第一篇：中點四邊形猜想與證明

中點四邊形猜想與證明

大連市第四十四中學初二八班***

猜想：四邊形中點連線為平行四邊形

即：如圖1-1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點

求證：四邊形EFGH為平行四邊形

證明：如圖∵E、F為AD、AB的中點

∴EF//BD（三角形的中位線平行于第三邊）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

同理：EH//FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

FH

圖1-1圖1-2 B

那么：由已知條件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位線定理)因為“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，所以當EF=GF時，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC時，平行四邊形EFGH是菱形

猜想：當一個四邊形的兩條對角線相等時，其中點四邊形是菱形。

例如：矩形的對角線相等

則：如圖1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點。

求證：四邊形EFGH是菱形

證明：∵E、F為AD、AB的中點

∴EF=1/2BD（三角形的中位線等于第三邊的一半）

同理：HG=1/2BD

∴HG=EF=1/2BD（等量代換）

同理：EH=FG=1/2AC

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別相等的四邊形是平行

四邊形）

∵AC=BD

∴1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四邊形EFGH是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

同理上結論思路：

由已知條件：EF//HGFG//EH(三角形中位線定理)

因為“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”，所以當∠EFG=90°時，即∠1=90°，即∠AOB=90°時，平行四邊形EFGH是矩形。

猜想：當一個四邊形兩對角線互相垂直時，其中點四邊形為矩形。

例如：菱形的對角線互相垂直。

則：如圖1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點。

求證：四邊形EFGH是矩形

證明：∵E、F為AD、AB的中點

∴EF//BD（三角形的中位線平行于第三邊）

同理：HG//BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

同理：FG//AC；EH//FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

∵四邊形ABCD是菱形

∴∠AOB=90°（菱形的對角線互相垂直）

∴∠FNO=∠AOB=90°（兩直線平行，內錯角相等）

∴∠EFG=∠FNO =90°（兩直線平行，同位角相等）

∴平行四邊形EFGH是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）

BF

H

圖1-3圖1-

4那么：因為正方形同時是矩形和菱形，所以滿足同時使中點四邊形為矩形和菱形的四邊形，其中點四邊形則可能是正方形。

猜想：當一個四邊形的兩對角線相等且互相垂直時，其中點四邊形是正方形。

例如：正方形的對角線相等且互相垂直。

則：如圖1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H為四邊中點。

求證：四邊形EFGH是正方形

證明：∵E、F為AD、AB的中點

∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位線平行于

第三邊且等于第三邊的一半）

同理：HG//BD；HG=1/2BD

∴HG//EF（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）

HG=EF=1/2BD（等量代換）

同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（兩組對邊分別平行的四邊形是平行

四邊形）

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠AOB=90°（正方形兩對角線互相垂直）

AC=BD（正方形兩對角線相等）

∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°

（兩直線平行，內錯角相等；

兩直線平行，同位角相等）

1/2AC=1/2BD

即：EF=GF

∴平行四邊形EFGH是正方形

（有一個角是直角且有一組鄰邊相等的四邊形是正方形）

2010/4

第二篇：中點四邊形說課稿

《中點四邊形》說課稿

彭公中學王小靜

各位領導，老師：

大家好！今天我講課的題目是《中點四邊形》。以下我將從六個方面說給大家聽。

一、說教材：

（一）教材內容：

《中點四邊形》是北師大版教科書九年級上冊第三章第二節內容，也是證明部分最后一節內容，是在學生已經掌握了平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等基本四邊形的性質及判定和三角形中位線的基礎上學習的。因此，學生已經具備了一定的分析和解決問題的能力。它在初中數學中起著比較重要的作用，通過本節課的學習，準備使學生從感性到理性形成一個飛躍。

（二）教學目標：

根據新課程標準關于數學目標設計的基本理念，在分析課標和教材的基礎上，我把本節課的教學目標劃分為以下三個方面：知識與技能、過程與方法、情感與態度觀。具體說來：

1、知識與技能：

（1）學生能利用三角形中位線定理判斷中點四邊形的形狀；

（2）感受中點四邊形的形狀取決于原四邊形的兩條對角線的位置關系與數量關系；

（3）通過圖形變換使學生掌握簡單添加輔助線的方法。

2、過程與方法：

（1）培養學生觀察、發現、分析、探索知識的能力及創造性思維和歸納總結能力；

（2）通過對圖形既相互變化，又相互聯系的內在規律的分析，滲透辯證唯物主義觀點，使學生領悟事物是運動、變化、相互聯系和相互轉化的。

3、情感態度與價值觀：

通過學生親自參與、發現和證明，培養學生的參與意識及合作精神，激發學生探索數學的興趣，體驗數學學習的過程與探索成功后的喜悅。

（三）教學重難點：

根據數學課程標準對本學段這部分知識的建議，我把本節課的教學重點確定為確定中點四邊形形狀的探究。難點是探索出中點四邊形為特殊平行四邊形的決定因素。

二、說教學方法：

根據學生以往的學習經驗，及九年級學生思維的感官性，所以本節課安排由學生通過實際操作去探索中點圖的特征。也為使課堂生動、有趣、高效，準備將整節課以觀察、思考、討論貫穿于整個教學環節之中，并準備通過實驗觀察，啟發式教學法和師生互動式教學模式進行教學，教學中，最大限度的調動學生學習的積極性和主動性，以利于最優化的達到教學目的。

教學過程中注意師生之間的情感交流，培養學生“多觀察、動腦筋、大膽猜、勤鉆研”的研討式學習模式，培養學生歸納總結能力。為突破難點，我在教學中

適當補充練習題進行教學，重在引起學生對新知的鞏固和掌握。

三、說學生學法：

（1）知識掌握上：在學生學習任意四邊形中點形的基礎上，再加上九級學生理解力強，所以本課安排學生分析決定中點四邊形形狀主要因素條件不存在太大的問題。

（2）知識障礙上：今天的新知，學生不易靈活應用，容易造成應用中的混淆現象，所以教學中靈活結合學生練習中可能存在的問題，進行簡單明了、深入的分析講解。

（3）思維特征上：根據九年級學生，不愛發表見解，希望得到老師表揚等特點，所以在教學中準備靈活抓住學生這一生理、心理特點，一方面讓學生動手實際操作，盡量引發學生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面積極創造條件和機會，讓學生發表見解，發揮學生學習的主動性。

（4）心理特征上：老師抓住學生對數學課感興趣這一有利因素，引導學生認識到數學的科學性和應用性，學好數學有利于其他學科的學習以及學科知識的滲透性。

四、說教學程序設計：

教學設計應為教學目標展開，因此，我根據課改精神以及九年級學生的年齡特點、心理特征、學生學習水平。在確立了教學目標以后，將本節課的設計思路確立為以下幾個環節：

1、復習舊知、導入新課，學生在已有認知的基礎上，從舊知入手，創設情境，從而激發學生的學習興趣。而后開門見山，給出課題，并引導學生探索的方法，從而使學生對本課形成整體觀念。這樣導入新課既為后面突破難點節省了時間，也激發了學生的學習興趣，又引發了學生的求知欲，使他們帶著濃厚的興趣進入新課的學習。

2、動手操作探究規律：：

在大屏上映出做一做的內容，是利用學生自己動手實踐，得出結論，并通過問題來引導學生開展觀察、分析、交流、總結等活動，培養學生從數學的角度去觀察事物，思考問題并歸納問題。

因這部分內容是本節課的教學重點也是本節課的教學難點，為突破這一難點，準備安排十五分種的時間讓學生親自動手操作、合作交流得出結論。其間，我準備參與其中，并及時給個別學生加以引導，突出學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者的地位。在學生探索的基礎上，老師提出讓學生欣賞自己的作品，電腦顯示老師的作品，設計這一環節的主要目的是讓學生進一步明確答案，體會數學語言的嚴密性。另外，學生在操作的過程中特別強調先獨立完成，再合作交流，從而體現合作是在自主的基礎上進行的理念。

3、加深理解形成技能：我們教學要激發學生獨立思考，讓學生主動探索，養成良好的學習習慣，因此，我先結合“我會填”讓學生學會初步應用新知，再結合“動腦做”請同學在動手操作的基礎上，自動形成討論組，對所提出的問題進行實際操作。并引導學生在動手

中思維，在思維中動手。再結合“學習了，會用嗎？”進一步體會數學知識的嚴密性，從而為突破難點打下堅實的基礎。

4、練習應用感受新知：為提高對重點內容的理解和應用，因材施教，尊重

學生的個性差異的基礎上，特設計了三個題，以達到本節課的高潮，三個題，并且每一部分的出題都圍繞著教學目的而展開。一題著眼于基礎知識的練習和鞏固，使絕大部分學生都能領悟和理解。教學中，無須浪費更多時間，學生自行解決即可。二題則多知識點交叉。必要時，老師要適時給以點播。三題目的是培養解題技能。安排這一內容的主要目的是提高學習興趣，讓學生在做對的基礎上體味成功感，從而提高學習數學的信心。而練后教師的點評更使學生認識到合作學習給大家帶來的好處。

五、說教學評價：

在教學中充分考慮到老師的表情神態、鼓勵性的語言對學生學習過程的影響。同時從不同角度或側面了解學生的跟課情況，以便及時調整教學過程，從而保證教與學的統一。我在這節課的設計中十分注意學生學習主動性的發揮，學生在進行操作、展示的過程中，及時給以評價，提高學生的自信心，從而體驗數學，感受數學，形成對數學的正確認識，并得到情感態度與價值觀的陶冶與升華。

六、說教學反思及再教設計

（一）教學反思：

1、本節課的指導思想是充分發揮學生在學習中的主體作用。從“問題提出?小組交流探討?歸納與概括?應用”的過程中，同學們

主動參與、積極探索，并對難的問題同學們合作研究，整個課堂學習積極性高，研究風氣濃。

2、老師充分發揮在學習中的主導作用。對學習能力弱的學生積極地加以指導，并幫助學生分析問題，概括歸納新知識。

3、本節課的突出特點是利用現代技術，為學生創建一個學習、研究的學習情境。通過圖形的變換，使學生很容易發現問題的規律、找出解決方法，使學生學得輕松，興趣濃厚，精神狀態極佳。

4、本節課容量較大，但由于采用了多媒體輔助教學手段，使學生在老師的啟發下，一步一步地探索、歸納、學習，使學生是很容易地掌握了知識，并在探索的過程中培養了學生的創新精神和創新意識。

（二）再教設計：

1、在圖形的制作上再下功夫。

2、在運用鼓勵性的語言，激發學生學習的積極性和主動性以及進一步發揮學生的主體性上再下功夫。

本節課的設計思路基本這樣，具體操作可能會有些疏漏，懇請各位領導、同仁多提寶貴意見。

第三篇：中點四邊形教學設計

教學設計

————探究中點四邊形

孟州市會昌中心學校

李培紅

一、學習內容的分析

本節課中點四邊形是在人教版八年級數學課本第68頁習題第九題提出的，它是對三角形的中位線的直接應用，同時對四邊形和平行四邊形性質和判定應用的一個延伸。四邊形是平面幾何的一個重要內容，三角形中位線定理證明相關發現與平行四邊形以及特殊的平行四邊形的性質及判定緊密相關。

為了使學生順利完成認知構建，本節課安排在本章內容結束之后進行，一方面可以讓學生對學習過的三角形的中位線和特殊平行四邊形的性質與判定進行一次系統的復習，另一方面也可以讓學生將中點四邊形與原四邊形對角線的本質關系挖掘出來，從而完成本節課的教學。本節課的教學重點是各種四邊形的中點四邊形形狀及其證明。難點有兩個，一個是在學習中點四邊形的概念后，運用已學的平行四邊形和三角形中位線的相關知識多角度進行合情推理；另一個是逆向探究中點四邊形的特殊性與原四邊形（對角線）的本質關系。

二、教學目標設計 1.知識與技能：

(1)了解中點四邊形的概念；

(2)會利用三角形中位線定理證明中點四邊形是平行四邊形；(3)理解并會證明特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的中點四邊形的特征；

(4)理解中點四邊形的特殊性與原四邊形的對角線有關，會畫出滿足特殊條件的中點四邊形的原四邊形。

2.過程與方法：

(1)通過復習學過的內容，單刀直入，提出問題，讓學生帶著問題學習；(2)經歷觀察、猜想、證明中點四邊形是平行四邊形；

(3)經歷由一般到特殊的思維進程，發現并證明特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的中點四邊形的特征；

(4)根據逆向探究提出中點四邊形的特殊性與原四邊形的哪些元素（邊、角、對角線）有關的問題，探索發現中點四邊形的特殊性與原四邊形的對角線有關；并體驗畫出原四邊形真正有關的只有對角線；

3.情感態度與價值觀：

(1)通過數學活動培養學生觀察、歸納、猜想、證明的探索精神與實踐能力；

(2)通過舉一反三活躍學生思維，培養學生學會分析解決問題的能力；(3)通過組織課堂小組討論活動，培養學生互助合作的意識。

三、教學問題診斷分析

本節課容易出現的問題有以下幾個：第一，在第一部分，學生要自己討論分析不同四邊形的中點四邊形的形狀時候，會有對特殊平行四邊形性質和判定不熟悉的情況，導致推斷不出圖形形狀。針對這個問題，我在一開始設計了判斷任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形的證明過程，這個過程讓老師和學生一起做，但要求用不同的方法證明，這樣就開闊了學生的視野，對知識應用起到一定的提示作用。第二，學生在討論特殊平行四邊形的中點四邊形形狀時候，我要求學生可以口述證明過程，可能會出現證明過程不夠完整的情況，教師要及時進行更正和補充。第三，在利用逆向思維探究中點四邊形與原來四邊形的什么元素有關時候，學生估計有一定的困難，這時候教師要因勢利導，引導學生認真觀察圖形，找出關鍵點所在，并進一步總結，形成新的認知結構。

四、教學支持條件分析

本節課使用的媒體資源主要是計算機。教師利用多媒體課件展示教學的各個環節，并且通過鏈接讓學生可以比較直觀的看到不同四邊形的中點四邊形的形狀變化，然后再結合問題，通過圖形的動態變化為學生的觀察、猜想創造條件，使之成為學生感性發現到理性認知的工具。

五、教學過程設計

一、復習引入

1、什么是三角形的中位線？

2、三角形的中位線有什么性質？

3、用幾何語言怎么表示？

學生仔細觀察圖形，迅速思維并回答:

1、三角形的中位線。

2、三角形中位線的性質。

3、中點四邊形的概念。

【設計意圖】：三角形中位線是學生剛學的知識，它是本課時探究學習的理論基礎，同時又加深兩條線段之間的數量和位置關系，為后邊原四邊形的對角線關系做鋪墊。教師提出問題，并用多媒體展示，引導學生復習學過的知識，引出中點四邊形的概念，突出概念形成過程，達到以舊引新的目的。

二、探究中點四邊形的性質

探究一：猜想任意四邊形的中點四邊形是什么形狀？ 教師活動：多媒體展示如圖，提出問題，任意四邊形的中點四邊形是什么形狀？可以從圖形上先進行猜想。

學生活動：猜想：中點四邊形是平行四邊形。

教師引導學生寫出已知，求證。讓學生討論如何證明，提示學生要用到平行四邊形的判定。

已知：四邊形ＡＢＣＤ中，點Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分別為ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ各邊的中點。

求證：四邊形ＥＦＧＨ是平行四邊形。證明：

證法

（一）連結2條對角線，只利用三角形中位線定理中的位置關系，證明兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

證法

（二）連結2條對角線，只利用三角形中位線定理中的數量關系，證明兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

證法

（三）連結一條對角線，充分利用三角形中位線定理中的位置和數量關系，證明一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

教師引導：比較這三種證明途徑，哪一種更簡便？利用三角形中位線定理時注意使用的靈活性和充分性。

【設計意圖】：通過圖形的展示，給學生以直觀感，讓學生經歷觀察-猜想-論證的過程，符合對事物的認知規律，讓學生掌握科學有效的探索步驟。在分析的基礎上更清晰的從圖形上找到自己想要的條件，以便于達到要證明的結果，與此同時，教師展示證明過程，可以更加規范幾何證明題的寫法，培養學生嚴謹的探究程序感。在分析過程中，教師引導學生用不同的方法來證明，不僅復習了平行四邊形的幾種判定方法，而且讓學生明白幾何題目在解題過程中的一題多解，同時認識到連接對角線是解決問題的關鍵，將四邊形的問題轉化為三角形的問題來解決，加深中點四邊形的邊與原對角線之間的位置和數量關系。

三、探索特殊四邊形的中點四邊形

探究二：當原四邊形是下列圖形時，中點四邊形是什么四邊形？

1、平行四邊形，2、矩形，3、菱形，4、正方形。以小組為單位討論，提出猜想并陳述理由。學生充分討論。

猜想1：平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形。猜想2：矩形的中點四邊形是菱形。猜想3：菱形的中點四邊形是矩形。猜想4：正方形的中點四邊形是正方形。學生展示證明思路與過程。得到結論：

1、平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形。

2、矩形的中點四邊形是菱形。

3、菱形的中點四邊形是矩形。

4、正方形的中點四邊形是正方形。

【設計意圖】：觀察當原四邊形是特殊的四邊形時，它們的中點四邊形有沒有變化？變化如何？設計由一般到特殊的探究過程，滲透給學生逐步加深探究的途徑。在探究過程中，一方面讓學生對原圖形的性質加以回顧，另一方面也對特殊平行四邊形的判定方法加以復習鞏固，同時對已知，求證，證明過程更為熟悉。在學生討論后，教師讓學生單獨口述證明過程，能夠更好的培養學生的思維能力和空間想象能力。通過學生親自參與、發現和證明，培養學生的參與意識及合作精神，激發學生探索數學的興趣，體驗數學學習的過程與探索成功后的喜悅。

四、探索中點四邊形與原四邊形的哪些元素有關

探究三：通過上述思考，你知道中點四邊形的形狀與原四邊形的什么有著密切的聯系？

教師引導：下面讓我們把特殊性轉移到中點四邊形和原四邊形的關系上： 當中點四邊形是一些特殊的平行四邊形時，觀察原四邊形的變化，從邊、角、對角線的角度考慮，你有什么發現？

【設計意圖】：本環節設計了逆向思維的探究過程，將探究活動的難度提升。讓學生充分的考慮到四邊形的因素：邊，角，對角線。從這幾種元素分別討論，其實這個過程學生一看圖像就很清楚了，教師只是起到引導作用，但是如果讓學生自己考慮的話，難度還是比較大的。

學生在教師的引導下討論并回答：中點四邊形只與對角線有關，取決于原四邊形的兩條對角線的位置與長短。

然后教師按照位置和長短將對角線分類：

1、對角線既不相等也不垂直的四邊形，2、對角線相等的四邊形，3、對角線互相垂直的四邊形，4、對角線相等且互相垂直的四邊形。

讓學生觀看展示的圖形后，得出結論：

1、對角線既不相等也不垂直的四邊形的中點四邊形是平行四邊形，2、對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形，3、對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形，4、對角線相等且互相垂直的四邊形的中點四邊形是正方形。

教師進一步引導：如果知道中點四邊形的形狀，原四邊形對角線應該有什么性質？

在進行表格歸納之后，學生會發現：

1、中點四邊形是平行四邊形的對原圖形沒有要求；

2、中點四邊形是矩形只需原四邊形的對角線互相垂直；

3、中點四邊形是菱形只需原四邊形的對角線相等；

4、中點四邊形是正方形只需原四邊形的對角線互相垂直且相等。

【設計意圖】通過探究，讓學生感受到研究中點四邊形就是研究原圖形對角線的位置和數量關系，從對角線的沒關系到相等，到垂直，到相等且垂直，是從一般到特殊的思想方法，在認識上循序漸進，學生較好理解。在得出一般結論后，再回答幾種特殊四邊形的中點四邊形，就只要考慮對角線的關系了。

五、課堂小結

至此，本節課的重點內容全部結束，教師要引導學生進行課堂小結：

1、你學會了什么？

2、本節課的體會和感受是什么？ 結合學生的見解歸納：

１．利用三角形中位線定理，可以判定中點四邊形的形狀。２．中點四邊形的形狀都是平行四邊形。

３．中點四邊形的形狀取決于原四邊形的兩條對角線的位置與長短

【設計意圖】：本環節主要是對整節課做個總結，包括知識點，幾何題目的分析方法，以及重要的結論，方便學生以后的應用。同時讓學生養成良好的學習習慣，勤學習，勤總結。培養學生的歸納能力，使學生形成完整的知識結構和研究數學問題的一般方法。

六、目標檢測設計

（1）中點四邊形的形狀與原四邊形的（）有密切關系；

（2）只要原四邊形的兩條對角線（），就能使中點四邊形是菱形；（3）只要原四邊形的兩條對角線（），就能使中點四邊形是矩形；（4）要使中點四邊形是正方形，原四邊形要符合的條件是（）。（5）如圖,四邊形ABCD中,AC⊥BD,順次連接四邊形ABCD 各邊中點,得四邊形A1B1C1D1;再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點, 得到四邊形A2B2C2D2……如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn.四邊形A1B1C1D1是_ __，四邊形A2B2C2D2是，四邊形A11B11C11D11是____；

【設計意圖】：高效課堂提倡向課堂要質量，所以在學完本節內容之后要讓學生進行練習，讓學生對本節課的內容加以鞏固。

本著因材施教的教育理念，在教學中進行分層練習，由易到難，讓所有學生都能體驗到成功的快樂，提高學習的積極性，前四個問題主要考察了學生對一些重要結論的掌握情況，從中教師可以觀察出學生的聽課效率，為以后的課堂提供參考。第五題主要考察學生的發散思維，對學生掌握知識的靈活性，應用性都有較高要求，提高學生研究數學的興趣和創新意識。

第四篇：“中點四邊形”教學設計 教學反思

“中點四邊形”教學設計的得與失

--------“中點四邊形”的教學反思

廣州市47中學匯景實驗學校 劉莓

第Ⅰ部分 學案（第一稿）

課題:中點四邊形

姓名 班級 學號

一、學習目標：

1、了解中點四邊形的概念

2、靈活應用三角形的中位線性質研究中點四邊形與原四邊形的關系。

二、學習重點、難點

1、重點：研究中點四邊形與原四邊形的關系；

2、難點：找出中點四邊形與原四邊形的形狀的變化規律。

三、學習過程：

（一）、復習：三角形的中位線性質：利用右圖用幾何語言表示

（二）、練習：

1．證明：順次連結四邊形的各邊中點所組成的四邊形（簡稱中點四邊形）是平行四邊形。

已知：

求證：

2、與周圍的同學交流一下證明方法。

從以上的證明過程中可知：中點四邊形的邊與原四邊形的對角線有密切關系。

3、通過畫圖猜想：順次連結矩形的各邊中點所組成的四邊形是什么形狀？

請證明你的結論。

4、回味剛才的證明過程，想一想：要使中點四邊形是菱形，原四邊形一定要是矩形嗎？

由此可得：只要原四邊形的兩條對角線，就能使中點四邊形是菱

形。

5、通過畫圖猜想：順次連結菱形的各邊中點所組成的四邊形是什么形狀？

請證明你的結論。

6、回味剛才的證明過程，想一想：要使中點四邊形是矩形，原四邊形一定要是菱形嗎？

由此可得：只要原四邊形的兩條對角線，就能使中點四邊形是矩形。

7、討論一下：要使中點四邊形是正方形，原四邊形要符合的條件是

8、小結：

（1）中點四邊形最起碼是一個 ；

（2）原四邊形的對角線與中點四邊形的邊有密切關系：

原四邊形的兩條對角線相等 中點四邊形的鄰邊也 中點四邊形是 形

原四邊形的兩條對角線垂直 中點四邊形的鄰邊也 中點四邊形是 形

原四邊形的兩條對角線垂直且相等 中點四邊形的鄰邊也

中點四邊形是 形

作業：

1、順次連結等腰梯形的各邊中點所組成的四邊形是特殊的平行四邊形嗎？

證明你的結論。

2、中點四邊形的面積與原四邊形的面積之比是。

第Ⅱ部分 反思

一、教材地位與學案的設計思想

這節課的內容安排在華東師大版教材的九年級下冊第27章?證明?一章后的課題學習，這樣的安排很恰當，學生剛剛學完了用推理的方法研究三角形和四邊形。這節課的內容是三角形中位線的應用，也是對特殊平行四邊形性質、判定的鞏固，還是對學生研究變式圖形能力的訓練--------這是一個動態圖形的系列問題：無論原來的四邊形的形狀怎樣改變，順次連結它各邊的中點所得的四邊形最起碼是平行四邊形。而且平行四邊形又包含了矩形、菱形、正方形，這時，原四邊形要作怎樣的變化呢？通過這節課的學習，使學生對中點四邊形與原四邊形的形狀的變化規律有一個系統的認識。

學生往往不重視課題學習或找不到方法去研究這個課題。而這節課的學案設計就是為學生研究這個課題在方法上搭建了一個平臺。

在使用舊人教版的時候，為使學生對中點四邊形與原四邊形的形狀的變化規律有一個系統的認識，也曾這樣設計：

在每個學生一臺電腦的網絡室利用《幾何畫板》教師先做兩個頁面，第一頁原四邊形設計為平行四邊形，第二頁原四邊形設計為任意四邊形。學生只需用鼠標拖動原四邊形或中點四邊形的一個頂點，就可實現動畫。兩頁都有輔助線（原四邊形的對角線）的顯示/隱藏按鈕。每個同學須填寫一份實驗報告。實驗報告的問題設計如下：

在學生完成前12分鐘的實驗后，教師利用實物投影儀展示一些同學的證明過程、小結實驗情況、對比證明方法，讓學生明確“四邊形EFGH的形狀的變化與原四邊形的兩條對角線有著密切的關系”----為下一階段的實驗鋪路。第二階段的實驗有足夠的時間讓學生操作，而且絕大多數同學能遵循題目的暗示將中點四邊形EFGH進行動畫，通過中點四邊形EFGH形狀的改變來觀察原四邊形ABCD的變化。所以第1題完成情況良好，又為第二題鋪平了道路。最后由同學自薦所出題目，公認最好的作為作業布置。

二、課堂實施情況

對比兩種設計方案的實施情況:

①實驗報告的設計沒有在文字上給學生具體方法的指導，普通班相當一部分學生在實驗的第二階段中不知怎樣證明自己所得的結論，也正因為如此給成績好的學生留下了較大的思維空間；學生不用自己畫圖節省了時間。但也留下了缺憾------怎樣畫出符合題意的示意圖也是要訓練的，而且在畫圖的過程中還能對題意有更深的理解。當時在重點班的實施效果較好，普通班的實施情況不理想------大約一半學生達不到實驗的預期目的。

②學案（第一稿）的設計彌補了實驗報告的不足，由于設計時多種情況都讓學生從熟悉的圖形：矩形、菱形入手，證明它們的中點四邊形分別是菱形、矩形。然后通過“回味剛才的證明過程，”讓學生注意到在證明過程中運用了矩形、菱形的對角線相等、對角線互相垂直的性質，而沒有用對角線互相平分的性質，從而把圖形變式，將特殊情況予以推廣。這種過渡層層遞進，分散了難點，課堂上進行的較為順利。而且學案的設計由始至終在研究方法上貫穿一條主線：原四邊形的對角線與中點四邊形的邊有密切關系------原四邊形的兩條對角線若垂直、相等，中點四邊形的相鄰邊也垂直、相等。課堂上，學生的證明方法較為多樣，如下圖，學生通過證明圖形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ全等來證明中點四邊形是菱形，但大多數學生遵從學案中的“暗示”，連結兩條對角線，利用中位線證明。通過討論和展示多種證明方法既開拓了學生的思路又始終引導學生沿主線展開研究。

在實施過程中，由于要落實畫圖、寫已知、求證及證明，普通班兩節連堂方可完成，重點班一節課可完成。

三、課后作業反饋

第1題：

①有少部分學生把課堂小結的圖形變化規律當作定理直接應用于證明過程中；

②有少部分學生沒有寫已知、求證；

③有少部分學生的圖形太特殊導致中點四邊形是正方形，而在證明時又把菱形的識別當作正方形的識別；

第2題：在課間與學生的口頭交流得知，大部分學生知道可用特殊值法并求

出了正確結果，但其中有些學生對于一般情形下的解法是沒掌握的。

四、學案改進

給出學案中1、3、5、中的示意圖并將寫“已知、求證”刪去以免沖淡主題；改為要求學生畫4、6、的示意圖，讓學生更好地理解4、6、是3、5、的深入與推廣（教師注意巡堂，發現學生畫出的是3、5、條件下的圖形應予以糾正）。

作業的第2題要求學生交流解法。

第Ⅲ部分 學案（改進稿）

課題:中點四邊形

姓名 班級 學號

一、學習目標：

1、了解中點四邊形的概念

2、靈活應用三角形的中位線性質研究中點四邊形與原四邊形的關系。

二、學習重點、難點

1、重點：研究中點四邊形與原四邊形的關系；

2、難點：找出中點四邊形與原四邊形的形狀的變化規律。

三、學習過程：

（一）、復習：三角形的中位線性質：利用右圖用幾何語言表示

（二）、練習：

1、已知：如圖，四邊形ABCD為任意四邊形，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點。

求證：四邊形EFGH是平行四邊形

2、與周圍的同學交流一下證明方法。

我們把順次連結四邊形各邊中點所成的四邊形叫中點四邊形

從以上的證明過程中可知：中點四邊形的邊與原四邊形的對角線有密切關系。

3、已知：如圖，四邊形ABCD為矩形，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點。順次連結EF、FG、GH、HE，猜想四邊形EFGH是什么形狀的四邊形。

并證明你的結論。

4、回味剛才的證明過程，想一想：要使中點四邊形是菱形，原四邊形一定要是

矩形嗎？

由此可得：只要原四邊形的兩條對角線，就能使中點四邊形是菱形。請畫出符合此命題的示意圖。

5、已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，點E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點。猜想四邊形EFGH是什么形狀的四邊形。并證明你的結論。

6、回味剛才的證明過程，想一想：要使中點四邊形是矩形，原四邊形一定要是

菱形嗎？

由此可得：只要原四邊形的兩條對角線，就能使中點四邊形是矩形。

請畫出符合此命題的示意圖。

7、討論一下：要使中點四邊形是正方形，原四邊形要符合的條件是

8、小結：

（1）中點四邊形最起碼是一個 ；

（2）原四邊形的對角線與中點四邊形的邊有密切關系：

原四邊形的兩條對角線相等 中點四邊形的鄰邊也

中點四邊形是 形

原四邊形的兩條對角線垂直 中點四邊形的鄰邊也

中點四邊形是 形

原四邊形的兩條對角線垂直且相等 中點四邊形的鄰邊也

中點四邊形是 形

（看屏幕上的動畫演示）

作業：

1、順次連結等腰梯形的各邊中點所組成的四邊形是特殊的平行四邊形嗎？

證明你的結論。

2、中點四邊形的面積與原四邊形的面積之比是。與其他

同學交流一下研究此問題的方法。

第五篇：四邊形證明

1.已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE = AF．

（1）求證：BE = DF；

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM = OA，連接EM、FM．判斷四

邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

B

M D

2．已知：如圖，正方形ABCD中，點E在BC的延長線上，AE分別交DC，BD于F，G，點H為EF的中點．

求證：⑴ ∠DAG＝∠DCG；

⑵ GC⊥CH．(6分)

AD

B C E

3．小明在研究正方形的有關問題時發現有這樣一道題：“如圖①，在正方形ABCD中，點E

是CD的中點，點F是BC邊上的一點，且∠FAE＝∠EAD．你能夠得出什么樣的正確的結論？”

⑴ 小明經過研究發現：EF⊥AE．請你對小明所發現的結論加以證明；

B F 圖① D E C

⑵ 小明之后又繼續對問題進行研究，將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”(如圖②、圖③、圖④)，其它條件均不變，認為仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的觀點嗎？若你同意小明的觀點，請取圖③為例加以證明；若你不同意小明的觀點，請說明理由．(7分)

B 圖②E F C 圖③B F C

圖④

4．如圖，矩形ABCD和矩形AEFG關于點A中心對稱，(1)試說明：BD=ED=EG=BG；

(2)若矩形ABCD面積為2，求四邊形BDEG的面積。(本題6分)

5如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB＝110o，∠BOC＝a．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60o得△ADC，連結OD．

(1)求證：△COD是等邊三角形；

(2)當a＝150o時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

(3)探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？