第一篇：初二數學第19章幾何證明章節概要

第十九章：幾何證明

一、章節目標：

1、體驗幾何研究從直觀經驗、操作實驗到演繹推理的演進過程，認識幾何直覺和演繹推理的作用；知道基本的邏輯術語，理解命題、證明的意義；懂得推理過程中的因果關聯，知道證明的步驟。

2、在例題學習和證明實踐中，初步掌握演繹推理的規則和規范表達的格式；會用三角形全等的判定定理和性質定理證明有關的線段相等、角相等以及兩條直線平行、垂直的簡單問題，會用等腰三角形的判定定理和性質定理證明簡單的幾何問題。

3、通過對平行線和等腰三角形的有關定理的分析，理解逆命題與逆定理；掌握角的平分線、線段的垂直平分線的有關性質；知道軌跡的意義，知道圓、角的平分線、線段的垂直平分線這三條基本軌跡。

4、掌握判定兩個直角三角形全等的特殊方法，在“斜邊、直角邊”判定定理的學習過程中，體會解決問題過程中矛盾的一般性與特殊性；掌握直角三角形的有關性質和判定。

5、在勾股定理及其逆定理的學習中，領略人類文明的輝煌成就，感受理性思維的精神和包容世界文化的意義；了解勾股定理導出的過程和它在度量幾何中的作用，進一步理解形數之間的聯系；能運用勾股定理及其逆定理解決比較簡單的證明或計算問題及比較簡單的實際應用問題；掌握平面直角坐標系內兩點距離的公式。

二、單元目標 第一節：幾何證明

1、初步理解演繹證明的含義及因果關系的表述，體會演繹證明是一種嚴格的數學證明，所獲得的結論最可靠。

2、知道定義、命題、真命題、假命題、公理、定理等之間的區別與聯系；了解命題的構成，能初步區分命題的題設和結論，會把命題改寫成“如果??，那么??”的形式。

3、知道證明一個命題為真命題的一般過程；知道證明一個命題為假命題只要舉一個反例；初步感知證明過程中體現的理性精神。

4、通過證明舉例的學習和實踐，懂得演繹推理的一般規則，初步掌握規范表達的格式；知道分析證明思路的基本方法。

5、會利用平行線、全等三角形、等腰三角形的判定和性質來證明有關線段相等、角相等以及兩直線平行和垂直的簡單問題；了解添置輔助線的基本方法，會添置幾種常見的輔助線。

6、初步學會演繹推理的方法和規范表達，體會理性思維的精神，發展邏輯思維能力。單元重點：定義、命題、真命題、假命題、公理、定理等相關概念和證明一個命題為真命

題或假命題的一般過程；利用平行線、全等三角形、等腰三角形的判定和性質來證明有關線段相等、角相等以及兩直線平行和垂直的簡單問題；了解添置輔助線的基本方法。

單元難點：分析證明思路的基本方法和輔助線的添置方法。第二節：線段的垂直平分線和角的平分線

1、知道原命題、逆命題、互逆命題、逆定理、互逆定理等的含義。

2、會寫一個命題的逆命題，并會證明它的真假，知道每一個命題都有逆命題，但一個定理不一定有逆定理。

3、增強逆向思維意識，體會辨證思想。

4、初步掌握線段的垂直平分線、角的平分線的性質定理和逆定理。

5、能運用線段的垂直平分線、角的平分線的性質定理及其逆定理解決簡單的幾何問題。

6、了解軌跡的意義，知道線段的垂直平分線、角的平分線和圓三條基本軌跡。

7、會用三條基本軌跡解釋簡單的軌跡問題并用圖形語言表示，會用交軌法進行基本的作圖。

8、通過軌跡的學習，初步感知集合的思想。

單元重點：段的垂直平分線、角的平分線的性質定理和逆定理，交軌法作圖

單元難點：段的垂直平分線、角的平分線的性質定理和逆定理的應用和用三條基本軌跡解

釋簡單的軌跡問題

第三節：直角三角形

1、經歷探索直角三角形全等的特殊判定方法的過程，體會演繹思想和化歸思想。

2、掌握直角三角形全等的判定定理，會用“H.L”判定直角三角形全等。

3、經歷探索直角三角形性質的過程，體會研究圖形性質的方法。

4、掌握直角三角形性質定理和特殊直角三角形的性質定理，能運用直角三角形的有關性質解決簡單的數學問題。

5、理解用面積割補法證明勾股定理的思路和勾股定理逆定理的推導方法；了解勾股定理的重要性以及它在人類重大科技發現中的地位，感受人類文明，體會理性精神。

6、初步掌握勾股定理和逆定理，能用勾股定理和逆定理解決基本的有關證明或計算問題，了解勾股數組的概念，熟悉最基本的勾股數組。

7、在勾股定理及其逆定理的學習中，獲得“探索—研究—運用—反思”的過程經歷，增強

學習數學的興趣和探究學習的意識，激發科學研究的內部動機。

8、經歷探求直角坐標平面內兩點的距離的過程，掌握兩點的距離公式，體會數形結合的數學思想方法。

單元重點：直角三角形全等的判定定理，直角三角形的性質，勾股定理及其逆定理以及兩

點間的距離公式。

單元難點：用直角三角形全等的判定定理，直角三角形的性質，勾股定理及其逆定理以及

兩點間的距離公式解決簡單的幾何問題。

第二篇：初二數學幾何證明

1.已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊延長線上一點，以AD為邊作等邊三角形ADE。連接CE.求證：CE平分∠ACD

E

A

BCD

2.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，E是AB邊上的一點，AE=AC，EF∥BC交AC于點F.求證：∠DEC=∠FEC

.3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等邊三角形，求證：四邊形ADEF是平行四邊形.A

D

F

BC

4.如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分線與AC交于點D，過點C作CH⊥BD，H為垂足。試說明BD=2CH。

A

21C

5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，過C點在△ABC形外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

(1)求證：

MN=AM+BN

(2)△ABC內，∠ACB=90°，AC=BC若過C點在△ABC內作直線MN，當MN位于何位置時，AM，BN和MN滿足MN=AM-BN，并證明之．

6.“等腰三角形兩腰上的高相等”

(1)根據上述命題，畫出相關圖形，并寫出“已知’’“求證”，不必證明．(2)寫出上述命題的逆命題，并加以證明．

7.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分別是AB、BC、AC上的點，DE、DC、DF將△ABC分成四個全等的三角形，△ABC的周長是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各個小三角形的周長．

8.如圖，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中點，EF⊥BD，垂足為F．求證：BF=DF．

B

FA

D

C

9.已知，如圖正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，AF和DE交于點P． 求證：

CP=CD

10.如圖△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的長．

(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面積．

11.如圖，△ABC中，AD是∠BAC內的一條射線，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，點M 是BC的中點．求證：EM=FM

A

B

E

C

12.中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。你能根據這幅“勾股圓方圖”證明勾股定理嗎？（圖中4個直角三角形全等）

13.如圖甲是第七屆國際數學教育大會（簡稱ICME～7）的會徽，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的其中OA1?A1A2?A2A3???A7A8?1，如果把圖乙中的直角三角形繼續作下去，細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題：

A8

A

3ICME-7

21圖甲圖乙

（）?1?2，S1?

;(2)?1?3,S2?

;(3)?1?4,S3?

;??

（1）請用含有n（n是正整數）的等式表示上述變化規律；（2）推算出OA10的長；

2222

（3）求出S1?S2?S3???S10的值。

1.如圖，在△ABC中，∠

A=90°，AB?AC，BD平分∠ABC交AC于點D，若AB?2cm.求：AD的長,2．在Rt△ABC中，∠C=90°，中線AD的長為7，中線BE的長為4.求：AB的長 3．四邊形中，∠A=60

°，∠B=∠D=90°，AB?2,CD?1.(1)求BC、AD的長（2）

求四邊形ABCD的面積.

第三篇：初二幾何證明

24．（1）如圖(1)，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點，且BD?CE，連接AE、CD相交于點P.請你補全圖形，并直接寫出∠APD的度數；=

（2）如圖（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分別是AB、BC上的點，且AM?BC,BM?CN，連接AN、CM相交于點P.請你猜想∠APM=°，并寫出你的推理過程.24．如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合．三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G.（1）求證：EF?EG；

（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經過點B，其他條件不變，若AB?a，BC?b，求

EF的值． EG

24.問題1：如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，點M，N分別在AD，CD上，若∠MBN=1∠ABC，試探究線段MN，AM，CN有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不用證明；

21∠ABC仍然成立，請你進一步探究線段MN，AM，CN又有怎樣的數量關系？寫出2問題2：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點M，N分別在DA，CD的延長線上，若∠MBN=

你的猜想，并給予證明.5.（豐臺區）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點O放在斜邊AC上，將三角板繞點O旋轉．

（1）當點O為AC中點時，①如圖1，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點，連接EF，猜想線段AE、CF與EF之間存在的等量關系（無需證明）；

②如圖2，三角板的兩直角邊分別交AB，BC延長線于E、F兩點，連接EF，判斷①中的猜想是否成立．若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）當點O不是AC中點時，如圖3,，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點，若AO?1，AC

4求OE的值．

OF

E

B F C 圖1 圖2 圖3 F B F CA A

24． 已知：四邊形ABCD是正方形，點E在CD邊上，點F在AD邊上，且AF＝DE．

（1）如圖1，判斷AE與BF有怎樣的位置關系？寫出你的結果，并加以證明；

（2）如圖2，對角線AC與BD交于點O． BD，AC分別與AE，BF交于點G，點H．

①求證：OG＝OH；

②連接OP，若AP＝4，OP

AB的長．

圖

1（1）答：

證明：

9.（房山區）（1）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，且滿足BE=CF，聯結AE、BF交于點H..請直接寫出線段AE與BF的數量關系和位置關系；

（2）如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，聯結BF，過點E作EG⊥BF于點H，交AD于點G，試判斷線段BF與GE的數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖3，在（2）的條件下，聯結GF、HD.求證：①FG+BE

②∠HGF=∠HDF.圖2 B AGDG

B

第24題圖1 FB

E第24題圖2 F

B

E第21題圖3 F

第四篇：初二上冊幾何證明

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第五篇：初二幾何證明單元測試

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初二幾何證明單元測試

班級_______姓名__________

一、填空

1.定理“和一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”的逆命題

是：_____________________________________________________________________,它是_____命題（填“真”、“假”）。

2.在Rt△ABC中，∠C= 90度，AB=2BC，則∠A =______度。

3.直角三角形的兩個銳角的度數之比是2:3，那么這個三角形中最小的內角是______度。

4.在Rt△ABC中，∠C=90度，D為AB的中點，且CD=3cm，則AB=_____cm。

5.如圖（1），∠BAC=90度，AD⊥

BC，則圖中和∠C

互余的角有_________________, 若∠C=30度，則

(1)CD=____BD。

6.直角三角形的一個銳角為

20度，那么這個三 角形斜邊上的 高與中線 所夾 的角 等于

_______度。

7.如圖（2），在Rt△ABC中，∠C=90度，BC=24cm，∠BAC的平分線AD交BC于點D,BD:DC=5:3，則點D到AB的距離為

(2)_______cm。

8.等腰三角形底邊上的高為10cm，腰長為20cm，則頂角為______度。

9.如圖（3），在等腰三角形ABC中，腰AB的垂直平

(3)分線MN 交另一腰AC于點D，若∠ABD= 40度，則 ∠ABC=______度； 若AB=8cm，△BDC的 周長是20cm，則BC=_____cm。

10.如圖（4），在等邊△ABC的三邊上各取一點M、N、P，且有MN⊥AC，NP⊥AB，PM⊥BC，AB=9cm，則CM的長為_______cm。

11.如圖（5），在矩形ABCD中，AB:AD=1:2，將點A沿折痕DE對折，使點A落在BC

上的F點，則∠ADE=_____度。

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二、不定項選擇題

1.下列說法正確的是()

A.任何定理都有逆定理B命題的逆命題不一定是真命題；

C．定理“同圓的半徑相等”有逆定理；

D.“角平分線上的點到該角兩邊的距離相等”的逆命題是真命題。

2.到三角形三個頂點的距離相等的點是（）

A．三角形三內角平分線的交點；B.三角形三邊中線的交點；

C．三角形三邊高的交點；D.三角形三邊中垂線的交點。

3.在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，CE是斜邊AB上的中線，那么下列結論中，正確的是：()

∠ACD=∠BB.∠ECB=∠DCE

C.∠ACD=∠ECBD.∠ECB=∠A-

∠ECD

4.如圖，⊙o外一點P，直線PAB、PCD分別交⊙o于A、B和C、D，添加下列哪個條件，就能證得AB=CD：（）

A．點O既在AB的垂直平分線上，又在CD的垂直平分線上

B．OP平分∠BPDPC．PA=PB

D．不用添也能證出

三、作圖（寫出簡略作法）

要在A、B、C三地之間建一個郵局P，要求郵局P到A、C兩地的距離相等，且到公路AB、BC的距離相等。

四、幾何計算和證明

1.已知：△ABC中，∠A=60度，CD⊥AB于D，BC=2CD，AD=3，求AB的長

2．如圖，∠ABC=∠ADC=90度，E、F分別是AC、BD的中點。求證:EF⊥BD.3．如圖，在△ABC中，∠C=90度，AC=BC，AD平分∠CAB，AB=20cm.求AC+CD的長

五、幾何證明

已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的中垂線交BC的延長線于點E。求證：∠B=∠EAC