大”的偶數的估算：充分大的偶數為500位數，素數對個數，根據《哥德巴赫猜想的初級證明法》中，當偶數大于91時，偶數的素數對個數不低于K（√M）/4，估計當偶數大于500位時，K的值為4*10的10次方，得充分大的偶數的素數對個數不低于260位數，用500位數的偶數除以260位數的數，得充分大的偶數平均240位數個數字中，有一個素數對的存在。如果我們直接進行尋找，相當于大海撈針。

如果，我們按照上面的方法二進行尋找，公差應為496位數，估計素數2*3*5*7*?*1283為496位數，從素數1289到2861之內，有素數除以素因子2，3，5，7，?，1283的余數不與偶數除以這些素因子的余數相同的數存在，存在的這個數可以作為等差數列的首項，2*3*5*7*?*1283的積作為等差數列的公差，取1289項，即1289個數，在這1289個數中，應該有能夠組成500位數的偶數的1+1的素數對的素數存在。

難易度分析

尋找“充分大”偶數的一個“1+1”素數對與驗證1000位數以上的一個素數相比較，到底哪一個難度小。

人類已經能夠尋找并驗證1000位數以上的素數，到底人們使用的什么辦法，我雖然不知道，但有一點可以肯定：都涉及素數，如果是簡單的方法，那么，都是簡單方法；如果是笨辦法，那么，都用笨辦法。我們在這里采用笨辦法進行比較：

充分大的偶數指500位數的數，與1000位數的素數相比，相差500位數。1000位數的數開平方為500位數，我們以位數相差一半的數為例進行分析。

100000000與10000相差一半的位數。笨辦法是：要驗證100000000以上的一個素數，假設要驗證的這個數開平方約等于10000，必須要用這個數除以10000之內的素數，不能被這之內所有的素數整除，這個數才是素數。因為，10000內共有素數1229個，即必須做1229個除法題，才能得知這個數是不是素數。說個再笨一點的辦法，假設我們不知道10000之內的素數，能否驗證100000000以上的這個數是不是素數呢？能，那就是用這個數除以10000內的所有數，不能被這之內所有的數整除，也說明這個數是素數。（之所以說，這兩種辦法是笨辦法，當我們知道10000內的所有素數時，要尋找100000000內的所有素數，不是用除法，而是用乘法，步驟最多只占第一種笨辦法的1%，詳見本人的《素數的分布》中所說的方法）。

當我們尋找偶數10000的一個素數對，須要多少個運算式？

我們知道：2*3*5*7*11=2310，10000/2310≈4，13/2=6.5，按理說應該取等差數列的7項以上，這里可以取4個項，接近應取數。我們基本上可以使用這個公差。這里的計算為5個計算式，簡稱5步；

大于11的素數，從13開始，尋找等差數列的首項，我們用（10000-13）分別除以2，3，5，7，11。能被3整除，除到3為止，一個減法，兩個除法，為3步；

素數17，（10000-17）分別除以2，3，5，7，11。不能整除，可以用17為等差數列的首項，組成等差數列：17+2310N。為6步；

數列17+2310N在10000內有：17，2327，4637，6947，9257，為4步；

計算素因子，√10000=100，素因子為100之內的素數，除2，3，5，7，11外，還剩13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，為20個素因子。為1步；

用10000分別除以這20個素因子，把余數記下來。為20步；

用17分別除以這些素因子，當除到67時余數與10000除以67余數相同，為14步； 用2327分別除以這些素因子，當除到13時余數為0，為1步；

用4637分別除以這些素因子，當除到31時余數與10000除以31余數相同，為6步； 用6947分別除以這些素因子，當除到43時余數與10000除以43余數相同，為9步； 用9257分別除以這些素因子，既不能整除，也不與10000除以這些素因子的余數相同，奇數9257必然能組成偶數10000的素數對。為20步。

總計為：102步計算式。而驗證100000000以上的一個素數須要1229步計算式相比，結論為：尋找10000的一個素數對比驗證100000000以上的一個素數簡單。也就是說，尋找一個500位數偶數1+1的素數對，比驗證一個1000位數以上的素數容易。

尋找500位數偶數的素數對，因為，2*3*5*7*11*?*1283左右，其乘積為493到496位數，下一個素數可能為1289左右，1289/2=644.5。才能滿足取下一個素因子的值的1/2以上個項，當然，能夠取到1289個項以上更好，更容易尋找到偶數的素數對。

敬請世界電腦高手驗證，充分大的偶數必然有1+1的素數對存在，哥德巴赫猜想必然成立。

四川省三臺縣工商局：王志成