第一篇：滬教版_初二數學幾何證明舉例

1.已知：如圖1，AD是BC上的中線，且BE∥CF.求證：DF=DE.2.已知：如圖2，AD、BC相交于點O，OA=OD，OB=OC，點E、F

在AD上，∠ABE=∠DCF.求證：BE∥CF.3.已知：如圖3，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中點。

求證：AE=AF.4.已知：如圖1，AB∥CD，BE、DE分別是∠ABD、∠BDC的平分線.求證：BE⊥

DE.5.已知：如圖2，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC.求證：AO⊥BC.6.如圖3，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.1)若BC在DE的同側(如圖①)且AD=CE，求證：BA⊥AC.2)若BC在DE的兩側(如圖②)其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？若是，請予證明，若不是請說明理由.7.已知：如圖1，AB=CD，AD=BC，AE=CF.B、A、E三點

共線，D、C、F三點共線.求證：∠E=∠F.8.已知：如圖2，AB=AC，∠A=90°，AE=BF，BD=DC.求證：FD⊥ED.9.已知：如圖3，AC=BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B.求證：AD=BC.10.已知：如圖1，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC.求證：AC=BD-DC

11.已知：如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證：AC=BF.12.已知：如圖3，正方形ABCD中，點F在DC上，E在BC上，∠EAF=45°.求證：EF=BE+DF.

第二篇：初二數學《證明舉例》

初二數學《證明舉例》

課題：22.4證明舉例（4）

一、教案設計思考與亮點

教案設計思考：本節內容為證明舉例的第四課時，用二次三角形全等來證明有關問題，教案的設計力求通過師生生動活潑的問題研究，不生搬硬套固定的解題模式，讓學生親身經歷問題的解決與創設過程。教學中，隨著問題的提出、分析和解決，構建積極進取的學習氛圍，整個一堂課，始終是在師生的默契配合下進行，師生思維協調同步，處于“共鳴”狀態，從而大大提高了課堂教學質效。

教案設計亮點：

1、教學過程中，設計了開放性問題，既可以消除學生“模仿例題”的習慣，又可以克服學生被動學習的弊端，有利于培養學生個性，發揮每個學生的聰明才智，更好地培養他們的思維品質。

2、教學過程中，設計了對例題的簡單變式訓練，引導學生進行猜想與驗證，同時引導學生修正猜想。

二、教學目標：

1、知識目標：（1）嘗試命題教學，學生掌握文字命題的證明步驟。

（2）會用二次三角形全等證明幾何問題。

2、能力目標：（1）了解猜想證明與反駁、優化的數學思想方法。

（2）經歷了命題的證明過程，學生逐步學會分別從題設和結論

出發，尋求論證思路的綜合分析方法。

3、情感目標：注重對學生思維品質的培養，鼓勵學生進行有效的合作學習。

三、教學重、難點：重點：用二次三角形全等進行幾何證明。

難點：舉出反例說明一個命題是假命題。

四、教學過程：

今天這一節課，我們繼續來學習幾何證明。（寫課題）

一、文字命題證明

請同學們看這樣一道例題：

例7：求證：有兩邊及其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等。

（一）提問：

1、文字命題的證明有哪些步驟？

2、這個命題的題設與結論分別是什么？

（二）學生動手操作：

完成畫圖，寫已知和求證。

（學生完成，教師巡視，并抽一份點評，盡量讓學生自己發現問題并

解決和完善）AA’

’

DD’

已知：如圖，在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’,BC= B’C’,AD、A’D’分別是

BC和B’C’邊上的中線，AD＝A’D’。

求證：△ABC≌△A’B’C’

[歸納小結]

對于文字命題，我們先要讀懂題意，正確理解其中的內涵，再著手

解題。

（三）討論與分析：

我們如何來證明△ABC≌△A’B’C’，用什么方法？同學投入討論。

（學生思考并討論，互相啟發，自我教育，然后小組選代表匯報解題思路。）追問學生：

1、你怎么想到證∠B＝∠B’？

2、如何證得BD’=B’D’？

你們能自己完成這道題的證明了嗎？

（四）獨立書寫證明過程：

證明：∵AD、A’D’分別是BC和B’C’邊上的中線（已知）

∴BD=

1212BC，B’C’＝B’C’（三角形中線定義）

又∵BC= B’C’（已知）

∴BD= B’D’（等式性質）

在△ABC和△A’B’C’中

’D’（已知）

’B’（已知）

AD＝A’D’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S ? S ? S）

∴∠B＝∠B’（全等三角形對應角相等）

在△ABC和△A’B’C’中

’B’（已知）

∠B＝∠B’（已證）

BC= B’C’（已知）

∴△ABC≌△A’B’C’（S ? A ? S）

（可能還有學生通過證AC= A’C’，從而得到△ABC≌△A’B’C’。此時教

師均給予肯定，然后指出在具體解決問題的過程中，要善于選擇簡捷的方法，培養學生優選的數學思想。）

（五）[歸納小結]

在這個命題的證明過程中，有兩次證明三角形全等，其中第一次證

明所得的兩角相等，成為第二次證明三角形全等的條件，這種將上一步推理所得的結論作為下一步推理條件的情況，在證明過程中常常會遇到。

二、變式訓練

（一）完成了上述命題的證明：若將其中“一邊上的中線”改成“一邊上的高”，命題是否成立？

（學生獨立思考，并請一位同學上黑板畫圖）

估計學生回答此命題仍成立，請學生說明理由。

老師問還有沒有其它意見？

若學生沒有意見，教師進行反駁，將學生所畫的圖作如下改變：

’（通過老師畫圖操作，學生觀察分析，從而獲得直觀的認識）然后提問：

1、觀察△ABC≌△A’B’C’中條件是否符合題意？

2、此時，△ABC≌△A’B’C’嗎？為什么？

3、老師是用什么方法說明這是個假命題的？

（二）思考題：（讓學有余力的同學進行再思考）

1、修正上述命題，使之成為真命題。

2、若改變“一邊上中線”為“一角平分線”，其它條件作怎樣變化，命題仍

成立，留作同學課外思考。

[歸納小結]

由上可見，我們在思考問題時既要積極大膽，又要注意思維的嚴密

性，不斷優化我們的思維方式。

三、鞏固練習：

如圖：已知：點D、E分別在AB、AC上，BE和

相交于O點，且DB=EC，要證明OB=OC，還需要增加什么條件？

BC

（一）放手發動學生積極參與討論，大膽思維，勇于探索。

（二）鼓勵學生敢于發表見解，善于發表見解。

（三）學生提出的問題，還是由學生自己來評判是否正確。

（通過開放性練習，讓學生探究嘗試，調動學生學習的積極性，培養

學生發散性思維和逆向性思維的能力。）

四、課堂小結：

（先由學生小結，然后老師作點評和補充。）

這節課我們學到了些什么？

1、文字命題證明步驟。

2、二次三角形全等證明有關問題。

3、證明假命題的方法——舉反例。

4、良好思維品質的培養。

五、作業布置：

1、課本練習及練習冊練習

2、有興趣的同學繼續考慮：

（1）有兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩三角形全等嗎？

（2）類似的角平分線、高有沒有這樣的性質呢？

五、教案說明

課堂教學是有效地開展師生雙邊活動的主陣地，在教師的主導作用下，廣泛地讓學生參與，積極思考，親自實踐，培養學生的自我意識、競爭意識和創新意識，發展學生的創造性思維，這是素質教育的要求之一。所以，我在教學過程中，讓學生充分的動手、動腦，自由的討論，在此基礎上進行分析與研究，以激發學生學習的主動性，同時通過變式訓練及開放性練習，不斷開發學生的潛能，注重對學生思維品質的培養，從而提高分析問題，解決問題的能力。

本節內容為22.4證明舉例的第四課時，用二次三角形全等來證明有關問題，為了分散難點，先復習了命題的證明步驟，再安排學生根據題意畫圖并寫已知與求證，然后讓學生在思考討論的基礎上分析解題思路，突出分析與綜合的思想方法，最后獨立寫證明過程。整個例題基本上是由學生解決的，老師在其中作適當的分析、點評，從而培養學生對問題的觀察、比較分析及綜合演繹的能力。

由對例題的簡單變換，引導學生進行猜想與驗證，同時引導學生修正猜想。其中滲透猜想與反駁的數學思想，注重對學生思維品質的培養。之后又進一步提出問題，讓學有余力的學生課外有深入的思考余地。這樣的處理，使例7與練習第一題成為一個整體，而練習2的思維方式與例7相同，作為課后作業是對知識

進行鞏固。

最后一道題則是提高要求，少給一個條件，進行開放性思維訓練、要學生通過討論，大膽探索，提出所增加的條件，再由學生來判斷其正確性。這樣學生的積極性得到充分的調動，更增添學生學習數學的興趣，從而培養學生發散思維與逆向思維的能力。本堂課小結基本上由學生完成，使學生明白通過努力，收獲還是很多的，同時也培養了學生對知識的概括歸納能力。

六、教學反思

綜觀本節課的課堂教學，我認為教學其實施過程比較順利，并能有效地開展教學雙邊活動。其中學生始終是課堂教學的主人，在教師的調動下，學生積極參與課堂教學活動，學習的主動性與積極性得到充分的發揮。

在教學中，凡是能讓學生自己去獲取知識的內容，我都給學生提供機會，大膽地放，如例題教學中，命題證明要先根據題意畫圖，寫已知、求證、再進行證明，我就放手讓學生操作，然后分析解題思路讓學生講，疑點讓學生議，錯如讓學生剖析，最后加以修正。這樣，使新知識易掌握，錯誤易暴露，也利于及時糾正反饋，同時，對發展學生的邏輯思維能力是十分有利的，從而使例題教學顯得充實、有效。

把例題簡單變式后，提出問題“此時命題還是否成立？”其實這是老師有意設計的一個問題，我先讓學生猜想認可，學生均自以為判斷是正確的。然后教師平等地參與學生一起也發表見解，通過老師實際畫圖，學生觀察分析，直觀地認識到結論不成立，再來分析原因，從而引起學生的重視與反思。這樣的反例反駁，學生不僅錯明確誤之處，而且更明確用舉反例證明假命題的方法，從而得出與原來不同的結論。這樣使學生在今后解題過程中，不僅要敢于探索，大膽思維，同時也要注意思維的嚴密性與批判性，從而培養良好的思維品質，不斷優化思維方式。

鞏固練習是屬于“從不變的結論來探索使結論成立的已知條件”的編題，其題型結構是：

條件條件條件結論

條件（不變）

條件條件（學生探索）

缺條件，當然要設定，而且有多種可能性，這樣的開放性問題要求學生從條

件方面進行思維和縱向發散，而這種思維的發散需要先進行廣泛的逆向聯想，再進行正向的驗證，頗具挑戰性，很容易激起學生“躍躍欲試”的情感和對數學知識的濃厚興趣，從而打破學生的思維定勢，開闊思維。在整個教學過程中，由于教師的鼓勵，適時的引導，使學生敢于創新，大膽創造，特別是增加了“BE=DC”這個條件，它的證明需添設輔助線，此時由于學生的思維始終處于興奮狀態，就很自然地想到了解決的辦法，進而提高了學生分析問題、解決問題地能力，從中得到了“以思維的逆向性和變通性”為主的思維轉換能力的培養。

從當堂學生的各種反饋及課后的作業來看，本節課完成了教學任務，達到了教學目的與要求，特別注重了思維力度與品質的培養，但在教學過程中，對某些問題的問法設計上還有待改進。

第三篇：初二數學幾何證明

1.已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊延長線上一點，以AD為邊作等邊三角形ADE。連接CE.求證：CE平分∠ACD

E

A

BCD

2.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，E是AB邊上的一點，AE=AC，EF∥BC交AC于點F.求證：∠DEC=∠FEC

.3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等邊三角形，求證：四邊形ADEF是平行四邊形.A

D

F

BC

4.如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分線與AC交于點D，過點C作CH⊥BD，H為垂足。試說明BD=2CH。

A

21C

5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，過C點在△ABC形外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

(1)求證：

MN=AM+BN

(2)△ABC內，∠ACB=90°，AC=BC若過C點在△ABC內作直線MN，當MN位于何位置時，AM，BN和MN滿足MN=AM-BN，并證明之．

6.“等腰三角形兩腰上的高相等”

(1)根據上述命題，畫出相關圖形，并寫出“已知’’“求證”，不必證明．(2)寫出上述命題的逆命題，并加以證明．

7.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分別是AB、BC、AC上的點，DE、DC、DF將△ABC分成四個全等的三角形，△ABC的周長是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各個小三角形的周長．

8.如圖，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中點，EF⊥BD，垂足為F．求證：BF=DF．

B

FA

D

C

9.已知，如圖正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，AF和DE交于點P． 求證：

CP=CD

10.如圖△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的長．

(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面積．

11.如圖，△ABC中，AD是∠BAC內的一條射線，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，點M 是BC的中點．求證：EM=FM

A

B

E

C

12.中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。你能根據這幅“勾股圓方圖”證明勾股定理嗎？（圖中4個直角三角形全等）

13.如圖甲是第七屆國際數學教育大會（簡稱ICME～7）的會徽，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的其中OA1?A1A2?A2A3???A7A8?1，如果把圖乙中的直角三角形繼續作下去，細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題：

A8

A

3ICME-7

21圖甲圖乙

（）?1?2，S1?

;(2)?1?3,S2?

;(3)?1?4,S3?

;??

（1）請用含有n（n是正整數）的等式表示上述變化規律；（2）推算出OA10的長；

2222

（3）求出S1?S2?S3???S10的值。

1.如圖，在△ABC中，∠

A=90°，AB?AC，BD平分∠ABC交AC于點D，若AB?2cm.求：AD的長,2．在Rt△ABC中，∠C=90°，中線AD的長為7，中線BE的長為4.求：AB的長 3．四邊形中，∠A=60

°，∠B=∠D=90°，AB?2,CD?1.(1)求BC、AD的長（2）

求四邊形ABCD的面積.

第四篇：§5.6幾何證明舉例

年級八年級學科數學第五 單元第 8課時總計課時2013年 11月 4日

§5.6幾何證明舉例（2）

課程標準：掌握等腰三角形的性質和判定定理，了解等邊三角形的概念并探索其性質。學習目標：

1.學生會根據三角形全等推導等腰三角形的性質。

2.熟練掌握應用等腰三角形的性質定理。

3.掌握等邊三角形的性質，并會運用判定等邊三角形。

學習重點難點：

等腰三角形的性質定理和判定定理。

我的目標以及突破重難點的設想：

學前準備：

學情分析：

學案使用說明以及學法指導：

預習案

一、教材助讀

1、等腰三角形的性質是什么？判定是什么？

2、等邊三角形的性質和判定是什么？

探究案

探究一：等腰三角形的性質

（1）“等腰三角形的兩個底角相等”是真命題嗎？怎樣證明。

（2）在右圖等腰△ABC中，AB=AC.AD為BC邊上的高

∠1與∠2有什么關系？BD與CD有什么關系？

你能得出什么結論？試著總結一下。

探究二：等腰三角形的判定（合作交流）

（3）說出命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題？

（4）這個逆命題是真命題嗎？怎樣證明它的正確性？

課型：新授執筆：馬海麗審核： 滕廣福韓增美

（5）求證：如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形

已知：

求證：

點撥：注意條件中為什么是兩個“角”，不是兩個“底角”。

三、精講點撥：

1、等腰三角形的性質：

性質1：

性質2：

2、數學語言敘述：

性質1：性質2：

∵AB=AC∵AB=AC

∴∠B= ∠C① AD平分∠BAC

（等邊對等角）

(①,② ,③均可作為一個條件，推出其他兩項)

（三線合一）

3、總結等邊三角形的性質以及判定（學生小組討論，寫出他們的證明過程）

四、應用新知

例

2、已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，DE⊥BC，交BC于點E，交CA的延長線于點F。

求證：AD=AF。

點撥：以后證明線段相等或角相等時，除利用三角形全等外，還可以利用等腰三角形的性質和判定。

五、課堂小結：

訓練案

課本180頁 練習1,2題

我的反思：

第五篇：初二幾何證明

24．（1）如圖(1)，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點，且BD?CE，連接AE、CD相交于點P.請你補全圖形，并直接寫出∠APD的度數；=

（2）如圖（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分別是AB、BC上的點，且AM?BC,BM?CN，連接AN、CM相交于點P.請你猜想∠APM=°，并寫出你的推理過程.24．如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合．三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G.（1）求證：EF?EG；

（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經過點B，其他條件不變，若AB?a，BC?b，求

EF的值． EG

24.問題1：如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，點M，N分別在AD，CD上，若∠MBN=1∠ABC，試探究線段MN，AM，CN有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不用證明；

21∠ABC仍然成立，請你進一步探究線段MN，AM，CN又有怎樣的數量關系？寫出2問題2：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點M，N分別在DA，CD的延長線上，若∠MBN=

你的猜想，并給予證明.5.（豐臺區）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點O放在斜邊AC上，將三角板繞點O旋轉．

（1）當點O為AC中點時，①如圖1，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點，連接EF，猜想線段AE、CF與EF之間存在的等量關系（無需證明）；

②如圖2，三角板的兩直角邊分別交AB，BC延長線于E、F兩點，連接EF，判斷①中的猜想是否成立．若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）當點O不是AC中點時，如圖3,，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點，若AO?1，AC

4求OE的值．

OF

E

B F C 圖1 圖2 圖3 F B F CA A

24． 已知：四邊形ABCD是正方形，點E在CD邊上，點F在AD邊上，且AF＝DE．

（1）如圖1，判斷AE與BF有怎樣的位置關系？寫出你的結果，并加以證明；

（2）如圖2，對角線AC與BD交于點O． BD，AC分別與AE，BF交于點G，點H．

①求證：OG＝OH；

②連接OP，若AP＝4，OP

AB的長．

圖

1（1）答：

證明：

9.（房山區）（1）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，且滿足BE=CF，聯結AE、BF交于點H..請直接寫出線段AE與BF的數量關系和位置關系；

（2）如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，聯結BF，過點E作EG⊥BF于點H，交AD于點G，試判斷線段BF與GE的數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖3，在（2）的條件下，聯結GF、HD.求證：①FG+BE

②∠HGF=∠HDF.圖2 B AGDG

B

第24題圖1 FB

E第24題圖2 F

B

E第21題圖3 F