第一篇：尺規三等分角不能的向量證明

定義：設S={Z0=1，Z1，...Zn}是n+1個復數，將

(1)Z0=1，Z1，...Zn叫做S-點；

(2)過兩個不同的S-點的直線叫S-直線，以一個S-點為圓心、任意兩個S-點之間的距離為半徑的圓叫S-圓；

(3)由S-直線與S-直線、S-直線與S-圓、S-圓與S-圓相交的點也叫S-點。上面這個定義完全刻畫了尺規作圖過程，如果以P表示全體S-點的集合，那么P也就是從S={Z0=1，Z1，...Zn}出發通過尺規作圖所得到的全部復數。

定理：設Z1，...Zn(n≥0)為n個復數。設F= Q(Z1，...Zn，Z1'，...Zn')，(Z'代表共軛復數)，那么，一個復數Z可由S={Z0=1，Z1，...Zn}作出的充要條件是 Z屬于F(u1，...un)。其中u12屬于F, ui2 屬于F(u1，...ui-1)。換言之，Z含于F的一個2次根號擴張。

系： 設S={Z0=1，Z1，...Zn}，F= Q(Z1，...Zn，Z1'，...Zn')，Z為S-點，則 [ F(z)：F] 是2的方冪。

以下證明三等分任意角不可能性，證明尺規作圖不能三等分60度角： 證明：所謂給了60度角，相當于給了復數Z1=1/2+√3/2 i。從而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角，當然也能得到cos20，但是cos20滿足方程 4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可約，從而[Q(cos20)：Q]=3，于是

6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q]

由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根據上面的系可知cos20不是S-點，從而20度不可能三等分。證畢

第二篇：淺談尺規作圖

淺談尺規作圖

所屬縣：廣西百色市凌云縣

單 位：廣西百色市凌云縣凌云中學

姓 名：唐奕清

內容提要：尺規作圖，具有悠久的歷史淵源、豐富的教學意義和現實內涵。但由于各種原因，尺規作圖的教學存在著許多不利因素。我們需正視困難和問題，尋找解決問題的途徑，提高尺規作圖的教學質量。

關鍵詞：尺規作圖 教學意義 教學困難 提高途徑

尺規作圖，是指有限次使用無刻度的直尺和圓規來解決不同的幾何作圖問題。尺規作圖有著悠久的歷史，古希臘人最早提出了尺規作圖。后經希臘數學家歐幾里德在《幾何原本》一書中以理論形式加以明確，并被人們一直所遵守，進而流傳至今。

在我國，關于尺規作圖的教學一直有著優良的教學傳統。根據張景中院士的回憶，在1978年舉行的全國中學生數學競賽中，數學家蘇步青就曾寫信向主持命題工作的數學大師華羅庚建議，出一道有關尺規作圖的題目作為考試試題。[1]這種重視尺規作圖的意識，進一步在《全日制九年義務教育數學課程標準》中得到了體現。《標準》中明確要求學生能完成一些基本的尺規作圖，并能根據一些基本作圖探索一些問題；對于尺規作圖的過程，要求能寫出已知、求作和作法。

尺規作圖不僅有悠久的歷史淵源，也擁有著豐富的教學意義和現實內涵。首先，尺規作圖能夠豐富教學情境，培養學生的實踐能力。眾所周知，尺規作圖是一種由學生實際執行的操作，具有不可替代的直觀性，十分符合讓學生自己動手解決問題的教學理念。在實際教學中，尺規作圖是一種情境的創設，即要求在某種條件下，由學生自己動手解決問題。學生能作出一張符合要求的圖形，是一種具有挑戰性的創造活動，能夠激發學生的創造性。因此，在幾何教學中強調“觀察、操作、推理”的今天，尺規作圖理應得到足夠的重視.[2] 其次，尺規作圖能培養學生嚴謹的學習習慣、嚴密的邏輯思維和空間想象能力。尺規作圖的一般步驟如下：①要求學生畫出草圖，假設圖形已作出；②根據圖形分析畫法；③利用尺規嚴格操作并寫出作法；④若要求證明，就給出證明；否則就寫出結論。學生嚴格按照步驟進行作圖的過程，正是一個猜想、操作、驗證的過程，有助于學生養成嚴謹的學習習慣，培養學生嚴密的邏輯思維能力。[3]另外，尺規作圖能有效的培養學生的空間想象能力。而空間想象能力正是立體幾何教學中的重難點，它直接影響到學生學習立體幾何的效果。從二維到三維的轉變，是學生認識客觀世界，改造世界的基礎。尺規作圖可以使學生積累相當的經驗，能有效的培養學生的空間想象能力，是立體幾何學習的關鍵所在。

第三，尺規作圖既能展現數學美，又能培養學生的學習興趣，具有良好的教學效果。數學美是一種特殊的美，是美的高級形式。著名哲學家沙利文曾說過：“優美的公式就如但丁神曲中的詩句，黎曼的幾何與鋼琴合奏曲一樣優美?！痹谡n堂教學中，向學生展示標準圖形，能讓學生充分感受數學美，啟發思維，深化知識的理解。學生自己動手，尺規作圖，則能提高審美認識，陶冶情操。

此外，尺規作圖有著許多規范的作圖語句，如：(l)過點X作某個平面的垂線，垂足為點X；(2)過點X作直線XX的平行線，交直線XX于點X；(3)在XX上截取XX=XX；(4)延長XX到點X，使XX=XX；(5)在線段XX上取中點X，連結XX等等。這些規范作圖語句的使用，既可以避免在考試中出現不必要的失分，也能培養學生規范的書面表達能力和與他人合作交流的能力。因此，我們必須重視尺規作圖的教學作用，正視有關尺規作圖的教學問題。

然而，隨著科學技術的發展、推廣和工業生產的需要，各種各樣精密的作圖工具開始出現。這些工具的使用，雖然方便了人們的需要，但也使得一些人開始懷疑和輕視尺規作圖的作用。目前，這種思想已經開始在課堂上漫延，一些教師出于各種原因，淡化了尺規作圖，甚至于在課堂上根本不尺規作圖。結合自身的教學實踐，我個人認為出現這種現象有以下幾個原因，并結合教學實際，提出一些解決問題的途徑，與大家交流，僅供大家參考。

（1）：正確認識教師的角色。

數學課程改革倡導以學生為本的教育理念，倡導數學教學是數學活動的教學，倡導平等交往、互動合作、共同發展的師生關系，這就要求教師能夠正確認識自身角色。普通高中數學課程標準提出：教師不僅是課程的實施者，而且也是課程的研究、建設和資源開發的重要力量；教師不僅是知識的傳授者，而且也是學生學習的引導者、組織者和合作者。[4]在日常的教學活動中，教師必須起到引導者和組織者的重要作用，引導學生養成尺規作圖的良好習慣，組織專門的尺規作圖教學，在教學活動的開展過程中與學生深入交流、合作，提高學生的尺規作圖水平。

（2）：高度認識尺規作圖的作用。之所以出現教師上課“作草圖”、學生解題“作草圖”，甚至于在考試中也“作草圖”的現象，對尺規作圖作用的認識不夠是根本原因。正所謂：天再高又怎樣，踮起腳尖就更接近陽光，不管出現多少精密、復雜的制圖儀器，尺規作圖是掌握這些儀器的基礎，在教學和社會實踐活動中具有不可替代的作用。所以，在當前教材中，從小學、初中到高中數學教材，從平面作圖到立體作圖，都以專門的章節突顯了尺規作圖的特色和作用。因此，我們要高度認識到尺規作圖的作用（前文已述，此處不再贅述），才能提高廣大師生的尺規作圖水平，達到數學新課程標準的要求。

（3）：不舍本逐末，將尺規作圖深入課堂，持之以恒。許多教師和學生認為：尺規作圖很麻煩，需要一定的時間，對解題無甚幫助，影響到解題的速度。殊不知，這是本末倒置的做法。俄國數學家沙雷金就說過：未來的幾何學習應當重視以下四個步驟，直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算。但是中國的幾何教學，把前兩個步驟忽略了，變成純粹的思辨論證，以及論證基礎上的計算。缺乏直觀，實際上就扼殺了幾何。[5]這句話一語中的的點出了當前在幾何教學中存在的問題。正確的做法是：在教學過程中，教師和學生都應當尺規作圖，這樣才可以增強學生的直觀感知能力。而直觀感知能力，是問題解決的第一步，也可為以后的作圖和解題積累經驗，提高尺規作圖的速度和效率。此外，冰凍三尺，非一日之寒，培養學生的尺規作圖能力不是一日這功。教師更不能“三天打漁，兩天曬網”，而應當將尺規作圖深入到幾何教學的每一個環節，并且持之以恒，才能達到良好的培養尺規作圖能力的效果。

（4）：認真解決在尺規作圖教學中遇到的問題。

在尺規作圖的教學和使用過程中會遇到許多困難和障礙,正視這些問題，并有效地解決它，是提高尺規作圖教學效果的關鍵。學生遇到的問題主要有心理障礙、操作障礙和語言障礙等等。解決這些問題的方法多樣，許多專家和教師都各有妙招，大家可以查找相關文獻去閱讀，解決自己在具體教學中遇到的問題。但是有一個總的方針必須把握，那就是：首先應讓學生明確作圖題與證明題在本質、形式、思維依據、思維方式上的區別與統一，以減少論證思維對作圖題的消極影響。其次，也是最重要的一條是根據學生邏輯推理思維往往要依賴直觀、具體的形象的客觀實際，要求學生在分析作圖步驟之前，先按求作畫出草圖，并在草圖中盡量標出已知的條件，使求作的圖形形象而又具體地展現在學生面前，化抽象為直觀。然后再根據已知條件，并以“兩點定線”、“兩線定點”的原則考慮作圖的步驟。[6]（5）：引入多媒體教學方式，激發學習興趣。雖然尺規作圖僅限于使用無刻度的直尺和圓規，但這并不妨礙我們引入多媒體這一先進的教學手段。通過使用投影儀，教師可以使用和學生一樣的直尺，圓規，進行作圖。親歷親為的教學，可以加強學生的直觀感知，提高教學效果。此外，附帶有尺規作圖功能的作圖軟件，如：幾何畫板、authorware等軟件都可輕松地展現詳細、精確的制圖過程。尺規作圖的多媒體教學，既可節省教學時間，同時又可激發學生的學習興趣。為以后學生使用更復雜、精密的制圖儀器打好堅實的基礎。當然，這要求教師們不斷提高自身的綜合素質，熟練掌握這些優秀、實用的尺規作圖軟件，與時俱進，否則會事倍功半，事得其反。

總之，尺規作圖具有豐富的教學意義和現實意義，在幾何教學中的意義越來越顯著。廣大師生應充分認識到尺規作圖的重要內涵，正視在尺規作圖教學中遇到的問題，解決它，從而不斷提高教學質量，為學生的發展奠基。

參考文獻

[1]張景中.新概念幾何.中國少年兒童出版社.2002 [2]樂嗣康、崔雪芳、張奠宙.尺規作圖教學的現代意義.中學數學月刊.2005年第12期

[3]劉芳.對尺規作圖教學的三個思考.中學數學雜志.2009年第10期

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗).北京:人民教育出版社.2003-4-1 [5]沙雷金[呂乃剛譯].直觀幾何.上海：華東師范大學出版社.2001-1-1.[6]王孝波.尺規作圖的學習障礙及教學對策.教學研究.1998年第1期

第三篇：用尺規作線段與角教案

4.6用尺規作線段與角

教學目標

1．會用直尺和圓規作一條線段等于已知線段． 2．會用直尺和圓規作一個角等于已知角． 3．會利用基本作圖進行簡單的尺規作圖． 教學重難點

1．用尺規作線段(角)等于已知線段(角)． 2．線段的和、差、倍、分的作法． 3．角的和、差、倍、分的作法． 教學過程

導入新課

在現實生活中，我們經常見到一些美麗的圖案，如下列圖案．

圖案(1)、(2)、(3)是我們曾經畫過的．想一想，這些圖案是利用哪些作圖工具畫出的？ 直尺、圓規和三角尺是常用的作圖工具，利用這些工具可以作出很多的幾何圖形．在以后的作圖中，我們運用最多的作圖工具是沒有刻度的直尺和圓規．我們把只用沒有刻度的直尺和圓規的作圖稱為尺規作圖．這一節我們就來學習用尺規作圖——用尺規作線段與角．(板書課題)

推進新課

1．作一條線段等于已知線段

活動一：學生預習課本例1，教師按照下面作圖步驟演示作圖過程． 已知：線段AB.求作：線段A′B′，使A′B′＝AB.作法：(1)作射線A′C′.(2)以點A′為圓心，以AB的長為半徑畫弧，交射線A′C′于點B′.A′B′就是所求的線段．

教師總結：今后的作圖中，要注意作圖步驟的書寫．就現在來說，只要求大家了解尺規作圖的步驟．

2．作一個角等于已知角

活動二：學生預習課本例2，教師按照例題的作圖步驟演示作圖過程． 已知：∠AOB(如圖1)．

求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB.圖1 作法：

(1)在∠AOB上以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點P，Q(如圖1)；(2)作射線EG，并以點E為圓心，OP長為半徑畫弧交EG于點D；(3)以點D為圓心，PQ長為半徑畫弧交第(2)步中所畫弧于點F；(4)作射線EF(如圖2)．∠DEF即為所求作的角．

圖2 教師總結：用尺規作圖具有以下四個步驟：(1)已知，即：已知的條件是什么．

(2)求作，即：所要作的最終的結果是什么，滿足什么條件．

(3)分析，即：分析如何作出所要求作的圖形，一般不用寫出來．(4)作法，這是作圖的主要步驟，在這里要寫清作圖的過程．

鞏固訓練

1．課本練習

2．畫一個鈍角∠AOB，然后以O為頂點，以OA為一邊，在角的內部畫一條射線OC，使∠AOC＝90°，正確的圖形是()．

3．下列尺規作圖的語句錯誤的是()． A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠1 B．以點O為圓心作弧

C．以點A為圓心，線段a的長為半徑作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠1＋∠2

本課小結

通過這節課的學習活動你有哪些收獲？

本節課我們主要學習了用尺規作一條線段等于已知線段和作一個角等于已知角．正式呈現了尺規作圖的步驟，寫出了“已知”“求作”，且按照程序化的方式寫出了“作法”．大家在今后的作圖中，要按這些步驟進行．要特別注意的是：作圖時一定要保留作圖痕跡．

尺規作圖與“幾何作圖三大難題”

尺規作圖是指只用圓規和沒有刻度的直尺來作圖．由于對作圖工具的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題難以解決．利用尺規可以將任意角二等分，那么能利用尺規將一個任意角三等分嗎？你能作出一個立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的2倍嗎？利用尺規我們能作立方體和圓，那你能不能作一個正方形使其與給定的圓的面積相等？這三個由尺規作圖引出的問題，便是數學史上著名的幾何三大問題．它是公元前5世紀首次由古希臘雅典城內一個包括各方面學者的智者(巧辯)學派提出的．這三個作圖題一般分別稱為：1.三等分角；2.倍立方體；3.化圓為方．

第四篇：尺規作圖專題詳盡歸納

考點名稱：尺規作圖

【學習目標】

1．了解什么是尺規作圖．

2．學會用尺規作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫一條線段等于已知線段；(2)畫一個角等于已知角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過已知點畫已知直線的垂線；(5)畫角平分線．

3．了解五種基本作圖的理由．

4．學會使用精練、準確的作圖語言敘述畫圖過程． 5．學會利用基本作圖畫三角形等較簡單的圖形． 6．通過畫圖認識圖形的本質，體會圖形的內在美．

【基礎知識精講】 1．尺規作圖：

?定義：限定只用直尺和圓規來完成的畫圖，稱為尺規作圖．

注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領域應用比較廣泛．

?步驟：(1)根據給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分；(2)分析作圖的方法和過程；(3)用直尺和圓規進行作圖；(4)寫出作法步驟，即作法。（根據題目要求來定是否需要寫出作法）

2．尺規作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖．任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種.3．基本作圖共有五種：

(1)畫一條線段等于已知線段． 如圖24-4-1，已知線段DE．

求作：一條線段等于已知線段． 作法：①先畫射線AB．

②然后用圓規在射線AB上截取AC＝MN． 線段AC就是所要作的線段．(2)作一個角等于已知角． 如圖24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射線O′A′；

②以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D． ③以點O′為圓心，以OC長為半徑作弧，交O′A′于C′． ④以點C′為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D′． ⑤經過點D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作線段的垂直平分線． 如圖24-4-3，已知線段AB．

求作：線段AB的垂直平分線．

作法：①分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．

②作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

注意：直線CD與線段AB的交點，就是AB的中點．(4)經過一點作已知直線的垂線．

a．經過已知直線上的一點作這條直線的垂線，如圖24-4-4．

已知：直線AB和AB上一點C，求作：AB的垂線，使它經過點C． 作法：作平角ACB的平分線CF．

直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4． b．經過已知直線外一點作這條直線的垂線．

如圖24-4-5，已知：直線AB和AB外一點C．求作：AB的垂線，使它經過點C．

作法：①任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．

②以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．

③分別以D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F．

④作直線CF．

直線CF就是所求的垂線． 注意：經過已知直線上的一點，作這條直線的垂線轉化成畫線段垂直平分線的方法解決．(5)平分已知角．

如圖24-4-6，已知∠AOB．

求作：射線OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分別截取OD、OE．

②分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在∠AOB內，兩弧交于點C．

③作射線OC．

OC就是所求的射線．

注意：以上五種基本作圖是尺規作圖的基礎，一些復雜的尺規作圖，都是由基本作圖組成的，同學捫要高度重視，努力把這部分內容學習好．

通過這一節的學習，同學們要掌握下列作圖語言：(1)過點×和點×畫射線××，或畫射線××．(2)在射線××上截取××＝××．(3)以點×為圓心，××為半徑畫?。?/p>

(4)以點×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點×．

(5)分別以點×，點×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點×．(6)在射線××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或內部畫∠×××＝∠×××． 注意：學過基本作圖后，在作較復雜圖時，屬于基本作圖的地方，不必重復作圖的詳細過程，只用一句話概括敘述就可以了．

如：(1)畫線段××＝××．(2)畫∠×××＝∠×××．

(3)畫××平分∠×××，或畫∠×××的角平分線．(4)過點×畫××⊥××，垂足為點×．(5)作線段××的垂直平分線××，等等． 但要注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能因為作法的敘述省略而作圖就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理．

【經典例題精講】

例1 已知兩邊及其夾角，求作三角形． 如圖24-4-7，已知：∠α，線段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b． ③連結BC．

如圖24-4-8，△ABC即為所求作的三角形．

注意：一般幾何作圖題，應有下面幾個步驟：已知、求作、作法，比較復雜的作圖題，在作圖之前可根據需要作一些分析．

例2 如圖24-4-9，已知底邊a，底邊上的高h，求作等腰三角形．

已知線段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底邊BC，根據等腰三角形的三線合一的性質，可再作出BC的垂直平分線，從而作出BC邊上的高AD，分別連結AB和AC，即可作出等腰△ABC來．

作法：(1)作線段BC＝a．

(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC交于點D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)連結AB、AC．

如圖24-4-10，△ABC即為所求的等腰三角形．

例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形． 如圖24-4-11，已知線段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h)．

分析：如圖24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中線AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此這個Rt△AED可以作出來(△AED為奠基三角形)．當Rt△AED作出后，由可得到． 的關系可作出點B和點C，于是△ABC即

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．

(2)延長ED到B，使．

(3)在DE或BE的延長線上?。?/p>

(4)連結AB、AC．

則△ABC即為所求作的三角形．

注意：因為三角形中，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無解；若m＝h，則作出的圖形為等腰三角形．

例4 如圖24-4-13，已知線段a．

求作：菱形ABCD，使其半周長為a，兩鄰角之比為1∶2．

分析：因為菱形四邊相等，“半周長為a”就是菱形邊長為，為此首先要將線段a等分，又因為菱形對邊平行，則同旁內角互補，由“鄰角之比為1∶2”可知，菱形較小內角為60°，則菱形較短對角線將菱形分成兩個全等的等邊三角形．所以作圖時只要作出兩個有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD．

作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a．

(2)作線段AC，使．

(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側畫弧，兩弧分別交于B，D．

(4)分別連結AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)．

注意：這種通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”．

例5 如圖24-4-15，已知∠AOB和C、D兩點．

求作一點P，使PC＝PD，且使點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．

分析：要使PC＝PD，則點P在CD的垂直平分線上，要使點P到∠AOB的兩邊距離相等，則P應在∠AOB的角平分線上，那么滿足題設的P點就是垂直平分線與角平分線的交點了．

作法：(1)連結CD．

(2)作線段CD的中垂線l．

(3)作∠AOB的角平分線OM，交l于點P，P點為所求．

注意：這類定點問題應需確定兩線，兩直線的交點即為定點，當然這兩直線應分別滿足題目的不同要求．

【中考考點】

例6(2000·安徽省)如圖24-4-16，直線

表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處 分析：到直線

距離相等的點在相交所構成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點．

解：分別作

相交所構成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點共有四個．

答案：D．

注意：本題應用了角平分線的性質，在具體作圖時，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點．

例7(2002·陜西省)如圖24-4-17，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，工人師傅要把它加工成—個正方形零件，使C為正方形的—個頂點，其他三個頂點分別在AB、BC、AC邊上．

(1)試協助工人師傅用尺規畫出裁割線(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)工人師傅測得AC＝80 cm，BC＝120cm，請幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長．

解：(1)作∠ACB的平分線與AB的交點E即為正方形—頂點，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點F、D即為所作正方形另兩個頂點，如圖24-4-17．

(2)設這個正方形零件的邊長為x cm，∵DE∥AC，∴，∴．

∴x＝48．

答：這個正方形零件的邊長為48cm．

注意：本題是幾何作圖和幾何計算相結合題目，要求讀者對基本作圖務必掌握，同時對作出圖形的性質要清楚．

例8(2002·山西省)如圖24-4-18①，有一破殘的輪片(不小于半個輪)，現要制作一個與原輪片同樣大小的圓形零件，請你根據所學的有關知識，設計兩種方案，確定這個圓形零件的半徑．

分析：欲確定這個圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規作圖均可，圖②中是這個零件的半徑，圖③中OB是這個零件半徑． 解：如圖24-4-18②③所示．

【常見錯誤分析】

例9 如圖24-4-19，已知線段a、b、h．

求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的高AD＝h．

并回答問題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結論呢？ 錯解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a．

如圖24-4-20，則△ABC就是所求作的三角形．

(2)作出的三角形唯一．

(3)得出結論：有兩邊及一邊上的高對應相等的兩三角形全等．

誤區分析：本題錯解在于忽略了三角形的高可能在三角形內部也可能在三角形的外部． 正解：如圖24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a(在點C的兩側)． 則△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．

(3)得出結論有兩邊及—邊上的高對應相等的兩三角形不一定全等． 注意：與三角形的高有關的題目應慎之又慎．

【學習方法指導】

學習基本作圖，主要是運用觀察法，通過具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語言．

【規律總結】

畫復雜的圖形時，如一時找不到作法，—般是先畫出一個符合所設條件的草圖，再根據這個草圖進行分析，逐步尋找畫圖步驟．有時，也可以根據已知條件和基本作圖，先作局部三角形，再以此為基礎，根據有關條件畫出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法．

拓展： 1．利用基本作圖作三角形：(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；（5）已知一直角邊和斜邊作直角三角形．

2．與圓有關的尺規作圖 ：

(1)過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外接圓)．(2)作三角形的內切圓．（3）作圓的內接正方形和正六邊形 ．

附件：尺規作圖簡史：

“規”就是圓規，是用來畫圓的工具，在我國古代甲骨文中就有“規”這個字.“矩”就像現在木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長尺叫股.矩的使用是我國古代的一個發明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執矩，女媧氏手執規”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規.甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史記》卷二記載大禹治水時“左準繩，右規矩”.趙爽注《周髀算經》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測量地勢的高低，就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠的中國古代.春秋時代也有不少著作涉及規矩的論述，《墨子》卷七中說“輪匠(制造車子的工匠)執其規矩，以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說“離婁(傳說中目力非常強的人)之明，公輸子(即魯班，傳說木匠的祖師)之巧，不以規矩，不能成方圓.”可見，在春秋戰國時期，規矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較大的實用性.古代希臘人較重視規、矩在數學中訓練思維和智力的作用，而忽視規矩的實用價值.因此，在作圖中對規、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規作圖問題.所謂尺規作圖，就是只有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規進行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛，被關進監獄，并被判處死刑.在監獄里，他思考改圓成方以及其他有關問題，用來打發令人苦惱的無所事事的生活.他不可能有規范的作圖工具，只能用一根繩子畫圓，用隨便找來的破木棍作直尺，當然這些尺子上不可能有刻度.另外，對他來說，時間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規解決問題.后來以理論形式具體明確這個規定的是歐幾里德的《幾何原本》.由于《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規作圖也一直被遵守并流傳下來.由于對尺規作圖的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題：立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.當時很多有名的希臘數學家，都曾著力于研究這三大問題，雖然借助于其他工具或曲線，這三大難題都可以解決，但由于尺規作圖的限制，卻一直未能如愿以償.以后兩千年來，無數數學家為之絞盡腦汁，都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創立了解析幾何，關于尺規作圖的可能性問題才有了準則.到了1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬于尺規作圖不可能問題.1882年林德曼證明了π是無理數，化圓為方問題不可能用尺規作圖解決，這才結束了歷時兩千年的數學難題公案.?

第五篇：尺規作圖知識歸納

考點名稱：尺規作圖

尺規作圖：是指限定用沒有刻度的直尺和圓規來完成的畫圖。一把沒有刻度的直尺看似不能做什么，畫一個圓又不知道它的半徑，畫線段又沒有精確的長度。

其實尺規作圖的用處很大，比如單用圓規找出一個圓的圓心，量度一個角的角度，等等。運用尺規作圖可以畫出與某個角相等的角，十分方便。尺規作圖的中基本作圖： 作一條線段等于已知線段； 作一個角等于已知角； 作線段的垂直平分線； 作已知角的角平分線； 過一點作已知直線的垂線。還有：

已知一角、一邊做等腰三角形 已知兩角、一邊做三角形 已知一角、兩邊做三角形 依據公理：

還可以根據已知條件作三角形，一般分為已知三邊作三角形，已知兩邊及夾角作三角形，已知兩角及夾邊作三角形等，作圖的依據是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。注意：

保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理。

? ?

尺規作圖方法：

任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法： ·通過兩個已知點可作一直線?！ひ阎獔A心和半徑可作一個圓。·若兩已知直線相交，可求其交點。·若已知直線和一已知圓相交，可求其交點。·若兩已知圓相交，可求其交點。

【學習目標】

1．了解什么是尺規作圖．

2．學會用尺規作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫一條線段等于已知線段；(2)畫一個角等于已知角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過已知點畫已知直線的垂線；(5)畫角平分線．

3．了解五種基本作圖的理由．

4．學會使用精練、準確的作圖語言敘述畫圖過程． 5．學會利用基本作圖畫三角形等較簡單的圖形． 6．通過畫圖認識圖形的本質，體會圖形的內在美．

【基礎知識精講】 1．尺規作圖：

限定只用直尺和圓規來完成的畫圖，稱為尺規作圖．

注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領域應用比較廣泛．

2．尺規作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖． 3．基本作圖共有五種：

(1)畫一條線段等于已知線段． 如圖24-4-1，已知線段DE．

求作：一條線段等于已知線段． 作法：①先畫射線AB．

②然后用圓規在射線AB上截取AC＝MN． 線段AC就是所要作的線段．(2)作一個角等于已知角． 如圖24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射線O′A′；

②以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D． ③以點O′為圓心，以OC長為半徑作弧，交O′A′于C′． ④以點C′為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D′． ⑤經過點D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作線段的垂直平分線． 如圖24-4-3，已知線段AB．

求作：線段AB的垂直平分線．

作法：①分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．

②作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

注意：直線CD與線段AB的交點，就是AB的中點．(4)經過一點作已知直線的垂線．

a．經過已知直線上的一點作這條直線的垂線，如圖24-4-4．

已知：直線AB和AB上一點C，求作：AB的垂線，使它經過點C． 作法：作平角ACB的平分線CF．

直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4． b．經過已知直線外一點作這條直線的垂線．

如圖24-4-5，已知：直線AB和AB外一點C．求作：AB的垂線，使它經過點C．

作法：①任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．

②以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E．

③分別以D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F．

④作直線CF．

直線CF就是所求的垂線． 注意：經過已知直線上的一點，作這條直線的垂線轉化成畫線段垂直平分線的方法解決．(5)平分已知角．

如圖24-4-6，已知∠AOB．

求作：射線OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分別截取OD、OE．

②分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在∠AOB內，兩弧交于點C． ③作射線OC．

OC就是所求的射線．

注意：以上五種基本作圖是尺規作圖的基礎，一些復雜的尺規作圖，都是由基本作圖組成的，同學捫要高度重視，努力把這部分內容學習好．

通過這一節的學習，同學們要掌握下列作圖語言：(1)過點×和點×畫射線××，或畫射線××．(2)在射線××上截取××＝××．(3)以點×為圓心，××為半徑畫弧．

(4)以點×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點×．

(5)分別以點×，點×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點×．(6)在射線××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或內部畫∠×××＝∠×××．

注意：學過基本作圖后，在作較復雜圖時，屬于基本作圖的地方，不必重復作圖的詳細過程，只用一句話概括敘述就可以了．

如：(1)畫線段××＝××．(2)畫∠×××＝∠×××．

(3)畫××平分∠×××，或畫∠×××的角平分線．(4)過點×畫××⊥××，垂足為點×．(5)作線段××的垂直平分線××，等等． 但要注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能因為作法的敘述省略而作圖就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理．

【經典例題精講】

例1 已知兩邊及其夾角，求作三角形． 如圖24-4-7，已知：∠α，線段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射線AM、AN上分別作線段AB＝a，AC＝b． ③連結BC．

如圖24-4-8，△ABC即為所求作的三角形．

注意：一般幾何作圖題，應有下面幾個步驟：已知、求作、作法，比較復雜的作圖題，在作圖之前可根據需要作一些分析．

例2 如圖24-4-9，已知底邊a，底邊上的高h，求作等腰三角形．

已知線段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底邊BC，根據等腰三角形的三線合一的性質，可再作出BC的垂直平分線，從而作出BC邊上的高AD，分別連結AB和AC，即可作出等腰△ABC來．

作法：(1)作線段BC＝a．

(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC交于點D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)連結AB、AC．

如圖24-4-10，△ABC即為所求的等腰三角形．

例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形． 如圖24-4-11，已知線段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h)．

分析：如圖24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中線AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此這個Rt△AED可以作出來(△AED為奠基三角形)．當Rt△AED作出后，由可得到． 的關系可作出點B和點C，于是△ABC即

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延長ED到B，使．

(3)在DE或BE的延長線上?。?/p>

(4)連結AB、AC．

則△ABC即為所求作的三角形．

注意：因為三角形中，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無解；若m＝h，則作出的圖形為等腰三角形．

例4 如圖24-4-13，已知線段a．

求作：菱形ABCD，使其半周長為a，兩鄰角之比為1∶2．

分析：因為菱形四邊相等，“半周長為a”就是菱形邊長為，為此首先要將線段a等分，又因為菱形對邊平行，則同旁內角互補，由“鄰角之比為1∶2”可知，菱形較小內角為60°，則菱形較短對角線將菱形分成兩個全等的等邊三角形．所以作圖時只要作出兩個有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD．

作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a．

(2)作線段AC，使．

(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側畫弧，兩弧分別交于B，D．

(4)分別連結AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)．

注意：這種通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法”．

例5 如圖24-4-15，已知∠AOB和C、D兩點．

求作一點P，使PC＝PD，且使點P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．

分析：要使PC＝PD，則點P在CD的垂直平分線上，要使點P到∠AOB的兩邊距離相等，則P應在∠AOB的角平分線上，那么滿足題設的P點就是垂直平分線與角平分線的交點了．

作法：

(1)連結CD．

(2)作線段CD的中垂線l．

(3)作∠AOB的角平分線OM，交l于點P，P點為所求．

注意：這類定點問題應需確定兩線，兩直線的交點即為定點，當然這兩直線應分別滿足題目的不同要求．

【中考考點】

例6(2000·安徽省)如圖24-4-16，直線

表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()

A．一處 B．二處 C．三處 D．四處 分析：到直線

距離相等的點在相交所構成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點．

解：分別作

相交所構成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點共有四個．

答案：D．

注意：本題應用了角平分線的性質，在具體作圖時，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點．

例7(2002·陜西省)如圖24-4-17，△ABC是一塊直角三角形余料，∠C＝90°，工人師傅要把它加工成—個正方形零件，使C為正方形的—個頂點，其他三個頂點分別在AB、BC、AC邊上．

(1)試協助工人師傅用尺規畫出裁割線(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)工人師傅測得AC＝80 cm，BC＝120cm，請幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長．

解：(1)作∠ACB的平分線與AB的交點E即為正方形—頂點，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點F、D即為所作正方形另兩個頂點，如圖24-4-17．

(2)設這個正方形零件的邊長為x cm，∵DE∥AC，∴，∴．

∴x＝48．

答：這個正方形零件的邊長為48cm．

注意：本題是幾何作圖和幾何計算相結合題目，要求讀者對基本作圖務必掌握，同時對作出圖形的性質要清楚．

例8(2002·山西省)如圖24-4-18①，有一破殘的輪片(不小于半個輪)，現要制作一個與原輪片同樣大小的圓形零件，請你根據所學的有關知識，設計兩種方案，確定這個圓形零件的半徑．

分析：欲確定這個圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規作圖均可，圖②中是這個零件的半徑，圖③中OB是這個零件半徑． 解：如圖24-4-18②③所示．

【常見錯誤分析】

例9 如圖24-4-19，已知線段a、b、h．

求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC邊上的高AD＝h．

并回答問題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結論呢？ 錯解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a．

如圖24-4-20，則△ABC就是所求作的三角形．

(2)作出的三角形唯一．

(3)得出結論：有兩邊及一邊上的高對應相等的兩三角形全等．

誤區分析：本題錯解在于忽略了三角形的高可能在三角形內部也可能在三角形的外部． 正解：如圖24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直線CD上截取CB＝a(在點C的兩側)． 則△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．

(3)得出結論有兩邊及—邊上的高對應相等的兩三角形不一定全等． 注意：與三角形的高有關的題目應慎之又慎．

【學習方法指導】 學習本單元基本作圖，主要是運用觀察法，通過具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語言．

【規律總結】

畫復雜的圖形時，如一時找不到作法，—般是先畫出一個符合所設條件的草圖，再根據這個草圖進行分析，逐步尋找畫圖步驟．有時，也可以根據已知條件和基本作圖，先作局部三角形，再以此為基礎，根據有關條件畫出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法．

考點一 尺規作圖 1．定義：只用沒有刻度的直尺和圓規作圖叫做尺規作圖． 2．步驟：(1)根據給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分；(2)分析作圖的方法和過程；(3)用直尺和圓規進行作圖；(4)寫出作法步驟，即作法． 考點二 五種基本作圖 1．作一線段等于已知線段； 2 ．作一個角等于已知角； 3．作已知角的平分線； 4．過一點作已知直線的垂線； 5．作已知線段的垂直平分線． 考點三 基本作圖的應用 1．利用基本作圖作三角形(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；

(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形． 2．與圓有關的尺規作圖(1)過不在同一直線上的三點作圓

(即三角形的外接圓)．(2)作三角形的內切圓．

尺規作圖簡史：

“規”就是圓規，是用來畫圓的工具，在我國古代甲骨文中就有“規”這個字.“矩”就像現在木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長尺叫股.矩的使用是我國古代的一個發明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執矩，女媧氏手執規”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規.甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史記》卷二記載大禹治水時“左準繩，右規矩”.趙爽注《周髀算經》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測量地勢的高低，就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠的中國古代.春秋時代也有不少著作涉及規矩的論述，《墨子》卷七中說“輪匠(制造車子的工匠)執其規矩，以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說“離婁(傳說中目力非常強的人)之明，公輸子(即魯班，傳說木匠的祖師)之巧，不以規矩，不能成方圓.”可見，在春秋戰國時期，規矩已被廣泛地用于作圖、制作器具了.由于我國古代的矩上已有刻度，因此使用范圍較廣，具有較大的實用性.古代希臘人較重視規、矩在數學中訓練思維和智力的作用，而忽視規矩的實用價值.因此，在作圖中對規、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規作圖問題.所謂尺規作圖，就是只有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規進行作圖.古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛，被關進監獄，并被判處死刑.在監獄里，他思考改圓成方以及其他有關問題，用來打發令人苦惱的無所事事的生活.他不可能有規范的作圖工具，只能用一根繩子畫圓，用隨便找來的破木棍作直尺，當然這些尺子上不可能有刻度.另外，對他來說，時間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規解決問題.后來以理論形式具體明確這個規定的是歐幾里德的《幾何原本》.由于《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規作圖也一直被遵守并流傳下來.由于對尺規作圖的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題：立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.當時很多有名的希臘數學家，都曾著力于研究這三大問題，雖然借助于其他工具或曲線，這三大難題都可以解決，但由于尺規作圖的限制，卻一直未能如愿以償.以后兩千年來，無數數學家為之絞盡腦汁，都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創立了解析幾何，關于尺規作圖的可能性問題才有了準則.到了1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬于尺規作圖不可能問題.1882年林德曼證明了π是無理數，化圓為方問題不可能用尺規作圖解決，這才結束了歷時兩千年的數學難題公案.?